III. Subtmccio
111. Odčítání
Et nota, quod subtraccio probat addicionem et addicio sub-traccionem (scilicet quia cuiuslibet rei Veritas magis explicatur per suum oppositum quam per seipsam, nam lux magis apparet lucida tenebris comparata, quam sine comparacione ad tene-bras). I
F 41r III. Subtraccio (ilia species) est numeri (unius, equalis ab equali) vel numerorum (multorum; propositis numeris invencio residui) a dato (id est a proposito) numero ablacio (deposicio, scilicet facta per intellectum, scilicet ut inveniat summa dere-licta), ut subtrahendo 3 a 10 remanebunt 7.
In subtraccione (scilicet facta per intellectum) duo numeri (id est duo ordines numerorum) sunt necessarii, scilicet numerus subtrahendus (scilicet passive, quia subtrahitur), et dicitur ille, qui ab alio (id est a numero, a quo fit subtraccio) subtrahitur, et numerus, a quo fit subtraccio (id est deposicio numeri subtrahen-di). Et oportet, quod numerus, a quo fit subtraccio, semper sit
[Subtraccio.] Hic magister agit de tercia specie istius artis. Et dividitur in duo, nam primo ponit diffinicionem, secundo ostendit, quot sunt numeri necessarii in ipsa subtraccione, et dicente.
Racio ordinis, quia addicio habet se sicut habitus, subtraccio ve-ro sicut privacio, sed privacio est posterior habitui, ut patet per Phi-losophum in Postpredicamentis.
Subtraccio ad hoc valet, ut homo sciat, supposito, quod in uno loco habeat 99 marcas, et si ab istis sumpserit 30, quantum sibi remanebit, et ut sciat, in quo 99 excedit 30.
Et oportet, quod numerus. Racio primi est hec, quia mayus con-tinet tan turn et amplius quantum minus, et ergo minus potest auf-ferri a mayori. Vel equalis. Racio
10
15
20
25
A pamatuj, že odčítání ověřuje sčítání a sčítání odčítání (totiž proto, že pravdivost jakékoliv věci se lépe objasňuje prostřednictvím svého protikladu než skrze sebe samu, neboť světlo přirovnané ke tmě se jeví více světlé než bez srovnání s tmou).
TTT. Odčítání (tento úkon) je odnímání (odložení, totiž konané myslí, totiž aby byla nalezena zbylá suma) čísla (jednoho, stejného od stejného) nebo čísel (několikerých; nalezení zbytku od daných čísel) od daného (tj. zadaného) čísla,36 např. odečtením 3 od 10 zůstane 7.
Při odčítání (totiž konaném myslí) jsou potřebná dvě čísla (tj. dva řádky čísel), totiž číslo odčítané37 (totiž pasivně, protože je odčítáno), a takto je nazýváno to, které se od jiného (tj. od čísla, od něhož se děje odčítání) odčítá, a číslo, od něhož se děje odčítání38 (tj. odložení odčítaného čísla). A je třeba, aby číslo, od něhož se odčítá, bylo vždy větší (tj. musí více znamenat) než číslo odčítané, nebo jemu rovné, protože menší od většího (pro-
[Odčítání.] Zde učitel pojednává o třetím úkonu tohoto umění. A výklad se dělí na dvě části, protože za prvé podává definici, za druhé ukazuje, kolik čísel je při odčítání třeba, a říká (viz text).
Důvod tohoto pořadí je ten, že sčítání se chová jako stav, odčítání však jako zbavenost, a zbavenost následuje za stavem, jak ozřejmuje Filosof v Postpredikamentech.
Odčítání slouží k tomu, aby člověk, když má - dejme tomu -na jednom místě 99 hřiven a z nich vezme 30, věděl, kolik mu zůstane, a aby věděl, o kolik 99 převyšuje 30.
A je třeba, aby číslo. Důvod prvního tvrzení je ten, že větší obsahuje tolik, kolik menší a ještě něco navíc, tedy menší může být ubráno od většího. Nebo stejné.
1 subtraccionem. ] subtraccionem. Sequitur de subtraccione. AI. m.: Tercia species subtraccionis F - 8 a dato, corr. e addito ] addato F - 10 remanebunt ] remanent F - 15 subtraccio ] subtraccio, i. e. disposicio numeri subtrahendi F - 16 fit ] debet fieri F - sit ] fit F
27a cf. Auctoritates 136,244 (Aristoteles, Metaphysica I 4, 1055a33): Privatio et habitus sunt radices contrariorum; cf. Averroes, Metaphysica X, commentarius 16 (tomus VIII, f.291v)
42
43
■
///. Subtraccio
III. Odčítání
mayor (id est debet plus significare) quam numerus subtrahen-dus, vel equalis sibi, quia minor a mayori subtrahi potest (quia ex multis possunt fieri pauciora), vel equalis ab equali (quia equa-lia se compaciuntur), sed mayor de minori nequaquam subtrahi potest (quia quod quid non habet, hoc alteri dare non potest; cum ergo minor careat Mo, quid mayor vult, scilicet subtraccio-ne, ideo sibi non dare potest).
In subtraccione debent sic figure ordinari numerorum (scilicet amborum), ut prima (scilicet figura versus dextram) numeri subtrahendi (scilicet scripti inferius) ponatur sub prima (scilicet
10
secundi, quia par potest aufferri a pari, et tunc totum surgit. Sed mayor. Racio tercii, quia mayor numerus continet plures unitates quam minor, ergo non potest subtrahi a minori.
Maior numerus dicitur, qui in sui divisione vel plures figuras, vel ultimam vel antepenultimam plus significantem obtinet; et sic contingit tripliciter esse mayorem numerům. Primo, quia plures habet figuras, ut 'ggg. Unde quamvis figure inferioris ordinis sint mayo-res in significando, tarnen quia superior numerus habet plures figuras, dicitur maior; quarta en im unitas significat mille. Secundo, quia ultima est plus significativa, ut g|g. Tercio, quia penultimam vel antepenultimam habet plus significantem, licet cetere fiant equales, ut j}^.
Nota: Equalis numerus dicitur, qui tot habet unitates, quot et alter, et eandem materiam unus quam alter in se conservat. Et dicitur 15 equalis quasi eque, id est consi-militer latus. Latitudo enim unius numeri non excedit latitudinem alterius, sed una et eadem communis est omnibus. Item equalis 20 numerus dicitur, qui tot habet de unitatibus et qui habet eandem materiam sicut et alter; inequalis autem, qui continet plures vel minores figuras, quam sibi supposi- 25 tus vel suprapositus. Et dicitur equalis quasi eque, id est similiter latus.
[In subtraccione.] In hac parte ostendit, quomodo figure in hac 30 specie sint ordinande. |
4 sed mayor de ] maior a F - 8 ordinari numerorum, ut prima ] ordinari, quod figura F
tože z početnějších věcí se mohou stát méně početné) nebo stejné od stejného (protože stejné věci se spolu snášejí) může být odečteno, avšak větší od menšího se v žádném případě odečíst nedá (protože to, které něco nemá, to nemůže jinému dát; když se tedy menšímu nedostává toho, co větší chce, totiž odčítáním, tak mu to nemůže dát).
Při odčítání se musí číslice čísel (totiž obou) uspořádat tak, že první (totiž číslice u pravé ruky) čísla odčítaného (totiž napsaného dole) se napíše pod první (totiž číslici) čísla, od něhož se
Důvod druhého tvrzení je ten, že rovné může být ubráno od rovného, a pak nezůstane nic. Avšak větší. Důvod třetího tvrzení je ten, že větší číslo obsahuje více jednotek než menší, tedy nemůže být od menšího odečteno.
Větším číslem se nazývá to, které při rozdělení sebe sama získá buď více číslic, nebo poslední či předposlední číslici o vyšší hodnotě; a tak se stává, že číslo může být
větší trojím způsobem. Za prvé,
1111
protože má více číslic, např. V tomto případě, přestože číslice spodního řádku jsou větší pokud jde o význam, přece je větší horní číslo, protože má více číslic; čtvrtá jednička totiž znamená tisíc. Za druhé, protože poslední číslice více znamená, např. gjjg-39 Za třetí, protože má poslední či předposlední číslici o větší hodnotě, byť ostatní jsou stejné, např. ggj, {{j-40
Pamatuj: Stejným číslem se nazývá to, které má tolik jednotek, kolik i druhé, a jedno i druhé chová v sobě tutéž materii. A říká se stejný jakoby stejně, tj. podobně rozsáhlý. Rozměmost jednoho čísla totiž nepřesahuje rozměmost druhého, ale jedna a táž je společná všem. Rovněž se stejným číslem nazývá to, které má stejně jednotek a které je téže materie jako druhé; nerovné je však to, které obsahuje více či méně číslic než číslo stojící pod ním či nad ním. A říká se stejný jakoby stejně, tj. podobně rozsáhlý.
[Při odčítání.) V této části ukazuje, jak se mají číslice při tomto úkonu uspořádat.
44
45
///. Subtraccio
III. Odčítání
G 5v figura) numeri, | a quo debet fieri subtraccio (scilicet scripti su-perius), et secunda sub secunda et sic de aliis.
Quo facto (id est positis duobus ordinibus numerorum per lo-cacionem unius sub a hero) subtrahe primam inferioris ordinis a prima superioris ordinis, si potes (id est, si superior sit mayor), et residuum scribe (id est deletis prius tot unitatibus, quot in se con-tinetfigura inferior) in loco superioris. Si autem non potes, quia superior (id est numerus significans) est minor, vel est cifra, tunc a secunda figura (superioris ordinis, versus sinistram) deponas unitatem (scilicet per mutuacionem) et illam scribe ante numerům
G 5v Quo facto. Hic autor dočet modům operandi in hac specie. Et di vidi tur in duo, quia primo docet, quomodo sit subtrahenda prima figura numeri subtrahendi a sibi supraposita, secundo docet, quomodo secunda a secunda, ibi Sub-tracta figura prima. Prima adhuc dividitur in tres partes iuxta habi-tudinem triplicem prime figure inferioris ad primam superioris ordinis, nam primo habitudinem ponit primam prime figure inferioris ordinis ad primam superioris ordinis, quomodo scilicet operandům sit, quia prima superioris ordinis sit mayor inferiori; secundo secundam, quomodo scilicet sit operandům, si prima superioris sit minor vel cifra, ibi Sí autem. Ter-cio ponit terciám habitudinem,
quomodo scilicet sit operandům, si prima superioris et inferioris ordinis sint equales, et hoc ibi Et si Humerus.
[Si potes]. Prima regula: Si figura numeri, a quo debet fieri subtraccio, sit mayor, subtracts tot unitatibus, quot sunt in inferiori, figura superior deleatur et residuum eius inscribatur. Racio regule, quia minor a maiori subtrahi potest. Exemplum: ^g-
[Si autem non potes.] Secunda regula: Figura superiore existente minore unitas prccedentis figure accipiatur significans decern et figura inferior subtrahatur, residuum tarnen inscribendo. Racio regule, quia maior a minori subtrahi non potest. Exemplum: 24g.
10
15
20
25
odčítá (totiž napsaného nahoře), druhá pod druhou a tak dále i ostatní.41
Když se tak stalo (tj. když byly napsány oba řádky čísel a u-místěny jeden pod druhý), odečti první číslici spodního řádku od první číslice horního řádku, můžeš-li (tj. je-li horní větší), a zbytek napiš (tj. když se napřed odebere tolik jednotek, kolik jich v sobě obsahuje spodní číslice) na hořejší místo.42 Jestliže však nemůžeš, protože horní (tj. číslice významová) je menší, neboje nula, tu od druhé číslice (horního řádku, směrem doleva) odeber
30
Když se tak stalo. Zde autor ukazuje způsob postupu při tomto úkonu. A výklad se dělí na dvě části, protože za prvé učí, jak se má odčítat první číslice odčítaného čísla od číslice nad ní stojící, za druhé učí, jak druhá od druhé; to začíná slovy Po odečtení první číslice. První část se dále dělí na tři úseky podle trojího poměru první číslice spodního řádku k první číslici horního řádku, neboť za prvé vykládá o prvním poměru číslice spodního řádku k první číslici horního řádku, totiž jak se má postupovat, když první číslice horního řádku je větší než číslice spodní; za druhé o druhém poměru, totiž jak se má postupovat, jestliže první číslice horního řádku je menší nebo nula; tento výklad začíná slovy Jestliže však. Za třetí vykládá
o třetím poměru, totiž jak se má postupovat, jestliže první číslice horního a spodního řádku jsou stejné, a to začíná slovy A jestliže odčítané číslo.
[Můžeš-li.] První pravidlo: Jestliže je číslice čísla, od něhož se má odčítat, větší, tu po odečtení tolika jednotek, kolik je jich obsaženo ve spodní číslici, se horní číslice škrtne a napíše se její zbytek. Důvod pravidla je ten, že menší číslo může být od většího odečteno. Příklad: ^g-
[Jestliže však nemůžeš.] Druhé pravidlo: Je-li horní číslice menší, přijme se z předcházející číslice jednička, která znamená deset, spodní číslice se odečte a zbytek se zapíše. Důvod pravidla je ten, že větší číslo od menšího nemůže být odečteno. Příklad: ^g-
2 et secunda sub secunda ] secunda sub secunda, tercia sub tercia F - 5 potes ] potest F - 7 superioris ] superioři G - potes ] potest G - 10 illam ] illam unitatem F -23a primo Si ] prima G, commentarius in F abest
46
47
///. Subtraccio
III. Odčítání
F41v G6r
minorem (superioris ordinis) vel ante cifrám, que valebit (id est significat, scilicet imitate mutuata et minori figure preposita figure precedentis) 10. Et tunc ab illo agregato (simul sumpto) pri-mo subtrahe primam figurám (scilicet, et residuum scribe loco figure delete) inferioris ordinis a prima figura superioris ordinis. Et si numerus subtrahendus (inferior) fuerit equalis (par, similis) numero, a quo debet fieri subtraccio (id est a superioři), tunc deleto numero, a quo debet fieri subtraccio (scilicet superioři), scribatur cifra loco eius (ne figure sequentes minus significent).
Et subtracta figura prima inferioris ordinis a prima superioris ordinis subtrahenda est secunda a secunda sibi supraposita et tercia a tercia et sic deinceps (id est de pluribus). Et operandům est eodem modo, ut dictum est de prima (quia prima figura represented ceteras hoc modo fieri subtrahendus, quomodo sola subtrahitur ab alia).
Est tamen sciendum, quod quando figura inferioris ordinis non poterit subtrahi (propter hoc, quia plus significat) a sibi | supraposita (quia est minor), tunc a figura sequenti (scilicet pro-xima), I si est significativa (ut prius dictum est), recipienda est
[Et si numerus subtrahendus.] [Et operandům est.] Primum
Tercia regula: Utrisque figuris notabile. Hic autor innuit hoc
equalibus existentibus superioři idem esse faciendum subtrahendo
deleta scribatur cifra, ne id, quod secundam figurám inferioris ordi-
scquitur, superhabundanter dimi-nuatur. Racio regule, quia simili deposito a simili, id est equali ab equali, nichil remanet, sed loco eius cifra ponatur, ne sequencia minus significent. Exemplum:
nis et consequenter alias a sibi su-prapositis, sicut docuit subtrahere primam inferioris ordinis a sibi supraposita, et patet summa.
Est tamen. Hic autor ponit cau-telas hanc speciem rectificantes et
1 que ] que unitas F-2 unitate Si ] figura G, commentarius in F abest - 3 agregato primo ] primo agregato F - 5 figura ] om. F - 7 tunc deleto numero, a quo debet fieri subtraccio, scribatur ] ponatur F- in G in. me. al. m.: 46523 ~ 9 eius ] eius subtraccionis G - 10 et ] om. F - 11 est ]
om. F - 12 et operandům ] est operandům F -16 quando ] si F - 26b subtrahere primam Si ] subtrahere G, commentarius in F abest
10
15
20
25
30
jedničku (totiž jako půjčku) a napiš ji před menší číslo (horního řádku) nebo před nulu, která bude mít hodnotu (tj. bude znamenat, totiž po tom, co byla jednička vypůjčena a napsána před menší číslici o místo zpět) deseti. A tu od tohoto prvního sloučeného čísla (braného jako celek) odečti první číslici (tak učiň a zbytek napiš na místo číslice škrtnuté) spodního řádku od první číslice horního řádku.43 A jestliže odčítané číslo (spodní) bude rovno (stejné, podobné) číslu, od něhož se odčítá (tj. od horního ), tu se po škrtnutí čísla, od něhož se má odčítat (tj. horního), na jeho místo napíše nula (aby následující číslice neznamenaly méně).44
A po odečtení první číslice spodního řádku od první číslice horního řádku je třeba odečíst druhou od druhé, napsané nad ní, a třetí od třetí a tak dále (tj. od vícerých). A je třeba postupovat týmž způsobem, jak bylo řečeno o první číslici (protože první číslicí se ukazuje, že ostatní se mají odčítat tím způsobem, jakým je ona sama odčítána od jiné).
Je přece ještě nutno vědět, že když číslice spodního řádku nebude moci být odečtena (kvůli tomu, že znamená více) od číslice nad ní napsané (protože je menší), pak je třeba od číslice následující (totiž nejbližší) -je-li významová (jak bylo výše řeče-
[A jestliže odčítané číslo.] Třetí pravidlo: Jsou-li obě číslice stejné, pak se po škrtnutí horní napíše nula, aby se to, co následuje, nadbytečně nezmenšilo. Důvod pravidla je ten, že po odečtení čísla podobného od podobného, tj. stejného od stejného, nezůstane nic, avšak na jeho místo se napíše nula, aby následující číslice neznamenaly méně. Příklad:
[A je třeba postupovat.] První poznámka: Zde autor přisvědčuje, že totéž je třeba dělat při odčítání
druhé číslice spodního řádku a následovně při odčítání jiných od číslic nad nimi položených, stejným způsobem, jak učil odčítat první číslici spodního řádku od číslice nad ní napsané, a výsledek se ukáže.
Je přece. Zde autor uvádí upozornění, jež tento úkon upřesňují
48
49
///. Subtraccio
111. Odčítání
6r
unitas (scilicet per accomodacionem). Si autem est non signifi-cativa (scilicet pocius cifra), tunc ab ulteriori (significativa proximo) accomodanda (mutuanda) est unitas et ilia debet transferri et poni circa numerum (scilicet ita, quod significativa, ideo respectu eius numeri, a quo debet fieri subtraccio), a quo debet fieri subtraccio. Et de qualibet cifra, per quam portatur (unitas accepta afigura significativa), debet fieri novenarius (id est 9), quia (cuius racio est) ilia unitas valuit decern respectu cifre, qua deposita remanent 9.
Et sit pro exemplo (tocius subtraccionis) numerus, a quo debet fieri subtraccio (scilicet superior), iste: 740324, et numerus subtrahendus (inferior) iste (scilicet sit iste): 46523. Et numerus remanens (post subtraccionem) erit 693801.
nos in praxim dirigentes. Et primo primam, secundo secundam, ibi Si autem est non significativa.
[Accomodanda est.] Secundum notabile cum cautela. Nota, hic duplex cautela potest fieri. Prima: Si figura, a qua mutuanda est unitas, sit unitas, tunc ea deleta loco eius scribatur cifra, propter figuras sequentes, ne minus significant, ut Secunda cautela po-nitur in littera. |
Et si est ipsamet unitas, ea deleta loco eius scribatur cifra et po-natur ante numerum, a quo debet fieri subtraccio.
Hie ponit secundam cautelam, ostendens, qualiter sit operandům,
10
cum figura sequens, a qua mutuan- 15 da est unitas, sit cifra, et facit duo: Primo facit, quod dictum est, secundo dat racionem operacionis, ibi Quia ilia unitas; et ad ambas partes dicente. 20
Racio, quia si a loco tercio mutuetur unitas, ilia respectu pre-cedentis valet centum, sed loco figure pertransite relinquitur novenarius, qui valet 90, et unitas va- 25 lens decern additur figure, a qua debet fieri subtraccio. Et eadem potest esse racio, si unitas mutuetur a quarto vel quinto loco.
[Et sit pro exemplo.] Ponit ex- 30 emplum huius speciei, dicens.
no) - odejmout jedničku (totiž jako půjčku). Není-li však významová (totiž je-li to nula), pak je třeba si půjčit (zapůjčit) jedničku od další (nejbližší významové) a ta se musí přenést a napsat (totiž jako významová, a to k tomu číslu, od něhož se odčítá) k číslu, od něhož se odčítá. A z každé nuly, přes kterou se přenáší (jednička přejatá od významové číslice), se musí stát devítka (tj. 9), protože (čehož je důvod) ona jednička měla se zřetelem k nule hodnotu deseti a po jejím odložení zůstává 9.45
A jako příklad (na celé odčítání) budiž číslo, od něhož se odčítá (totiž horní), toto: 740324, a číslo odčítané (dolní) toto (totiž budiž toto): 46523. A číslo zbylé (po odečtení) bude 693801.46
a vedou nás při jeho provádění. A za prvé první, za druhé druhé, které začíná slovy Není-li však významová.
[Je třeba si půjčit.] Druhá poznámka s upozorněním. Všimni si: zde může být uvedeno dvojí upozornění. První: Jestliže číslice, od níž se má jednička půjčit, je jednička, tu se jednička škrtne a na její místo se napíše nula, a to kvůli následujícím číslicím, aby neznamenaly méně, např. ^g. Druhé upozornění stojí v textu.
A jestliže je tato číslice jednička, tu se škrtne a na její místo se napíše nula a jednička se napíše před číslo, od něhož se odčítá.
Zde uvádí druhé upozornění a ukazuje, jak se má postupovat,
když následující číslice, od níž se má jednička půjčit, je nula, a činí dvě věci: Za prvé činí to, co bylo řečeno, za druhé odůvodňuje postup, což začíná slovy Protože ona jednička; a pokud jde o obě části, říká (viz text).
Důvod je ten, že když se jednička půjčuje ze třetího místa, má se zřetelem k předcházející číslici platnost stovky, avšak na místě číslice, přes niž se přešlo, se nechává devítka, která má platnost devadesáti, a jednička mající platnost deseti se přičítá k číslici, od níž se odečítá. A stejný důvod platí, jestliže se jednička půjčuje ze čtvrtého či pátého místa.
[A jako příklad.] Uvádí příklad na tento úkon a říká (viz text).
1 est ] om. F - 6 portatur corr. e portas ] portatur F - unitas accepta Si ] unitatem acceptam G, commentarius in F abest - 10 sit ] sie F - numerus ] iste numerus F - 11 iste: 740324 ] sit iste: 140321 F - 12 iste ] om. F - 13 693801 ] 93798 F
50
51