1
3. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ NĚKOLIKA PROMĚNNÝCH
Úvodní pojmy:
- n-rozměrný interval nn bababaI ,...,, 2211 =
- je-li iD dělení intervalu ii ba , , pak nDDDD = ...21 je dělení intervalu I
- integrální součet )()()(
1
i
P
i
i IPEfDS =
= na intervalu I s dělením D s p-dílčími intervaly,
které obsahují bod iE , kde )( iIP je „obsah“ (délka) intervalu iI
- integrace v Riemanově smyslu
Def. 3.1: Nechť funkce )(Xf je integrovatelná na intervalu I. Pak všechny posloupnosti
 )( kDS  
=1k integrálních součtů funkce )(Xf pro dělení kD intervalu I, mají
stejnou limitu, kterou označujeme
)(lim)(... k
k
I
DSdXXf →
= ( 0lim =
→
k
k
D )
a nazýváme ji n-rozměrným integrálem funkce )(Xf na n-rozměrném intervalu I.
Někdy ozn. M
dmXf )(  ....... 321 dxdxdx

Množina, na které integrál počítáme (integrál na množině)
Základní vlastnosti integrálu na množině:
1. Nechť funkce )(Xf a )(Xg jsou integrovatelné na množině M. Nechť 1c a 2c
jsou čísla. Pak také funkce )()( 21 XgcXfc + je integrovatelná na množině M a platí:
    +=+
M MM
dmXgcdmXfcdmXgcXfc )()()()( 2121 .
2. Nechť funkce )(Xf a )(Xg jsou integrovatelné na M a pro  MX  je
)()( XgXf  . Pak je  
M M
dmXgdmXf )()( .
Věta 3.1: (Fubiniova věta pro dvojný integrál)
Nechť funkce ),( yxf je integrovatelná na intervalu dcbaJ ,, = . Nechť pro
každé číslo bax ,  integrál 
d
c
dyyxf ),( . Pak  integrál dxdyyxfI
b
a
d
c
  





= ),(12
a platí    





==
J
b
a
d
c
dxdyyxfdxdyyxfI ),(),(12 .
Jestliže pro každé číslo dcy ,  
b
a
dxyxf ),( ,
2
pak dydxyxfdxdyyxfI
d
c
b
aJ
  





== ),(),(21 .
Fubiniova věta převádí dvojný integrál na dvojnásobný.
Def. 3.2: Nechť nEM  je ohraničená množina. -li n-rozměrný integrál  M
dX... , tj. je-li
konstantní funkce 1)( =Xf integrovatelná na M, pak množinu M nazýváme
měřitelnou (v Jordanově smyslu).
Číslo  =
M
n dXMm ...)( nazýváme n-rozměrným objemem (mírou) množiny M.
Def. 3.3: Číslo
)(
)(
Mm
dmXf
M

= nazýváme střední hodnotou funkce )(Xf na množině M,
Je-li 0)( Mm .
Věta 3.2: (o aditivnosti integrálu)
Nechť A a B jsou měřitelné množiny, které nemají společné vnitřní body. Nechť
BAC = . Nechť )(Xf je integrovatelná na množinách A a B. Pak funkce )(Xf
je integrovatelná na C a platí:
  +=
C A B
dmXfdmXfdmXf )()()( .
Výpočet dvojných integrálů
Nechť A je elementátní oblast typu  yx, daná nerovnicemi bxa 
)()( xyx  
3
Věta 3.3: (zobecněná Fubiniova věta)
Nechť funkce ),( yxf je integrovatelná na množině A, která je obsažena v intervalu
dcbaJ ,, = . -li pro každé bax , 
)(
)(
),(
x
x
dyyxf


, pak  integrál
dxdyyxfI
b
a
x
x
  







=
)(
)(
12 ),(


a platí    







==
A
b
a
x
x
dxdyyxfdxdyyxfI
)(
)(
12 ),(),(


(*)
Pozn.: Je-li funkce )()(),( yxyxf = , pak vztah (*) lze psát  
b
a
x
x
dyydxx
)(
)(
)()(


 .
Substituce ve dvojném integrálu
Věta 3.4: Jestliže spojitě diferencovatelné funkce ( )vuxx ,= , ( )vuyy ,= definují vzájemně
jednoznačné zobrazení ohraničené a uzavřené oblasti D v rovině xy na D* v rovině
uv a jakobián
v
y
u
y
v
x
u
x
vuD
yxD
J








==
),(
),(
je různý od nuly pro    *, Dvu  , pak
 =
D D
dudvJvuyvuxfdxdyyxf
*
)),(),,((),(
Př.: Transformace pomocí polárních souřadnic
( )  yxr ,,

→


sin.
cos.
ry
rx
=
=
r
r
r
y
r
y
x
r
x
rD
yxD
J =
−
=








==




 cossin
sincos
),(
),(
 =
D D
ddrrrfdxdyyxf
*
),(),( 
Aplikace dvojného integrálu
- obsah uzavřené oblasti D, ležící v rovině xy  ==
*DD
ddrrdxdyP 
- objem tělesa ohraničeného shora grafem spojité funkce ),( yxfz = , zdola rovinou 0=z a
ze stran válcovou plochou vytínající v rovině xy měřitelnou oblast D:
=
D
dxdyyxfV ),(
4
- těžiště  TT yxT ,= rovinné destičky s hustotou ),( yx


==
==
D
x
T
D
y
T
dxdyyxy
mm
S
y
dxdyyxx
mm
S
x
),(
1
),(
1


kde =
D
dxdyyxm ),( je celková hmotnost rovinné destičky a yx SS ; je statický
moment vzhledem k ose x, y.
- momenty setrvačnosti
=
D
x dxdyyxyI ),(2
 vzhledem k ose x
=
D
y dxdyyxxI ),(2
 vzhledem k ose y
 +=
D
P dxdyyxyxI ),()( 22
 vzhledem k počátku (polární moment)
Je-li plocha dána rovnicí ),( yxfz = ,   Dyx , , pak obsah S plochy nad oblastí D
je
dxdyffS
D
yx ++= )1( 22
- pro hmotnost plochy )(Qm , statické momenty yzxzxy SSS ,, a momenty setrvačnosti
zyx III ,, platí:
( )
( )
( )
( )
  ( )
  ( )
( )dxdyffyxyxI
dxdyffyxyxfxI
dxdyffyxyxfyI
dxdyffyxxS
dxdyffyyxS
dxdyffyxfyxS
dxdyffyxQm
yx
D
z
yx
D
y
yx
D
x
D
yxyz
D
yxxz
D
yxxy
D
yx
2222
2222
2222
22
22
22
22
1),()(
1),(),(
1),(),(
1),(
1),(
1),(),(
1),()(
+++=
+++=
+++=
++=
++=
++=
++=














5
TROJNÝ INTEGRÁL
Základní vlastnosti:
1. Nechť množina V je sjednocením množin 1V a 2V , které mají společné body
nejvýše na svých hranicích.
Pak platí:
  +=
V V V
dxdydzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf
1 2
),,(),,(),,(
Místo dxdydz stručně píšeme dV, přičemž integrační oblast i její objem značíme V.
2. Nechť c je konstanta a funkce f a g jsou ohraničené na množině V.
Pak platí:
    +=+
V V V
dVzyxgzyxfdVzyxgdVzyxf ),,(),,(),,(),,( a
 =
V V
dVzyxfcdVzyxfc ),,(.),,(. .
Věta 3.5: (Fubiniova)
Nechť ),,( zyxg je spojitá funkce na intervalu fedcbaJ ,,, = .
Pak platí:
    







==
J
b
a
d
c
f
e
d
c
f
e
b
a
dxdydzzyxgdxdydzzyxgdxdydzzyxg }),,(),,(),,(
a další záměnou pořadí integrace.
Substituce v trojném integrálu
Nechť zobrazení  každému bodu T nějaké množiny G v 3E přiřazuje bod )(TX = opět v
3E . Množinu G nazýváme oborem zobrazení  .
Zavedeme-li označení   ),,(,, 321321 tttxxx =
a ),,( 32111 tttx =
),,( 32122 tttx =
),,( 32133 tttx = .
Předpokládáme, že funkce 321 ,,  mají spojité parciální derivace.
Determinant
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
321
)()()(
)()()(
)()()(
),,(
),,(
)(
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
tttD
xxxD
TD


















==



nazýváme funkčním Jacobiovým determinantem („jakobiánem“).
6
Pro substituci v trojném integrálu za určitých předpokladů platí:
 
=
)(
)())(()(
T G
dTTDTfdxxf
Pozn.: Polární souřadnice:
coscos.rx =
sincos.ry = pak  cos),,( 2
1 rrD =
sin.rz =
Pozn.: Cylindrické souřadnice:
cos.rx =
sin.ry = pak rurD = ),,( 
uz =
Aplikace trojného integrálu
- hmotnost m tělesa V, které má v bodě   Vzyx ,, hustotu ρ(x,y,z) se vypočte
=
V
dxdydzzyxm ),,( .
- pro těžiště:
( )=
V
dxdydzzyxx
m
x ,,
1
0 
( )=
V
dxdydzzyxy
m
y ,,
1
0 
( )=
V
dxdydzzyxz
m
z ,,
1
0 
- pro moment setrvačnosti:
k ose o:
( )=
V
dxdydzzyxRI ,,2
0 
k osám x: ( ) +=
V
x dxdydzzyxzyI ,,)( 22

y: ( ) +=
V
y dxdydzzyxzxI ,,)( 22

z: ( ) +=
V
z dxdydzzyxyxI ,,)( 22
