IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
sub qua invenias digittum, qui cum subtriplis ducatur in triplata et postea sine subtriplis ductus in productum et demum in se cu-bice deleat totum suprapositum vel quanto vicinius potest. Et si nullus digittus sub prima figura inveniri potent, ponatur cifra sub prima figura, et quicquid inventum fuerit sub prima figura, ponatur ante triplatum versus dextram. Et hoc cum subtriplis erit radix cubici propositi, si fuerit cubicus, vel erit radix maximi cubici sub eo contenti.
Et est notandum, quod si contingat, quod post anterioracio-nem (bis vel semel) figurarum non possit digittus (qui cub ice
[Quanto vicinius potest.] Ex-emplum: 8240, cuius radix est 20. Exemplum aliud: 24125, cuius radix est 28.
[Et si nullus digittus.] Ponit duas cautelas, primo primam, sc-cundo secundam.
Ponit cautelam, que concernit primam figuram numeri propositi, dicens.
[Radix maximi cubici. ] Exemplum istius sit hoc: 92360456. Primus numerus, qui est radix Humeri istius, est 4. Ponatur iuxta predictam doctrinam sub duobus et dicatur sic: quater quatuor qua-ter et sunt 64, et subtrahatur a no-naginta duobus et post subtraccio-nem remanent 28. Deinde triplctur digittus inventus et provenit 12, que ponantur sub 3 et 6, deinde
1 qui cum subtriplis ] qui ductus in productum cum subtriplis G - 2 subtriplis ] triplis G - 6 triplatum ] triplata F - subtriplis ] subtriplatis G -7 radix ] cubicus radix G - 26b 45 Si ] 5 G, commentarius in F abest - 30a tripletur Si ] repletur G, commentarius in F abest
10
sub cifra digittus, et est 5. Iste ergo digittus inventus habet triplex officium: Primo cum subtriplo mul-tiplicando triplatum et stabunt fi- 15 gure sic: et post multiplicacio-nem proveniunt 540. Secundum officium habet, quia istum numerům 540 multiplicat solus digittus, scilicet 5, et post multiplicacionem 20 consurgunt 2700. Terci um officium habet istud, quia ducitur in se bis cubice. Sic quinquies quinque quinquies et sunt 125. Deinde totum subtrahatur a numero propo- 25 sito. Deinde 45 tripletur et post triplatum invenitur digittus 2. Et post totalem subtraccionem remanet 15048.
[Et est notandum.] Secunda 30 cautela. Hie ponit cautelam valen-tem ad figuras medias, videlicet
(daného čísla), pod níž máš najít digitus, který se spolu se sub-triply znásobí trojnásobky, a potom bez subtriplů znásobený výsledkem a konečně sebou krychlově vyruší celé nahoře napsané číslo nebo nakolik nejblíže může.123 A jestliže nemůže být pod první číslicí nalezen žádný digitus, napíše se pod první číslicí nula a cokoliv bylo pod první číslicí nalezeno, to se napíše pod trojnásobek směrem doprava. A toto se subtriply bude kořen daného krychlového čísla, bylo-li krychlové, nebo to bude kořen největšího krychlového čísla v něm obsaženého.124
A je třeba poznamenat, že jestliže by se stalo, že po posunutí (dvakrát nebo jednou) číslic dopředu by digitus (který by, náso-
[Nakolik nejblíže může.] Příklad: 8240, kořen je 20. Jiný příklad: 24125, kořen je 28.125
[A jestliže nemůže být.] Uvádí dvě upozornění, za prvé první, za drahé druhé.
Uvádí upozornění, které se týká první číslice daného čísla, a říká (viz text).
[Kořen největšího krychlového čísla.] Příklad budiž tento: 92360456. První číslice, která je kořenem tohoto čísla, je 4. Podle výše zmíněné poučky se napíše pod dvojku a řekne se čtyřikrát 4 čtyřikrát je 64, to se odečte od 92 a po odečtení zůstane 28. Pak se ztrojnásobí nalezený digitus a vyjde 12, to se napíše pod 3 a 6, pak pod nulu digitus, a to je 5. Tento nalezený digitus má tedy trojí poslání: za prvé se subtriplem
násobí trojnásobek a číslice budou napsány takto: 1^5; a po znásobení vyjde 540. Druhý úkol má takový, že toto číslo 540 je násobeno pouze digitem, totiž 5, a po násobení vyjde 2700. Třetí úkol má takový, že je násoben sebou dvakrát, kubicky; tak pětkrát pět pětkrát je 125. Pak se toto celé odečte od daného čísla, pak se 45 ztrojnásobí a za trojnásobkem se najde digitus 2. A po celkovém odečtení zůstane 15048.126
[A je třeba poznamenat.] Druhé upozornění. Zde uvádí upozornění, které platí pro prostřední číslice, totiž pro ty, které jsou mezi prvním a posledním trojnásobkem. Příklad: 216101230, kořen je 600, a zde platí toto i první upozornění, které bylo jasně vysvětleno.127
122
123
X. Minucie
X. Zlomky
ductus dele ret suprapositum numerům) inveniri, tunc ponenda est cifra sub quarta figura versus dextram (inclusive, prima com-putata, sub qua erat triplatum cum subtriplo, et hoc sive sit sive non, quia aliquando post operacionem totum surgit) et anterio-
14r rande sunt figure per duas | differencias. 5 Si probare velis, an bene fecisti, tunc radičem cubicam in-ventam multiplica bis in se et veniet numerus propositus, si fue-rit precise cubicus. Si non, tunc cum addicione residui propositus numerus debet resultare. |
tóv      X. Minucia seu (pro: id est) fraccio dicitur pars alicuius to- 10 cius (integri), sicut medietas (media pars) alicuius rei (integre) vel tercia pars vel quartä vel quinta et sic deinceps dicuntur totales minucie seu fracciones tocius (integri).
seu fraccionibus wulgaribus, et 15 primo ostendit, quid sit minucia seu fraccio wulgaris, dicens.
Nota, minucia est pars aliquota tocius. Unde pars aliquota vocatur pars, que sumpta aliquociens con- 20 stituit totum. Item nota: Minutum est 60. pars alicuius tocius, ut quando totum dividitur in 60 partes, tunc una illarum particularum est minutum. Et sic minutum est 25 inferius ad ly minucia, quia ubi-cunque est minucia, ibi est minutum, et non econverso. Minuo, -is, -re significat integrum frangere per partes, quod est dividere et de
3 triplatum Si ] triplům G, commentarius in F abest — 5 duas ] suas G -6 fecisti ] fecis F— cubicam inventam ] inventam cubicam F - 9 debet ] dc-bebit F -12 tercia pars ] pars tercia F - deinceps dicuntur totales Si ] totales deinceps dicuntur G, deinceps dicuntur F - 13 -nucie seu fracciones tocius. ... Debet autem numerator scribi superius et denominator inferius et in medio eorum debet poni ] in G, ubi folii inferior pars avulsa est, deest -26b inferius Si ] superius G, commentarius in F abest
que sunt inter primům triplatum ct ultimum. Exemplum: 216101230, cuius radix est 600, et contingit hie ista cautela et prima, de qua patuit. I
14r [Si probare velis.] Dočet modům probandi, utrum scilicet radix cubica sit bene vel male extracta, dicens. Exemplum primi: 27000, cuius radix est 30. Et ibi in cifris est diligenter considerandum, quia triplatum ponendum est sub penul-tima figura.
[Minucia.] Hie est capitulum decimum et ultimum huius libri, in quo autor determinat de minuciis
ben kubicky, zrušil nahoře napsané číslo) nemohl být nalezen, pak je třeba napsat nulu pod čtvrtou číslici směrem doprava (včetně, jako první počítaje tu, pod níž byl trojnásobek se súbtri-plem, a to ať tam tato číslice je či není, protože někdy z operace vzejde úplné číslo) a číslice je třeba posunout dopředu o dvě místa.128
Chceš-li si ověřit, zda jsi postupoval správně, pak nalezený krychlový kořen násob dvakrát sebou a vyjde dané číslo, bylo-li přesně krychlové. Jestliže ne, pak musí dané číslo vyjít s přidáním zbytku.
X. Lomené číslo neboli (jako: to jest) zlomek se nazývá část nějakého celku (celistvého), např. polovina (poloviční část) nějaké věci (celistvé) nebo třetina nebo čtvrtina nebo pětina a tak se popořadě vyjadřují celková lomená čísla čili zlomky celku (celistvého ).
[Chceš-li si ověřit.] Učí způsob zkoušky, totiž zda krychlový kořen byl dobře či špatně nalezen, a říká (viz text). Příklad prvního: 27000; kořen je 30. A tam je nutno pozorně uvažovat o nulách, protože trojnásobek je třeba napsat pod předposlední číslici.129
[Lomené číslo.] Zde je desátá a poslední kapitola této knihy, v níž autor vykládá o lomených číslech čili obecných zlomcích, a nejprve ukazuje, co to lomené číslo čili obecný zlomek je, a říká (viz text).
Pamatuj, že zlomek je několikátá část celku. Z toho plyne, že několikátou částí je nazývána část, která vzatá několikrát vytváří celek. Rovněž si pamatuj: Minuta je šedesátá část celku, např. je-li celek rozdělen na 60 částí, pak jedna z těchto částeček je minuta. A tak minuta je podřazený pojem k pojmu zlomek, protože v pojmu zlomek je minuta obsažena, nikoliv však opačně. Minuo, -is, -ere, „zmenšovat", znamená lámat celek po částech, což je dělit a z většího dělat menší. Z toho je odvo-
124
125