IV. Mediacio
IV. Půlení
IV. Mediacio (arismetica, integrorum ad differenciam mi-nuciarum) est alicuius numeri (propositi; causa materialis) me-dietatis (scilicet ut videatur, que et quanta sit ilia medietas) invencio (facta per intellectum; causa formalis).
Si vel is ergo aliquem numerům mediare (id est eius medie-tatem ostendere), scribe eum per suas figuras et incipias a prima figura versus dextram (id est a dextris versus sinistram manum).
Et ilia si erit cifra, vade ad secundam (quia quod nichil est, median non potest). Si autem erit alia a cifra (id est erit signi-ficativa), tunc vel erit par, vel impar. Si par (642), tunc deponas
[Mediacio.] In ista parte autor exequitur de quarta specie huius artis, scilicet de mediacione. Et primo diffinit mediacionem, se-cundo docet modum operandi in hac specie, ibi Si velis; primo di-cente.
Finis huius speciei est scire medietatem alicuius numeri inve-nire.
Si velis. Hie docet modum operandi in hac specie. Et dividi-tur in duo, quia primo dat modum operandi circa primam figurám, secundo circa secundam, ibi Post-quam. Prima in duo, quia primo proponendo modum operandi in hac specie docet, ubi sit incipien-dum operari in figuris propositis, secundo exequitur ilium modum
1 integrorum ad differenciam minuciarum Si ] ad differenciam G, com-mentarius in F abest - 6 figuras ] differencias F - 7 dextram ] dextram manum F - 8 ad secundam ] ad secundam figúram F- 9 a] quam F - 10 tunc vel ] tunc F - 642 Si ] 42 G, commentarius in F abest
10
operandi, ibi Et ilia si fuerit; primo dicente.
[Et ilia si erit cifra.] Si prima figura numeri mediandi sit cifra, 15 ea intacta, quoniam cum nichil significat, dividi non potest, re-linquatur et ad aliam mediandam procedatur.
[Tunc vel erit par, vel impar.] 20 Numerus par est, qui potest dividi in duo equalia directe, ut 8 divi-ditur in duos quaternarios. Sed numerus impar est, qui non potest dividi in duo equalia directe, uc 9 25 dividitur in 5 et 4.
[Si'par.] Numero pari posito si debet mediari, eius medietas de-ponatur et residuum, quod super-est, scribatur. 30
Exemplum: 321 postea eveniet.
TV. Půlení (aritmetické, celých čísel, na rozdíl od zlomků) je nalezení (konané myslí; příčina formální) poloviny (totiž aby se vidělo, jaká a jak velká je ona polovina) nějakého čísla (daného; příčina materiální).*1
Chceš-li tedy nějaké číslo půlit (tj. ukázat jeho polovinu), napiš je do řádku po číslicích a začni od první číslice směrem k pravé ruce (tj. zprava směrem k levé ruce).
A jestliže tato číslice bude nula, jdi ke druhé (protože to, co není nic, nemůže být rozpůleno). Bude-li však jiná než nula (tj. bude-li významová), tu bude buď sudá, nebo lichá. Bude-li sudá
[Půlení.] V této části vykládá autor o čtvrtém úkonu tohoto umění, totiž o půlení. A za prvé půlení definuje, za druhé učí, jak při tomto úkonu postupovat, tam, kde jsou slova Chceš-li; nejprve říká (viz text).
Účelem tohoto úkonu je umět najít polovinu nějakého čísla.
Chceš-li. Zde učí, jak postupovat při tomto úkonu. A výklad se dělí na dvě části, pTOtože za prvé uvádí způsob operace u první číslice, za druhé u druhé; to začíná slovy Potom, cos. První část se dále dělí na dva úseky, protože za prvé předkládaje způsob postupu u tohoto úkonu učí, kde je třeba u daných číslic začít, za druhé vykládá postup samotný tam, kde jsou slova A jestliže tato číslice bude; nejprve říká (viz text).
[A jestliže tato číslice bude nula.] Je-li první číslice půleného čísla nula, ponechá se nedotčená, protože když nic neznamená, nemůže být rozdělena, a přistoupí se k půlení další číslice.
[Tu bude buď sudá nebo lichá.] Sudé číslo je to, které může být rozděleno na dvě přesně stejné části, např. osm se dělí na dvě čtveřice. Naproti tomu liché číslo je to, které nemůže být rozděleno na dvě přesně stejné části, např. devět se dělí na pět a čtyři.
[Bude-li sudá.] Má-li být rozpůleno sudé číslo, odečte se jeho polovina a zbytek, který zůstává, se napíše.
Příklad: Pak vyjde 321.
52
53
IV. Mediacio
IV. Půlení
medietatem eius. Si impar, vel erit unitas, vel mayor unitate. Si unitas (461), tunc dele unitatem et scribe loco eius cifrám (sci-
G 6v licet propter figuras sequentes, ne minus significent) et extra | in tabula scribe (directe inmediate supra cifrám, sic tarnen, quod nullum locum ordinis obtineat, sed tarnen significat aliud, nam 5 postea, quando aliqua medietas duplabitur, debet recipi in locum suum) d cum titello taliter: 3, et significat di midi um (uni-tatis). Si autem talis numerus impar fuerit mayor unitate, tunc de-ponas unitatem et illius numeri, qui remanet, scribe medietatem (sumendo prius numerům parem sub eo contentum). Et de 10 unitate deposita fac ut prius, scribendo d cum titello.
Postquam mediasti primam (quia ut prima erat medianda, ita et alie), media secundam deponendo medietatem eius, si erit par. Si autem erit impar, tunc deponas ab ea unitatem et residuum |
F42r media (sumendo prius numerům parem sub ea contentum) et pro 15 ilia unitate, quia valet decern respectu precedentis figure, adde 5, quod est medium de decern, ad figurám precedentem versus dex-
G6v
[Si unitas.] Si prima figura numeri mediandi sit unitas, ea sim-pliciter deleta loco eius scribatur cifra, signando exterius d cum titello. Nota, quod d cum titello debet scribi directe supra cifrám. Et si vis duplare post mediacionem, tunc debes sic duplare: duplabo di-midium et est unum, et sic debet reponi in locum suum unitas, ubi nunc stat cifra. |
[Si autem talis numerus impar] Numero impari maiore unitate in prima figura numeri mediandi
proposito numerus par sub eo con-tentus sumatur et dividatur, unitas 20 vero, que superest, loco eius supra d cum titello designetur.
[Mayor unitate.] 265
[Postquam mediasti primam.] Hie docet modum operandi circa 25 secundam figúram et consequenter circa alias figuras. Et primo dat modum operandi circa figurám parem, secundo de figura impari, ibi 57 autem erit impar. 30
1 mayor ] erit maior F - 3 in tabula ] tabulam F - 7 d ] d F - significat ] signifieabit F - 8 impar fuerit mayor ] fuerit impar maior F - deponas ] deponas ab eo F - 11 d ] d F -12 mediasti ] autem mediasti F - 14 ab ea ] ab eo F - 15 ea Si ] eo G, commentarius in F abest -16 quia ] que F
(642), pak odeber její polovinu. Bude-li lichá, pak bude buď jednička, nebo větší než jednička. Bude-li to jednička (461), pak škrtni jedničku a na její místo napiš nulu (totiž kvůli následujícím číslicím, aby neznamenaly méně)** a vedle na tabulce napiš (přesně přímo nad nulu, avšak tak, aby nezabralo v řádku žádné místo; přesto však toto d má nějakou hodnotu, protože později, když se bude polovina zdvojnásobovat,49 musí být vráceno na své místo) d s čárkou, takto: á, a to bude značit polovinu (jedničky).50 Bude-li však toto liché číslo větší než jednička, pak odečti jedničku a z toho čísla, které zůstane, napiš polovinu (napřed vezmi sudé číslo v něm obsažené). A s odečtenou jedničkou nalož jako dřív a napiš d s čárkou.51
Potom, cos rozpůlil první číslici (protože jak se půlí první, tak se mají půlit i ostatní), rozpul druhou - bude-li sudá - tak, že odejmeš její polovinu. Bude-li však lichá, pak od ní odečti jedničku a zbytek rozpul (napřed vezmi sudé číslo v ní obsažené) a místo té jedničky - protože se zřetelem k předcházející číslici má
[Bude-li to jednička.] Je-li první číslice půleného čísla jednička, jednoduše se škrtne a na její místo se napíše nula, přičemž se vedle zaznamená d s čárkou. Pamatuj, že d s čárkou musí být napsáno přímo nad nulu. A chceš-li po půlení zdvojovat, pak to musíš dělat takto: zdvojím polovinu a to je jedna; tímto způsobem se na své místo, kde nyní stojí nula, znovu dostane jednička.
[Bude-li však toto liché' číslo.] Je-li první číslicí půleného čísla liché číslo větší než jedna, vezme se
sudé číslo v něm obsažené a rozdělí se, a jednička, která zbývá, se zaznamená nahoru nad ni jako d s čárkou.
[Větší než jednička.] 265 [Potom, cos rozpůlil první číslici.] Zde učí způsob postupu u druhé číslice a dále u ostatních číslic. A za prvé vykládá způsob operace u sudého čísla, za druhé u čísla lichého; to začíná slovy Bude-li však lichá.
54
55
V. Duplacio
V. Zdvojování
tram. Et si fuerit in secundo loco vel in tercio unitas, ea deleta scribas cifrám et adde 5 ad figurám precedentem.
Exemplum: Mediando 610541 remanent 305270. Probacio eius fit per duplacionem; est enim mediacio duplacionis probacio et econverso.
V. Duplacio (integrorum) est eiusdem (non alieni a se) nu-meri (materialis) per duplum (quia duplicacio dicitur quasi duo-rum complicacio) augmentacio (formalis) et sic triplacio per tri-
[Et si fuerit.] Duplex cautela. Si fuerit unitas in quolibet loco, ea deleta scribatur cifra et quinarius addatur figure precedenti. Secunda cautela ponitur in textu. 412, 146.
Unitas superflua valet X, media 10 et sunt 5.
[Exemplum.] Exemplum aliud: 510321. Mediabo unum, loco eius scribatur cifra et supra ipsam scribatur figura dimidii, d cum titello.
Duplacio. In ista parte autor exequitur de quinta specie huius artis, scilicet de duplacione. Et pri-mo diffinit duplacionem, secundo docet modum operandi in hac specie et cum hoc ostendit modum in-cipiendi operari, ibi In duplando.
Plico, -as, id est componere, coagulare, coadunare, simul strin-gere, unum facere. Inde duplico, id est ex duobus unum facio, vel
unum gemino. Inde duplicacio, id est ex pluribus una composicio vel unius geminacio, et dicitur duplicacio quasi duorum plicacio etc. Unde duplicacio dicitur quasi duo-rum plicacio. Numerus enim propositus se ipsum bis capiens agre-gative duplicacionem facit, que quidem duplicacio unum nu-merum denominat provenientem, a quo ultra summa tocius numcri manifesta ostenditur.
[Eiusdem.] Dicitur eiusdem ad differenciam addicionis, quia in addicione quilibet numerus ad-ditur cuilibet indifferenter, sed ita non est in duplacione, quia duplacio est agregacio numeri ad se i-psum. Unde omnis duplacio est addicio, sed non econverso. I
10
15
20
25
30
1 in secundo loco vel in tercio unitas ] unitas in secundo vel in tercio loco F - 3 Mediando ] om. F - Probacio eius fit per duplacionem. Est enim mediacio duplacionis probacio et econverso ] om. F - 31a ex duobus unum Si ] ex duobus G, commentarius in F abest
hodnotu deseti - přičti k předcházející číslici směrem doprava pět, což je polovina z deseti.52 A bude-li na druhém nebo na třetím místě jednička, škrtni ji, napiš nulu a přičti pět k předcházející číslici.53
Příklad: Z půlení 610541 vyjde 305270.54 Zkouška půlení se dělá pomocí zdvojení, protože půlení je zkouškou zdvojování a naopak.
V. Zdvojování (celých čísel) je dvojnásobné (protože zdvojení znamená jakoby spletení dvou) zvětšování (příčina formální) téhož (nikoliv rozdílného od sebe sama) čísla (příčina mate-
[A bude-li.] Dvojí upozornění. Bude-li na jakémkoliv místě jednička, škrtne se, napíše se nula a pětka se přičte k předcházející číslici. Druhé upozornění stojí v textu. 412, 146.
Přebývající jednička má platnost deseti; rozpul deset a vyjde pět.
[Příklad.] Jiný příklad: 510321. Rozpůlím jedničku, na její místo se napíše nula a nad ni se napíše znaménko poloviny, d s čárkou.
Zdvojování. V této části autor vykládá o pátém úkonu tohoto umění, totiž o zdvojování. A za prvé zdvojování definuje, za druhé učí, jak při tomto úkonu postupovat, a s tím současně ukazuje, jak začít; tato část začíná slovy Při zdvojování.
Plico, -as, „splétat", znamená skládat, sjednocovat, spojovat, současně svíjet, jedno činit. Z toho je odvozeno duplicare, „zdvojná-
sobovat", tj. ze dvou jedno činit, nebo jedno zdvojovat. Z tohoto slovesa je odvozeno duplicatio, „zdvojení", tj. složení jedné věci z více či zdvojení jedné věci; a říká se duplicatio jakoby plicatio duorum, „spletení dvou věcí". Proto se říká duplicatio jakoby duorum plicatio, „spletení dvou věcí", neboť dané číslo přijímajíc slučo-vacím způsobem dvakrát sebe sama vytváří zdvojení a toto zdvojení určuje jedno výsledné číslo, které pak dále zřetelně představuje úhrn celého čísla.
[Téhož] Říká se téhož na rozdíl od sčítání, protože při sčítání se přidává bez rozlišování jakékoliv číslo k jakémukoliv číslu; tak tomu však není u zdvojování, protože zdvojování je připojování čísla k sobě samému. Z toho plyne, že každé zdvojování je také sčítání, nikoliv však naopak. •=
56
57