1
5. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
5.1 Diferenciální rovnice 1. řádu (DR)
),( yxfy =
dx
dy
y =
- řešení diferenciální rovnice - funkce u(x) taková, že ),()( yxfxu =
(u(x) integrál DR)
- Cauchyova úloha (počáteční úloha) - je dána DR a reálná čísla 0x , 0u . Máme najít
takové řešení DR, aby splňovalo podmínku 00 )( uxu = .
- DR bývá často dána ve tvaru 0),(),( =+ dyyxQdxyxP
5.2 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
a) )(xfy = řešení Cdxxfxu +=  )()(
b) 0).()( =+ yyQxP → CduuQdxxP =+  )()( (y = u)
c) 0)()()()( 2121 =+ dyyQxQdxyPxP rovnice se separovatelnými proměnnými
0
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
=+ y
yP
yQ
xQ
xP
→ Cdy
yP
yQ
dx
xQ
xP
=+  )(
)(
)(
)(
2
2
1
1
5.3 Homogenní diferenciální rovnice
),( yxfy = , kde pro funkci f platí ),(),( yxftytxf =
lze převést na tvar 





=
x
y
gy , pak transformací zxy = , zxzy += převedeme na
rovnici )(zgzxz =+ , což je rovnice se separovanými proměnnými.
5.4 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu (LDR)
)().( xqyxpy =+ , - kde )(xp , )(xq jsou dané funkce
a) je-li 0)( =xq - homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu
("bez pravé strany")
tj. 0)( =+

xp
y
y
- řešíme separací proměnných
=
−=+
−=
−

dxxp
eyC
dxxpyC
dxxpdy
y
)(
2
1 )(ln
)(
1
řešení: =
− dxxp
eCy
)(
.
2
b) 0)( xq - lineární diferenciální rovnice 1. řádu s pravou stranou
je-li )(xp , )(xq spojité, pak obecné řešení




 +=
−

dxxpdxxp
eCexqy
)()(
.).(
Metoda variace konstant
Vezmeme řešení LDR bez pravé strany, kde konstantu C změníme na funkci C(x). Neznámou
funkci C(x) v řešení =
− dxxp
exCy
)(
).( rovnice s pravou stranou určíme zpětným dosazením
do LDR s pravou stranou.
Pomocí partikulárního řešení
Obecné řešení LDR s pravou stranou můžeme vyjádřit jako součet obecného řešení LDR bez
pravé strany a nějakého libovolného (partikulárního) řešení Y LDR s pravou stranou:
YeCy
dxxp
+=
− )(
.
5.5 Bernoulliova DR
k
yxqyxpy )()( =+ k ≠ 0,1
pokud k > 0 - jedno řešení je y = 0
substitucí k
yz −
= 1
převedeme na LDR
Rovnice typu 0),( =yxF
0),( =yyF
řešíme metodou derivování - volíme py =
5.6 Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů
Rovnici )()()()()( 1
)1(
1
)(
0 xfyxayxayxayxa nn
nn
=++++ −
−
 pro 0)(0 xa nazýváme LDR
n-tého řádu (n ≥ 2).
Je-li 0)( xf , pak mluvíme o homogenní LDR, v opačném případě jde o nehomogenní LDR.
Jsou-li všechny konstxai =)( , pak hovoříme o LDR s konstantními koeficienty.
Základní vlastnosti:
1. jsou-li u, v dvě řešení homogenní LDR, pak také každá funkce
vCuCw 21 += C1, C2 - konst
je řešením homogenní LDR
3
2. Jestliže homogenní LDR má n lineárně nezávislých řešení u1, u2, ..., un, pak libovolné
řešení homogenní LDR lze zapsat ve tvaru
nnuCuCuCv +++= 2211 C1, ..., Cn - konst
3. Řešení u1, u2, ..., un homogenní LDR tvoří fundamentální systém řešení, právě když
wronskián
0
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)1()1(
2
)1(
1
21
21


=
−−−
xuxuxu
xuxuxu
xuxuxu
xw
n
n
nn
n
n




Je-li 0)( =xw alespoň v 1 bodě, pak je roven nule pro všechna x.
Určení fundamentálního systému ve speciálních případech
a) Homogenní LDR s konstantními koeficienty (HLDR)
Věta: Nechť i , i = 1, 2, ..., k jsou mi -násobné kořeny charakteristické rovnice
01
1
1 =++++ −
−
nn
nn
aaa  
k ≤ n, m1 + m2 + ... + mk = n, a1, a2, ..., an jsou reálná čísla.
Pak n funkcí
xmxx
exexe 1111
.,,., 1  −

xmxx
exexe 2222
.,,., 1  −


xmxx kkkk
exexe 
.,,., 11 −

tvoří fundamentální systém diferenciální rovnice
01
)1(
1
)(
=++++ −
−
yayayay nn
nn

na intervalu ( )+− , .
Jestliže charakteristická rovnice má jednoduchý komplexní kořen i.1  += , 0 , pak
komplexně sdružené číslo i.2  −= je také jejím kořenem. Pak máme dvojici řešení
HLDR
).sin()(
).cos()(
2
1
xexu
xexu
x
x




=
=
Každé řešení u(x) HLDR lze získat lineární kombinací funkcí fundamentálního systému.
b) Nehomogenní LDR
Věta: Nechť funkce v(x) je nějaké partikulární řešení nehomogenní LDR a funkce
u1(x), ..., un(x) tvoří fundamentální systém příslušné homogenní LDR. Pak každé
řešení u(x) nehomogenní LDR lze psát ve tvaru
)()()()()( 2211 xvxuCxuCxuCxu nn ++++= 
Pozn.: Často se využívá odhadu partikulárního řešení.
4
Parciální diferenciální rovnice
- počet proměnných > 1
- řád rovnice je určen řádem nejvyšší derivace
A) vlnová rovnice
a)1D 2
2
22
2
1
t
u
Cx
u


=


(*) ),( txuu =
b)3D 2
2
22
2
2
2
2
2
1
t
u
Cz
u
y
u
x
u


=


+


+


),,,( tzyxuu =
zjednodušený zápis:
2
2
2
1
t
u
C
u


=
Obecné řešení rovnice (*)






++





−=
C
x
tg
C
x
tftxu ),( ,
kde f a g jsou libovolné funkce argumentů
C
x
tv −= a
C
x
tw +=
B)
0
2
=


yx
z
→ 0=









x
z
y
→ )(xf
x
z
=


)()()()( ygxFygdxxfz +=+= 
Funkce F(x) a g(y) určíme na základě počátečních nebo okrajových podmínek.