-  10 -
- n _
1.2   Evropské učebnice praktické matematiky pred r. 1460
Nejvyšší úroveň měly učebnice Leonarda Fisánského (= Fi-bonacciho) napsané už ve 13. stoleti, které přenášely do Evropy již po stalet! propracovávanou učebnicovou literaturu z Byzance, islámských zemí a Indie. Ostatní texty, které se používaly, byly chudší obsahem i metodami, vycházely bud přímo z Fibonacciho nebo z překladů, starších autorů do latiny. V článku 2.2 druhého dílu skript jsme už poznali úryvky z několika učebnic scholastické epochy, nyní přejdeme do pozdějších staletí. Fibonacciho si připomeneme v úvodní ukázce, naznačíme tak i prioritu italských učebnic (psaných zprvu latinsky) v Evropě.
A.   Leonardo Pisénaký: Kniha o abaku
Dílo napsané v r. 1202 a přepracované v r. 1228 bylo velmi obsáhlé, pozdější tištěné vydání mělo rozsah 459 stran. Podrobní informace o knize je v Juškevičově knize, str. 362-374. Vybraná ukázka naznačuje vazbu na Eukleidovo geometrické znázorňování veličin, operuje však také s termínem "majetek" pro druhou mocninu neznámé.
... Rozděl deset na dvě části a vyděl jednu druhou a druhou první a výsledky přičti k   10   a co tím dostaneš, nésob jednou z částí a vyjde   114 .
Fibonaccj nazývá jednu část "věci" (rea) ve významu "neznámé", znázorňuje ji úsečkou   .a. , na další přímce znázorňuje čísle   10   a podíly částí, a to po řadě úsečkami   .b.g. , .g.d , .d.e ; hovoří pak podle potřeby o úsečkách   .b.e , .g.e. apod. "Majetek" (= census) je název pro čtverec nad   .o. ; z finanční terminologie proniká i denár jako jednotka, číslo-   1 .
Protože součin   .a.   s   .b.e.   dává   114 , součiny .a. e   .b.g. , .a.   s   .g.d. , .a.   s   .d.e.   dávají dohromady 114. Jestliže odečteme ... součin věci s člelem   10 , zbytek 114 minus   10   věcí je součin čísla   .a.   s    .g.e. , jestliže od toho odečteš součin   .a. s
--- .g.d.    ... pak zbude   104 mi-
k g de nus   '   věcí pro součin .a.
s   • d•ô•
Součin   .a.   o   .d.e.   se rovné podílu čtverce čísla   .a. druhou částí, tj.   10   minus věc. Proto při násobení   .a. aeboa
samým vzniká majetek, při jehož dělení číslem   10   minus věc vzniká   104   minus   9   věcí. ... jestliže vynásobíš   10 minus věc tím   104   minus   9   věcí, dostaneš   1040   a   9 majetků zmenšených o   114   věcí, což se rovné majetku. Proto ... odečti vždy po jednom majetku od každé strany, tak zbude   8 majetků a   1040   denárů rovných   194   věcem, proto děl tento celek počtem majetků a dostaneš majetek a   130   denárů, které se rovnají   24   a čtvrt věci.
ÍPoslední kvadratickou rovnici už lze řešit podle pravidla , .      . íslušný typ; jde o páté pravidlo uvedené zde,na str. 15 , kde je však slovo majetek vyjádřeno italským censo.]
Otázky a úkoly
1. Řešené úloha vede k soustavě rovnic s dvěma neznámými nebo k jedné rovnici s lomenými výrazy. Najděte oba zápisy, sledujte pak ten, který odpovídá Fibonacciho postupu.
2. Dokreslete geometrické útvary, které by doprovázely postup řešení při důsledném uplatňování geometrické algebry (součin = pravoúhelnlk).
3. Vyřešte úlohu tak, jak byste k ní přistoupili dnes, tj. bez ohledu na historické vzory.
B.     Fridericua: Pravidla falešných předpokladů
Autor zpracoval v letech 1455 - 64 rozsáhlý rukopis, ze kterého se zachovaly jen zlomky. Slo o sbírku pravidel a řešených příkladů s různorodou tématikou z praktické aritmetiky, kterou před 250 lety pokryl už Fibonacci. Použité metody pocházejí většinou ze starověku, používal je i Diofantos, čínští a indičtí matematikové.
(a) Ólpha_ o_ třech_ druzjc_h_ptéků
Kdosi nakupuje za   40   zlatých   40   ptáků tří druhů: kachny, každou za dva zlaté, slepice, každou za zlatku, holubice, každou za půl zlatky. Má se najít, kolik kachen atd.
Učiň dva předpoklady. Nejprve předpokládej   12 kachen, 20 slepic, 8   holubic, to je   40   ptáků, ale stojí   48 zlatých.
Je tak   8   zlatých t přebytku. Předpokládej proto druhou pozici (= situaci), totiž   9   kachen, 3 2    slepic, 10 holubic, to je   40   ptáků, ale stojí   44 zlatých, a tak přebývají   4   zlaté. Odečti tudíž   4   od   8 , zbýrají   4 , to je společný dělitel. Potom násob   12   a   4   křižem, ryji*   48 , déle opět křížem   9   a   8 , vyjde   72 , od toho odečti   48 , zbude   24 , ty děl čtyřmi [společným dělitele*] , budeš mít   6   kachen. Potom násob   4   a   20 , vyjde 80 , obdobně   21   a   8 , vyjde   168 , od těch odečti   80 , zbude   88 , ty děl čtyřmi, vyjdoa   22   slepice. Obdobně
8   a   10 r vyjde , ty děl čtyřmi, vy-
násob   8   a   4 , vyjde   32 , a násob 80 , od těch odečti   32 , zbudou 48 jde   12   holubic, a tak máš   6   kachen,   22   slepic a 12 holubic; 40   ptáků, kteří stojí   40 zlatých.
První předpoklad Druhý předpoklad
Kachny 12 Slepice 20 Holubice 8 plus 8
9 kachen 21 slepic 10 holubic 4 plus
Také 12 kachen, 4 slepice, 24 holubic.
) ^oha_ojävou přji^ych_kupjijícj[ch_dja koně
Jsou dva přátelé, kteří chtějí koupit dva koně. První chce koně za   20   zlatých, druhý za   25    zl. A říká první druhému: dej mi třetinu svých peněz, potom zaplatím koně právě za   20   zlatých. Ale druhý říká prvnímu: dej mi čtvrtinu svých peněz, pak já zaplatím přesně   25   zlatých. Chci nyní vědět, kolik mé každý.
Nejprve zvol jeden falešný předpoklad, patrně to, že první mé 12 zlatých, druhý 24 . Tedy první říká druhému: dej mi třetinu svých peněz, zřejmě 24 , a to je 8 k mým, to dělá 20 zlatých; ale druhý říká prvnímu: dej mi čtvrtinu svých peněz, totiž z 12 , a tvrdl, to jsou tři. Přidej 3 k   24 , vyjde   27 , a těch   27   přesahuje   25    o dva.
Podruhé předpokládej, že první má   16   • druhý   12 , tehdy se nedostává   9   zlatých. Protože pravidlo říká, £e když v jedné posici je nadbytek e ve druhé nedostatek, nají se spolu aečíat, a celek z nich je společný dělitel. Přidej tedy   2   k   9 , vyjde   11 . Potom násob kříže* 9 a   12 , vyjde   108 , obdobně   2   a   16 , vyjde   32 , které přičti k   108 , vyjde   140 , ty když vydělíš [čísle*! 11 , vyjde   12jj   zlatých, ty jsou majetkem prvního. Obdobně násob   9   a   24 , vyjde   216 , a   2   a   12 , vyjde 24 , ty sečti navrájem, vyjde   240 . Ty když vydělíš [číslem]   11 , vyjde   21y£   zlatých, majetek druhého.
První předpoklad
První 12 Druhý 24 plus 2
Druhý předpoklad
.6 první 12 druhý 9 minus
Otázky a úkoly
1. Pokuste se tentokrát vyřešit vyslovené úlohy nejdříve některou dnes užívanou metodou. Ke kterému typu úloh vede (a), ke kterému (b), máme-li na mysli i obor neznámých?
2. Označte volené hodnoty neznámých písmeny (parametry) a sledujte postup výpočtu předvedeného autorem. Porovnejte (a), Cb). Zdůvodněte, zda úlohy maji či nemají jen jedno řešení.
3. Vyslovte jedno obecné pravidlo, které je zřejmé se zápisů s parametry a které může nahradit dvě pravidla aplikovaná v ukázkách.
4. Najděte v 1. a 2. díle skript ukázky z textů jednotlivých epoch, kde se uplatnila metoda jednoho, reap. dvou, falešných předpokladů.
C.     Německé učebnice algebry z doby kolem r. 1460
Jde o překladovou literaturu pro účely městských Skol, kde se vzdělávaly děti obchodníků a řemeslníků, jež nestudovaly latinu.
(a) Tzv. Gerhardtova algebra
Do r. 1461 datovaný text mnicha Friderika je opisem díla, jež má úvod, který uvádíme; je dokladem počátků učebnicové literatury v národních jazycích, šlo nepochybně o volný překlad latinské učebnice; latinské termíny v textu zůstávaly, symbolika ještě chyběla. Slovo "věc í= Ding)" znamenalo neznámý počet (jako latinské res, italské cosa).
Itachmet ve své knize Algebra a almalcobula zavedl tato slova: census, radix, numerus. Census je každý počet, který byl sám v sobě vynásoben, je to numerus quadratue. Radix je kořen počtu nebo úroku. Numerus [čísloj je počet považovaný za sebe sama, není ani úrokem, ani kořenem.
Z počítání s věcmi uvedl šest případů: první, když se census rovná kořenům, druhý, když se census rovná číslu, třetí, když se číslo rovná kořenům, čtvrtý, když se census a kořeny rovnají číslu, jako když se řekne: jeden census a 10 kořenů se rovná 32 ; pátý je, když se census a číslo rovnají kořenům, šestý, když se kořeny a číslo rovnají censu.
(b) Regule delacose (= Pravidla pro výpočet neznámé)
Tento text prozrazuje vliv starších italských učebnic, které byly v jihoněmeckých městech známé. Po jazykové stránce je ještě pestřejší než text (a); zařazujeme ukázku, která jakoby nejprve rekapitulovala druhý odstavec z (a). [Německá slova jsou nahrazena českými, italské a latinská jsou ponechána.J Ukázka pokračuje citací několika pravidel.
První: Goea se rovná numero.
Druhý: Censo se rovná numero.
Třetí: Cosa se rovná censo.
Čtvrtý: Censo a cosa rovná se numero.
Pátý: Censo a numero rovná se cosa.
Šestý: Cosa a numerus rovná se censo.
Capitulum quartum
Když počet, to je numerus, rovné se věci, to je cosa, a censo, pak je třeba dělit tím censo, pak cosa, to jest věc, rozpůlit a tu polovinu samu sebou vynásobit, a co se pak dostane, máš připočítat k počtu, a radix součtu bez poloviny věcí je hodnota věci.
Capitulum quintum
Když cosa, to je věc, rovné se počtu, to je numero, a censo, pak je třeba dělit tím censo všechny věci, a rozpůlit ty věci, a vynásobit tu polovinu samu sebou a odečíst ty počty, radix z toho [rozdílu] odečtený od poloviny věcí je hodnota věci. Capitulum sextum
Když se censo rovná věci a počtu, pak je třeba dělit tím censo, rozpůlit věci a násobit [v orig. multiplicírovat] polovinu jí samou, a co vyjde, je třeba sečíst s počtem, a radix součtu spolu s polovinou věcí je hodnota věci.
Pozoruj, co je censo, věc a cubo:
Násobit věc a věc dává censo.
Násobit věc a censo dává cubo.
Násobit věc a cubo dává censo de censo.
Násobit censo de censo a věc dává duplex cubo.
Násobit censo a censo dává censo di censo.
Násobit cubo a cubo dává cubo di cubo.
Otázky s úkoly
1.0 kterého Machmeta jde v úvodu ukázky (a)? Jak se přesně jmenuje spis, který je trochu zkomoleně citován? Zavedl přímo ta slova, které jsou v ukázce uvedena?
2. Pomocí dnes obvyklých výrazů   ax   , bx , c   pro census, věc a počet zapište šest typů rovnic uvedených v závěru ukázky (a) a v úvodu ukázky (b).
3. Symbolickými zápisy výrazně rozlište tři typy kvadratických rovnic (čtvrtý až šestý případ) a zapište postup jejich řeš* ní. [Pamatujte, že "dělit tím censo" znamená dělit koeficien
tem v   ax    a že "dělit (rozpůlit) ty věci" znamená dělit (dvěma) koeficient u neznámé x.J
4. Porovnejte poslední odstavec pravidel s učebnicí Diofanto-vou z doby před 1200 léty [viz atr. 11 v 2. dílu skript] .
5. Ukažte, jak zde citované texty ilustrují tvrzení obsažená ve výkladové části druhého dílu skript na str. 130-2.
1.3   Počátky symbolické algebry
Obdobně nazvané články v Juškevičově knize (str. 407 a další) a ve druhém dílu těchto skript (61. 4.2) obsahují podrobnější souvislý výklad. Zde zařazujeme jen ukázky zápisů jako dobové doklady tohoto procesu.
A.     Zkratkové symbolika cossistů p,ro neznámou a její mocniny
V italských městech už od 13. století, za Alpami až od poloviny 15. století vznikaly společenské podmínky pro výuku praktické matematiky v městských školách. Jejich učitelé nerozvíjeli teoretické základy matematiky obsažené v díle Fibo-nacciho, ale při častém používání některých praktik nacházeli výhodná zjednodušení výpočtů s arabskými číslicemi i zápisů algebraických úvah. Mezi ně patřily zkratky ustálených názvů pro neznámou a její mocniny.
(a)   Zkratkové symboly Pacioliho, Rieseho a Rudolffa
Luca Pacioli (kol. 1445 - 1514) pocházel z kupecké rodiny, vyučil se v malířské dílně, krátce vedl obchod, v 27 letech a* stal řeholníkea a začal přednášet matematiku na univerzitách. Dílo "Summa aritmetiky, geometrie, poměru a úměrnosti" dokončil v r. 1487, tiskem vydal v r. 1494. Slo o encyklopedii praktické matematiky pro kupce, včetně výkladu o vedení účetních knih. V kapitolách věnovaných algebře shrnul a déle používal zkratky zavedené v Itálii během tří staletí od doby Fi-bonacciho.
Adam Riese (1492 - 155.9) byl od r. 1515 důlním úředníkem v šaškem Annabergu, zároveň vyučoval v městské škole a po 40 let psal učebnice praktické matematiky v němčině,,
Christoph Rudolff (kol. 1500 - 1545) pocházel ze slezského Javoru, vyučoval ve Vídni, svou knihu vydal ve Štrasburku v r. 1525; užíval stejnou symboliku jako Riese.
Pacioli		dnes
nuBwro	n°	x°
c osa	co	x1
cenao	ca	x2
cubo	cu	X3
censo de cenao	ce.ce	x*
priao relato	„o 0	x?
cenao de cubo	ce.cu	x6
secundo relato	2°.r°	x?
censodecenao de cenao	ce.ce.c*	x8
Riese, Rudolff
tf dragma
C cosa, radix
y zenaua
oř cubue
^J- zenaua da zeneu
ä auraolidum y* zenaicubua ki& bisuraolidum
J-zenaua zensui da censu
(b)
Z^atkové_ayaboly Grammatea, Schaubela ^Salignaca^
Grammateus (« Heinrich Schreiber) napaal svou početnici (Rechenbuchlin) v r. 1518.
Johann Scheubal (1*94 - 1570) byl profesorem v Tubingen. svou učebnici, vydal v r. 1551. převzal symboliku GrammateoViiľ jen "prima quantitas* nahradil slovem radix a symbolem   ra .
Petrua Rámus (1515 - 1572) byl francouzským učencem, paal nSJe?-í lofřky» ale 1 Mtematiky; Salignac byl jeho žák. který působil v Německu, jejich symboly pocházely z latinských
Grammateus,	Scheubel	dnes		Ramus, Salignac
numerus	K	x°		
prima quantitae	při.	x1	/	latus
secunda -"—	se.	x2	q	quadratus
tartia -"-	tar.	x3	c	cubus
quarts -"-	quar.	X4	bq	biquadratus
quinta -*-	quin.	X5	s	solidus
sexta -"-	sex.	x6	qc	quadraticubus apod.
LI
♦ 8 4
Stifel - 6
(c)   Zápisy výrazů aj^počtůjr cossistické_algebře Grammateus
6 při. + 8 N.
krát 5 při. - 7 N.
30 se. ♦ 40 pri. _- 42 pri. - 56 N.
30 sa. -   2 pri. - 56 K.
12
24
- 32
12
♦ 16c£
36
Y   •*• 24
32 y   ♦ 24
18 -
Salignac
6tq 2c
- k ■
5^
10s -i		
2bq	2c	2bq
		k
3e		3s
	3a	5*
celé je
6t1 * 10«   nebo   6c +
5qc
15 ^
15 qc
tq ... triquadra-tue = x
Scheub«l
15ae. ♦ 20ra tfěl,n0 _6pri ♦ 8K ^ rOTDa- l?tir * 60pri aěleno
12ra
24pri ♦ 32N roTná 3Épri
9pri
45ter ♦ 60pri 24 pri + 3»
36 pri
(d)   Zap i ay rovnic
2 z     10 eo   rovno numero 28
1 z    21 numer©   se rovné   5 e osa t° a 6 numero   se roraí   5 coea
2 se. + 18 N.   3« rovná   15 při
2 se. + 500 K.   se rovná   95 ^ při.
4j-   ♦ 8 <p    roYno 12 if 5cí   + 9 f     rovno 14 \ f
(doplnky k Fridericovi)
í On
teua)
í Rudolff)
(a)   Zápisy řaienl alovnich úlob t coaaiaticke* alfbf»
Fridfricův taxt (citovaný v či. 1.2) a« dochoval a poad*j-Slmi doplnky, ktaré obaahujl přepia původnícb slovních formulací v němaeke coáeietické eymbolice. Podatatná ja volba "věci* označené   ly    , pak řešeni poatupuje tzv. priatou Katodou, (na rozdíl od metody falešných předpokladů)^
Kdosi má peníze, žádá od.přítele 1 • bude mu roven. Druhy žádá 1   a bud* alt dvojnáaobek.
Předpoklade ja*, 2a vše dohromady, co mají, je ly . První tudíž má minua 1 , drutoý má |of a 1 . Když tudíž první dá   1   druhému, první bud* mít   ^ f minus   2 , a druhý bude mít
-   19 -
jOf a 2 , kteréž se mají rovnat dvojnásobku prvního, což je 1 y   minus   4 .
1
1 Tf   minus 4
1
se rovná  ^ Tf   a 2
£ Y   se ""Jsi rovnat   6 , vychází tedy y 12 První tedy má   5 , druhý T.
Máme [přátele] a, b, c . A žádá 1 od b , a bude mu roven; b žádá 1 od c a bude mít dvojnásobek než c; c žádá 1 od a, bude mít trojnásobek než a. ,
Předpokládejme, že první má   Xtf   , pak druhý má   lif   a 2 a třetí má   jif   a   2 j . Tomu když dá první   1 , bude mít třetí   j-y   a   3 j , a první si ponechá   1-jf   minus   1 , čehož trojnásobek   3y>   minus   3   se musí rovnat
3f
minus
2 \lf
i* 3I
5 13 yf   se mé rovnat
Vychází: lif   2 j   má první,   4 |>   druhý,   3 j třetí. Otázky a úkoly
1. Ukažte společné rysy tvorby zkratek pro mocniny neznámé v různých jazycích, které jsou uvedeny v (a), (b).
2. PřepiSte zadání úloh v (c) dnešním způsobem a zdůrazněte rozdíly v postupu výpočtů. V čem byla hlavní nevýhoda cos-sistické symboliky?
3. Zapište rovnice v (d) a řešení úloh v (e) pomocí   x, +,
=, jak je dnes obvyklé. V čem se předvedený postup liší od Diofantova? V čem souhlasí s našim postupem?
B.     N. Chuquet: Trojdílné učebnice včdy o číslech
(Dílo bylo dokončeno v r. 1484, zůstalo v rukopise do 19. století.)
Nicolas Chuquet z Paříže působil v Lyonu, který byl proslulý řemesly a obchodem; společenské podmínky v něm se podobaly italským městům, proto i zájem měštanů o praktickou aritmetiku byl značný. Lze předpokládat existenci učebnic pro vzdělávání dorostu kupců, řemeslníků a finančníků. Chuquet, ač především lékař, sepsal učebnici "Le Triparty en la science des nombres", která je věnována počítání s racionálními čísly, počítání s iracionálními čísly a teorii rovnic. Originální je Chuquetova symbolika pro mocniny neznámé (viz díl II, str.131), včetně záporných celých exponentů (denominací):
.2.  ... 2    ,  .2. ... 2x      , .1.  ... <ix      , ... ^x
Chuquetovo dílo, ač bylo opisováno jen ručně, bylo známé a rozšířené. ;
(a)   Násobení mocnin
Ten, kdo násobí   .12?   opět   .12? , dostává   .144. , protože kdo přičítá   .0.   k   .0. , dostává   .0. ; tudíž násobení dává .144. •
Tenr kdo násobí   .12?   číslem   .10? , musí nejprve vynásobit
.12.   číslem   .10. , což dává   .120. , a pak se musí přidat
.0.   k   .2.   Tudíž násobení dá   .120?   Touž úvahou ten, kdo ná-
11 2 sobí   .57   číslem   -87 , dostává součin   .40. .
Ten, kdo si přeje násobit   .127   číslem   .107 , musí nejprve násobit   .12.   s   .10. , dostane   .120. , pak musí sečíst spolu denominace, což je   .3.   a   .5.   dávající   .8. . Tudíž násobení dává   .120? .
Také ten, kdo si přeje násobit   .87"   s   .77m , dostane jako součin   .56. , pak ten, kdo sčítá denominace, dostane
.l.p"   s   .l.o   a dostane   0 .
Tak získá součin .56?
Obdobně ten, kdo by násobil    .8^   číslem   .77* , shledá výhodné vynásobit    .8.   krát    .7. , dostane    .56. , pak musí sečíst denominace, vezme    •3.'p   s    .l.s   a dostane    .2.   Tudíž násobení dává    .56.    a tímto způsobem musíme chápat ostatní problémy. ...
(b)   0_ eJ^ipolencích_ člsel_
... Abychom lépe rozuměli tomu, co bylo výše řečeno o tomto u-mění a způsobu zkracováni a porovnávání stran partií a přivádění jich k dvěma jednoduchým výrazům podáme zde některé
příklady, z nichž první je tentíf (budu ho zkracovat):
4? p" . 4.   "p .27 "p. 1   se rovná .100^ Nejprve odstraním   .2. p' .1   z obou stran a zbude mi       .4. p.4
na jedné straně a   99.m.27   na druhé. A nyní, když je jedna strana druhou odmocninou, je výhodné násobit ji jí samotnou, dostaneme   .4? .1. p .47^   na této straně. A obdobně musíme násobit   .99.II.2Í   jí samotnou a dostaneme   9801.nf.3967^.4? na
druhá strane. Nyní musíme jeStě zkrátit tyto výraiy odečtením
2 1 .4.   od jedné i druhá strany. A pak přičíst   .396.   ke každé
z nich. Tak dostaneme    .4007   na jedné straně a   .9801. na
druhé straně.
Otázky a úkoly
1. Připomeňte si Chuquetovu symboliku a uplatněte její současný přepis při překladu Chuquetových příkladů násobení mocnin neznámé.
2. Obdobně zpracujte úsek o ekvipolencích.; zapište rovnici a její řešení v dnes obvyklém sloupci rovnic.
1.4   České praktické početnice ze 16. století
V článcích. 1.2 a 1.3 jsme poznali ukázky z německých početnic, které zahrnovaly dobový způsob řešení úloh tradovaných po stálení. Stejné úlohy byly obsaženy v italských, francouzských, nizozrmských učebnicích a objevily se i v českých učebnicích během 16. století. Do ukázek v tomto článku vybíráme ú-lohy několika typů, které jsme dosud neuvedli.
A.     Nové Jcnížky vo _počte_ch na cif ry a na liny ... (Spis Ondřeje Klatovského vydaný r. 1530)
Ondřej Šimkovic zvaný Klatovský (1504 - 1551) se stal bakalářem na pražské univerzitě, byl členem družiny humanistů. Pro účast na rebelii proti Ferdinandu I. byl r. 1547 vypovězen z Cech, zemřel v Olomouci. Svůj spis vydal tiskem v Norimberku; jazyk spisu odpovídá úrovni prvních spisů v národních jazycích, tj. hovorové čeština je propletena latinskými odborný-
- ä i-
-    23 -
mi termíny. Slovo "facit" ve zkratce   fa   znamená "(to) déle".
Spis je rozdělen do čtyř traktátů: 0 počítání na cifrách. 0 počítání na linách. 0 zlomcích. 0 rozličném běhu kupeckém. Poslední traktát obsahuje různá pravidla f regule). Popisy, výklady a návody k výpočtům jsou velmi podrobné, doplněné mnoha vyŕeôenými příklady a úlohami k procvičení. Klatovský uvádí didaktické poznámky, řadí úlohy od jednoduchých ke složitěj-ším, připojuje tabulky převodů měr, vah a peněz.
(a)    Né so bení__pomoc l_č íf li c_ a_ do pj-nků_d o_ d_e_3 et První regule
Této regule užívati budeš při multiplicovaní až do 9 krát 9   takto: Ty figury, které by spolu multiplicovati chtěl, posedí jednu nad druhú puncti při nich zděláje, jedné každé její rozdíl posaS podle ní za punctem, to jest, co se nedostává od té figury k deseti, podtrhni pod nimi linu. Potom ty rozdíljr multiplicuj spolu,, to což odtud vyjde, jestliže v jednom počtu bude, ten posad" rovně dole pod linu, pakli dvěma, tehdy z nich první posad" a druhý schovej, hned pak jedné figury (na kříž) rozdíl odejmi od druhé a zbytek též rovně, pod nimi posad", kterému ten počet (až bylby) přidej a budet uděláno.
Exemplum
9. 9.
7.
8.
9. 7.
1
3
5. 5.
5 5
8. 8.
2 2
fa B
fa 5
fa 6
fa 2
fa 6
(b)    Reg_ule_ de tri_( trojčlenka^
Pravidlo jsme poznali ve 2. dílu na etr. 31 v ukázce z indické početnice, tradovalo se v nezměněné podobě. Pro porozumění textu dodejme: jeden florén (fl) se rovnal 20 šilinkům; slovo loket se zkracovalo na "lo*.
Item jeden koupil 2 facit
10 loket j za 7 fl, 1 Šilink.
-   8 fl
zač se dostane
8 f 1
9 loket ^
10 j lo
První a zadní počet vnes v celé, jmenovatelem prvního počtu; multiplicuj zadní, produkt a zadním jmenovatelem přední, stane takto:
fxo
(c)   Regule de quinque- (pěticlenka)_
Také toto pravidlo je vysloveno ve 2. dílu (str. 32); během staletí se pozměnil jeho grafický záznam, jak uvidíme v u-kézce. Vynásobením čísel, jež jsou umístěna pod sebou, vznikl řád«k, na který se aplikovala regule de tri.
Regule quinque dělej takto: postav ze dvou prvnějších počtů jeden pod druhý, ... třetí počet samostatně do prostředku a na tom místě toho stati nech, poslední dva též jeden pod druhý postav, potom multiplikuj přední dva spola; produktu napřed stati nech, poslední dva též spolu multiplikuj, a nech z zádi stát, potom dělej podle reguli de tri. '
Item 18 nadennikuov v 6 dnech akopaly 12 strychu vinicí. Votáz-ka, kolik strychuov 5 nadennikuov v 30 dnech skopají. Stojí v reguly:
dielni       18 ^ stry __. 5 nadenniku
12
dnech
6
108
12
"30 dnech 150
fax 16 strychuov
Otázky a úkoly
1. Vyložte postup popsaný v (a) na numerických příkladech; pak zvolte parametry   a, b   pro činitele a pořicíte záznam postupu pomocí nich. Ukažte, které dvojice sobě rovných výra-sů jsou teoretickým základem metody.
2. Projděte krok za krokem řešení úlohy (b), vyslovte pravidlo a jeho aplikací zkontrolujte výsledek. Pak ukažte dnes obvyklý způsob řešení dané úlohy, porovnejte ho s regulí de
. tri.
3. Ukažte aplikaci pravidla, podle kterého se údaje v (c) zapíší a úloha se vyřeší. Pak pŕedveäte dnešní způsob řešení.
4. Jak by vypadala řešení úloh (b), (c) podle indických pravidel?
-   24 -
-   25 -
5. Odpovídá dneB užívaný postup při řešení úloh (b), (c) nějaké obecnější metodě než byly regule de tri, regule de quin-que?
B.     Knížka Jiřího Mikuláše Brněnského z r. 1567
Autor se narodil na počátku 16. století, r. 1526" stal mistrem univerzity ve Wittenbergu, po určitou dobu řídil školu v Osově na Moravě, pak působil v Praze, kde si v r. 1566 otevřel vlastní školu. Pro její potřebu napsal spis Knížka, v níž obsahují se začétkové umění arithmetického ... . Při výběru úloh čerpal především z Klatovského, například úloha (c) z odat. A je i v jeho knížce. Také úloha', kterou uvedeme, bud* iám povědomá z 61. 1.2 .
Regula falši
n chce koupiti za 40 grošů trojích živočichů, jakožto hu-uřat a holubů, též na počtu za 40 a prodává se jemu jed-* za 2 groše, 1 kuře za 1 groš a 2 holubi za 1 groš. ■izka, kolik každého živočichu koupiti mé.
husí      12 - 9 husí
kuřat 20 holubů 8
21 kuřat 10 holubů
+8"'"' ~" 4+
divisor 4
takto: počty, kteříž jsou postaveni proti le-ější falešný počty. A tyto ježto proti pravé ruzý falešný počty, a jest jich 40 .
-očich v prvním falešném počtu podlé těch z, totižto 1 hus za 2 gr. alb. a jedno ehdy přijde 48 gr. alb. Tento postavenej liš vo 8, jakž dole stojí.
ešný počty, každou věc obzvláštně po-ijde 44 gr. alb., to klama příliš >t 4, to jest tvůj divisor, jakž do-
h falešných počtuov s tým menším tehdyt přijdou ...
[řešeni souhlasí postupem i výsledkem s 61. 1.2 .]
C.     Aritmetika Jiřího Goerla z r. 1577
Autor byl Němec, Žil v letech 1550 - 91; v Litoměřicích se naučil česky a přesídlil do Prahy. Svou německou učebnici aritmetiky přeložil do češtiny a vydal v r. 157T. Stal se císařským notářem v r. 1587, ale zemřel poměrně mlád.
Geometrické posloupnost (z kapitoly 0 lichvě)
Jeden měštěnín vypůjčil sobě v židech na lichvu 350 zlatých českých od jednoho Žida, kterýžto na ten způsob mu půjčil, aby každý rok ze 100 zl. dal 6 zl. a druhý rok z těch 6 zl. zase lichvu tak dlouho dokudby jich užíval. Ten měštěnín užíval těch peněs 4 léta. Otázka, co musí tomu Židu z té hlavní sumy, lichvy a lichvy z lichvy dáti.
Operacio
Posad" 100 zlatých 4krét, jedno pod druhým, kterýžto multipli-kuj jedné v druhý, produkt posad" do prostředku regule de tri. 100 al. vodtud ta lichva jde, ty posad* naproti 100 zl. a ziskem také 4krét, multiplikuj též podobně jeden v druhý produkt posed" napřed a sumu, kterouž jest vypůjčil, nazad, a stojí takto:
106 106 106 106
-100 -100 -100 -100
126 247 696
100 000 000
100 000 000 zl. dá mi 126 247 696 zl. Co ni dá 350 zl.? Facit 441 zl. 52 gr.   0 penízů   0 malých ,   j^21 díl jednoho malého.
[Poslední údaj lze získat jen převodem měn: 1 zlatý = 60 grošů, 1 groš = 7 bílých penízů (gr. alb.).]
Otázky a úlohy
1. Sledujte text v odst. B a porovnejte ho s postupem v 61. 1.2 při řešení obdobné úlohy. Pro které dnešní české termíny jsou použity termíny latinské?
- 26
-   27 -
2. FroveSte poetup popsaný v ukázce C včetně trojčlenky.
3. ZapiSte současný způsob řešení úlohy o geometrické posloupnosti.
1.5   Symbolika algebraických textů v letech 1540 - 1580
Vracíme se k sledování formální stránky algebraických textů ve vrcholném období evropské renesance, abychom vystihli zrod symbolické algebry. Na rozdíl od dosavadních článků sou>-středíme zájem na texty italské.
A.     Cardanovo dílo Ars aagna z r. 1545
Girolamo Cardano (1501 - 1575), lékař a matematik, vydal spis "Veliké umění aneb o algebraických pravidlech", ve kterém poprvé publikoval metody řešeni polynomických rovnic 3. a 4. stupně (viz 2. díl, str. 132-4). Zcela obecné úvahy formuloval Cardano jen slovně, v numerických příkladech používal typicky italskou symboliku.
Jak už víme, rovnice typu       + px = q   formuloval Cardano "krychle a věci rovnají se číslu"; v obecném pravidle, jak určit "hodnotu věci", hovoří o počtu věci (číslu p) a o číslu (číslu q).
(a)   Sezení kubických rovnic-Pravidlo
Utvoř krychli z třetiny počtu věcí, přičti čtverec poloviny čísla, najdi kvadratický kořen toho celého, který použiješ v jednom případě tak, že k němu přičteš polovinu čísla, kterou jsi už jednou násobil s ni samotnou, ve druhém případě odečteš touž po-lovinu, a tak budeš mít dvojčlen [součet] a rozdíl. Potom odečti kubický kořen rozdílu od kubického kořene dvojčle-nu, rozdíl je hodnotou věci.
V původním latinském textu pravidla užil Cardano jen zkratku   \   pro radix = kořen , q   místo "kvadratický", symbol ft   místo   et = a .V bezprostředně následujícím příkladu je sloupec zcela symbolických zápisů a vedle neho slovní text a mnoha zkratkami.
Například, krychle a šest věcí cub   p : 6 reí>    aeqlio 20
rovné se 20; povyš 2, třetinu z 2 2
6, na krychli, to dá 8, násob 10, 8 - 10
polovinu čísla, sebou samým, to do 100; sečti 100 & 8, vyjde 108, utvoř kořen, který je í^lOS, & u-žij ho, nejprve k němu přičti 10,
polovinu čísla, poté odečti totéž   m : í^v : cu. 7^108 m ; 10 a dostaneš dvojčlen   7^108 p : 10 , 4     rozdíl     fa 108 m : 10 , z nich
vezmi   Z^Scubal    & odečti onen z rozdílu od toho, který je ze součtu, budeš mít hodnotu věci,    í^-v : cub :   ^ 108 p : 10 m ^ v t cubica  % 108 m : 10 .
108 108 p %.108 m í^-v : cu. % 108 p : m : %v : cu. 7^108
! 10
: 10 10
(b)   Počítání s imaginárními čísly
Ponecháme opět symboliku původního textu, abychom poznali Cardanovy způsoby zápisů imaginárních čísel. Naše ukázka je převzata ze 37. kapitoly knihy, ale zápisy imaginárních čísel se v ní objevily už dříve.
Dám příklad: Řekne-li vám někdo, rozděl 10 na dvě části tak, že jedna vynásobena druhou dá 30 nebo 40, je zřejmé, že takový případ či otázka je nemožné. Nicméně ji budeme řešit. Rozdělme 10 rovným dílem & budiž jeho polovina 5, vynásob ji sebe samou, vyjde 25. Od 25 odečti součin, to je 40, což dá, jak jsem tě u-čil v kapitole o operacích v knize šesté, zbytek   m : 15 , jehož    Q přičtený a odečtený od 5 ukáže části, které navzájem vynásobené dají 40, budou to tyto:    5 p :í^m:15S;5i«:í^n : 15 •
(c)   Řešeni rovnice 4. stupně
Cardano uveřejnil řešení, které gbjevil Ludovico Ferrari (1522 - 1565). Vtip řešení rovnice x + px + qx + r = 0 je v tom, že se přejde k rovnici
(x2 + p + y)2 = x2(p + 2y) - qx + (p2 - r + 2py ♦ y2)
a diskriminant pravé strany se položí rovným nule, aby se nalezla vhodná p, y . Tak vznikne rovnice 3. stupně pro neznámou y . Ferrari řešil rovnici x + 6x + 36 = 60x , Cardano označil_neznémou jako "posici" zkratkou pos (= positio), symbol   qdqd znamená quadratoquadratus.
-   29 -
... pŕideí na každou stranu [řešené rovnice] 6 čtverců a budeš mít 1 qd qd p : 12 qd p : 36   rovná se 6 qd p : 60 posic. ... Ale 1 qd qd p : 12 q"d p- : 36 má kořen, který je 1 qd p : 6. Kdyby 6 §d p : 60 posic mělo kořen, byli bychom hotovi, ale ta> není, tudíž musíme přidat tolik čtverců a nějaké číslo na každou stranu, aby na jedné straně mohl zůstat trojčlen mající kořen, zatímco na druhé straně to nestane také. Budiž tedy počet čtverců neznámou ...
[na základě geometrického schématu se zjištuje:] ... na knždou stranu je třeba přidat 1 qd p : 12 posici a také 2 posice v počtu čtverců. Budeme opět mít, jak každý vidí, tyto kvantity sobě rovné:
1 qd qd p i 2 pos. p : 12 qd^ p : 1 qd . p : 12 pos. přidaných p i 36
rovná se
2 pos. 6 čtverců, p : 60 pos. p : 1 qd p : 12 pos. přidaných Každé strana bude mít kořen, první podle pravidla ale druhá podle předpokladu, že totiž první část [člen] trojčlenu vynásobený třetím vytvoří čtverec poloviny druhé části trojčlenu. Protože z poloviny druhé části násobené sebou vyjde 900 čtverců & z   součinu   první s třetí vyjdou 2 krychle p : 30 čtverců p : 72 posic čtverců; obdobně bude ...  [po zkráceni] ...
2 cu . p : 30 čtverců p : 72 posic rovné se 900, tudíž 1 cu . p : 15 čtverců p : 36 posic rovná se 450 . [Podle pravidel pro řešení kubických rovnic se určuje hodnota neznámé, jež udává počet čtverců:]
í^v: cubica 28T -j pt ^80449 j p: %v: cubica 287 j m; "^80449 |»:5
To je tedy počet čtverců, který se mé po zdvojení přidat na obě strany čtverec [tohoto počtu] je číslem, které se má při-
dat apelu s 12tinésobkea na obě strany.
Otázky a úkoly
1. Proč Cardano nepoužíval v obecných návodech takřka žádnou algebraickou symboliku, ale v příkladech ji uplatňoval hojně?
2. Přepište sloupec symbolických zápisů v ukázce (a) v dnešní
symbolice a výsledek porovnejte se zápisem, kterým byate rovnici řešili sami.
3. Dnešními prostředky zapište odstavec (b), tj. řešeni rovnice 2. stupně s komplexními kořeny.
4. Podle úvodu k ukázce (c) přepisujte Ferrariho postup do dnešní podoby (pomocnou neznámou označte   y); řešení dokončete zápisem kořenů rov nice 4. stupně. Co rozumí Cardano slovy "trojčlen má kořen"?
B.    Dílo "Algebra" Rafaela Bombellihe- z r. 1572
Autor byl inženýr a matematik, pracoval zejména v Bologni; ve své knize (vyšla posmrtně) chtěl vyložit základy algebry jasněji než Cardano   Přístupně objasnil počítání a imaginárními čísly, jeho obrat "meno di meno" se stal úslovím; s komplexními čísly počítal jako a mnohočleny. V algebraické symbolice zavedl nový způsob zápisu mocnin neznámé, který si ukážeme.
(a) Poč_ítánl_ s_o^moj;n^nam^zépornjch čísel
Nalezl jsem jiný rod spolu souvisejících, kubických kořenů, které se významně odlišují od těch, které vznikají při řešení rovnic typu "krychle se rovné kořenům a číslu", když kryehle třetiny kořenů je větší než čtverec poloviny čísle kvadratické kořeny toho druhu se při počítání řídl pravidly odlišnými od těch, která platí pro ostatní kořeny, a mají rvléšznl názvy.
... rozdíl čtverce poloviny čísla a krychle třetiny kořenů se nemůže nazvat kladný ani záporný, proto je budu nazývat plus z minusu [piú di meno], když se mé přičítat, a minus z minusu [meno di meno] v případech, kdy se má odčítat.
... kořeny tohoto druhu se budou mnohým jevit spíše jako sofis-tické než jako něco, co má reálný význam; tento názor jsem zastával do doby, než jsem našel důkazy na přímkách.
Plus krát plus z minusu dává plus z minusu.
Minus krát plus z minusu dává minus z minusu.
Plus krét minus z minusu dává minus z minusu.
Minus krát minus z minusu dává plus z minusu.
-   30 -
-   31 -
Plua z minusu krát plus z minusu dává minus. Plus z minusu krát minue z minusu dává plua. líinua z minusu krét minus z minusu dává minus. Minus z minusu krát plus z minusu dává plus.
( b)   fieěeni kvadratických _rovni_c_
Necht   2 Ô p. 12 Ó    se rovná 32. Zkrátlme-li tona   iď , dostaneme   1& p . S ó    se rovná 16. ... vezmeme-li polovinu lineárních veličin, tj. 3 , a přičteme ji ke straně čtverce [v orig. lato di quadreto] , tj. k   lď , dostaneme llip . 3 . Čtverec tohoto výrezu bude roven   léf p . 6iS>p.9. Ale my jsme chtěli jen   1 ď p . 6 Ó 5 proto když přičteme 9 k oběma částem, dostaneme   1 ď p . 6 Ó p . 9   rovná se 25 . Najdeme stranu čtverce   1 £/ p . 6 ó p . 9 , dostaneme liii
d . 3 , které se rovná straně z 25 , tj. 5 . Když te3 od obou
i
částí odebereme   3 , zůstane   2   rovná se   1 <U , hodnota neznámého [v orig. tanto « tolik] bude   2 .
Otázky a úkoly
1. Použijte zápisu   x3 = px + q   rovnice, o které mluví Bom-belli, a vyjádřete pomocí   x, p, q   další jeho úvahy. Co rozumí "třetinou kořenů" ?
2. Kde Bombelli vyjadřuje skutečnost, že komplexní čísla nelze porovnávat vztahem "menší než, větší než" s nulou?
3. Pomocí symbolů   +v^l , -y£T , bs£I , -b/T , při kladném
b , vyjádřete obsah osmi Bombelliho pravidel. Použijte též i, -i, bi, -bi   ke zkrácenému vyjádření těchto pravidel.
2
4. Přepiěte Bombelliho text v (b) pomocí symbolů   x , x, + místo   i3 » Ó » P • Za jakých předpokladů je jeho postup správný?
5. Kterému autoru z dosud uvedených je Bombelli svou symbolikou blízký? Je moderní symbolice bližší než Cardano? Proč?
1.6   Nové způsoby výpočtfl navržené po r. 1580
Kupecké počty, výpočty při finančních operacích a jednoduchých měřických pracích se v 16. století prováděly ve stále větší míře písemným počítáním pomocí indickoarabských číslic; starší způsob počítání na abaku ustupoval do pozadí. (Podrobný výklad tohoto vývoje je obsažen v Juškevičově knize od str. 339 do konce.)
Náročnější výpočty pomocí tabulek sinů byly potřebné v zeměměřičství, astronomii a mořské navigaci; v těchto oborech se v Evropě používaly především šedesátinné zlomky, jen někteří učenci dávali přednost desetinným zlomkům a přepočítávali tabulky. V šedesátkové soustavě byly "necelé části" čísel vyjadřovány v minutách (minuta prima = zmenšené první), sekundách (minuta secunda = zmenšená druhé), terciích, kvartách atd. Například polovina měsíce, tj. průměrná doba od konjunkce k opozici Měsíce a Slunce, se udávala jako tento náeobek dne:
14     45'     55"      3"'   48" dne ,
což znamenalo   14 + 4Ž_ + 55   + 23   + 48    dne y naěeBJ zápiBU> 60x     60^     60J 60*
Stéle složitější výpočty založené na rovinné a sférické trigonometrii a nezbytné pro vyměřováni pozemků, mořeplavbu, astronomická bádání, stavby pevností, vodních cest atd. bylo třeba nějak ulehčit. Konec 16. století a začátek 17. století přinesl novinky - plnější uplatnění desetinných čísel, záporných čísel a vytvoření logaritmů. Tyto události si přiblížíme ukázkami z děl Stevina a říapiera.
A.     Práce Simona Stevina z r. 1585
Vlámský učenec žil v letech 1548 - 1620, pomáhal Nizozemí v bojích za nezávislost a v úsilí o hospodářsky rozmach;- prováděl proto mnoho zeměměřičských a inženýrských výpočtů. V roce 1585 vydal dva spÍ6y; jeden propagoval počítání a desetinnými čísly, druhý měl i zčásti algebraický obsah. Všímejte ei symboliky zavedené Stevinem pro mocnitele jedné desetiny, resp. neznámé.