Cramerovo pravidlo pro řešení SLR
totální vzorec pro řešení SLR - odvození pro systém dvou rovnic o dvou neznámých;
Definice 1: matice typu m-n
Cramerovo pravidlo - vzorce, slabina metody
Příklad: pomocí Cramerova pravidla vypočtěte řešení SLR:
x
— z
0
3x + y
1
—x + y + z
4.
Definice determinantu
Definice 2: determinant čtvercové matice
Příklad 2: výpočet determinantu matice řádu 4 z definice, pomocí geometrického názoru počtu inverzí při každé permutaci sloupců v daném součinu, určení znaménka u součinu pomocí geometrického názoru počtu hran příbuzných vedlejší diagonále. Můžete vysvětlit na příkladu:
Definice 3: hlavní a vedlejší diagonála matice
Definice 4: inverze ve vztahu mezi dvěma prvky v permutaci
Pravidla pro úpravu determinantu
Dl: determinant se transponováním nezmění
D2: determinant je antisymetrické zobrazení - důsledek: přehozením dvou řádků determinant změní znaménko;
D3: determinant jako zobrazení je lineární v každé složce;
D4: determinant se nezmění, pokud k jednomu řádku matice přičteme reálný násobek jiného řádku;
Def. 7: schodový tvar matice. Jak souvisí výpočet determinantu se schodovým tvarem matice a pravidly D3, D4 ?
1
2 0
3
2 4
0
1
0
1 1 1
2 0
3
4
2
7  VEKTOROVÝ PODPROSTOR
Laplaceův rozvoj determinantu, determinant matice s jedním řádkem zkombinovaným z jiných řádků
D5: Vzorec pro rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce Vysvětlete na příkladu rozvojem podle vhodného řádku nebo sloupce:
D6: determinant matice, kde jeden řádek je lineární kombinací jiných řádků, je roven nule.
Vektorový prostor
Vlastnosti sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem - pouze grafický názor vlastností z následující definice u běžných vektorů v prostoru R2.
Def. 8: vektorový prostor
Příklady: nejmenší možný vektorový prostor, prostor polynomů stupně nejvýše n, prostor funkcí spojitých na intervalu.
Závislost a nezávislost skupiny vektorů
Def. 6: lineární kombinace vektorů;
Def. 9: lineárně závislá posloupnost vektorů;
Def. 10: báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice
Příklady báze (u příkladů vektorových prostorů z předchozí otázky)
Postup sestavování báze.
Vektorový podprostor
Def.ll: vektorový podprostor: co stačí ověřit, abychom věděli, že podmnožina vektorového prostoru je sama už vektorovým prostorem?
Příklady vektorového podprostoru (co je podprostor; co není podprostor) Je průnik dvou podprostoru vektorový podprostor? Důkaz věty 3.
Je sjednocení dvou podprostoru vektorový podprostor? Protipříklad + lze tedy definovat nějak podprostor určený sjednocením? (věta 4, def. 12, def. 13)
1 3
2
8
2
5
6 1
0 2 0 2
1 4 0 3
3
8 Generátory vektorového podprostoru
• Věta 5: přičtení kombinace jiných řádků nemění nezávislost posloupnosti vektorů (důkaz nemusíte)
• Příklad: je vektor na pravé straně následujícího SLR lineárně závislý na sloupcích matice na levé straně? Proč?
xi + 2x2 + 3x3       = 4, —x2 + 4rr3 + 7x4   = 5, 5x3 + 3x4  = 7, 2x4  = 1.
• Věta 6: ERU (def. 14) nemění množinu řešení SLR (dokazovat nemusíte)
• Věta 7: vztah mezi dimenzí součtu a dimenzí průniku podprostorů (důkaz nemusíte)
9 Hodnost matice, Frobeniova věta, tři typy výsledků řešení SLR
• Co je to hodnost matice?
• Jaké tři situace mohou nastat u SLR vzhledem k počtu řešení - a kdy vzhledem k hodnosti matice A a matice rozšířené (viz shrnutí str. 27 nahoře)?
• příklad řešení SLR Gaussovou eliminací: vyřešte následující systém rovnic:
x + y + 2z — 5w  = 3, 2x + 5y — z — 9w  = —2.
• Opravte předchozí příklad (některé koeficienty ze zadání), aby počet řešení byl a) 0, b) 1.
• V případě nekonečně mnoha řešení: Jak počet parametrů souvisí s hodností matice systému?
10 Homogenní SLR, princip superpozice, dva typy výsledků řešení SLR-hom
• Co je to SLR-hom? Jaké jsou typy SLR-hom podle počtu jejich řešení?
• Množina řešení SLR-hom tvoří vektorový podprostor (včetně důkazu — zkuste systém psát jen maticově, bude to přehlednější).
• Obecné a partikulární řešení SLR, princip superpozice.
• Princip superpozice ilustrujte na příkladu:
X\ + 2x2 + 3x3  = 5,
4
14   JÁDRO A OBOR HODNOT LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ
sčítání a násobení matic — analýza z algebry 1
Jak se definuje sčítání matic a jaké matice lze sčítat?
Věta 12: uveďte a dokažte vlastnosti operace sčítání matic
Jak se definuje operace násobení matic a jaké matice lze násobit?
Věta 13: uveďte a dokažte vlastnosti operace násobení matic (přednostně tedy násobení na množině čtvercových matic)
Maticová metoda při řešení SLR
Co je to maticová metoda řešení systému lineárních rovnic?
Výpočet inverzní matice Jordánovou metodou - vysvětlete na příkladu v otázce číslo 1. Kdy lze užít metodu inverzní matice při řešení SLR? (singulární matice, regulární matice)
Lineární zobrazení
Uveďte definici lineárního zobrazení mezi vektorovými prostory.
Zadání lineárního zobrazení pomocí předpisu - pomocí matice - pomocí obrazů báze. Vztah mezi těmito typy zadání ... vysvětlete na příkladu zobrazení
Příklad: najděte matici lineárního zobrazení, které představuje osovou souměrnost v rovině vzhledem k přímce y = |.
Věta 16: základní vlastnosti lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Def. 22: jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Na příkladu vysvětlete, jak jadro a obor hodnot konkrétního lineárního zobrazení najdeme:
Věta 17: vlastnosti jádra a oboru hodnot, vztah jejich dimenze a dimenze celého prostoru vzorů.
Věta 18: lineární zobrazení je injektivní právě tehdy, když ... (a lineární zobrazení je surjektivní, právě tehdy, když ...)
K čemu jsou pojmy jádra a oboru hodnot zobrazení užitečné?
f : R3
—ř R2 definovaného vzorcem        = v2
2vi + 3v2 + V3+VA bvi + 2v2 + 3v3
)
5
15   Vlastní čísla (hodnoty) a vlastní vektory (směry) lineární transformace
• Def 27: vlastní čísla a vlastní směry lineární transformace vektorového prostom.
• Najděte matici lineárního zobrazení, které představuje osovou souměrnost v rovině vzhledem k ose