VI. Multiplicacio VI. Násobení extrahe radičem dupl am (tam cubicam quam quadratam) sub parte sinistra. VI. Multiplicacio (integrorum, sexta species) est augmenta-cio (ad tercium numerům inveniendum) unius numeri per alium kořen — ať ten nebo ten (jak krychlový, tak čtvercový) - začni dobývat od levé strany.60 VI. Násobení (celých čísel, šestý úkon) je zmnožování (aby bylo nalezeno třetí číslo) jednoho čísla druhým (rozdílným od 7v [Multiplicacio.] In ista parte nario. Item sciendum, quod utilitas autor exequitur de sexta specie huius speciei est ista, ut inveniatur huius artis, que vocatur multipli- tercius numerus, qui contineat al- cacio. Et dividitur in 5 partes. Pri- tcrum tociens, quot sunt unitates mo diffinit multiplicacionem, se- in reliquo, sicut aliqualiter dictum 10 cundo dat modum operandi, ibi est. Verbi gracia: Si aliquis rex ha- Cum ergo, tercio ponit quasdam bet 1000 armigeros et cuilibet de- cautelas, ibi Et quando prima fi- bet dare quatuor marcas per men- gura, quarto ponit regulam ad in- sem, ut ergo sciamus, quot sunt veniendum numerům productum, marce in universe Ad hoc ista 15 ibi Et ut levius, quinto ponit exem- species valet, scilicet multiplican- plum pro tota ista specie, ibi Ex- do 1000 per 4. emplum. Et primo quoad pri mam Multiplico, -as significat am- partem dicente. ple augere, augmentare, multipli- Finis multiplicacionis est, ut citer dilatare, multas plicas facere, 20 inveniatur tercius numerus, qui unum in plura dividere, secare, contineat alterum tociens, quot multipart ire. Inde multiplicacio, id sunt unitates in reliquo. est ampla auccio, augmentacio, Item adhuc pro meliori intel- multiplex dilatacio, plicaram com- posicio, seccio, multiparticio. Un- 25 de multiplicacio numeri est augmentacio ipsius a se vel ab alio et positis duobus numeris invenire ex plicarum plurium faccio. Pri mum eis, qui inventus tociens multipli- enim plice unitatum intel lectu se- catum contineat, quot sunt unitates can tur, deinde quelibet plica unita- 30 in multiplicante. Verbi gracia: Ter tis augmentatur, ex cuius multipli- sex sunt 18, 18 est tercius nume- cacione partes auete componuntur rus, qui continet senarium ter ex et composite produeunt generatum eo, quia sunt tres unitates in ter- numerům, qui numerus produetus lectu diffinicionis est notandum, quod multiplicare unum numerum per alium non est aliud quam pro- [Násobení.] V této části vykládá autor o šestém úkonu tohoto umění, které se jmenuje násobení. A výklad se dělí na pět částí. Za prvé násobení definuje, za druhé vykládá, jak postupovat, tato část začíná slovy Chceš-li tedy, za třetí uvádí určitá upozornění, tam, kde jsou slova A když první číslice, za čtvrté uvádí návod k nalezení výsledného čísla, to začíná slovy A aby bylo možno lehčeji, za páté dává příklad na celý úkon, tam, kde je Příklad. A nejprve mluví o tom, co se týká první části (viz text). Účelem násobení je nalézt třetí číslo, jež by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém. Pro lepší pochopení definice je třeba ještě poznamenat, že násobit jedno číslo druhým není nic jiného než ze dvou zadaných čísel najít takové, které by obsahovalo násobené tolikrát, kolik je jednotek v násobícím. Například: Třikrát šest je 18; 18 je třetí číslo, které obsahuje šestku třikrát na základě toho, že ve trojce jsou tři jednotky. Rovněž je třeba vědět, že užitečnost tohoto úkonu je v tom, aby se nalezlo třetí číslo, které by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém, jak už bylo řečeno. Například: Má-li nějaký král 1000 ozbrojenců a každému má dát čtyři hřivny měsíčně, abychom tedy věděli, kolik hřiven je to celkem. A k tomuto je tento úkon užitečný, totiž násobíme-li tisíc čtyřmi. Multiplico, -as, „násobit", znamená hojně zvětšovat, zmnožovat, několikanásobně rozšiřovat, vytvářet četné složky, jednu věc dělit na více věcí, sekat, dělit na mnohé části. Z toho je multiplicatio, „násobení", tj. hojné zvětšování, zmnožování, mnohonásobné rozšiřování, skládání složek, sekání, dělení na mnohé části. Odtud pak multiplicatio numeri, „násobení čísla", je zvětšování jeho samého sebou samým nebo jiným a vytváření více složek. Nejprve jsou totiž složky jednotek v mysli rozdělovány, pak je každá složka jednotky zvětšena a jejím zmnožováním se zvětšené části skládají a složeny vytvářejí nově vzniklé číslo, které se nazývá číslo výsledné. Je totii 1 duplam sub Si ] dupla sub G, a F - 16a levius Si ] in eius G, com-mentarius in F abest - 32a 18 est Si ] est G, commentarius in F abest 62 63 VI. Multiplicacio VI. Násobeni (diversum a se, vel per seipsum) tociens, quot sunt imitates (tam-quam partes in toto) in reliquo (in numero multiplicato), ut di-cendo bis tria et sunt 6 (ecce tercius numerus). Hic tri a augentur : 42v per bis (per alium numerum) propter du as unitates, | que sunt in binario. Et numerus, qui multiplicatur, vocatur numerus multipli-candus (passive, eo quod multiplicatur), et numerus, qui multi-plicat alium (multiplicandum), dicitur numerus multiplicans (active, eo quod agit multiplicando), et semper debet adverbi-aliter exprimi (propter differenciam multiplicands et multiplicand i, a lit er enim unus tum differret ab alio), ut ter quatuor et sunt 12. Hic ter (expressus per adverbium ,ter' tamquam quid 10 sebe, nebo sebou samým) tolikrát, kolik je ve druhém (násobeném čísle) jednotek (tak jako částí v celku), např. když řekneme dvakrát tři je šest (toto je třetí číslo). V tomto případě jsou tři rozmnoženy dvakrát (jiným číslem) prostřednictvím dvou jednotek, které jsou obsaženy v čísle dvě.61 A číslo, které je násobeno, se jmenuje číslo násobené (pasivně, protože je násobeno), a číslo, které násobí jiné (násobené), se jmenuje číslo násobící62 (aktivně, protože při násobení koná), a vždy má být vyjádřeno jako příslovce (kvůli rozdílu mezi násobícím a násobeným, jinak by se totiž jedno od druhého nelišilo), např. třikrát čtyři je dvanáct. V tomto případě třikrát (vyjádřené příslovcem ,třikráť jako něco formálního) je číslo násobící a čty- appellatur. Constat enim numerum per sc non posse multiplicari, nisi partes eius multiplicentur, que sunt unitates, quarum multiplica-cione multiplicacio tocius medita-ta assumitur. Et sic auccio parcium totum redidit multiplicatum, non una tantum, sed omnes, quia sic totum non vere multiplicaretur; partibus enim omnibus multipli-catis totum augetur et sic in eo fit multiplicacio; et ut sic multiplicacio presupponit auccionem parcium, sicut totum supponit perfec-cionem eamndem. [Per alium.] Quandoque enim numerus multiplicat se ipsum, di-cendo quater 4 sunt 16, quandoque per alium, quia sunt distincti nu- meri aliquando in multiplicacione, ut ter 4 sunt 12. 15 [Et numerus.] Nota: Duo ordi-nes sunt necessarii in multiplicacione, scilicet numerus multiplicans active et numerus multipli-candus passive. Et potest assignari 20 tercius, scilicet numerus produ-ctus. [Semper debet.] Multiplicans numerus debet adverbialiter exprimi, ideo quia habet se per modum 25 forme informantis multiplicandum, qui nominaliter exprimitur propter materiam, que informatur. Ideo unus agit et alter patitur, ex quorum coniunccione tercius ge- 30 neratur. známo, že číslo nemůže být sebou samým jinak násobeno, než že jsou násobeny jeho části, což jsou jednotky, a jejich násobením se děje myšlené násobení celku. A tak násobený celek je vytvářen zvětšováním svých částí, a to nikoliv pouze jedné, ale všech; jinak by totiž nebyl doopravdy zvětšován, neboť celek se zvětšuje zmnožováním všech částí a tím se v něm děje násobení; a tak jako násobení předpokládá zvětšování částí, tak celek předpokládá jejich dokonalost. [Druhým.] Někdy totiž číslo násobí sebe sama, např. čtyřikrát 4 je 16, jindy je násobeno jiným, pro- tože někdy se násobení účastní rozdílná čísla, např. třikrát 4 je 12. [A číslo.] Pamatuj: Při násobení jsou potřebné dva řádky, totiž číslo aktivně násobící a číslo pasivně násobené. A může být připojen i řádek třetí, totiž číslo výsledné. [Vždy má být.] Číslo násobící má být vyjadřováno jako příslovce, protože se chová jako forma, formující číslo násobené, jež je vyjadřováno jako jméno kvůli materii, která je formována. Tedy jedno je prvkem činným a druhé trpným a z jejich spojení vzniká číslo třetí. 3 et ] om. F -7 numerus ] ille F - 8 dicitur numerus ] vocatur ľ - 11 et ] o/n. F - 12 ter est ] est ter F - 31a 16 Si ] 8 G, commentarius in F abest 64 65 VI. Multiplicand VI. Násobení i8r formale) est numerus multiplicans et quatuor (sub nomine tamquam materiále) multiplicandus et 12, qui provenit ex multi-plicacione, dicitur numerus productus (quia ex duorum multi-plicacione tamquam ex agente et paciente producitur, id est tamquam ex viro et femina). Et est sciendum, quod ex numero multiplicante potest fieri numerus multiplicandus et econverso (omnis enim numerus in se convertitur per multiplicacionem eadem summa proveniente), ut idem est dicere ter quatuor et quater tria, quia sunt (ubique) 12. Cum igitur volueris aliquem (magnum vel parvum) numerům per se (scilicet ipsum) vel per alium (diversum a se) multiplicare, scribe numerům multiplicandum in superioři ordine (quia fluxus eius est continuus, accidentalia enim sunt mutabilia) per suas figuras et numerům multiplicantem in inferiori ordine, sic tamen, quod prima inferioris | ordinis (numeri multiplicands) sit sub ultima superioris ordinis (numeri multiplicand!). [Et est sciendum.] Debet autem numerus multiplicans esse minor et multiplicandus maior, idem tamen ubique proveniet. [Cum igitur volueris.] Hie tra-dit artem multiplicand! et modum operandi in ista specie et primo premittendo intentum suum docet ordinäre et disponere figuras utri-usque numeri, secundo suum intentum exequitur, ibi Et tunc due. [Scribe numerům multiplicandum.] Quia substancia prior est ac- cidente et per consequens materia forma, origine saltern, et propter hanc stabilitatem superius scribi-tur. Substancia enim eterna est, ut dicit Dionysius De divinis nomini-bus. Ecce dignitas attenditur circa constanciam et stabilitatem, indi-gnitas autem circa mutabilitatem. | 10 15 20 25 ři (vyjádřené jménem jako něco materiálního) číslo násobené a číslo 12, které z násobení vyjde, se nazývá číslo vytvořené63 (protože je vytvořeno násobením dvou prvků, jakoby činného a trpného, tj. jakoby muže a ženy). A je třeba vědět, že z čísla násobícího se může stát násobené a opačně (totiž při násobení je každé číslo zaměnitelné za druhé, přičemž vychází stejný výsledek), např. totéž je říci třikrát čtyři a čtyřikrát tři, protože vyjde (vždy) dvanáct. Chceš-li tedy nějaké číslo (velké nebo malé) násobit sebou (totiž jím samým) nebo jiným (rozdílným od něho), napiš číslo násobené podle číslic do hořejšího řádku (protože jeho trvání je stálé, akcidenty jsou však proměnlivé) a číslo násobící do spodního řádku, a to tak, aby první číslice spodního řádku (čísla násobícího) byla pod poslední číslicí horního řádku (čísla násobeného).6'1 [A je třeba vědět.] Číslo násobící má být menší a číslo násobené větší, třebaže vždy vyjde totéž. [Chceš-li tedy.] Zde vykládá umění násobit a způsob, jak při tomto úkonů postupovat, a za prvé předesílaje svůj úmysl učí uspořádat a rozvrhnout číslice obou čísel, za druhé svůj úmysl vysvětluje; to začíná slovy A pak násob. [Napiš číslo násobené.] Protože substance je dříve než akcident a v důsledku toho je materie dříve než forma, aspoň původem, a díky této stabilitě se píše výše. Substance je totiž věčná, jak říká Dionysius65 ve spise O božích jménech. Hle, důstojnost je vztahována ke stálosti a stabilitě, nedůstojnost však k proměnlivosti. 30 1 quatuor ] quatuor est numerus F - 5 est sciendum ] sciendum est F -6 numerus ] om. F - 10 igitur ] ergo F - 12 multiplicandum ] multiplicandum, quod est F - 14 figuras ] differencias F - 21b ut Si ] ut patet G, commentarius in F abest 22b non invent 66 67 VI. Multiplicacio VI. Násobení Et tunc due omnes figuras inferioris ordinis adverbialiter, in-cipiendo ab ultima (usque ad primáni) inferioris ordinis, in ulti-mam superioris ordinis (scribendo versus manum sinistram). Et si ex tali multiplicacione (arismetrica) provenerit (excre-verit) digittus, scribe eum inmediate (sine spacio) supra caput 5 (directe) illius numeri (id est numeri multiplicantis), per quern multiplicas. Si articulus (ex multiplicacione provenerit), tunc scribe cifrám supra caput (directe) numeri multiplicantis (scripti inferius) et digittum denominantem articulum (quia omnis articulus denominatur a digitto, ut 10 ab unitate) pone in proximo 10 loco (quia circa cifrám) versus sinistram. Et si numerus com-positus (provenit), tunc scribe digittum, qui est pars (principalis) illius numeri composite supra capud numeri, per quern multiplicas, et articulum sinistra ut prius. 15 8r [Et tunc due] Hic autor exe- ideo summa eius supra scribitur. quitur internum suum docens 2|4 782 quamlibet figurám numeri multi- [Si articulus.] Racio regule, plicantis ducere in ultimam figu- quia numerus articulus duas figurám numeri multiplicandi. Et divi- ras obtinet, que duo loca requirunt, 20 ditur, quia primo facit, quod di- igitur figura nichilli unum locum ctum est, secundo ponit quosdam tenet et alteram figura significa-casus provenientes ex duetu ul- tiva. 2|2 1144 time multiplicantis in ultimam [Et si numerus compositus.] multiplicandi, ibi Et si ex tali. Et Racio, quia compositus habet plu- 25 tales casus sunt ires. Primus, ibi Et res partes, que sunt distincte in nu-si ex tali, secundus, ibi Si articu- mero, ideo locorum pluralitatem lus, tercius, ibi Et si numerus com- ad se scribendum designat. 2|4 positus. 1472 [Et si ex tali.] Racio regule, 30 quia digittus cum simplex sit numerus, unum locum obtinet, et A pak násob pomocí příslovce všemi číslicemi spodního řádku, začínaje od poslední (až k první) spodního řádku, poslední číslici horního řádku (při psaní směrem doleva).66 A jestliže z takového (aritmetického) násobení vyjde (vzejde) digitus, napiš ho bezprostředně (bez mezery)61 nahoru nad (přímo) to číslo (tj. číslo násobící), kterým násobíš. Jestliže artikulus (vyjde z násobení), pak napiš nulu nahoru nad (přímo) číslo násobící (psané dole) a digitus pojmenovávající artikulus (protože každý artikulus přijímá jméno od digitu, např. deset od jedničky) napiš na nejbližší místo (totiž vedle nuly) směrem doleva. A jestliže číslo složené (vyjde), pak digitus, který je součástí (prvotní) toho složeného čísla, napiš nahoru nad číslo, kterým násobíš, a artikulus posuň doleva jako dříve.68 [A pak násob.] Zde autor vykládá svůj záměr a učí, jak násobit poslední číslicí čísla násobícího poslední číslici čísla násobeného. A výklad je rozdělen, protože za prvé činí, co bylo řečeno, za druhé uvádí určité případy vycházející z násobení poslední číslice čísla násobeného poslední číslicí čísla násobícího; to začíná slovy A jestliže z takového. A takové případy jsou tři. První je vyložen tam, kde jsou slova A jestliže z takového, druhý tam, kde jsou slova Jestliže artikulus, třetí začíná slovy A jestliže číslo složené. [A jestliže z takového.] Důvod pravidla je ten, že digitus, protože je číslo jednoduché, zaujímá pouze jedno místo, a tedy se celý napíše nahoru. 2^4 782 [Jestliže artikulus.] Důvod pravidla je ten, že artikulus obsahuje dvě číslice, které vyžadují dvě místa; jedno místo totiž zaujímá nula a druhé číslice významová. 1144 [A jestliže číslo složené.] Důvod je ten, že číslo složené má více částí, které jsou v čísle jasně rozlišeny, k zápisu tedy vyžaduje 52 22 vice mist. 64 23 1472 1 figuras ] om. F- 4 tali ] om. G - provenerit ] si provenerit F - 11 sinistram ] sinistram manum F - 14 et articulum sinistra ut prius ] om. F 68 69 VI. Multiplicacio VI. Násobení Hoc facto (id est iarn multiplicata ultima multiplicandi per omnes figuras multiplicantis) multiplicanda est ultima superioris ordinis (numeri multiplicandi) per penultimam inferioris ordinis (numeri multiplicantis), faciendo per omnia (considerando tres regulas), sicut dictum est, et sie consequenter de omnibus (figu- 5 ris) inferioris ordinis (numeri multiplicantis), ducendo eas adverbialiter in ultimam superioris ordinis (numeri multiplicandi), sie tarnen (faciendo), quod quando primam inferioris ordinis (numeri multiplicantis) multiplicas in aliquam (ultimam) figúram superioris ordinis (numeri multiplicandi), tunc semper dele illam 10 superioris ordinis et scribe numerům provenientem in locum eius G 8v (delete). Si provenit | digittus (per primam regulám), scribe di-gittum. S i articulus (per secundum regulám), scribe cifrám in lo- F 43r cum eius | et digittum adde versus sinistram ad figurám sequen- tem. Si numerus compositus (per terciám regulám), tunc digit- 15 tum, qui est pars illius numeri compositi, scribe in locum delete figure et articulum versus sinistram, ut prius dictum est. Když se tak stalo (tj. po vynásobení poslední číslice čísla násobeného všemi číslicemi čísla násobícího), je třeba násobit poslední číslici horního řádku (čísla násobeného) předposlední číslicí spodního řádku (čísla násobícího), přičemž děláme všechno tak (majíce na paměti tři pravidla), jak bylo řečeno, a tak podobně u všech (číslic) spodního řádku (čísla násobícího), násobíce jimi pomocí příslovce poslední číslici horního řádku (čísla násobeného), a to tak (konajíce), že když násobíš první číslicí spodního řádku (čísla násobícího) nějakou číslici (poslední) horního řádku (čísla násobeného), tu vždycky škrtni tu v horním řádku a výsledek napiš na její (té škrtnuté) místo. Jestliže vyjde digitus (podle prvního pravidla), napiš digitus. Jestliže artikulus (podle druhého pravidla), napiš na její místo nulu a digitus přičti k následující číslici směrem doleva. Jestliže číslo složené (podle třetího pravidla), pak digitus, který je součástí toho složeného čísla, napiš na místo škrtnuté číslice a artikulus směrem doleva, jak bylo řečeno dříve. G 8v [Hoc facto.1 Prius autor docuit multiplicare ultimam superioris ordinis per ultimam inferioris ordinis, hic iam dočet multiplicare ultimam superioris ordinis per penultimam inferioris ordinis et consequenter per omnes alias, et hoc pre-dictis duobus casibus observatis. [Et sic consequenter de omnibus.] Hic autor dočet multiplicare omnes figuras superioris ordinis numeri multiplicandi per primam figurám inferioris ordinis numeri 20 multiplicantis. Et dividitur, quia primo ponit modům operandi, se-eundo exequitur illum modům operandi, ponendo tres casus pro-venientes circa multiplicacionem 25 figurarum superioris ordinis per primam inferioris, ibi Si proveniet digittus. I 22 1166 2051120 73 1125 2 multiplicanda est ultima ] multiplica ultimam F - 3 penultimam ] ultimam F - 8 sic tamen, quod quando primam inferioris ordinis multiplicas in aliquam figúram superioris ordinis, tunc semper dele illam superioris ordinis ] om. F - primam ] per primam G, per in mg. - 12 provenit ] provenerit F -■ 13 scribe ] tunc scribe F -14 sinistram ] sinistram partem F - 15 tunc ] scribe F - 16 compositi ] om. F - delete figure et ] delete et scribe F - 17 sinistram ] sinistram partem F - dictum est ] om. F -21a inferioris Si ] superioris G, commentarius in F abest [Když se tak stalo.] Nejprve autor naučil násobit poslední číslici horního řádku poslední číslicí spodního řádku, nyní zase učí násobit poslední číslici horního řádku předposlední číslicí spodního řádku a podobně všemi ostatními, a to při zachování dvou výše zmíněných případů. [A tak podobně u všech.] Zde autor učí násobit všechny číslice násobeného čísla z horního řádku první číslicí čísla násobícího ze spodního řádku. A výklad je rozdělen, protože za prvé uvádí způsob, jak postupovat, za druhé tento způsob vykládá, přičemž ukazuje tři případy vycházející z násobení číslic horního řádku první číslicí spodního řádku; to začíná slo-vy Jestliže vyjde digitus. 2;j 1166 2061120 2!Pl725 70 i i 71 VI. Multiplicand Et postquam omneš figuras inferioris ordinis (numeri multi-plicantis) multiplicasti in ultimam superioris ordinis (numeri multiplicandi), tunc per unum locum transferas (id est per unam differenciam localem transponas, quia oportet quamlibet figurám numeri multiplicantis multiplicari per unamquamque numeri multiplicandi, transponendo numerům multiplicantem per unam differenciam) omneš inferioris ordinis, ponendo primam inferioris ordinis sub penultima superioris ordinis. Et incipias, ut prius fecisti (servanda tarnen priores tres regulas), ab ultima inferioris ordinis multiplicare penultimam superioris ordinis et sic consequenter fac de aliis (figuris omnibus) usque ad primam inferioris ordinis. Et per illam multiplicando delebis (quia semper ultima delet) superiorem et sic fac per totum, donec quem-libet numerům superioris ordinis multiplicaveris per quemlibet numerům inferioris ordinis. Et quando prima figura (id est quia in omnibus figuris, tam significativis, quam non significativis, servatur regula generalis [Et postquam.] Hic dočet multiplicare penultimam numeri multiplicandi per omneš figuras numeri multiplicantis et hoc faciendo dočet transposicionem et anterio-racionem figuranim numeri multiplicantis; secundo hoc idem conclude de aliis figuris numeri multiplicandi esse faciendum, ibi Et sic fac per totum. Notabile primům. [Penultimam superioris ordinis.] Hic dočet multiplicare pen- 10 15 ultimam superioris ordinis per penultimam inferioris ordinis et consequenter per omneš alias, di-cens. [Et sic fac per totum.] Hic autor concludit universaliter hoc esse tenendum et faciendum de aliis figuris ducendis numeri multiplicantis in alias figuras numeri multiplicandi, dicens. [Et quando prima figura.] Hic autor ponit quandam cautelam de prima figura numeri multiplicantis 20 25 VI. Násobení A potom, cos vynásobil všemi číslicemi spodního řádku (čísla násobícího) poslední číslici horního řádku (čísla násobeného), posuň všechny číslice spodního řádku o jedno místo (tj. přelož o jedno místo, protože je třeba, aby každá číslice čísla násobícího byla vynásobena každou číslicí čísla násobeného, a to se děje posouváním násobícího čísla o jedno místo) tak, že napíšeš první číslici spodního řádku pod předposlední horního řádku.69 A začni násobit, jaks to dělal dříve (zachovávaje při tom předešlá tři pravidla), poslední číslicí spodního řádku předposlední číslici horního řádku a tak podobně to čiň s ostatními (všemi číslicemi) až k první spodního řádku.70 A po vynásobení touto číslicí škrtni (protože poslední vždy škrtá) horní číslici a tak postupuj u celého čísla, dokud neznásobíš každé číslo horního řádku každým číslem řádku spodního.71 A když první číslice (tj. protože u všech číslic, jak významových, tak nevýznamových, se zachovává všeobecné pravidlo 30 [A potom.] Zde učí násobit předposlední číslici čísla násobeného všemi číslicemi čísla násobícího a při tom současně učí přenášet a posouvat dopředu číslice čísla násobícího; za druhé dovozuje, že totéž je třeba činit u jiných číslic čísla násobeného, to začíná slovy A tak čiň u celého čísla. První důležitá poznámka. [Předposlední číslici horního řádku.] Zde učí násobit předpo- slední číslici horního řádku předposlední číslicí spodního řádku a dále všemi ostatními a říká (viz text). [A tak čiň u celého čísla.] Zde autor dovozuje obecně, že toto je třeba dodržovat a dělat u ostatních číslic čísla násobícího, jimiž se mají násobit ostatní číslice čísla násobeného a říká (viz text). [A když první číslice.] Zde autor uvádí jisté upozornění týkající se první číslice násobícího čís- 3 tunc ] et tunc F - transferas ] transporta F-7 ponendo primam inferioris ordinis ] om. F - 8 ut prius fecisti ] om. F - 10 penultimam ] per figurám ultimam F - 12 post illam in G in mg al. m.: quemlibet numerům multiplicando 72 73 VI. Multiplicacio VI. Násobení ,ultima deleť) numeri multiplicantis fuerit cifra, tunc, quando cifrám multiplicas, adverbialiter dicendo nullociens duo et est 9r nichil, | dele semper numerům multiplicandum et scribe in locum eius cifrám. Vel melius (quia facilius) et brevius, quando prima figura inferioris ordinis (numeri multiplicantis) fuerit cifra (nichil significans per se), tunc dele cifrám (ob inferior i ordine) et pone earn ante (versus sinistrum scribendo) in primo loco in numero (multiplicando), quern vis multiplicare, et tunc multi-plica (post deposicionem cifře) per residuum numerům, qui re-mansit, numerům multiplicandum et idem (eadem figura) pro-veniet. in hac specie observandam et potest sic continuari ad partem precedentem illam Sic tamen, quod quando p r imam etc. Prius autor docuit multiplicare figuras su-perioris ordinis per primam inferioris ordinis in hoc, si talis prima figura inferioris ordinis fuerit significativa, hic iam dočet multiplicare figuras omneš superioris ordinis per primam inferioris ordinis, et hoc si talis prima figura fuerit cifra; et hoc facit dupliciter, quia primo facit hoc modo pro-lixiori, secundo breviori, ibi Vel melius. Et racio regule potest esse una ista, quia in omnibus figuris tam significativis, quam non significa-tivis, servatur regula generalis: Prima figura numeri multiplicantis delet sibi suprapositam. Secunda racio potest esse ista, quia cifra eo-dem modo articulum vel sibi si-milem numerům reprcsentat in multiplicando numero, sicut signi-ficat in multiplicante. [Vel melius.] Racio, quia cifra eodem modo articulum vel sibi si-milem numerům significat in multiplicando numero, sicut significat in multiplicante. 46 20 10 15 20 25 .poslední škrtá') čísla násobícího bude nula, pak - protože náso-bíš-li nulu, říkáš pomocí příslovce nickrát dvě je nic - škrtni vždy číslo násobené a na jeho místo napiš nulu. Nebo lépe (protože snadněji) a kratčeji, když první číslice spodního řádku (čísla násobícího) bude nula (sama o sobě nic neznamenající), pak škrtni nulu (ve spodním řádku) a napiš ji dopředu (při psaní směrem doleva) na první místo v čísle, které chceš násobit (v násobeném), a pak násob (po škrtnutí nuly) zbylým číslem, které zůstalo, číslo násobené a vyjde totéž (tatáž číslice)?1 la, které je nutno při tomto úkonu dodržovat, a to může být vztaženo i k předcházející části A to tak, že když násobíš první atd. Nejprve autor učil násobit číslice horního řádku první číslicí spodního v tom případě, jestliže tato první číslice spodního řádku byla významová, zde zase učí násobit všechny číslice horního řádku první číslicí spodního řádku, a to v případě, že tato první číslice je nula, a činí tak dvojím způsobem, protože za prvé to dělá způsobem delším, za druhé kratším; stručnější způsob začíná slovy Nebo lépe. A jeden z důvodů tohoto pravidla může být ten, že u všech číslic, jak významových, tak nevý-znamových, se zachovává všeobecné pravidlo: První číslice čísla násobícího škrtá číslici umístěnou nad sebou. Druhý důvod může být ten, že nula představuje artikulu s nebo jemu podobné číslo v čísle násobeném týmž způsobem jako v násobícím. [Nebo lépe.] Důvod je ten, že nula vyjadřuje artikulus nebo jemu podobné číslo týmž způsobem v čísle násobeném jako v násobícím. 2f 30 2 et est nichil ] vel tria G - 3 dele semper ] semper dele F - multiplicandum ] quem multiplicas F-4 eius ] om. G - brevius, quando prima figura ] facilius, quandocunque prima F - 6 tunc dele cifrám et ] dele earn F - 10 numerům ] om. G - 17a docuit multiplicare Si ] docuit G, commentarius in F abest 74 75 VI. Multiplicacio VI. Násobení 9r Et ut levius et prompcius (propter pueros, qui in levibus de-lectantur, et per artem ostendendo, quia quilibet artifex expertus esse debet in sua arte) sciatur inveniri numerus productus (ter-cius), tunc semper minor numerus (accidencia enim magnam partem conferunt ad congnoscendum, quod quid est, ut dicit Phi-losophus), sive ipse sit in ordine superioři, si ve inferiori, expri-matur (numerus multiplicans) adverbialiter et alter nominaliter, ut dicendo ter 9 et sunt 27 est facilius dicere quam novies tria sunt 27. Et ut levius. Hic autor ponit articulus sue denominacionis. Ter- unam regulám multum utilem in hac specie ad inveniendum n u mením productum. Et nota, quia dici-tur in regula inter maiorem digit-tum, nam quandocunque nullus 10 dum est, quociens minor digittus est subtrahendus ab articulo sue denominacionis, et hoc est distan-cia maioris dig i tri a denario. 15 Leve est idem, quod facile et illorum est maior alio (exemplum: quod sine nimia intellectus ele-ut si multiplicetur 6 per 6 vel 8 per vacione accipi potest. Unde hec 8), dicitur, quod sie textus non est maxime sectanda est, ut diueius intelligendus. Si occurrit maior di- possit ingeniöse, sine corrupeione 20 gittus, tunc debet considerari, quot intelligibilia agere et agenda ve-sunt unitates inter maiorem digit- rius discuttere. Promptům est, tum et denarium, si vero sunt di- quod scitur in habitu arte, prom-gitti equales, tunc debent conside- peius autem, quod in actu exer-rari unitates, quot sunt inter nume- cetur. 25 rum multiplicandum. Item nota, quod in ista regula tanguntur tria: Primům, quod minor digittus est subtrahendus. Secundum est, a quo est subtrahendus, et hoc est A aby bylo možno lehčeji a rychleji (kvůli studentům, kteří mají zálibu v lehkých postupech, a abychom skrze dovednost ukázali, že každý mistr má být znalý ve svém oboru) najít výsledné (třetí) číslo, pak menší číslo (akcidenty totiž přispívají velkou částí k poznání toho, co každá věc je, jak praví Filosof), ať je v horním či spodním řádku, se má vždy vyjádřit (násobící číslo) jako příslovce a druhé jako jméno; např. říci třikrát devět je dvacet sedm je snadnější než říkat devětkrát tři je 27. A aby bylo možno lehčeji. Zde autor uvádí jedno velice užitečné pravidlo pro nalezení výsledného čísla při tomto úkonu. A všimni si, že v pravidle se praví mezi větším digitem, neboť tím se říká, že takto nemá být tento text chápán, není-li žádný z digitů větší než druhý (příklad: jestliže se násobí šest šesti nebo osm osmi). Jestliže se vyskytne větší digitus, pak se musí uvážit, kolik je jednotek mezi větším digitem a desítkou; jsou-li však digity stejné, pak se musí vzít v úvahu jednotky, které jsou mezi násobeným číslem a desítkou. Rovněž si všimni, že v tomto pravidle jsou zmíněny tři věci: První, že menší digitus se má odečíst. Druhá, od čeho se má odečíst, a tím je artikulus, který má od něho jméno. Třetí je to, kolikrát se má menší digitus odečíst od artikulu, kterému dal jméno, a tím je rozdíl mezi větším digitem a desítkou. Lehké je to, co může být pochopeno snadno a bez přílišného úsilí rozumu. Z toho plyne, že je třeba toto úsilí vynakládat, abychom s jeho pomocí mohli věci určené k pochopení důmyslněji a bez chyby konat a věci určené ke konání pravdivěji zkoumat. Zjevné je to, co se ví prostřednictvím umění habituálně, zjevnější to, co se provozuje aktuálně. 6 ipse ] om. F - inferiori ] in inferiori F — 7 multiplicans Si ] multipli-candus G, commentarius in F abest - alter ] aliter autor F - 8 dicendo ] di-cendum G - et] om. F - est ] est enim F - 19a non est Si ] est G, commentarius in F abest 5 Auctoritates 174,7 (Aristoteles, De anima A 1, 402b21-22) 76 77 VI. Multiplicacio F43v Et si nescis statim (sine dilacione) \ productum numerům (provenientem ex multiplicacione), tunc minorem numerům (id est multiplicantem), quern adverbialiter exprimis (provenientem ex digitto, scilicet quando digittus multiplicat digittum), subtrahe ab articulo, quern ipse denominat, tociens, quot sunt imitates 5 inter mayorem digittum (maiorem) et 10 inclusive (id est quot sunt inter digittum denominantem et articulum 10), ut in present! exemplo: 9 distat per unitatem a decern, igitur subtrahe tria, qui est minor digittus, a 30, qui est articulus, quem denominant tria, et remanent 27; ergo ter 9 sunt 27, et sic de aliis. 10 Exemplum: Multiplicando 6504 per 207 provenient 1346328.| VI. Násobení A jestliže hned (bez prodlení) nevíš výsledné číslo (vycházející z násobení), tu odečti menší číslo (tj. násobící), které vyjadřuješ jako příslovce (pocházející z digitu, totiž když digitus násobí digitus), od artikulu, kterému tento digitus dává jméno, a to tolikrát, kolik jednotek je mezi větším digitem (větším) a 10 včetně (tj. kolik jich je mezi pojmenovávajícím digitem a artikulem 10), jako v tomto příkladě: 9 se liší od deseti o jedničku, odečti tedy 3, což je menší digitus, od 30, což je artikulus, kterému tři dávají jméno a zůstane 27; třikrát devět je tedy 27, a tak postupuj i v jiných případech.73 Příklad: Vynásobením 6504 a 207 vyjde 1346328.74 [Et si nescis statim.] Aliquis volens scire istam regulam debet habere respectum ad tria, scilicet ad numerům multiplicandum, ad numerům multiplicantem et ad de-narium, sic tamen, quod maior nu-merus in respectu denarii et minor in respectu articuli, ut quater 8: quater habet respectum ad suum articulum, quem denominat, scilicet 40, sed 8 habet respectum ad denarium. Quot ergo unitates con-currunt inter 10 et 8, tociens minor numerus debet subtrahi ab articulo, quem denominat, scilicet 40, ut quater 8 sunt 40 preter bis quatuor. Bis quatuor sunt 8, 8 a 40 et sunt 32. Et est intelligenda solum de magnis et non parvis nu- meris, quia in parvis est per se no-tum, ut bis duo sunt 4. Et si sunt equales digitti, tunc est facilius, 15 nam capiatur unus digittus in respectu denarii et secundus in respectu articuli. Exemplum: Ut no-vies novem sunt 90 preter semel 9, subtrahatur semel 9 a 90, rema- 20 nent 81. 123456789 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 25 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 30 9 18 27 36 45 54 63 72 81 I [A jestliže hned nevíš.] Ten, kdo chce znát toto pravidlo, musí mít na zřeteli tři věci, totiž číslo násobené, číslo násobící a desítku, a to tak, že větší číslo je ve vztahu k desítce a menší ve vztahu k artikulu, např. čtyřikrát 8: čtyřikrát se vztahuje ke svému artikulu, kterému dává jméno, totiž ke 40, naproti tomu však 8 se vztahuje k desítce. Tedy kolik jednotek je nashromážděno mezi 10 a 8, tolikrát se musí menší číslo odečíst od artikulu, kterému dává jméno, totiž od 40; např. čtyřikrát 8 je 40 bez dvakrát čtyř. Dvakrát čtyři je 8, 40 bez 8 je 32. A toto pravidlo se používá jen u velkých, nikoliv u malých čísel, protože u ma- lých je to známo samo o sobě, např. dvakrát dvě jsou 4. A jsou-li digity stejné, pak je to snadnější, protože jeden digitus se vezme ve vztahu k desítce a druhý ve vztahu k artikulu. Příklad: Devětkrát devět je 90 bez jednou devíti, odečte se jednou 9 od 90, zůstane 81. 123456789 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 1 productum numerům ] numerům productum F - 8 qui ] que F - 9 denominant ] denominat G - 10 ergo ter 9 šunt 27 et. sic de aliis ] om. F- 11 multiplicando ] multiplicando hune numerům F - provenient ] et provenient F - 1346328 ] 1346328. Et ergo ter novem sunt 27 F - 27a quem Si ] quomodo G, commentarius in F abest 78 79