1
4. ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE POLE
Fyzika: - teploty vzduchu v různých místech - pole teplot
- intenzita el. pole ( E

) od bodového náboje - elektrostatické pole
Skalární pole - charakterizujeme v každém bodě pole skalárem
(φ - potenciál, T - teplota, p - tlak, ...)
Vektorové pole - charakterizujeme v každém bodě vektorem ( E

, B

, F

- někdy
"silové" pole, char. vektorem a

( r

), ...)
Funkce )(ru

, charakterizující skalární pole, může záviset na čase t, pokud nezávisí stacionární
pole
Ekvipotenciální plocha (hladina): Czyxu =),,( , kde Czyxu =),,( 000
V případě skalárního pole - jak se mění hodnoty funkce ),,( zyxu v bodech dané přímky →
derivace funkce v daném směru
Přímka 

sP + , ( )+− ,s
Derivace funkce u v bodě P ve směru 

:
( )






s
PusPu
P
u
s
)(
lim)(
0
−+
=


→
Vektor k
z
u
j
y
u
i
x
u
ugrad



+


+


=
Jeho velikost
2/1
222
















+







+







=
z
u
y
u
x
u
ugrad
Lze ukázat, že
  0
).()(
1
)( 

PugradPugradP
u
==

 

Největší derivace je v tom směru, který je rovnoběžný s gradientem.
Vektor ugrad je souhlasně rovnoběžný s normálou k ekvipotenciální ploše ve směru, v
němž funkce u je rostoucí, a číselně se rovná rychlosti přírůstku funkce u v tomto směru.
Vlastnosti gradientu:
1. vgraduugradvvugrad ..).( +=
2. vgradugradvugrad +=+ )(
3. 2
..
v
vgraduugradv
v
u
grad
−
=
4. ugrad
du
dF
uFgrad .)( =
2
Vektorovou křivkou (siločárou) nazýváme křivku, jejíž tečna v každém jejím bodě je totožná
se směrem vektorového pole (se směrem vektoru )(ra

).
Využívá se pro grafické znázornění vektorového pole.
Divergence vektorového pole
Nechť kXRjXQiXPXa

)()()()( ++= , přičemž P(X), Q(X), R(X) mají na 3EM  parciální
derivace. Pak funkci
z
XR
y
XQ
x
XP
Xadiv


+


+


=
)()()(
)(

nazýváme divergencí vektorového pole vytvořeného vektorovou funkcí )(Xa

.
Divergence vektorového pole je skalární veličinou. Vytváří skalární pole v daném
vektorovém poli.
Je-li a

vektorové pole rychlosti proudící tekutiny, pak bod P, v němž )(Padiv

> 0,
představuje zdroj (zřídlo), odkud kapalina vytéká (znázorněno siločarami), a bod P', v němž
)(Padiv 

< 0, představuje nor pohlcující kapalinu.
Vektorové pole, jehož 0=adiv

, se nazývá solenoidální (nezřídlové) - vektorové křivky jsou
buď uzavřené, nebo mohou začínat (končit) na hranici definičního oboru pole.
Vlastnosti divergence:
1. bdivadivbadiv

+=+ )(
2. ugradaadivuaudiv ..)(

+= u(x, y, z) - skalární funkce
3. ( )  ( ) ( )rfrrfrrfdiv

+= 3
Rotace vektorového pole
je vektor, jehož projekce do libovolného směru se rovná limitě podílu cirkulace vektorového
pole po obvodu rovinné plošky kolmé na tento směr, pro obsah této plošky 0→iS :
( )narotarot
S
rda
n
i
L
Si


.lim
0
==

→
,
kde n

je jednotkový normálový vektor k plošce s obsahem Si.
Máme-li kzyxRjzyxQizyxPa

),,(),,(),,( ++= , pak
z
Q
y
R
arotx


−


=

x
R
z
P
aroty


−


=

y
P
x
Q
arotx


−


=

3
nebo
RQP
zyx
kji
arot






=


Tedy lze psát axarot

=
Kde nabla k
z
j
y
i
x



+


+


= (Hamiltonův operátor)
Vlastnosti rotace vektorového pole
1. 0)( =arotdiv

2. brotarotbarot

+=+ )(
3. augradarotuaurot

+= .)(
4. brotaarotbbadiv

..)( −=
Pozn.:  =grad aadiv

= axarot

=
)( ugraddivu = = .
Věta 4.1: Platí aadivgradarotrot

−= )()(
Def.: Pole vektoru a

se nazývá potenciální na oblasti Ω, -li takové skalární pole u
na Ω, že ugrada =

.
Je-li pole vektoru a

potenciální, je bezvírové a 0=arot

. 0=arot

není však
postačující podmínkou pro potenciální pole.
Oblast Ω musí být jednoduše souvislá, aby vektorové pole a

, jehož 0=arot

na Ω, bylo potenciální.
Věta 4.2: Nechť vektorové pole kzyxRjzyxQizyxPa

),,(),,(),,( ++= je potenciální,
tj. takové, že 0=arot

. Nechť C je orientovaná křivka s počátečním bodem A a
koncovým bodem B. Pak hodnota křivkového integrálu
  ++
C
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( (*)
závisí jen na volbě bodů A, B - tj. nezávisí na integrační cestě.
Pokud C je uzavřená křivka, pak předchozí integrál (*) je roven nule (≡ Cirkulace vektoru a

po každé uzavřené křivce 0=L
rda

, je-li pole a

potenciální).
Věta 4.3: Nutná a postačující podmínka, aby integrál (*) nezávisel na integrační cestě, je,
aby  taková funkce F(x,y,z), aby integrand byl jejím totálním diferenciálem,
resp. aby ),,( zyxFgrada =

.
4
Tok vektorového pole
Def.: Tokem vektorového pole vektoru f

plochou S nazýváme plošný integrál 2.
druhu
=
S
SdfQ

někdy ozn. (Φ), (N)
Ve skalární formě: =
S
ndSfQ
Gaussova věta
Nechť S je uzavřená (jednoduchá) po částech hladká plocha, orientovaná normálovým
vektorem vně. Nechť A je množina skládající se ze všech bodů plochy S a její vnitřní oblasti.
Nechť funkce f

a fdiv

jsou spojité na oblasti A. Pak platí
 =
SA
SdPfdxdydzPfdiv

)()(
Stokesova věta
Nechť S je jednoduchá po částech hladká plocha a C je její okraj. Nechť funkce f

je spolu se
všemi svými parciálními derivacemi 1. řádu spojitá na oblasti 3E , obsahující plochu S.
Pak platí
 =
SC
SdPfrotrdPf

)()(
tj. tok vektoru frot

plochou S se rovná cirkulaci vektoru f

po jejím okraji C.
Pozn.: Tok vektorového pole, které je solenoidní ( 0=Bdiv

), uzavřenou plochou je
roven nule.
Pozn.: Nechť máme solenoidní vektorové pole f

na M. Pak  vektorové pole A

takové, že
)()( PArotPf

= .
Vektorové pole A

nazýváme vektorovým potenciálem pole f

.
Vektorový potenciál A

není určen jednoznačně - platí i pro
)()()(* PgradPAPA +=

- φ - libovolná diferenciální funkce