2. diferenciální počet funkci několika proměnných
Def. 2.1: (Parciální derivace)
Nechť 1 < k < n, ( n, k e N). Nechť funkce f(xl,x2,...,xn) je definovaná v bodě
X° = \x°,X2,...,xl,...,xl'\ a na množině
Ak ={ [x1°,x2°,...,x,°_1,x)t,x,0+1,...,x„0] | xk (=(x°k-ó;x0k+ó), kde S>0}.
Pak derivace <p\(x°) funkce (pk(xk) = f{x° ,x2,...,xk,...,x^) v bodě X° se nazývá
parciální derivace funkce/ v bodě X° podle proměnné xk.
Značíme ji |^(X°), &%fl, f^X0), fXt(X°). dxk čxk
Pozn.:    Nechť Mk cr R" je množina všech bodů X, ve kterých existuje parciální derivace
df df -(X). Na množině Mk pak funkci definovanou předpisem X —» (X)
dxk dxk
nazýváme parciální derivací funkce/ podle proměnné xk a značíme ji
df
- nebo f nebo f .
dxk
Funkce n nezávisle proměnných má n parciálních derivací 1. řádu.
Věta 2.1: Nechť 3 parciální derivace f (X°), g' (J°) a nechť c e R. Pak 3 také parciální derivace (/ + ^);(X0);(c./);(X0);(/.^);(X°) a je-li g(x°)*0 také parciální derivace (f/g)'Xt(X°) a platí:
(f+gyXt(x0)=f;t(x0)+g'Xt(x°">
(c.fyXk(x0)=c.f:k(x°)
(fg)'Xk (x°) = a; (x° ).g(x° )+f(x0).g'Xt(x0)
(flvv(x^ a;(^0)-g(^0)-/(^0)-g;(^°)
u'g)xM >--g2(x°)-
Věta 2.2: (Parciální derivace složené funkce)
Nechť má funkce f(xl,x2,...,xn) v bodě Jf°[x[l,X2,...,x°] spojité parciální derivace l.řádu podle všech nezávisle proměnných.
<        :        = X° zobrazuje bod
do bodu X° a 3 parciální derivace ^L(T0);^(T°);.....;—(T°),   i g (1,2,...,r).
Označme F = f(g1,g2,...,gn) složenou funkci f °g .
Nechť zobrazení gif^,t2,...,tr)ž
1
Pak3 E(r)=y£(j»).*i(ľ»).
mSxj St,
Def. 2.2: Říkáme, že funkce / má v bodě X° parciální derivaci druhého řádu podle
proměnných xk,xt, (v tomto pořadí), právě když 3 parciální derivace 1. řádu funkce g(x1,x2,...,xn) =    (x1,x2,...,xn) vtomtobodě X° podle proměnné xl. Tuto parciální derivaci 2. řádu značíme:
;       f:kXi       ;     fVi       . Lze rozšířit na celou funkci.
Analogicky značíme a definujeme parciální derivaci třetího a vyššího řádu. Parciální derivaci nazýváme smíšenou, je-li xk^xl. Obecně neplatí
f"kXl = f"Xk, ti • záleží na pořadí. Věta 2.3: Jsou-li funkce f"   a f"   spojité, jsou si rovny.
Def. 2.3: Říkáme, že funkce <p(xl,x2,...,xn) je harmonická na oblasti G aEn, právě když má na G spojité všechny parciální derivace prvního a druhého řádu a platí: pro V XeG  <p^(X) + <p^(X) + ... + <pr^(X) = 0.
Levou stranu rovnosti značíme stručně A(p. ["laplas na
Znak A
rA   d2   d2 d2^
A = —- + —- + —-
v     8x2   Dy2   Ôz2 j
se nazývá Laplaceův operátor.
Def. 2.4: (Směrová derivace)
Nechť ú = (u1,u2,...,un) je jednotkový vektor. Nechť funkce / je definována
v bodě X° a na nějakém jeho okolí na přímce X = X° + t.u , kde t g (-ô,ô) pro ô >0.
3-li derivace (p'if) funkce <p(t) = f(xf +t.uu...,x® +t.un), nazýváme j i směrovou
ôf
derivací funkce/ v bodě 1° ve směru vektoru ú a značíme ji .
8u
ôf
Pozn.:    Derivace      udává, jak rychle roste, popř. klesá v bodě X° funkce f ve směru u .
du
2
Def. 2.5: (Gradient)
Nechť funkce/má v bodě X° spojité parciální derivace prvního řádu podle všech proměnných    *2,...,*„. Pak vektor (/' (X0),/ ' (X°),..., fx (X°)) nazýváme
gradientem funkce/v bodě X° a značíme jej grad f(X°) nebo V/(J°) ("nabla").
Lze jej rozšířit na množinu bodů X a obdržet vektorovou funkci
ôx     oy oz
Věta 2.4: Má-li funkce/ v bodě X° spojité parciální derivace prvního řádu podle všech svých proměnných, má v bodě X° směrovou derivaci ve směru každého (jednotkového) vektoru u a platí:
du
(X°)= gradf(X°).u
Pozn.:    Dále platí
dií
grad f
.\u\.cas(p
grad f ... nej větší směr derivace
i   (-i. i)
Je-li gradf(X°) = 0, je ^(X°) = 0 pro každý vektor u . Je-li gradf(X0)* 0, 3
du
jistá maximální směrová derivace.
-   grad f(X°) Je to derivace ve směru vektoru g ■
\gradf(X°)[
Def. 2.6: (Totální diferenciál)
Nechť funkce f(x1,x2,...,xn))e definovaná na okolí bodu X°. Říkáme, že lineární funkce /(í/x, , dx^,..., dxn ) = A^dx^ + A2dx2 +... + Andxn j e totálním (úplným)
3
diferenciálem funkce/ v bodě X°, platí-li:
lim
[f(x° + dxvx\ +dx2,...,x°n + dxn)-f(x°,x2,...,x°n^-(Aldxl + A2dx2 +...) _Q
lÄ,Ä,...Mo,o,..| ^dx\+dx\ +... + dx2n
Totální diferenciál funkce značíme dl.
Věta 2.5: a)   Má-li funkce/v bodě X° totální diferenciál, je v tomto bodě spojitá, má v něm parciální derivaci 1. řádu podle všech svých proměnných a směrové derivace
df
( pro libovolný jednotkový vektor u ).
dii
Pritom platí: 4 = /x (x°), i = 1, 2, n
tj-       df = fjfx(x°)dxi
b)  Má-li funkce/v bodě X° spojité parciální derivace 1. řádu podle všech svých proměnných, má v tomto bodě také totální diferenciál.
Pozn.:     1)   Přírůstky souřadnic xlx2..jcn tj. dxldx2...dxn se nazývají diferenciály nezávisle proměnných.
Totální diferenciál funkce z = f(x,y) v bodě X° = \x°,y°\ pakje dz = fXx0,y0)dx + f;(xoy)dy.
2)   Pro body X blízké bodu Z0 lze psát f{X)« f(X°)+df nebo
/(X)-/(X0) + /;(X0).(x1-xr) + /'(X0).(x2-x20) + ... + /'(X0).(x„-x„°)
Def. 2.7: Kvadratickou formu d2f = ^f"x (X°)dxidxJ nazýváme totálním diferenciálem 2.
i,j=l
řádu funkce/ v bodě X°. Analogicky definujeme totální diferenciály vyšších řádů.
Věta 2.6: (Taylorova věta)
Nechť funkce/má na okolí bodu X° totální diferenciály až do řádu k a nechť
m=X-X°.
Pakplatí:    f(X) = f(X0) + ±df + ±d2f + ... + ±dkf+Rk+l(u).
1!      2! k\
Přičemž pro zbytek Rk+l(u) platí lim ^k+l^ = o .
\u\
Příklad: Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí
1 JXy - .   .       .cos y
1. z = —— 2. z = (smx)
x-y
\\\7ľxy
3. z = h(x + -N/x2 + /) 4. z = xyesin
5. z = (x + y)y 6. z = (2x+y)2jt+y
4
7. z
4
2 2
x + y -x
2 2
x + y + x
8. z
3 3
x + y
2 , 2
x + y
Výsledky: 1. z x
3. z r
7. z\
S. ť
3y2
3x
(x-y)2
2. z'x = cosxcosXsin x)
(x-y)
(cos^)-!.
(sin x)cosy. sin y.ln(sin x)
1
y
2   , 2
x + y
y        2,2, T 2  , 2
•        Vľ -
x + j  + X yjX + y
^■zx= y(l + ^xycos^xy)z; z'y= x(l +xxycosxxy)z
r y
5.z=y{x + yy-1; ť=(x+y)
ln(x+ y) + -
x+ y
6.z= 2[l + ln( 2x + y)]z; zy = [l + h( 2x + y)]z
■2x
2   , 2
x + y
-2..2
yj*2 + y2
x4 + 3xzyz - 2xy'     ,    y4 + 3xzyz - 2x'y
; z =
(x2 + y2)2
(x2 + y2)2
Príklad: Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí
1. z = x2 sin2 y; z
2. z = e* ln y + sin y In x, zxyy = ?, zm=1
3.z = x2y + exy ; z
'xry
Výsledky: 1. ^
2sin2_y
.   -       <?*    siny     - 2e*
Z 7      =----—'    7 =-
■ *~xyy 2 '     yyy 3
3.z^ = 2 + ^V3(4 + 2xy2)
-cos y\n x
Príklad: Dokažte, že daná funkce vyhovuje dané diferenciální rovnici
1. z = Wex +ey), z^Zyy-iz^f =0
2. z = arctan(2x - y), zxx + 2zxy = 0
3.z = 2cos2(x-^), 2Zyy+zxy=0
4. z
x
*Jx + y
■yylx + y, zxx-2zxy + zyy =0
Příklad: Určete gradient v bodě A,dz v bodě A a d2 z v bodě A funkce f (x, y)
5
1. z = sinxcosv, T = (—, —, ?), A = (—, —)
4   4 4 4
2. z = y]nx, T = (l, 1, ?), A = (l, 1)
3. z = xsin2y, T = (í, |, ?), A = (l, |)
4. z = ^, T = (l, 2, ?), A = (l, 2)
Výsledky: l. — i - — j, —dx — — dy, -—dx -dxdy- — dy2 2     2    2      2        2 2
2. z , dx, -dx2 + 2dxdy
3. i , dx, -Idy2 4.2e2i +e2j, 2e2dx+e2dy, 4e2dx2 + 6e2dxdy+ e2dy
2
Příklad: Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci z = /(*, y) v bodě A
1. z = sin xsin y, A = (—, —), n = ó
4 4'
2. z=—, A = (0, 0), n = 2
cos y
3. z = ln(l-x)]n(l-y), A = (0, 0), n = 3
4. z = 3x2y + sin2x + 5y-2, A = (0, 0), w = 3
5. z = xsin y, A = (l, —), 7í = 2
- + -(x--) + -(y --) --(x--)2 + -(x--) (y --) --(y --)2
j r • i ii    i   2   2      42      44      4      2      4 44 4
Výsledky: 1.
1   .        ;Z\3      1 #",2, 1 / /        ^.2       1 /
—(x-—) --(x-—) (y-—)—(x—) (v-—) —(y-—r
12v     4      4      4 4    4      4 4      12 4
O   1      1    2  ,   1 2
2. 1—x + —y
2 2
o ,   1    2     ,   1 2
3. xy +—x y+ —xy
4. -2 + 5y + x2+3x2y
5. l + (x-l)-(y-|)2
6