® Neurčité rovnice (někdy též diofantické nebo diofantovské) Úvod. Jistě jste se už setkali s jednou rovnicí o dvou neznámých tvaru a . x + b . y = c (a ±0, b ±0, a E R, b E R, c € R) v oboru reálných čísel. Nalézt některé z nekonečně mnoha řešení této rovnice je velmi snadné; hodnotu jedné z neznámých lze zvolit libovolně a hodnotu druhé neznámé dopočítat. Obtížněj ší situace nastane tehdy, j estliže požaduj eme, aby obě dvě složky x a); řešení byla celá čísla. Tomu se nyní budeme věnovat. Neurčité rovnice jsou rovnice se dvěma neznámými, které se řeší v oboru všech celých čísel. Je pochopitelné, že koeficienty u obou neznámých i pravá strana rovnice musí být v tomto případě racionální čísla; vynásobením celé rovnice společným jmenovatelem racionálních čísel c}, Č), c dostaneme neurčitou rovnici, jejíž koeficienty cř, Ó i pravá strana c jsou celá čísla. Poznámka 1. Možná se někteří z Vás setkali i s neurčitými rovnicemi o více neznámých či s neurčitými rovnicemi vyšších stupňů. Zde se omezíme pouze na lineámí neurčité rovnice o dvou neznámých (obě dvě neznámé x, );jsou umocněny na první). Definice. Lineámí neurčitá rovnice o dvou neznámých x, )/ je rovnice a . x + b . y = c, a ±0, b ±0 , a, b, c € C, kde řešení hledáme v oboru celých čísel. (1) Věta 1. (Řešitelnost lineámí neurčité rovnice.) Neurčitá rovnice c} . x+ Z) . ); = c má řešení v případě, že největší společný dělitel koeficientů cz, Ů je také dělitelem čísla c . Pak řešenímje nekonečně mnoho dvojic celých čísel x , j;. V případě, Že největší společný dělitel čísel cz, Č) není dělitelem koeficientu c, pak rovnice nemá řešení. Poznámka 2: Je snadné uvést příklad neřešitelné neurčité rovnice. Např. rovnice 4# + 6y = / nemůže mít řešení, protože DÍ4, 6/ = 2 a číslo / není dělitelné dvěma. I úsudkem je neřešitelnost této rovnice zřejmá, protože na levé straně je po dosazení libovolných hodnot x, ); číslo sudé, zatímco na pravé straně je číslo liché. Poznamenejme dále, Že pokud je DÍcř, Ó/ dělitelem čísla c a rovnice je tedy řešitelná, vydělíme celou rovnici\číslem DÍcz, ZJ/. Tím se hodnoty koeficientů na levé straně i číslo na pravé straně sníží a navíc bude platit, Že koeficienty cŽ, b budou po vydělení číslem DÍcz, Ó/ čísla nesoudělná. ® Věta 2. (Postup řešení neurčité rovnice) 1. Nechť xo , };o je jedno pevné známé řešení neurčité rovnice (1). Potom obecné řešen{3ed5novzhhy.. X=Xo+#,, y=yo-5#yt€Z. (2) Určení xo , j;o : a) úsudkem b) výpočtem z podílů Eukleidova algoritmu při určování DÍcz, Č7/. 11. Redukční metoda. Poznámka 3. Vzhledem k Vašemu studijnímu programu Učitelství pro 1. stupeň ZŠ se v praxi setkáte s neurčitými rovnicemi, v nichž cz, Ó, c budou malá celá čísla. V tomto případě je nejvýhodnější postup řešení 1 a), protože při nízkých hodnotách cz, Čy, c naleznete jedno řešení rovnice (1) snadno úsudkem. Uvedeme příklad. Příklad 1. Řešte neurčitou rovnici 3x + 2y = J. ŘeSYe#z'. DÍ3, 2/ = J, J | J. Rovnice je tedy řešitelná. Zpaměti určíme jedno možné řešení, např. xo = 3, );o = -2. Ze zadání rovnice platí cz = 3, b = 2, DÍ3, 2/ = /. Pak podle vztahů (2) máme obecné řešení (f je celočíselný parametr): x -- 3 + 2 t , y - - 2 - 3 t . Provedeme zkoušku: 3Í3 + 2 fJ + 2Í-2 -3 fJ = J. Dosazením libovolného celého čísla za f dostaneme dvojici celých čísel, která je řešením zadané rovnice. Např. pro f = 4 dostaneme x = //, ); = -/4. Poznámka 4. V případě, že řešení dané rovnice je součástí slovní úlohy, je nutno s obecným řešením dále pracovat. Můžeme např. požadovat, aby ;*, )/ byla kladná čísla. V tom případě výpočtem omezíme hodnoty parametru f, který pak může nabývat třeba jen několika hodnot. Příklady uvedeme v dalším textu. Poznamenejme ještě, že řešení takovýchto rovnic na 1. stupni ZŠ probíhá formou experimentu, postupným vyplňováním tabulek atp. S těmito postupy se setkáte v didaktice matematiky. Poznámka 5. V případě, že koeficienty cí, Č) v rovnici (1) jsou větší čísla, není již prakticky možné určit úsudkem jedno pevné řešení xo , );o a při řešení je nutno postupovat podle bodu 1 b) nebo 11, kterým lze nahradit oba způsoby řešení 1 a) , I b). Ukážeme řešení podle 1 b). ® Příklad 2. Řešte neurčitou rovnici /37x -89y = 2. ŘesYe7cz'. Čísla /37 a 89 jsou prvočísla (dokažte sami), proto DÍ/37, 89/ = J, / | 2. Rovnice je tedy řešitelná. Pro určení jednoho pevného řešení xo , );o užijeme Eukleidův algoritmus při určení DÍJ3 7, 89J. Využijeme přitom následující tvrzení. Je -li DÍcz, ČJ/ = c7, pak existují celá čísla %, v s vlastností cz# + Č7v = cý. Čísla e4, v určujeme podle Eukleidova algoritmu tím, že v každém řádku Eukleidova algoritmu vypočítáme zbytek pomocí čísel cz, Ó (vždy postupně dosazujeme j iž vypočtené hodnoty). 137 = 1. 89 + 48 , oďk"d 48 = 137 -89 89 = 1. 48 + 41, oď+]]d 41 --89 -48 = 89 -(137 -89) = 2 . 89 -137 48 = 1. 41 +7, oďJ:"d7 = 48-41 = (137~ 89) -(2 . 89 -137) --2 .137 -3 . 89 41 = 5 .7 + 6, oďJ]wd 6 = 41 -5 . 7 =(2 . 89 -137) -5. (2.137-3. 89)=17 . 89 -11.137 7 = 1. 6 + 1, oďJ:"d 1=7 -6 = (2 .137 -3 . 89) -(17. 89 -11.137) = 13 .137 -20 . 89 6 =6.1+0 Z výpočtu plyne /37 . /3 -89 . 20 = /. Tento vztah vynásobíme dvěma (čísla /37 a 89 určené v zadání neurčité rovnice ponecháme při násobení beze změny) a dostaneme: 137.26-89.40=2 (5) Porovnáme-li vztah (3) se zadanou neurčitou rovnicí, vidíme, Že xo = 26, );o = 40. Neurčitá rovnice /37x -89y = 2 má pak obecné řešení x = 26 -89 t, y = 40 -137 t. Zkoriska.. 137 . (26 -89 t ) -89 . (40 - 137 t) = 2 Poznámka 6. Nyní zbývá ukázat postup řešení neurčité rovnice (1) pomocí postupu 11, tj. redukční metodou. Tato metoda nahrazuje obě metody 1 a), I b), protože v ní není nutné hledat jedno pevné řešení xo , };o. Postup spočívá v tom, Že pomocí postupných redukčních kroků převádíme zadanou neurčitou rovnici na neurčité rovnice s nižšími koeficienty (odtud redukce) tak dlouho, až dostaneme rovnici, jejíž řešení můžeme přímo určit. Řešení původní rovnice pak získáme postupným zpětným dosazováním. Uvedeme příklad. ® Příklad 3. Řešte neurčitou rovnici /2x + 3/)/ = 328. Řé7sYG77z'. Čísla W a 3/ jsou prvočísla, proto DÍ/2, 3// = /, / 1328. Rovnice je tedy řešitelná. Z rovnice J2x + 3/)/ = 328 vypočteme neznámou, u které je koeficient s nižší absolutní hodnotou. V našem případě platí x = 328-31y 12 V čitateli tohoto zlomku nalezneme nejbližší násobek dvanácti k číslům 328 a 3/ Oe jedno, zda větší nebo menší) a výraz pro x rozdělíme na dva zlomky tak, aby první z nich bylo možno krátit 12. Nalezneme tedy .\.= 328-31y _ 324-36y 1212 + í± = Í27 -3);/ + ɱ1212 Aby bylo x celé číslo, musí být čitatel posledního zlomku dělitelný dvanácti, tedy musí platit 4 + J)/ = J2k. Po formální úpravě j2# -j)/ = 4. Tímjsme dostali další neurčitou rovnici s nižšími koeficienty. Tu můžeme vyřešit např. metodou 1 a), kde pevné řešení je ko = 2, );o = 4 nebo můžeme pokračovat opět redukční metodou. Pokračujeme již bez komentáře: y = ±ZE=É = ±PŽ=E + 2Ž±± = Í2k _ /) +2Ž±15 5 5 5 . Aby bylo y celé číslo, musí být čitatel posledního zlomku dělitelný pěti, tedy 2k + J = Je4. Po fomální úpravě J% -2k = J. Tímjsme dostali další neurčitou rovnici s nižšími koeficienty. Tu můžeme opět vyřešit metodou 1 a), kde pevné řešení je #o = J, ko = 2 nebo můžeme pokračovat opět redukční metodou. Provedeme další redukci: k - E± - ͱ + ± - 2„ + ±2222 Aby bylo k celé číslo, musí být čitatel posledního zlomku dělitelný dvěma, tedy % -J = 2f, po fomální úpravě % -2f = J. Tímjsme dostali další neurčitou rovnici s ještě nižšími koeficienty. Její řešení lze však přímo napsat ve tvaru e/ = / + 2f (f je celočíselný parametr). Nyní postupným dosazováním dostaneme řešení původně zadané rovnice. Podrobnější úpravy si již odpustíme. ® u -- 1 + 2 t ; k - 5E± - EZ= 5(1+2t)-1 22 12k-4 12(2+5t)-4 55 ...- 2 + 5t ; --...-- 4 + 1 2 t ; 328-31y 328-31(4+12í)TT=- I T-1212 --...-- 1 7 - 3 1 t . Neurčitá rovnice /2x + 3Jy = 328 má tedy obecné řešení x -- 1 7 - 3 1 t , y = 4 + 1 2 t . Poznámka 7. Nyní uvedeme několik slovních příkladů vedoucích k řešení neurčité rovnice. Týto rovnice již řešit nebudeme, uvedeme vždy pouze výsledek. (řešení proveďte sami). Cílem těchto příkladů je ukázat, jak se při matematizaci takových úloh neurčité rovnice sestavují, resp. jak se dále pracuje s parametrem f. Příklad 4. Nalezněte všechny dvojice kladných celých čísel, které jsou řešením rovnice 12x + 3ly = 328. jžé7sYé77?z'.. Obecné řešení jsme určili v příkladu 3 . Rovnice /2x + 3J); = 328 má nekonečně mnoho řešení určených parametrickými rovnicemi x = / 7-3/Í , ); = 4 + /2f . Hledáme-1i pouze kladná řešení, musíme nyní vyřešit soustavu nerovnic J 7-3/f > 0, 4 + /2f > 0. Výpočtem určíme nerovnost 17 ± < f < = ,. pro všechna celá čísla f ležící v tomto intervalu platí, že po jejich 3 dosazení do zadané rovnice budou hodnoty x, ); kladná čísla. Výše uvedeným nerovnostem vyhovuje pouze jediné celé číslo f = 0. Po dosazení dostáváme jediné kladné řešení x = / 7, y = 4. © Příklad 5. Rozměňte 210 Kč pomocí mincí o hodnotách 10 Kč, 20 Kč a 50 Kč tak, aby celkový počet mincí byl 9. jĚé!sYét77z'.. Počet padesátikorun označíme x, počet dvacetikorun ); a počet desetikorun z. Řešení příkladu je dáno soustavou rovnic 50 x + 20y + 10 z -210 x + J, + Z - 9 Ze druhé rovnice vyjádříme z = 9 -x -); a dosadíme do první rovnice. Po úpravě obdržíme neučitou rovnici 4 x + )/ = /2. Tato rovnice je řešitelná ajejí obecné řešení (získané třeba metodou 1 a), kde pevné řešení je např. xo = 2, );o = 4/ je x = 2 + f, ); = 4 -4 f. Po dosazení do vztahu pro z a úpravě dostáváme z - 3 + 3 t. Nyní musí platit (počet mincíje nezápomé celé číslo) x > 0, y 2 0, z Í> 0. Musíme tedy vyřešit soustavu nerovnic 2 + / Í> 0, 4 - 4 / Í> 0, 3 + 3 Í Í> 0. Řešením dostáváme nerovnici -/ ± Í < /. Všechna celá čísla ležící v tomto intervalu dávají po dosazení řešení zadaného příkladu. Pro f = -/ máme řešení x = /, ); = 8, z = 0 0edna padesátikoruna a osm dvacetikorun), pro f = 0 máme řešení x = 2, ); = 4, z = 3 (dvě padesátikoruny, čtyři dvacetikoruny a tři desetikoruny), pro Í = / máme řešení x = 3, )/ = 0, z = 6 (3 padesátikoruny a 6 desetikorun). Příklad 6: Určete nejmenší trojcifemé číslo a největší trojciferné číslo, která při dělení osmi dává zbytek 7 a při dělení jedenácti zbytek 3. ŘGSYé77ez'.. Nejprve nalezneme obecný vztah pro hledané číslo, které označíme třeba k. Podle zadání platí k = 8 x + 7 a současně k = /J }/ + 3. Musí tedy platit rovnost s x + 7 = JJ y + 3; po úpravě obdržíme neurčitou rovnici s x -//)/ = -4. Tato rovnice je řešitelná, obecné řešení je ® x = J -// 4 ); = 4 - 8 f. Po dosazení do vztahu pro k dostaneme po úpravě k = 47 -88f . Pro každou celočíselnou hodnotu parametru / obdržíme po dosazení číslo s požadovanými vlastnostmi. Největší a nejmenší trojcifemé číslo lze nalézt buďto experimentem, kdy vypíšeme několik prvních kladných hodnot k (vždy se liší o 88) a postupujeme až do tisíce: 47, J35, 223, 3// ..., 927, /0/5 ,..., nebo řešíme soustavu nerovnic Z > /00, 4 < /000, tedy -53 m < 47 -88f < JOO0 Vyřešením obdržíme interval =::± < f 0, Z> > 0, tedy 430J -2JOJf > 0, -30J + 2JOJf > 0 . Po vyřešení dostáváme interval jpí < f < ž3#, což je přibližně 0,J2 < f < /, 72. Jediné celé číslo z ležící v 2501 tomto intervalu, je číslo /. Po dosazení f = / dostaneme cř = /804, Č) = 2/96. Řešte neučité rovnice : c) -14x -3y = 10 d) 5x-3y=15 Kolika způsoby můžeme vyplatit 69 Kč pouze dvoukorunami a pětikorunami? Alenka má 50 Kč a chce je utratit za lízátka a čokoládové tyčinky. Lízátko stojí 4 Kč a tyčinka 6 Kč. Kolik lízátek a kolik tyčinek si může Alenka koupit za 50 Kč? Určete největší (nejmenší) trojcifemé číslo, které při dělení osmi dává zbytek 2 a při dělení sedmi dává zbytek 6. Číslo 131 rozložte na součet dvou sčítanců, z nichž jeden je dělitelný pěti a druhý devíti. Vytvoří-li Žáci ve třídě čtveřice, jeden Žák zbude, vytvoří-li trojice, zbudou dva žáci. Kolik Žáků je ve třídě (ve třídě je více než 20 Žáků a méně než 30)? Rozdíl dvou přirozených čísel, z nichž první je dělitelné číslem 23, druhé číslem 29, je roven 1. Určete nejmenší taková kladná čísla. -_? 1. .lst.iu dána i.ac-ioiiální Č.isla 8 = ==: 2o, C`t„ a) V}'jádřete čísla C` pcimcic`í zlomku. b) RLizhodněte, 7.daje některé které z čísel B. C` desetimé číslo, 2, Jsou dána dvě píi}-ozeiiá čísla w /J. pi.o která'platí: a je dělitelné deseti` a je děliteliié šesti. Dokažte. žc součin ťz.b těchto dvou ěísel .ie dělite}ný paLnácii. 3. Na místa s}'mbolť`i x, }' doplňte v čísle 3x87}' takQvé ciffy. aby \'7j!iiklé č`íslo b}J.lo dělitelné čísl€`m 36 (tj. s{3tic.asně čtyřmi a dg`iíti). U\'eďte všei`hn}"{tžnosti. 4. Čís!0 2484 rozložic na pn'očinitcle a ui.čete počet `;šech jeho {ií.it.{`7eiiých děli{clil. • 5. Kolik i.ůzn}''c!i iihdélníků lze složit 7. 90 shodných čt`J-ercov}''ch dlttř,dic? 6. Rožhodněic a zdů\'odnčtc. zda jc číslo 713 pr`Í-očí§1o nebo číslo s]oŽ`ené- 7. V.}'ii{tč`ítejte: D [ D(48. (jo)` ]i(36.13ó) ]. 8. J'omocí iieui.č`iLé r{wniL`e í.ešte úkthu: Rožložte číslo 11 Ó na cl`r.a prii`ozené `qčítani.e růmé c>d nuly. ?. nichž je{}cnje clělitehi}'' šesti a druh}'' dává při dělení pěti zb}iek 1. Ui.čctc všcchnymožmosii. 9. V\.s\;ěLlele Liojm}': - č`Í5lo celé číslo aje nás(ilJkem i`elého č`isla b -složené číslo - nejvč`tší siiolcčii}'-dč`liiel Č`{scl přir{tzených či'scl a. b ~ ii.iii`ii`náli`í čísli` 1. .ls{7u (láita rai'jt`i}áliií č`ísla IHiL. a) Ra;.dé 7, Č.i'sel A`r3 v.vjáilřeLe d\'ěii]a ilfllštmi {plts{tb}J pitmt)ii ji]iýcli rept.e7€iilan{ů (7](`mků). li) Zar}išLe descLiiit]ý i.ti7\.'tTj Č.í5e] ^` f3 a rí.i7.h{jilnčt€. 7;dajč i}ěkiet'é z i}jch deseiifu].Ým c.Ísienl 2. `7suu ilám d\.č` L7řiL.ozežiá čísla tí` /!, Lii-ii hLei`á plaLi: tíje clěliielné de\itj, /Jje dělitel(}é Šestí. JJt`kažlc. ž,e st)uč.ín íž./7 těil]Ltt d\.t`u Č`Ťsel je děli(€ln.Ý ttsi.máL`ti. 3. Na místa s}`mliii}ů x, }' d(i)lňLe `~ Č`jsl€ (i,`75rv t€ikiivé cifr.v. aby vzniklé Číslo h}'Io dělite}né čí`qlcm 3Ít (ii. č.t}í.mi ci souť.€is}iě devi'ti ). liveďte v`šechny niož.itostj. 4. {-.Í.q)L7 2 ?t}2 i{j7,ltiž,le t]a iir\'{jč'iiii{eie a m`čele ii{tčeL \\'`č€i`lijel}{t i]řlm7en}`'c}i dělitelťi 5. (.)bdélník ti i[izměi.ec`h 5Íj cm ci q8 [:m `qe má i.o7.děllt iir`i.Čkami r(ivnoběž\ii.Ý.ini §e st}.ariami (`Ltdélníku Jifl Č{\'eťce i`i` iii(`žiiá ni`j`JČ`tší. j{{.}lik ttude čLve]'ců ajaká l`uůe jejjcli siiůna? Í7. R{i7.h()i]iiěle a 7,dů\<`t)di}č`(e. 7rilaje Čísl(t 4í).`` i`z.\'{ičísl(i nel}() čís!{) cql(}ž€iié. 7. Poi"}cí [J-iikliido\'a algt)ritim tirt-`e{e f)(ď./)). ktle ťí = q45. /t = fi91. 1Jále iii'čc{e n(945. 693). 8, Řeš{c iicurč`iitttu.o`'nic.i: 9x i.iv = 7 9. 'V'}.S`'ětleic. pl.,j,t,}: -+ s]ož_eJlé č.íslt) ~ ni'.i\'ětší spitlcč]i}.' dělíLej č.ísel t7. /7 - i.€lé č`í`ťlwj.i€ iiási)bk€i}i i`eléh{) Č.ísla /i - i!esi.iinii\'. 7,Íttiiick