ALGORISMUS PROSAYCUS
ALGORISMUS PROSAYCUS MAGISTRI CRISTANNI
KŘIŠŤAN Z PRACHATIC ZÁKLADY ARITMETIKY
[Prefacio]
Homo nascitur imperfectus, sed perfectibilis est cum virtutibus et scienciis. Ad scienciam vero aquirendam duo principaliter sunt ne-cessaria, scilicet karitas seu dileccio et sedulitas sive continuacio. 5
Quod autem caritas sit necessaria ad aquisicionem sciencie, patet per Boecium in De disciplina scolarium, ubi hoc declarat per exemplum dicens: Ponantur duo pueri ad litteras eiusdem etatis, eiusdem com-plexionis, scilicet quod sint ambo colerici, et eiusdem discrecionis sive sapiencie. Qui eorum magis diliget doctorem suum, plus proficiet, quia 10 in malivolam animatn non introibit spiritus sapiencie, id est sciencia. Et ideo si volumus esse perfecti per scienciam, debemus esse benivoli, caritati nos subiungendo.
[Předmluva]
Člověk se rodí nedokonalý, ale může se stát dokonalejším prostřednictvím ctností a znalostí. K získání vědomostí jsou potřebné především dvě věci, totiž láska čili náklonnost a píle čili vytrvalost.
Že k získání znalostí je potřebná láska, je zřejmé z Boěthiova spisu O školské výchově,1 kde to autor osvětluje na příkladu: Postavme k učení dva chlapce téhož věku, téže letory, totiž nechť jsou oba cholerici, a týchž rozumových schopností čili moudrosti. Ten z nich, který bude více milovat svého učitele, bude prospívat lépe, protože do zlovolné duše nevstoupí duch moudrosti, to jest vědění. A proto, chceme-li být dokonalí prostřednictvím vědění, musíme být příznivě naladěni, poddávajíce se lásce.
4 cod. G in mg.: Comentator super 7 Phisicorum: Virtus est quedam perfeccio, Philosophus I Phisicorum: Ultima perfeccio hominis est, ut sit perfectus per sciencias. Cf. Auctoritates 155,186; 143,38 (Aristoteles, Phy-sica H3, 246al3; Averroes, In Physica, Prologus f.l H)
7 cf. commentarium ad hunc scriptum in cod. NK X F 25 f.77r: Nota: ad disciplinám Scolaris requiritur, quod sit subiectus suo magistro, et eciam requiritur, ut sit obediens in vera dileccione, quia qui doctorem et informátorem suum non diligit, ab ipso non bene addiscit (in textu De disciplina scolarium Pseudo-Boethii, ed. O. Weijers, Leiden-Köln 1976, non inve-nitur) - 11 Vulg. sap. 1,4
Prefacio
Předmluva
Quod autem sedulitas studii sit necessaria, patet per dictum commune, primo per illud:
Doctrine pater est usus. Doctrina Scolaris intercisa perit, continuata viget, item per illud dictum commune: 5
Usus et ars docuit, quod sapit omnis homo. Quibus occurrit dictum Ganifridi in Poetria nova positum:
Rem tria perficiunt, ars, cuius lege regaris,
usus, quem serves, meliores, quos imiteris. Unde si volumus scienciam aquirere et maxime in hoc libro traditam, 10 debemus esse seduli ipsam creberime usitando. Nam sciencia in hoc libro tradita tractat de numero et cum numero singula congnoscuntur et in numero ad finem persolvendum debitum nature digne deducuntur, ut dicit Boecius in sua Arismetica. Ideo numerům quilibet accidentaliter habere tenetur. 15
Unde autor 6 principiorum in fine primi capituli dicit: Creator omnium creaturarum omnia stabilivit ipso numero, imo, quod plus est, mediante numero cognoscitur beatitudo. Primo per unitatem congno-scitur unus et omnipotens deus, secundo per binarium congnoscitur commercium deitatis cum humanltate, tercio per ternarium cognoscitur 20 sive denotatur ipsa trinitas iuxta illud:
Est unitas numerus, qua denotatur deus unus,
coniunxit celica binarius atque humana.
Quod deus est trinus, dat tibi ternarius,
assumpsit corpus, cum sit de virgine natus.
Že ve studiu je potřebná vytrvalost, je zřejmé z obecně známých výroků, především z tohoto:
Praxe je matkou všech věd. Co se školních znalostí týče,
pěstěny budou dál kvést, pakliže přestaneš, čeká je smrt, a rovněž z tohoto:
Bez praxe s teorií by neznal člověk, co zná. A těmto výrokům odpovídá i Galfredův2 výrok v jeho Nové poetice:
Zdar díla žádá si tré; Dbát zákonů teoretických,
praxí lepšit svůj um a vzory se řídit vždycky. Z toho plyne, že chceme-li ovládnout nějakou vědu, a především tu vykládanou v této knize, musíme být vytrvalí a často se jí zabývat. Věda vykládaná v této knize pojednává o čísle a s číslem jsou poznávány jednotlivosti a v čísle jsou důstojně dovedeny k naplnění náležitého cíle přírody, jak říká Boéthius3 ve své Aritmetice. O čísle musí tedy každý uvažovat jako o akcidentu.
Proto říká autor Šesti principů4 na konci první kapitoly: Stvořitel všech stvoření všechno upevnil číslem, ba dokonce, co více, prostřednictvím čísla se poznává blaženost. Za prvé prostřednictvím jednotky je poznáván jeden a všemohoucí Bůh, za druhé prostřednictvím dvojice je poznáváno spojení božství a lidství, za třetí skrze trojici je poznávána a označována dle tohoto výroku sama Trojice:
Jedna je číslo, v němž skví se Bůh ve své jedinečnosti.
Dvě - výraz skutečnosti, že božské v něm s lidským se mísí. Vysvítá z čísla tři, že trojjedinost k Bohu patří; Panna ho porodila a smrtelné tělo mu dala.
3 Matthaeus Vindocinensis, Tobias 875-876 (ed. F. Munari, Mathei Vindocinensis opera, vol. II, Roma 1982,198; Polythecon IX, 225-226, ed. A. P. Orban, CC CM 93, 211; Florilegium Treverense 412-413, ed. F. Brunholzel, Mittellateinisches Jahrbuch, 3, 1966, 144) - 6 Pamphilus 208 (ed. S. Pittaluga, Genova 1980, 78; Polythecon IX, 232, ed. A. P. Orban, CC CM 93, 212; Florilegium Treverense 118, ed. F. Brunholzel, Mittellateinisches Jahrbuch, 3, 1966, 134) - 8 Galfridus de Vino Salvo, Poetria nova 1705-1706 (ed. E. Faral, Les arts poetiques du XII0 et du XIII0 siecle, Paris 1924,249) - 14 apud Boethium, De institutione aritmetica (ed. G. Friedlein, Leipzig 1867), non invent - 16 Auctoritates 306,6 (Gilbertus Porretanus, Liber De sex principiis 14, 15-16) - 22 non inveni
4
5
Prefacio
Et sic probatur beatitudo per hanc scienciam, quam declarat theologia, per numerům, de quo principaliter in hoc libro agitur. Ut ergo scienciam in hoc libro traditam, per quam beatitudo congnoscitur, per quam homo imperfectus perficitur, per quam omnia cognoscuntur, ut dictum fuit, valeamus scire perfecte! | 5
G lv Debemus autem attendere dictum Aristotelis in libro Posteriorum et in 1° libro Phisicorum, ubi dicit: Tunc unum quodque scire arbitramur, cum causas eius cognoscimus, quia ignoratis causis necessario ignora-tur effectus. Pro quo nota: De causis moderní subtilisantes et propriis- 10 sime loquentes faciunt distinccionem dicentes, quod alie sunt cause libri et alie sciencie in libro tradite.
Cause libri sunt quatuor, scilicet efficiens, qui fecit librum scri-bendo, colligando et circumcidendo. Causa materialis est papirus vel pargamenum et incaustum vel illud, de quo liber est conceptus. Causa 15 formalis potest dici disposicio in longum vel latum etc., vel potest dici, quod causa formalis nos lateat, ex dicto Aristotelis in libro De celo et mundo, ubi dicitur: Multarum rerum forme nos latent. Causa finalis assignatur pro illo, pro quo liber est ordinatus, conscriptus vel col-ligatus. 20
Cause autem sciencie in aliquo libro tradite sunt uno modo due, et hoc proprie et stride loquendo, scilicet efficiens et finalis, improprie autem et large loquendo sunt et alie due, scilicet materialis et formalis.
Causa efficiens sciencie in isto libro tradite sicut et alterius est duplex, scilicet primaria et secundaria. 25
Primaria est ipse deus gloriosus, qui omnia fecit et a quo omnia dependent, iuxta illud in Ecclesiastico: Omnis sapiencia a domino deo est. Et in Ecclesiaste dicitur: Sapiencia sibi domum <edificavit>, ex-
14 colligando Si ] colligendo G
8 Auctoritates 117, 29 (Aristoteles, Metaphysica A 3, 983a25-26); 140, 2 (Aristoteles, Physica A 1, 184al2-14); 320, 104 (Aristoteles, Analytica posteriora B 11, 94a20-24) - 18 non inveni - 27 Vulg. Sirach 1,1 - 28 Vulg. prov. 9,1
Předmluva
A tak je blaženost, o níž vykládá theologie, potvrzována touto vědou, a číslem, o němž se v této knize pojednává především. Kéž tedy tuto vědu, vykládanou v této knize, skrze niž se poznává blaženost, skrze niž se nedokonalý člověk stává dokonalým a skrze niž se všechno poznává, jak bylo řečeno, dokonale známe!
Mějme na paměti Aristotelův výrok v Druhých analytikách a v první knize Fyziky, kde říká: Tehdy se domníváme, že známe jednu každou věc, když jsme poznali její příčiny, protože neznáme-li příčiny, nutně neznáme účinky. K tomu poznámka: Moderní učenci, rozlišujíce detailně příčiny a mluvíce o nich v nejvlastnějším smyslu slova, činí mezi nimi rozdíl, říkajíce, že něco jiného jsou příčiny knihy a něco jiného příčiny vědy v knize vykládané.
Příčiny knihy jsou čtyři. Příčina účinná, která vytvořila knihu napsáním, svázáním a ořezáním. Příčina materiální je papír nebo pergamen a inkoust čili to, z čeho kniha vznikla. Formální příčinou můžeme nazvat uspořádání do šířky a do délky atd., nebo můžeme říci, že formální příčina nám zůstává skryta, dle Aristotelova výroku ve spisu O nebi a světu, kde se říká: Formy mnohých věcí jsou nám utajeny. Jako účelová příčina se označuje ten, pro něhož byla kniha uspořádána, sepsána a svázána.
Příčiny vědy vykládané v nějaké knize jsou na jedné straně dvě, a to mluvíme-li ve vlastním a užším smyslu slova, totiž účinná a účelová; a na straně druhé, mluvíme-li v nevlastním a širším slova smyslu, jsou jiné dvě, totiž materiální a formální.
Účinná příčina vědy vykládané v této knize, jakož i každé jiné, je dvojí, totiž prvotní a druhotná.
Prvotní je sám slavný Bůh, jenž všechno stvořil a na němž vše závisí, dle onoho výroku Ježíše Siracha: Všechna moudrost je od Hospodina. A v Kazateli se říká: Moudrost si vystavěla dům, vytesala sedm
6
7
Prefacio
cidit columpnas septem, id est 7 artes liberales, que continentur in istis metris:
GRA loquitur, DYA vera refert, RE verba colorat, M canit, AR numerat, GE ponderat, AS colit astra. Et eedem habent diversa officia, que tanguntur per metra: 5 Quicquid agunt artes semper ego predico partes, me sine doctores frustra coluere sorores. Causa vero secundaria seu colectiva sciencie in hoc libro tradite fuit intellectus humanus. Primo, ut dicitur, inter Latinos Boecii, deinde Algi, qui fuit vir sapiens nacione Arabs a parte meridionali, ubi viri 10 maxime in hac sciencia delectantur. Ab hoc nomine Algus sive a tali viro, qui hanc scienciam corrogavit, liber, quem pre manibus habemus, sumpsit nomen sive titulům algorismus. Et interpretatur quasi mos Algi, nam in hoc libro more illius magistři proceditur, et hoc est verum in illo textu antiquo, qui sic incipit: Omnia, que a primeva etc. 15
Istum vero textum fecit magister Cristannus de Prachaticz. Sed de isto non est multum curandum, quis dicat, vel quis fecit, dummodo effectus est <bonus> ... Senece: Non est curandum, quis dicat, sed quid dicatur etc.
Et est <causa efficiens duplex, scilicet movens> et mota. Quid sit 20 causa efficiens mota, iam dictum est ut supra. Ca<usa efficiens mo-vens> est quid vel quis movit compilatorem ad compilandum. Et hec <sunt parvuli et iuvenes in arte numerandi vel computandi> ... cum dicitur Motus parvulorum etc.
Causa materialis seu subiectum huius <libri est numerus considera- 25 tus in se> et in suis partibus atque passionibus per modum introduccio-nis. Dicitur <in se, quia hie diffinitur numerus>, dicitur in suis partibus,
18 supplevi e cod. NK XIV E 32 f.34r, cf. etiam cod. NK XIV F 1 f.52v - 20 supplevi e cod. F f.37r in mg. - 21 supplevi e cod. F f.37r - 23 supplevi e cod. F f.37r in mg. - 25 supplevi e textu huius codicis G f.lv et 2r introligato al. m. scripto, cf. etiam cod. Bibl. Univ. Freiburgensis Hs. 57 f. 115v - 27 supplevi e cod. NK VII E 9 f.257v
3 Walther, Initia 7263, 7273 - 6 Walther, Proverbia 25259a, 25259; idem, Initia 15973 -18 Auctoritates 282, 8 (Martinus Bracarensis, Formula vitae honestae 2,49-50)
Předmluva
sloupů, tj. sedmero svobodných umění, jež jsou obsažena v těchto verších:
GRA tvoří řeč, DYA mluvě dá řád, RE slovům dá barvy, M zpívá, AR počítá zas, GE měří, AS pěstuje hvězdy.5 A tato umění mají různé úkoly, které jsou zmíněny ve verších: Jsem to já, kdo kurs všech umění dopředu hlásám, učeně pěstění Múz by beze mne nevedlo nikam. Druhotná čili shromažďující příčina vědy vykládané v této knize byl lidský intelekt. Především, jak se říká, mezi Latiníky intelekt Boěthiův,6 pak Algův,7 jenž byl moudrý muž, národností Arab, z jižní části země, kde se muži touto vědou nejvíce zabývají. Podle jména Algus čili podle tohoto muže, jenž toto učení shromáždil, dostala kniha, kterou máme v rukou, jméno čili titul Algorismus. A vykládá se jako mos Algi, „Algův způsob", protože v této knize se postupuje podle vzoru onoho učitele;8 a to platí o tom starém textu, který začíná takto: Všechno, co od nejstaršího atd.9
Tento text však vytvořil mistr Křišťan z Prachatic. Není však třeba příliš se zabývat tím, kdo mluví, nebo kdo něco vytvořil, jen když je výsledek dobrý. ... Senekův <výrok>: Není třeba dbát toho, kdo mluví, ale co je řečeno atd.
A příčina účinná je dvojí, totiž pohybující a pohnutá. Co je příčina účinná pohnutá, bylo již řečeno výše. Příčina účinná pohybující je co nebo kdo pohnuli autora k vytvoření spisu. A tou jsou děti či mládež učící se početnímu umění, <což je vysvětleno>, když se praví Pohnut láskou atd.
Materiální příčina čili subjekt této knihy je číslo, které je na způsob úvodu zkoumáno samo o sobě i ve svých částech a vlastnostech. Praví se samo o sobě, protože se zde číslo definuje, praví se ve svých částech, protože se zde pojednává o integrálních částech čísla, jako o jednot-
8
9
Prefacio
quia hic agitur de partibus numeri integralibus, sicut <de unitatibus, et> de partibus numeri subiectivis, sicut de numero cubico, quadrato, super-ficiali. Et dicitur per m<odum intro>duccionis, quia iste liber est in-troductorius in arismeticam et ad compotos.
Causa formalis est duplex, scilicet forma tractatus et forma tra-ctandi. Forma tractandi est processus diffinitivus, divisivus, expositivus et narrativus. Forma tractatus consistit in divisione libri et capitulorum.
Causa finalis coincidit cum utilitate. Utilitas vero sciencie huius libri est, ut ipsa cognita et bene usitata facilius valeamus procedere quasi cum bono fundamento ad quamcumque numeri computacionem, breviter et faciliter nostras intenciones ...onando. Vel causa finalis est scire numerare practice. |
10
Předmluva
kách, i o podřazených částech čísla, jako o čísle krychlovém, čtvercovém a plošném.10 A říká se na způsob úvodu, protože tato kniha je úvodem do aritmetiky a ke komputům."
Formální příčina je dvojí, totiž forma pojednání a forma pojednávání. Forma pojednávání je postup definující, rozdělující, vykládající a vyprávěcí; forma pojednání spočívá v rozdělení knihy a kapitol.
Účelová příčina je totožná s užitečností. Užitečnost vědy v této knize spočívá v tom, že díky jejímu poznání a správnému užívání můžeme snadněji, jakoby s dobrým základem, přistoupit k jakémukoliv výpočtu čísla, krátce a snadno <uskutečňujíce> své záměry. Jinak řečeno, účelová příčina je umět počítat prakticky.
1 supplevi e cod. NK VII E 9 f.257v - 3 supplevi e textu huius codicis G f.l et 2 introligato, cf. etiam cod. NK VII E 9 f.257v
10
11
/. Numerách
I. Numerace
[Textus et commentarius]
[Text s komentářem]
G 2r I. Motus (id est ammonitus, scilicet ego magister Cristannus) 5 F39r parvulorum (tarn in sciencia, scilicet doctrine, quam in etate)
I. Pohnut (tj. podnícen, totiž já mistr Křišťan) láskou k mladým (mladým jak vědomostmi, totiž v oboru, tak věkem) přičinil
G f. inter Comentator super 2° Metha-f. 1 et 2 physice scribit hanc proposicio-introlig. nem: Mathematice demonstracio-nes sunt in primo gradu certitudi-nis et naturales sequuntur eas. In qua proposicione tria inveniuntur. Primům est, quod inter sciencias speculativas mathematica sciencia est certissima, secundum est, quod post scienciam mathematicam sciencia naturalis est certissima, ter-cium est, quod sciencia methaphy-sicalis racione demonstracionis est ultimo čerta. Ista tria per ordinem G 2r habent probari. Primum probatur sic: Ilia est sciencia certissima, in qua non contingit errare, sed sciencia mathematica est huiusmodi, ergo est certissima. Maior patet, quia certitudo et erro<r> ex opposite distinguuntur, minor patet, quia omnia, que in mathematica docentur, omnia habent demon-
strari ad sensum, ut quod triangu-lus habet tres <angulos> equales duobus rectis, hoc demonstratur ad 10 visum. Secunda confirmatur sic: Ilia sciencia est certissima, que est per causas nociores nobis et nature nostre, sed sciencia mathematica est huiusmodi, ergo sciencia ma- 15 thematica ex hoc est certissima. Maior patet, quia sciencia ex hoc maxime est certa, quia est per causas inmediatas et certas et pro-prias, minor patet ex 2° Phisico- 20 rum. I
a .... magistri <Cr>istanni de Prachaticz
Motus parvulorum. Iste liber, cuius subiectum est numerus in se 25 et in suis partibus atque passioni-bus per modum introduccionis consideratus, dividitur in X ca-pitula, quorum unum partim est prohemiale et partim executivum, 30
9b supplevi e cod. NK VII E 9 f.257r, ubi eadem verba leguntur - 14b mathematica Si ] methaphysica G, commentarius in F abest - 15b mathematica Si ] methaphysica G, commentarius in F abest
10a Averroes, Metaphysica II, commentarius 16 (Aristotelis opera, to-mus VIII, f.56v) - 20b non invent
Komentátor12 v komentáři ke druhé knize Metafyziky uvádí tento výrok: Matematické důkazy jsou prvního stupně jistoty, přírodovědné následují za nimi. V tomto výroku jsou obsažena tři tvrzení. První je, že mezi spekulativními vědami je nejjistější věda matematická, druhé, že po vědě matematické je nejjistější věda o přírodě, třetí, že věda metafyzická je vzhledem k důkazu nejméně jistá. Tato tři tvrzení je třeba po řadě dokázat. První se dokazuje takto: Nejjistější je ta věda, v níž nedochází k omylům, a matematická věda je tohoto druhu, tudíž je nejjistější. První premisa je zřejmá, protože jistota a omyl se rozlišují ex opposito, druhá je zřejmá, protože všechno, co se v matematice učí, se musí dokazovat tak, aby to bylo zřejmé smyslům; např. to, že trojúhelník má tři úhly rovnající se dvěma úhlům pravým, se dokazuje tak, aby to bylo zřejmé zraku. Druhá
premisa se potvrzuje takto: Nejjistější je ta věda, která pojednává o příčinách známějších nám a naší přirozenosti, a matematická věda je toho druhu, tudíž matematika je na základě toho nejjistější. První premisa je zřejmá, protože věda je nejjistější na základě toho, že jedná o příčinách bezprostředních, jistých a vlastních; druhá premisa je zřejmá z druhé knihy Fyziky. ... mistra Křišťana z Prachatic Pohnut láskou. Tato kniha, jejímž subjektem je číslo, zkoumané na způsob úvodu samo o sobě, ve svých částech a ve svých vlastnostech, je rozdělena do deseti kapitol, z nichž jedna je dílem úvodní a dílem výkladová a v níž autor, předkládaje svůj záměr, podává popis čísla a jeho rozdělení. Ve druhé kapitole vykládá o sčítání, ve třetí o odčítání, ve čtvrté o půlení atd., a nakonec o číslech lomených čili zlomcích.
12
13
/. Numeracio
I. Numerace
amore rudimenta (id est facilia documenta) artis compotistice (id est artis arismetrice) brevi stilo (humili compilacione) curavi (id est in cura habens) conscribere. Et quia omnis computacionis (id est praxis) summa numero exercetur (id est agitur), igitur a numero (scilicet tamquam principáli) est inchoandum (scilicet ad eius notificacionem).
in quo proponens intentum suum ponit descripcionem numeri et eius divisionem. In secundo capi-tulo determinat de addicione, in tercio de subtraccione, in quarto de mediacione etc., et ultimo de minuciis seu fraccionibus.
Capitulum primum, quod partim est prohemiale et partim exe-cutivum, dividitur in duo, quia pri-mo autor proponit intentum suum assignando causam suscepti opens, secundo exequitur. Secunda ibi Unde numerus. Prima adhuc in duo: primo facit, quod dictum est, secundo ponit ordinem dicendo-rum; secunda ibi Et quia omnis cumputacionis, quantum ad primum, dicit, ut patet in textu. Et nota circa litteram, quia dicitur artis compotistice. Unde sciendum, quod artis compotistice seu computandi duplex doctrina: que-
dam secundum principia, id est, que docet principia, de quibus sci-tur computacio, ut est doctrina in 10 hoc libro tradita, sed alia doctrina computandi est ex principiis computandi habita, id est, que habitis principiis, quibus scitur computacio, per ilia docet aliquid invenire, 15 ut horas, minuta et ceteras fraccio-nes. Et hec doctrina traditur in ta-bulis Alphoncii et aliis. Ulterius circa litteram f summus venit. Hec summa est, id est compendium 20 ipsum totum quadam brevitate continens.
[Rudimenta,] Rudimentům, -ti, proprie est principium leve et faci-limum, pueris deputatum in qua- 25 libet sciencia, et dicitur a rudis, id est novus, quia rudibus, hoc est novis, est deputatum. Item Hugu-cionis rudimentům, -ti, id est novum inicium vel nova instruccio. 30
jsem se (tj. maje o to péči) o sepsání základů (tj. snadných pouček) početního umění (tj. aritmetického umění) ve stručném stylu (prostou kompilací). A protože podstata všeho počítání (tj. činnosti) se vykonává (tj. děje se) prostřednictvím čísla, je tedy třeba od čísla (totiž jakoby od jejího počátku) začít (totiž co se týká jeho významu).
První kapitola, která je dílem úvodní a dílem výkladová, se dělí na dvě části, protože za prvé autor předkládá svůj záměr a označuje příčinu započatého díla, za druhé vykládá. Druhá část začíná slovy Číslo není. První část se dále dělí na dva úseky: za prvé autor činí to, co bylo řečeno, za druhé předkládá postup výkladu; druhý úsek začíná slovy A protože podstata všeho počítání, pokud jde o první úsek, začátek je patrný v textu. A všimni si u této části, že se říká početního umění. Je třeba vědět, že nauka o početním umění čili o počítání je dvojí: jedna je o principech, to jest ta, která učí pravidla, jimiž se dosahuje znalosti umění počítat, jako je nauka podávaná v této knize; avšak jiná je nauka o počítání vycházející ze základů počítání, to
jest ta, která po zvládnutí pravidel, jimiž se dosahuje znalosti počítat, učí jejím prostřednictvím něco zjišťovat, např. hodiny, minuty a jiné zlomky. A tato nauka je obsažena v alfonsinských13 a jiných tabulkách. Dále v textu f ... přijde. Toto je souhrn, tj. příručka obsahující toto všechno v jisté stručnosti.
[Základů.] Rudimentům, „základy", znamenají ve vlastním slova smyslu lehký a snadný úvod, určený začátečníkům v jakékoliv vědě, a toto slovo je odvozeno od rudis, „hrubý", „neopracovaný", tj. nový, protože základy jsou určeny neopracovaným, tj. nezkušeným. Totéž je Hugutiovo14 rudimentům, tj. nový začátek nebo nové poučení.
4 a numero est inchoandum ] a numero tamquam a priori inchoandum estF
28b Hugutio Pisanus, Liber derivationum, s. v. rudis (NK VIII C 20 f.302va); cf. Iohannis Ianuensis Catholicon, Maguntiae 1460, s. v. rudis
14
15
/. Numerách
Unde numerus non est aliud nisi unitates colecte (ista diffi-nicio materialiter est unitatum colleccio, sed formaliter est mul-titudo ex unitatibus profusa). Unitas (scilicet ipsa) autem (sed) est, qua unaqueque res (id est quelibet res naturalis vel sibi si-milis) dicitur esse (scilicet formaliter) una (id est individua).
Et est triplex numerus, scilicet digittus, articulus et numerus compositus seu mixtus.
Digittus (sie dictus numerus; dicitur digittus, quia ut frequenter numeramus per digittos dicendo unum, duo etc.) est omnis numerus minor decern, ut 1, 2, 3, etc. usque 9 inclusive.
10
Unde numerus non est. Hic autor exequitur intentum suum, pri-mo diffiniendo numerům, qui est causa naturalis huius libri, secun-do determinat eum; secunda ibi Et est triplex. Prima in duo, quia přímo describit numerům, secundo declarat unam particulam in de-scripeione positam, ibi Unitas autem; quantum ad ambas partes pri-rao dicente.
Unitas non est numerus, sed prineipium numeri, quia nulla dif-finicionum competit ei solum-modo, ut dicitur in prohemio De anima, quia triplex est diffinicio. Una, que dicitur per materiam, et talis vocatur materialis. Exem-plum: Numerus est unitates colecte, in qua diffinicione ponuntur
materialia ipsius numeri, scilicet unitates. Secunda diffinicio est, que datur per formam, et talis vocatur formalis. Exemplum: Nume- 15 rus est unitatum coleccio. Colec-cio est forma ipsius numeri. Tercia diffinicio est composita ex ma-terialibus et formalibus et ilia est perfectissima, sicut patet 1° Poste- 20 riorum, dicendo sic: Numerus est unitates colecte et multitudo ex unitatibus profusa. Et ilia est perfectissima descripcionum, quia dicitur per materialia et formalia. 25
[Et est triplex numerus.] Hie autor dividit ipsum numerům et primo facit hoc, secundo membra divisionis declarat; secunda ibi Digittus est etc.
I. Numerace
Číslo není nic jiného než shromážděné jednotky (tato definice chápaná materiálně znamená souhrn jednotek, avšak chápaná formálně znamená množství složené' z jednotek).15 Jednotka (totiž ona sama) však (ale) je to, čím se o každé věci vypovídá (tj. o jakékoliv přirozené věci či o věci jí podobné), že je (totiž formálně) jedna (tj. jedinečná).16
A číslo je trojí, totiž digitus, artikulus a číslo složené čili smíšené.
Digitus, „prst" (číslo tak nazývané; jmenuje se prst, protože často počítáme na prstech, říkajíce jedna, dvě atd.), je každé číslo menší než deset, jako 1, 2, 3 atd. až do 9 včetně.
Číslo není nic jiného. Zde autor vykládá svůj záměr a za prvé definuje číslo, které je přirozenou příčinou této knihy, za druhé je určuje; druhá část začíná slovy A číslo je trojí. První část se dělí na dva úseky, protože za prvé popisuje číslo, za druhé vysvětluje jednu kapitolku vloženou do popisu, tam, kde jsou slova Jednotka není; pokud jde o obě části, nejprve říká (viz text).
Jednotka není číslo, ale východisko čísla,17 protože žádná z definic nevyhovuje pouze jí, jak se říká v úvodu díla O duši, neboť existuje trojí definice. První, která je vyjádřena prostřednictvím materie, a taková se nazývá materiální. Příklad: Číslo jsou shromáždě-
né jednotky, v kteréžto definici se vykládají materiální stránky čísla, totiž jednotky. Druhá definice je ta, která je dána skrze formu, a taková se nazývá formální. Příklad: Číslo je souhrn jednotek. Souhrn je forma toho čísla. Třetí definice je složena z materiálních a formálních stránek a ta je nejdokonalejší, jak plyne z první knihy Druhých analytik, a říká toto: Číslo jsou shromážděné jednotky a množství složené z jednotek. A tento popis je nejdokonalejší, protože je vyjádřen prostřednictvím materiálních a formálních stránek.
[A číslo je trojí.] Zde autor dělí číslo samo a za prvé činí toto, za druhé vysvětluje členy dělení; druhá část začíná slovy Digitus je atd.
10 ut 1, 2, 3 etc. ] scilicet 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 F 20b non inveni - 26a non invent
16
17
G2v
G2v
/. Numeracio
Articulus (ille numerus) est (vocatur) omnis (id est quilibet) numerus, qui potest dividi in X partes equales (id est numerus divisibilis in X partes equales, inter quos numeros est denarius, quia dividitur in decent imitates, et 20 maior, quia dividitur in X dualitates, et sic de aliis) ita, quod nichil sit residuum neque diminutum (scilicet post totalem divisionem), ut decern dividitur in decern unitates et 20 (ille articulus) in decern dualitates et 30 (ille articulus) in decern ternarios et sic consequenter de aliis articulis.
Numerus compositus dicitur ille, qui componitur ex digitto (tali numero, qui est minor X) et articulo (tali numero, scilicet qui est divisibilis in X partes equales), sicut 11 componitur ex unitate, que est digittus, et 10, qui est articulus. | Et sic omnis numerus inter duos articulos (ut inter decern et 20 omnes sunt numeri compositi, ut 11, 12,13,14 et sic de aliis) proximos (scilicet exclusis articulis) dicitur numerus compositus.
Hii autem numeri (predicti) aput diversos (scilicet homines) variis figuris (id est karacteribus) depinguntur (id est scribun-tur), aliter Latini, aliter wulgares (scilicet homines communes) in parietibus (vel aliis subiectis) designant (id est figurant).
[Numerus compositus.} Bene dicitur compositus, quia licet alii numeri sint compositi ex unitati-bus, non tamen omnes compositi sunt ex articulo et digitto. Ergo hic intelligitur de composicione ex articulo et digitto, et non de composicione ex unitatibus. |
[Hii autem numeri.] In hac parte autor dočet describere pre-dictos numeros. Et primo tangit,
quomodo secundum diversos homines eciam diversimode descri-buntur predicti numeri, secundo relinquens modum scribendi ydio-tarum vel hominum communium ostendit, qualiter et quot modis ha-beant scribi predicti numeri aput Latinos; secunda ibi Dimissis tamen, quantum ad ambas partes di-cente.
10
15
20
25
30
/. Numerace
Artikulus, „článek" (toto číslo), je (nazývá se) každé (tj. kterékoliv) číslo, které může být rozděleno na deset stejných částí (tj. číslo, které lze rozdělit na deset stejných částí; a mezi tato čísla patří desítka, protože se dělí na deset jednotek, a větší dvacítka, protože se dělí na deset dvojek, a tak podobně ostatní) tak, že nezůstává nic zbylého ani zmenšeného (totiž po úplném dělení), jako např. deset se dělí na deset jednotek a dvacet (tento artikulus) na deset dvojic a třicet (tento artikulus) na deset trojic a tak podobně i ostatní artikuly.
Číslo složené se nazývá to, které se skládá z digitu (z takového čísla, které je menší než deset) a artikulu (takového čísla, které lze rozdělit na deset stejných částí), jako např. 11 se skládá z 1, což je digitus, a z 10, což je artikulus. A tak každé číslo mezi dvěma (např. mezi deseti a dvaceti jsou všechna čísla složená, jako 11, 12, 13, 14 atd.) sousedními artikuly (totiž kromě těchto artikulů) se nazývá číslo složené.
Tato čísla (výše zmíněná) se znázorňují (tj. píší) u různých (totiž Udí) různými číslicemi (tj. znaky); jinak je píší lidé znající latinsky, jinak je na zdech (či jiných věcech) zaznamenávají (tj.
[Číslo složené.] Právem se říká složené, protože ačkoliv i jiná čísla jsou složená z jednotek, přece ne všechna jsou složena z artikulu a digitu. Zde je tedy třeba pod pojmem složení rozumět složení z artikulu a digitu a nikoliv složení z jednotek.
[Tato čísla.] V této části učí autor zapisovat výše zmíněná čís-
la. Za prvé se zmiňuje o tom, jak jsou tato čísla různými lidmi také různě psána, za druhé ponechávaje stranou způsob psaní nevzdělaných či prostých lidí ukazuje, jak a kolika způsoby mají výše zmíněná čísla psát Latiníci; druhá část začíná slovy Ponechme stranou, pokud jde o obě části, říká (viz text).
3 numeros Si ] numerus G, commentarius in F abest - 10 dicitur ] est F - 12 sicut ] ut F - 13 que ] qui F - 14 numerus ] numerus, qui est F - 19 aliter Latini, aliter wulgares in parietibus designant ] aliter wulgares, aliter Latini in parietibus designant G
18
19
/. Numeracio
Dimissis tamen wulgaribus (quia singule regiones propriis u-tuntur figuris, utpote alia regio dicis, alia regio signis), qui secundum diversas regiones aliter et aliter utuntur numerorum descripcione, de Latinorum figuracione (quia hec ars proprie F 39v traditur Latinis) est | presens speculacio.
Latini itaque duobus modis (id est figuris duabus) omnem numerům solent describere. Primo modo, grossiori, ponentes (id est describentes) unitatem velud unum I et dualitatem velud duo II et sic augmentando usque quinque, quod per V designant, et sic iterum per unitatem augendo usque decern, quod per X representant. Ydeo:
[Dimissis tarnen.] Quia kara-cterum exaracio communem se-quitur modum aput wulgi popula-cionem, de pluribus disconvenien-tibus čerta regula universi non da-tur mensurabilis.
Latini itaque etc. Hic autor dočet describere predictos numeros secundum Latinos. Et primo facit hoc modo sensibiliori, secundo modo subtiliori; secunda ibi Aliter et subtilius, primo dicente. Decla-racio huius melius patet in 12 re-gulis etc. et in tabula exemplorum earundem regularum.
[Primo modo, grossiori.] Hu-gucio: Omnis numerus, ut ait Boe-cius, per figurám unitatis debet representari, ut denarius per X uni-tates, novenarius per 9; sed quia hoc fastidium pareret, institutům est, ut omnis numerus usque ad quinarium per figurám unitatis re-presentetur, ut unitas per unum, binarius per duo, ternarius per tria; quinarius per V, denarius per X. Et nota, quod quantum I addit post-posita X, tantum demit ei antepo-sita, ut si I preponas ante X, ha-bebis IX, si postponas, habebis XI.
10
15
20
25
/. Numerace
znázorňují) lidé latinsky neznající (totiž lide'prostí). Ponechme stranou lidi bez latinského vzdělání (protože jednotlivé krajiny používají vlastních znaků, např. jedna krajina zářezů, jiná značek), kteří dle různých krajin používají pro čísla různých znaků; následující výklad pojednává o označování latinském (protože toto umění je vlastně předáváno Latiníkům).
Latiníci zapisují každé číslo dvěma způsoby (tj. dvojími znaky). Prvním, hrubším, píší (tj. zapisují) jednotku jako I, dvojku jako II, přidávajíce takto až k pětce, kterou označují písmenem V, a pak znovu přidávají I až k deseti, které zobrazují jako X. A proto;
[Ponechme stranou.] Protože psaní znaků se děje u prostého lidu dle navyklých způsobů, nemůže být o těchto nesouhlasných systémech dáno jisté obecně platné pravidlo.
Latiníci atd. Zde autor učí zapisovat výše zmíněná čísla podle Latiníků. Za prvé to činí způsobem bližším smyslům, za druhé způsobem bližším intelektu; druhá část začíná slovy Jinak a vynalézavěji, nejprve říká (viz text). Vysvětlení tohoto způsobu vysvítá jasněji ze 12 pravidel atd. a z tabulky příkladů k těmto pravidlům.18
[Prvním, hrubším.] Hugutio: Každé číslo, jak praví Boéthius, má být zobrazeno pomocí znaku pro jedničku, např. desítka deseti jedničkami, devítka devíti; protože by to však vzbuzovalo odpor, bylo stanoveno, že každé číslo až do pětky bude zobrazováno znakem pro jedničku, např. jednička jedním, dvojka dvěma, trojka třemi; pětka písmenem V, desítka písmenem X. A všimni si, že kolik I přidává, je-li položeno za X, tolik odnímá, je-li položeno před ně, např. jestliže I napíšeš před X, dostaneš devět, jestliže je napíšeš za
5 est presens ] presens est F - 8 unum I ] unum G - 9 augmentando ] augendo F- designant ] designatur F- et sic iterum ... representant ] om F- 11 Ydeo] om. F
14b in Libro derivationum Hugutionis Pisani non inveni - 15b Boéthius, De institutione arithmetica 11,5 (ed. G. Friedlein, Lipsiae 1867, 90); idem, Ars geometriae 11,21 (ed. G. Friedlein, Lipsiae 1867, 397-399)
20
21
/. Numeracio
I monos (id est I significat unum), V (ista figura, scilicet significat) quinos (id est quinque), X denos (id est decern), dupla (id est duplex X, scilicet significat) vicenos (scilicet viginti),
L notat 50. Si prepones ei X, ha-bebis 40, si postpones, habebis 60. C centum, D quingenta, M mille.
Et nota, quod quelibet figura, si superponatur ei linea ex trans-verso ei ducta, tot significabit millenaries, quot per se significabit
secunda novem centa. Unde wer-sus:
N nisi precedat gentos, bis quinque tibi signal.
Si preponatur, centum signifi-care notatur. Item nota, differencia est inter
10
unitates, ut I mille unitates, id est gentos et gintos. <Gintos> Grece
mille significabit, Vquinque milia, est decern Latine. Unde dicuntur
X decern milia, Ľ quinquaguinta viginti quasi biginti a bis, quod est 15
millia, Č centum millia, M mille duo, et gintos X, quasi bis X, mu-
millia. Si autem essent multa mi- tando b in v causa eufónie. Inde
lia, tunc loco titellorum stant pun- eciam dicuntur triginta, quadragin-
cta etc. 'M'. ta etc. Sed gentos Grece est cen-
Nota gentos, quando scribitur turn Latine, et inveniunt ista no- 20
n non precedente, significat tan- mina quadringenta, quingenta et
turn sicut X, ut patet in hac diccio- sic de aliis. Unde quingenta dicitur
ne viginti, sed quando scribitur n a quinque et gentos centa, quasi
precedente, tunc significat centum, quinquies centum. Unde wersus: ut patet in hac diccione quadrin-       Sit tibi decern gintos, sed cen- 25 genti, noningenti etc., quarum turn dicitur gentos. \
prima significat quatuor centa,
/. Numerace
I - to je jedna (tj. I znamená jednotlivé), V (toto písmeno, totiž znamená) pět (tj. pateré), X deset (tj. desateré), to zdvojené (tj. dvojnásobné X, totiž znamená) dvacet (tj. dvacateré),
ně, dostaneš jedenáct. L označuje padesát. Dáš-li před ně X, dostaneš čtyřicet, dáš-li je za ně, dostaneš šedesát. C znamená sto, D pět set, M tisíc.
A všimni si, že každé písmeno, je-li nad ním napříč napsána čárka, bude pak znamenat tolik tisíc, kolik jednotek znamená samo o sobě, např. I bude znamenat tisíc jednotek, tj. tisíc, V pět tisíc, X deset tisíc, Ľ padesát tisíc, C sto tisíc, M tisíc tisíců. Kdyby však bylo tisíců mnoho, pak se místo čárek píší body, např. .'M-
Všimni si, že gentos, je-li psáno bez předcházejícího n, znamená tolik co deset, jak je patrno ve slově viginti, „dvacet", avšak když se píše s předcházejícím n, pak znamená sto, jak je patrno ve slovech quadringenti, noningenti atd.,
z nichž prvé znamená čtyři sta, druhé devět set. Verše:
N pokud nepředchází, pak gentos desítku značí.
Pakliže n stojí před, značku stovky v tom odhalíš ihned. Rovněž si všimni, že je rozdíl mezi gentos a gintos. Řecké gintos je latinsky deset. Proto se říká viginti, „dvacet", jakoby biginti od bis, což je dvě, a gintos deset, jako dvakrát deset, se změnou b ve v kvůli libozvučnosti. Také se říká triginta, quadraginta atd. Naproti tomu řecké gentos je latinsky sto, a existují číslovky quadringenta, quingenta atd. Quingenta se tedy říká podle quinque, „pět", a gentos sta, jakoby pět set. Verše:
Pro deset gintos, pro sto je gentos patřičný výrok.19
3 vicenos ] vigenos F - 8a in G in mg. al. m.: Nota, quandocumque numerus minor anteponitur maiori, tunc tot auferuntur a maiori, quot im-portantur per minorem, et sic IX significat novem, XL quadraginta. Sed quando numerus maior preponitur minori, tunc tot addimus numeros, quot importantur per minorem, et sic XI significat undecim, LX sexaginta. - 10a superponatur Si ] supponatur G, commentarius in F abest
1 cf. Walther, Initia 8629
22
23
G3r
G3r
/. Numeracio
XL (ita quod dicitur 40) duplat (id est XL significat qua-draginta) idem (scilicet viginti), triplicat LX (iste figure; id est LX significat sexaginta), L quoque sola quinquaginta facit (id est significat), sed nonaginta dat XC, C dat centenos, sed quingentos faciei D, DC sexcentos (id est sex centa, id est DC significat sexingen-
tos), M mille, C si presit, aufert \ centum (id est, C si ponitur ante M, aufert a mille centum et
facit noningentos), numerům sic debes conscribere totum. Aliter et subtilius (id est ingeniosius, quia remocius distat a sensu et propius ab intellectu) Greci et Latini numerům omnem per novem figuras (id est limites) significativas, quas vocant digittos, et per decimam non significativam, quam appellant cifrám, exarant. lsti autem novem digitti debent sic (taliter) scri-bi (exarari): 1, 2, 3, X, 1, 6, A, 8, 9. Decima vero, que cifra dicitur, scribitur ut circulus O, et hec cifra per se (id est formaliter, sed bene virtualiter) posita nullum numerům importat (id est
[Aliter et subtilius.] Hic autor docet describere predictos nume-ros secundum Latinos modo sub-tiliori, quem modum et ipsi Greci observant. Et primo assignat numerům figurarum ostendens, que et quot sint figure, secundo ponit quasdam regulas hanc speciem rectificantes; secunda ibi Unde nota. Prima pars dividitur in duo, quia primo dat modum, quomo-do habeant scribi digitti, secundo
articuli; secunda ibi Decima vero etc.
[Decima vero.] Nota cifra habet multa nomina, nam aliquando dicitur teca. Teca vero dicitur fer-rum rotundum, cum quo olim la-trones solebant notare in maxillis, et quia illud ferrum est rotundum sicud cifra, inde est, quod hie su-mitur pro cifra. Item cifra dicitur quasi circumferens, quia cifra habet se tamquam circumferencia,
2 triplicat ] triplat F - 3 sola ] simplex F - 5 sed quingentos faciet D ] D quingentos F - 9 numerům sic ] sic numerům F - 11 numerům omnem ] omnem numerům F - 12 novem ] om. F - 13 non ] non vero F - 15 vero, que cifra dicitur, scribitur ] vero cifra, que scribitur F - 17 importat ] representat F
10
15
20
25
30
/. Numerace
XL (takže se říká čtyřicet) dá dvakráte víc (tj. XL znamená čtyřicet), LX (tato písmena) třikrát (tj. LX znamená šedesát) a samotné L pak vytvoří (tj. znamená) padesátku, XC zas devadesátku, C vždy udává sto, kdežto z D vznikne pokaždé pět set. Stovek je v DC šest (tj. DC znamená šestisteré, tj. šest set), M
je tisíc; to C, jde-li před ním, pak sto musí pryč (tj. je-li napsáno C před M, odnímá od tisíce stovku a vytváří devítisteré): to je klíč, jak psát budeš veškerá čísla.20 Jinak a vynalézavěji (tj. důmyslněji, protože toto znázornění je vzdálenější smyslům a bližší intelektu) zaznamenávají Rekové a Latiníci každé číslo pomocí devíti významových číslic (tj. limitů), které nazývají digity, a pomocí desáté nevýznamové, kterou nazývají nula. Těchto devět digitů se píše (vyrývá) takto (tímto způsobem): 1, 2, 3, X, 1, 6, A, 8, 9.21 Desátá však, která se jmenuje nula,22 se píše jako kroužek O, a tato nula, napsaná sama, nenese (tj. nepředstavuje) v sobě (tj. formálně, virtuálně však
[Jinak a vynalézavěji.] Zde autor učí psát výše zmíněná čísla důmyslnějším způsobem dle Latiníků; tento způsob používají dokonce i Řekové. A za prvé určuje počet číslic a ukazuje, jak číslice vypadají a kolik jich je, za druhé uvádí některá pravidla, upřesňující tuto část; druhá část začíná slovy Pamatuj si tedy. První část se dělí na dva úseky, protože za prvé dává návod, jak se mají psát digity, za druhé artikuly; druhý úsek začíná slovy Desátá však atd.
[Desátá však.] Všimni si, že cifra, „nula", má více jmen; někdy se nazývá teca. Teca je totiž kulaté železo, jímž byli kdysi na čelistech označováni lupiči, a protože je ono železo kulaté jako nula, používá se toto jméno pro nulu. Nula se také nazývá circumferens, „obíhající dokola", protože vypadá jako kruh, neboť je kulatá. Také se nule říká figura nihili, „znak ničeho", protože je-li napsána sama, neznamená nic, význam má pouze s jinými znaky. Také se jmenuje
24
25
/. Numeracio
representat), sed per addicionem digittorum tunc omnem re-presentat articulum (scilicet quia sine cifra non potest scribi purus articulus, et hoc ad differenciam digitti vel eius numeri compositi), ut si ei addis unitatem (scilicet appellacionem), tali-ter: 10, decern significat, si (scilicet addis ei) dualitatem (scilicet appellacionem), sic: 20, significat viginti, et sic de omnibus aliis digittis usque nonaginta, quod scribitur per 9 et cifrám, taliter: 90. Tunc iterum centum per duas cifras et unitatem, taliter: 100, et ducenta per duas cifras et dualitatem et sic usque mille, quod per tres cifras et unitatem designatur, tali modo: 1000 (et sic patet conclusio, quod per digittum et cifrám vel cifras quilibet articulus mundi scribitur).
Unde nota, quod omnis (id est quilibet) digittus (talis nume-rus prius descriptus) una sola figura (id est una sola differencia
quia est rotunda. Item cifra dicitur figura nichilli, quia per se posita nichil significat, sed tantum cum aliis significat. Item eciam dicitur circulus, quantum ad protraccio-nem. Unde circulus est quedam figura rotunda, a cuius centro vel puncto omneš linee duete ad cir-cumferenciam sunt equales.
[Sed per addicionem.] Hic autor dočet deseribere articulos et circa hoc facit duo. Primo ponit quasdam condiciones figure non significative, cum hoc dans modům conscribendi articulos minores, secundo maiores; secunda ibi Tunc iterum centum etc.
10
15
[Unde nota, quod omnis.] In hac parte autor ponit quasdam regulas hanc speciem rectificantes et nos in hac specie dirigentes. Et facit duo: Primo ponit regulas di- 20 rigentes nos in scribendo quem-libet numerům, secundo dat alias regulas dirigentes nos in legendo seu pronuncciando quemlibet numerům scriptum; secunda ibi Un- 25 de omnis figura. Prima pars habet tres partes iuxta numerům trium regularum. In prima regula osten-dit, per quot figuras habet scribi digittus, in secunda, per quot arti- 30 cuius, in tercia ostendit, qualiter et per quot figuras habet scribi nume-
/. Numerace
jistě) žádný počet, avšak s přidávanými digity zobrazuje každý artikulus (totiž bez nuly se čistý artikulus nedá napsat, a to na rozdíl od digitu či jeho složeného čísla); např. jestliže k ní přidáš jedničku (tj. pojmenování), tedy takto: 10, znamená deset, jestliže (totiž k ní přidáš) dvojku (totiž pojmenování), takto: 20, znamená dvacet, a tak u všech ostatních digitů až po devadesát, které se píší pomocí 9 a nuly, takto: 90. Pak znovu sto pomocí dvou nul a jedničky, tedy takto: 100, a dvě stě pomocí dvou nul a dvojky, a tímto způsobem až do tisíce, který se zaznamenává třemi nulami a jedničkou, takto: 1000 (a z toho plyne závěr, že pomocí digitu a nuly nebo nul lze napsat jakýkoliv artikulus na světě).
Pamatuj si tedy, že každý (tj. jakýkoliv) digitus (toto výše popsané číslo) se píše pouze jedním znakem (tj. pouze jednou
circulus, „kruh", podle tahu. Kruh je kulatý obrazec, v němž všechny úsečky vedené od jeho středu k obvodu jsou stejně dlouhé.
[S přidávanými digity.] Zde autor učí psát artikuly a činí dvě věci. Za prvé klade pravidla pro nevýznamovou číslici, předkládaje současně způsob psaní menších artikulů, za druhé způsob psaní větších artikulů; druhá část začíná slovy Pak znovu sto atd.
[Pamatuj si tedy, že každý.} V této části předkládá autor pravidla, jež tento úkon upřesňují a
jimiž se při něm řídíme. A činí dvě věci: Za prvé předkládá pravidla, vedoucí nás při psaní jakéhokoliv čísla, za druhé předkládá jiná pravidla, usměrňující nás při čtení či vyslovování jakéhokoliv psaného čísla; druhá část začíná slovy Tedy každá číslice. První část má tři části podle počtu tří pravidel. Prvním pravidlem ukazuje, kolika číslicemi se má psát digitus, druhým, kolika artikulus, třetím ukazuje, jak a kolika číslicemi se má psát číslo složené; druhé pravidlo je tam, kde jsou slova Každý artiku-
1 omnem ] omnem numerům F - 4 ei addis unitatem, taliter 10, decern significat. Si dualitatem, sic 20, significat viginti, et ] addis ei unitatem et sic 10 significat omnibus F - 7 et cifrám ] om. F - 9 et ducenta per duas cifras et dualitatem ] om. F - 10 tali modo 1000 ] om. F
26
27
/. Numeracio
1. Numerace
significativa) debet scribi (scilicet sibi apposita vel apropriata), \ G 3v omnis autem articulus per cifrám primo loco positam (scilicet ad manům dextram) et digittum (talem numerům ad manum dex-tram positum), a quo denominatur ille articulus (ut denarius ab unitate; quia habet scribi per unitatem et cifrám sic, quod cifra ponitur in primo loco et unitas in secundo), secundo loco positum, et hoc versus sinistram manum computando (primo propter auctoritatem, quia Arabes sunt inventores istius sciencie; quorum racio est ista, quia in pronunciando maiorem numerům semper preponunt minori, dicendo viginti duo), quia in hac arte sinistrorsum scribimus more Arabum (id est philosophorum de
rus compositus; secunda ibi Omnis autem articulus, tercia ibi Omnis vero numerus compositus, primo dicente, |
G 3v Quia in hac arte etc. Notan-dum, quod Arabes, id est philoso-phi de Arabia, tali terra, istam sci-enciam invenerunt. Et ideo nos Latini, quantum ad istam scien-ciam, ipsos imitamur, scilicet quia scribimus ad sinistram. Et ipsi habent hanc racionem, quia in pronuncciando numerus semper maior numero premitatur minori, ut dicendo viginti duo, viginti tria etc.; ecce ibi viginti preponitur duobus et tribus, et sic de aliis. Item eciam dicimus centum tri-ginta, centum quadraginta. Ista ta-
10
men regula <fallit> in primis nu-meris sex compositis, scilicet 11, 12, 13, 14, 15, 16, ibi enim in illis 15 numeris in pronucciando minor numerus preponitur maiori, sed in omnibus aliis numeris compositis maior numerus debet preponi minori. Et sic qui dicunt septemde- 20 cim, male dicunt, similiter octode-cim et novemdecim et sic de aliis. Unde iste modus pronuncciandi, scilicet  preponendo numerum maiorem minori, usitatus est aput 25 Grecos, Gallicos, Lombardos et Latinos. Et merito, quia quanto in scribendo aliqua figura est posterior, tanto est maior in scribendo representacione. Unde sumatur 30 sciencie racio; Ulud, quod est in
významovou číslicí, jemu přidělenou čili vlastní), každý artikulus pomocí nuly, položené na prvním místě (totiž směrem k pravé ruce), a digitu (tohoto čísla, položeného směrem k pravé ruce), podle něhož je onen artikulus pojmenován (jako desítka od jedničky; proto se musí napsat pomocí jedničky a nuly tak, že nula se položí na první místo a jednička na druhé), položeného na druhém místě, a to počítáno směrem k levé ruce, protože v tomto umění píšeme směrem doleva (za prvé kvůli autoritě, protože vynálezci tohoto umění jsou Arabové; a ti mají ten důvod, že při vyslovování vždy kladou větší číslo před menší, říkajíce dvacet dva) dle zvyku Arabů (tj. filosofů z Arábie), kteří toto umění
lus, třetí tam, kde jsou slova Každé složené číslo, nejprve říká (viz text).
Protože v tomto umění atd. Je třeba mít na paměti, že tuto vědu vynalezli Arabové, tj. filosofové z Arábie, země tohoto jména. A proto je my Latiníci, pokud jde o tuto vědu, napodobujeme, totiž tím, že píšeme směrem doleva. A oni sami mají pro to ten důvod, že při řeči vždy předchází větší číslo před menším, jako když říkáme dvacet dva, dvacet tři, kde dvacet se klade před dvě a tři, a tak i u ostatních. Také říkáme sto třicet, sto čtyřicet. Nicméně toto pravidlo
neplatí u prvních šesti složených čísel, totiž u 11,12, 13,14,15,16, protože u těchto čísel se při řeči klade menší číslo před větší, avšak u všech ostatních složených čísel má vždy větší číslo předcházet menšímu. A tak ti, kteří říkají se-ptemdecim, „sedmnáct", mluví špatně, podobně octodecim, „osmnáct", a novemdecim, „devatenáct", atd. Tento způsob vyslovování, totiž kladení většího čísla před menší, používají Řekové, Francouzi, Lombardi a Latiníci. A právem, protože čím je nějaká číslice v zápisu víc vzadu, tím více zápisem vyjadřuje. Proto nechť je
1 debet ] habet F - 6 positum Si ] positus GF - 10 quia ] om. F - 13b supplevi e textu huius codicis G in eodem folio al. m. in mg. scripto - 23a ad sinistram Si ] a sinistras G, commentarius in F abest - 26a numero Si ] numeris G, commentarius in F abest
28
29
/. Numerách
I, Numerace
F 40r Arabia^ qui hanc artem invenerunt. | Omnis vero numerus com-positus (scilicet ex digitto et articulo) scribitur per digittum (pri-mo loco positum versus dextram manum), qui est pars illius nu-meri compositi, et per articulum (scilicet secundo loco positum versus sinistram), et hoc deposita cifra.
Nam omnis numerus a decern (scilicet inclusive) usque centum (scilicet exclusive) solum duabus figuris habet scribi, sed a centum (id est includendo centum) usque mille (id est exclu-dendo mille) per tres et a mille (scilicet inclusive) usque decern millia (scilicet exclusive) per quatuor et sic consequenter multi-plicando per decern, centum (ut centum millia) et mille (ut mille millia). Unde omnis figura primo (id est in) loco (scilicet more Arabum a dextra manu computando) posita significat suum di-
scripto, debet concordare nostre prolacioni. Sed nos preponimus maiorem numerům minori in pro-nuncciando, ergo maior numerus est preponendus minori in scriben-do. Iste tamen modus non tenetur apud wulgares, sicut patet in ydio-matibus.
[Unde omnis figura.] Interpo-nit regulám dirigentem nos et re-ctificantem in legendo et pronunc-ciando quemlibet numerům scri-ptum, dicens, Et nota, quod de hac regula possunt dari tales wersus:
Unum prima, secunda decern dat, tercia centum,
quarta dabit mille, sed quinta mília decern,
sexta centum milia, septima mília mille.
Dentur in octava tibi decies milia mille,
dat centum vicibus loco nono milia mille,
decima millesies designat millia mille,
sic per millenum, centenum, de-narium quoque. \
10
15
20
25
vynalezli. Naopak každé složené číslo (totiž z digitu a artikulu) se píše pomocí digitu (položeného na prvním místě směrem k pravé ruce), který je částí onoho složeného čísla, a pomocí artikulu (totiž položeného na druhém místě směrem k levé), a to po odstranění nuly.
Každé číslo od deseti (totiž včetně) do sta (totiž vyjma) se píše pouze dvěma číslicemi, avšak od sta (tj. sto v to počítaje) do tisíce (tj. tisíc vyjímaje) třemi a od tisíce (totiž včetně) až do deseti tisíc (totiž vyjma) čtyřmi a tak dále pomocí násobení desítkou, stem (jako sto tisíc) a tisícem (jako tisíc tisíců). Tedy každá číslice stojící na (tj. v) prvním místě (totiž počítaje po arabském způsobu od pravé ruky) znamená svůj digitus (totiž
odtud vyvozen podklad poučky: To, co je napsáno, má odpovídat naší mluvě. A my přece klademe v řeči větší číslo před menší, tedy je třeba klást větší číslo před menší i v písmu. Tento způsob se však nedodržuje u lidí mluvících jinak než latinsky, jak je patrno z jazyků.
[Tedy každá číslice.] Zde vkládá pravidlo, jež nás správně vede a řídí při čtení a vyslovování jakéhokoliv psaného čísla, a říká (viz text). A všimni si, že toto pravidlo může být vyjádřeno těmito verši:
Jednotky první, post druhý dá desítky, třetí zas stovky,
čtvrtý tisícovky a pátý desítky tisíc,
šestý dá tisíců sta a milión post číslo sedm.
Desítky miliónů ti vyjdou na osmém postu
a obdobně na devátém těch miliónů zase stovky,
tisíce miliónů pak na místě desátém najdeš:
vždycky jdi od tisícovek přes stovky k desítkám dolů.21
1 invenerunt ] adinvenerunt F - vero ] autem F - 3 numeri ] om. F - 6 Nam ] Et nota, quod F - usque ] usque ad F - 7 duabus figuris ] per duas figuras F - 9 decern ] centum F - 23b in G in mg. al. m.: Ista tantum pro-nunciacio fallit in přimis numeris compositis, scilicet 11, 12, 13, 14, 15, 16. In istis enim minor numerus in pronunciando preponitur maiori, sed in omnibus aliis numeris compositis maior preponitur minori, ut decern et septem, decern et octo, et sic de aliis.
15b cf. Walther, Initia 19673
30
31
G4r
G4r
/. Numeracio
gittum (id est seipsam), secundo loco posita significat decies plus quam in primo et in tercio cencies et in quarto millesies, ita, quod semper quelibet figura in sequenti loco posita decies plus significat quam in primo. Et est utile, si magnus erit numerus, quod semper super quamlibet figurám (scilicet significativam sive non significativam) loco (vice) millenarii positam (locatam) ponatur | quidam punctus (scilicet mathematicus) ad denotandum (representandum), quod tot millenarios ultima figura (scilicet significativa ad manum sinistram posita) debet significare (representor), quot sunt puncta pertransita (scilicet inflguris loco millenariorum positis).
Nota, quod huius artis (scilicet arismetrice, mathematice) 9 sunt species (scilicet magis principales), scilicet numeracio (que
Nota, quod huius artis. Sciendum, quod forma sive tractatus est duplex, que in se et que consistit in divisione libri sive tractatus in capitula et capitulorum in suas partes. Alia forma tractatus est conclusionalis, quomodo scilicet ars sit tradita. Et iste modus ali-quando est metricus, aliquando prosaicus, aliquando diffinitivus, aliquando divisivus, aliquando probativus etc. Cum igitur dicitur, quod in hac ultima parte tangitur causa formalis huius artis, intelli-gendum est de forma primo modo, quia dividit artem istam in species et cum hoc dat modum et ordinem procedendi etc.
Hie ostendit causam formalem huius sciencie ostendendo numerům specierum huius artis, dicens. Wersus:
Novem sunt partes nec plures istius artis.
Est species prima numeracio, dicta figura,
addere, subtrahere, duplare, di-midiare.
Sexta dividere, sed septima mul-
tiplicare, octava species progressio accipit
ortum,
radičem extrahere pars nona dicitur rerum.
10
15
20
25
30
/. Numerace
sebe sama), stojící na místě druhém znamená desetkrát víc než na prvním a na třetím stokrát a na čtvrtém tisíckrát, takže každá číslice položená na následujícím místě znamená vždy desetkrát víc než na místě předcházejícím. A je-li číslo příliš velké, pak je užitečné, aby vždy nad každou číslicí (totiž významovou či nevý-znamovou) postavenou na místě (v postavení) tisíce byla napsána tečka (totiž matematická), která naznačí (představí), že poslední číslice (totiž významová, položená směrem k levé ruce) má znamenat (představovat) tolik tisíců, přes kolik teček (totiž u číslic položených na místě tisíců) se přešlo.24
Pamatuj, že toto umění (totiž aritmetické, matematické) má devět úkonů25 (totiž těch důležitějších),26 totiž numeraci (která je
Pamatuj, že toto umění. Je třeba vědět, že forma čili pojednání je dvojí: ta, která spočívá sama v sobě, a ta, která spočívá v rozdělení knihy čili pojednání na kapitoly a kapitol na části. Jiná forma pojednání je forma předkládající závěry, totiž způsob, jakým je umění vykládáno. A tento způsob je někdy veršovaný, jindy prozaický, někdy vymezující, jindy rozdělující, někdy ověřující atd. Když se tedy praví, že v této poslední části se pojednává o formální příčině tohoto umění, je třeba pojmu forma rozumět především tak, že dělí toto umění na části, a tím udává způsob a pořádek postupu atd.
Zde ukazuje formální příčinu této vědy, přičemž ukazuje počet úkonů tohoto umění a říká (viz text). Verše:
Částí devatero - ne víc, ne méně - je obsahem umění toho:
první operací je zápis (též notace) číslic,
pak sčítání, odčítání a půlení se zdvojováním,
šesté je dělení, kdežto násobení je sedmé,
v pořadí osmou operací je posloupnost čísel,
zatímco devátá část se nazývá odmocňování.
1 significat ] om. F - 2 in tercio ] in tercio loco F - millesies ] millesies plus F - 7 quidam ] quidem F - 8 ultima figura debet significare ] debet ultima figura representare F
19b Walther, Initia 17539
32
33
//. Addicio
U. Sčítání
est prima species), addicio (secunda), subtraccio (tercia), me-diacio (quarta), duplacio (quinta), multiplicacio (sexta), divisio (septima), progressio (octava) et radičům extraccio (nona), et hoc dupliciter: in numeris quadratis et in numeris cubicis. De numeracione (tali specie prima huius artis) iam dictum est (scilicet prius tamquam de principáli), sequitur de addicione.
II. Addicio (scilicet integrorum, ad differenciam minucia-rum) est numeri (scilicet unius ad alterum) vel numerorum (id est numeri ad numeros) aggregacio (scilicet per intellectum facta, et sic tangitur causa efficiens), ut sciatur, que erit summa tocius agregati numeri.
Nota, quod omnis numerus, qui debet ad alium addi, vocatur numerus addendus (scilicet passive, quia additur) et debet sem-
10
[Addicio.] Hie autor exequitur de secunda specie huius artis, scilicet de addicione. Et primo diffi-nit addicionem, ostendendo eciam eius utilitatem, et dicente.
Notandum circa diffinicionem addicionis, quia particula numeri vel numerorum potest intelligi dupliciter. Uno modo sic: Addicio est agregacio numeri, scilicet simi-lis vel uniformis, ut addendo duo ad duo et erunt 4; vel numerorum, scilicet dissimilium vel diffor-mium, ut addendo 2 ad 6 et erunt 8. Alio modo potest intelligi sic Addicio est agregacio numeri, scilicet unius, ut addendo 2 ad 3 et erunt quinque; vel numerorum, scilicet plurium, ut addendo 24 ad 36.
Unde addicio est quedam accio  15 anime et est in anima subjective et in numero obiective, et sic numerus est subiectum numeri et obie-ctum anime.
Primo notandum, quod diffini- 20 cio addicionis valet ad hoc, ut si aliquis haberet in aliquo loco 25 sexagenas et in alio loco 72 sexa-genas, ut ergo sciret, quantum esset in summa. Addat numerům nu- 25 mero et habebit propositum.
Nota, quod omnis numerus etc. Hie autor imponendo nomina numeris ipsius addicionis ostendit, quot numeri sint necessarii in ad- 30 dicione et ubi debeant locari. Et hoc dupliciter, quia primo gene-raliter, secundo specialiter; secunda ibi Sic tarnen quod etc.
3 et ] om. F - 5 iam dictum ] dictum est prius F - 8 numeroru numerorum ad numerům F - 11 agregati numeri ] numeri aggregati F
prvním úkonem), sčítání (druhý), odčítání (třetí), půlení (čtvrtý), zdvojování (pátý), násobení (šestý), dělení (sedmý), posloupnost (osmý) a hledání kořenů (devátý), a to dvojí: u čísel čtvercových a u čísel krychlových. O numeraci (o tomto prvním úkonu tohoto umění)21 jsem již mluvil (totiž dříve, jako o prvotním), následuje výklad o sčítání.
II. Sčítání (totiž celých čísel, na rozdíl od zlomků) je seskupování (totiž konané myslí, a tím se pojednává o příčině účinné) čísla (totiž jednoho k druhému) či čísel (tj. čísla k číslům), aby se vědělo, jaká bude suma celého seskupeného čísla.28
Pamatuj, že každé číslo, které má být přičteno k jinému, se jmenuje číslo přičítané29 (totiž pasivně, protože se přičítá) a mu-
[Sčítání.] Zde autor vykládá o druhém úkonu tohoto umění, totiž o sčítání. A nejprve sčítání definuje, přičemž ukazuje také jeho užitečnost, a říká (viz text).
Při výkladu sčítání si je třeba všimnout, že vyjádření čísla či čísel může být chápáno dvojím způsobem. Za prvé takto: Sčítání je přidávání čísla, totiž podobného čili stejného, např. 2 a 2 jsou 4; nebo čísel, totiž nepodobných a rozdílných, např. 2 a 6 je 8. Jiným způsobem to lze chápat takto: Sčítání je přidávání čísla, totiž jednoho, např. 2 a 3 je 5; nebo čísel, totiž několikerých, např. 24 a 36.
Sčítání je tedy jakási duševní činnost a existuje v duši subjektivně a v čísle objektivně, a proto je číslo subjekt čísla a objekt duše.
Především si je třeba zapamatovat, že výklad o sčítání slouží k tomu, aby někdo, kdo by měl na jednom místě 25 kop a na jiném 72 kop, věděl, kolik je to dohromady. Nechť sečte číslo s číslem a bude mít to, co hledá.
Pamatuj, že každé číslo atd. Zde autor pojmenovává čísla sčítání a tím ukazuje, kolika čísel je při sčítání třeba a kde mají být umístěna. A to dvojím způsobem, protože za prvé obecně, za druhé speciálně; druhá část začíná slovy A to tak atd.
34
35