Možnosti distanční výuky •Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc. Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Mgr. Petra Bušková Binární operace určené tabulkou •Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc. Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Mgr. Petra Bušková Prezentace č. 6 [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Uvažujme binární operaci ○ v množině M zapsanou pomocí operační tabulky, viz příklad: Příklad 1: Je dána množina M = {a, b, c} a operace ○ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, ○). a) hlavní diagonála [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M •A z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze vztahu A ⇒ (ZR ⇔ EI) •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M a) M = {a, b, c} A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 0 1 inverzní prvky [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M •A z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze vztahu A ⇒ (ZR ⇔ EI) •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M b) M = {a, b, c} ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 1 0 0 [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M •A z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze vztahu A ⇒ (ZR ⇔ EI) •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M c) M = {a, b, c} A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 0 1 inverzní prvky [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M •A z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze vztahu A ⇒ (ZR ⇔ EI) •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M d) M = {a, b, c} A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 1 1 1 1 inverzní prvky ? ? [USEMAP] Problém asociativity Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 [USEMAP] Problém asociativity Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 [USEMAP] Problém asociativity Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky aaa aab aba baa abb bab bba aac aca caa acc cac cca abc acb bac bca cab cba bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky d) M = {a, b, c} vyšetřujeme A ? [USEMAP] Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky 1. e = c (neutrální prvek) 2. K 3. agresivní prvek neexistuje [USEMAP] d) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Pro určení asociativity využijeme pomocná pravidla: 1.EN ….. Toto pravidlo nevyužijeme 2.K ………Toto pravidlo nevyužijeme 3.AG …… pravidlo využijeme, g = a e) M = {a, b, c} ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR g = a (agresivní prvek) A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 1 0 1 ? ? aaa aab aba baa abb bab bba aac aca caa acc cac cca abc acb bac bca cab cba bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc [USEMAP] Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR g = a (agresivní prvek) (M, ○) grupoid aaa aab aba baa abb bab bba aac aca caa acc cac cca abc acb bac bca cab cba bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Pro určení asociativity využijeme pomocná pravidla: 1.EN …. e = a, pravidlo využijeme 2.K ………pravidlo nevyužijeme 3.AG …… pravidlo využijeme, g = b f) M = {a, b, c} A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 1 0 1 ? ? aaa aab aba baa abb bab bba aac aca caa acc cac cca abc acb bac bca cab cba bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Pro určení asociativity využijeme pomocná pravidla: 1.EN …. e = a, pravidlo využijeme 2.K ………pravidlo využijeme 3.AG …… g = b, pravidlo využijeme, f) M = {a, b, c} aaa aab aba baa abb bab bba aac aca caa acc cac cca abc acb bac bca cab cba bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc [USEMAP]