Poznámka k dílu Algorismus prosaycus
Křišťana z Prachatic
Křišťanův Algorismus prosaycus byl sepsán v 15. století Křišťanem z Prachatic, o
němž se více můžete dozvědět zde (krátký film o Křišťanovi z Prachatic z cyklu
Dvaasedmdesát jmen české historie):
http://www.ceskatelevize.cz/porady/10169539755-dvaasedmdesat-jmen-ceske-
historie/208572232200010-kristan-z-prachatic/
Čtenáři představuje tehdy nový způsob numerace (zápis čísla v dekadické poziční
soustavě) a provádění operací sčítání, odčítání, zdvojování, násobení, půlení, dělení
a odmocňování (hledání druhé odmocniny z daného čísla). Při pozorném čtení
zjistíte, že se jedná o písemné provádění aritmetických operací, které se dnes učí na
základní škole. Dnes již nevyčleňujeme zdvojování a půlení, ale zahrnujeme je pod
násobení a dělení. Písemné odmocňování se dnes už na školách neučí a málokdo ví,
jak se provádí.
Instrukce k práci s textem:
Je radno začít kapitolkou Numerace, v níž se dozvíte, jak Křišťan zapisoval čísla
(zejména je třeba dávat pozor na to, zda první číslice znamená první vlevo, nebo
vpravo). Při četbě popisu výpočtu je dobré si uvědomit, že Křišťan někdy skutečně
číslice původních čísel mazal a na jejich místa psal novou číslici, tedy nikoliv jako
my pod nebo nad, ale místo původního čísla.
Text je třeba číst pozorně, přičemž při prvním čtení je radno vynechávat části, které
jsou vysázené kurzívou. Mají to být zpřesňující poznámky, ale při prvním čtení je to
spíš ke škodě než k užitku.
Podle svých ambicí pak zpracujte jedno z témat tak, abyste staronový způsob
počítání dokázali vysvětlit někomu jinému a zapsat vše tak, jak to dělal Křišťan.
Kapitoly jsou uspořádány více méně dle obtížnosti:
1. sčítání a odčítání
2. zdvojování a násobení
3. půlení a dělení
4. odmocňování
Pro pochopení prvních tří můžete s výhodou využít našeho běžného písemného
sčítání, odčítání, násobení a dělení. Uvědomte si, že při dělení výsledek odhadujeme
a pak upravujeme. S tímto bývá problém i na ZŠ, neboť je to první postup, kde se
musíme vyrovnat s tím, že jsme neodhadli správně např. to, že se 33 nevejde do 160
pětkrát (po zaokrouhlení: 5x3=15, což je méně než 16, že...), ale pouze čtyřikrát
(neboť 4x33=132, ale 5x33=165). Je potřeba si na to zvyknout --- což se nám všem
zřejmě již dávno podařilo.
Umíte najít druhou odmocninu?
U odmocňování, které doporučuji jen těm nejodvážnějším, je třeba si uvědomit, že
oprava je komplikovanější a spočívá v tom, že do hledaného čtverce se nám povedlo
vepsat čtverec menší, od něhož je ale potřeba odečíst obsah dvou obdélníků a
malého čtverce, viz poměrně neumělý obrázek níže, na němž má být čtverec.
celý čtverec: (a+b)2
modrý čtverec: a2
žluté obdélníky: 2ab (každý ab, dohromady tedy 2ab)
zelený čtvereček b2
To je samozřejmě známý vzorec, (a+b)2 = a2 2ab + b2
Při samotném výpočtu známe číselnou hodnotu (a+b)2 a snažíme se najít ono (a+b),
jehož druhou mocninu známe. Zkusíme se "trefit" do nějakého čtverce, který bude
co možná nejblíže výsledku; ten odhadneme jako a2, ale pak pochopitelně
potřebujeme výsledek doupravit. Ten složitý postup, který najdete u Křišťana, je
schován i v tom neumělém obrázku.
Cíl dnešní hodiny:
1. Dojít k poznání, že po několikerém přečtení dokážete pochopit i zprvu
nepochopitelný Křišťanův výklad.
2. Historické poznání: tento způsob převálcoval počítání v Evropě a nahradil
počítání na linách. Původní popisy tohoto postupu se jmenovaly "algoritmi de
numero indorum", tedy "počítání s indickými číslicemi". O jeho rozšíření se
zasloužili italští kupci a šířil se (pro lepší zapamatování) ve formě básně či dokonce
písně. Ten náš, Křišťanův, je však psán v próze, tedy prosaycus.
Poznámka k pojmu „algoritmus“
Žijeme v době počítačů a slovo „algoritmus" se stalo téměř zaklínadlem. Algoritmy
nejsou v matematice žádnými nováčky. Pravdou sice je, že jejich význam v
posledních padesáti letech nebývalé vzrostl, avšak za algoritmy můžeme považovat
nejen postupy, jejichž jméno dává tušit dávný původ (Eukleidův algoritmus), ale i
návody k řešení úloh, jež nacházíme například už v egyptských papyrech. Zmíněné
dva případy samozřejmě svým stářím výrazně přesahují původ samotného slova
„algoritmus", které pravděpodobně vzniklo ze jména arabského učence ALCHOREZMÍHO
(asi 783-850). V Matematickém slovníku [Mathematisches
Worterbuch] z roku 1967 [14] se dočteme o algoritmu následující:
Algoritmus: Algoritmus na množině X řad znaků (slov) j e metoda pro „efektivní"
transformaci řad znaků, přičemž o každé řadě znaků lze v konečném počtu kroků
rozhodnout, zda ji lze z dané řady znaků získat použitím algoritmu, či nikoli.
Doposud existují následující dvě přesné definice pojmu algoritmu: (1) PoSTova a (2)
MARKOVOVA.
Dále se tamtéž dočteme, kdo je to algorista a abacista:
Algoristé (11.-17. stol.) — přívrženci písemného způsobu počítání v protikladu k
počítání na desce. (srv. Abacisté) Abacisté (10.-15. stol.) — přívrženci počítání na
desce („na liniích") v protikladu k písemnému způsobu počítání s ciframi, (srv.
Algoristé)
Něco podobného lze najít i v mnohem starší publikaci. KLUGELŮV Mathematisches
Worterbuch z roku 1803 uvádí:
Algorithmus, též algorismus, ve středověku, když byla v Evropě zavedena dekadická
číselná soustava, znamenalo slovo novou metodu počítání. Slovo je složeno z
arabského „al" a řeckého „Arithmos", jako Almagestum ... Původ slova pro západní
matematiku znovu objevil italský historik matematiky BALDASSARRE
BONCOMPAGNI
V 50. letech 19. století. Jeho četnější užívání v matematické literatuře však začalo
až po 2. světové válce [16]. Ve španělském výkladovém slovníku [5] se dočteme, že
algoritmus j e buď uspořádaný soubor operací, který dovoluje vyřešit problém, nebo
metoda a značení různých forem výpočtu. To v podstatě odpovídá i heslu algoritmus
v Encyklopedickém slovníku [4]: posloupnost konečného počtu elementárních
kroků vedoucí k vyřešení daného problému. Podle Slovníku cizích slov [17] je pak
algoritmus „účelně volený postup vedoucí k vyřešení všech úloh daného typu".
Konečně Malá československá encyklopedie [10] uvádí, že slovo algoritmus pochází
z latiny, do češtiny se dostalo přes arabštinu a znamená: (v logice:) schematický
postup pro řešení určité skupiny (třídy) úloh prováděný konečným počtem úkonů
(kroků), přičemž každý z nich je přesně definován (v matematice:) postup skládající
se z konečného počtu elementárních úkonů, který slouží k účelnému provádění
určitého výpočtu platného pro celou skupinu stejnorodých úkolů; např dělení
víceciferných čísel (v ekonomii:) postup, jak pomocí konečného počtu operací
dosáhnout řešení problému; je základem vzniku programu pro počítač při řešení
ekonomicko-matematických úloh
Co se vlastně stalo s algoritmy ve 20. století? Především vznikla potřeba popsat
postup výpočtu stroji, nikoli člověku. To samozřejmě vedlo k větší formalizaci
jazyka, jímž jsou algoritmy psány. Také se postupně začala měřit kvalita algoritmů
časem. Protože však nejsou všechny počítače stejně výkonné, bylo nutné najít
způsob, jak popsat délku výpočtu, čímž se zabývá teorie složitosti.1
Literatura
[4] Encyklopedický slovník. Odeon, 1993.
[5] Elpequeňo ESPASA (španělský výkladový slovník). Madrid 1988.
[7] Stephen Korner: Philosophie der Maťhematik. Eine Einfuhrung. Nymphenberger
Verlagshandlung, 1968.
[10] Malá československá encyklopedie. Academia Praha, 1984.
[14] Naas, Josef and Schmid, Herman Ludwig, editor. Mathematisches Worterbuch mit
Einbeziehung der theoretischen Physik. Akademie-Verlag GMBH, Teubner
Verlagsgeseleschaft, Berlin-Stuttgart, 3. vydání, 1967.
[16] Peter Schreiber. Algorithms and algorithmic thinking through ages. In Ivor GrattanGuinness,
editor, Companion Encyclopedia of the History and Philoshopy of the
Mathematical Science. Routledge, 1994.
[17] Slovník cizích slov. SPN Praha, 1981.
[18] Hermann Weyl: Raum, Zeit, Materie, Berlin, 1923.
1
Helena Durnová. 2001 Otazníky kolem algoritmů In: Jindřich Bečvář, Eduard Fuchs (eds.): Matematika v
proměnách věků. II. Praha: Prometheus, pp. 263–267. http://dml.cz/dmlcz/401903