Možnosti distanční výuky •Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc. Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Mgr. Petra Bušková Binární operace určené tabulkou – příklady k procvičení •Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc. Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Mgr. Petra Bušková Prezentace č. 7 [USEMAP] Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 1: Je dána množina M = {1, 0, -1} a operace ○ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, ○). Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 2: Je dána množina M = {a, b, c} a operace ○ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, ○). Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M … je splněno •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály … je splněno •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky … není splněno •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály … není splněno, k žádnému prvku množiny M neexistuje prvek inverzní vzhledem k operaci ○ •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M … není splněno •A A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 1 0 1 • Asociativita: Operace ○ má pouze agresivní prvek a (mohli bychom tedy využít pouze 3. pomocné pravidlo, tj. vyšetřit 8 trojic, v nichž se prvek a nevyskytuje - bbb, ccc, bbc, bcb, cbb, ccb, cbc, bcc). Vzhledem k charakteru tabulky je zřejmé, že výsledek operací všech dvojic prvků z množiny M je vždy prvek a, tedy operace je asociativní.) Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 3: Je dána množina M = {1, 2} a operace □ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, □). □ 1 2 1 1 1 2 1 2 Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M … je splněno •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály … je splněno •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky … je splněno e = 2 •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály … není splněno, k prvku 1 neexistuje prvek inverzní vzhledem k operaci □ •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M … není splněno •A A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 1 0 1 • □ 1 2 1 1 1 2 1 2 Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 4: Je dána množina M = {0, 1, 2, 3} a operace + (obyčejné sčítání v množině M). Určete vlastnosti operace +. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, +). Pokuste se v dalších úvahách promyslet vlastnosti operací obyčejného odčítání, násobení a dělení v množině M = {0, 1, 2, 3}. Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: Operační tabulka vypadá následovně: + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 3 3 4 5 6 Operace + v množině M není ND, neboť např. 2 + 3 = 5, ale 5 ∉ M. Protože není ND, není ani K, A, ZR (M, +) je algebraická struktura Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 5: Je dána množina M = {k, l, m} a operace ⁕ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, ⁕). Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR •ND tabulka je celá vyplněna prvky množiny M … je splněno •K prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály … není splněno •EN alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky … je splněno e = m •EI každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že jsou rozloženy podle hlavní diagonály … je splněno •ZR každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky množiny M … není splněno •A A ⇒ (ZR ⇔ EI) 0 1 0 0 1 • Binární operace dané tabulkou Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Příklad 6: Je dána množina M = {a, b, c}. V množině M definujte operaci ⁕ danou tabulkou, pro jejíž vlastnosti platí: a)ND ⋀ EI b)A ⋀ ZR c) Rozhodněte a zdůvodněte, které z dalších vlastností operace ⁕ má. Pokud existují prvky inverzní k jednotlivým prvkům, určete je. Rozhodněte o typu algebraické struktury (M, ⁕). Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: a) ND ⋀ EI 1. krok: zvolíme neutrální prvek, např. e = b a dle této volby vyplníme tabulku 2. krok : aby platila vlastnost EI, musí být prvek b v každém řádku i každém sloupci obsažen a musí být rozložen souměrně podle hl. diagonály 3. krok : Tabulka z 2. kroku již zadání splňuje, neboť není ND. Případně můžeme na zbývající dvě pozice zapsat například hodnotu x, což je prvek, který nepatří do množiny M Operace určené tabulkami ve 2. a 3. kroku obě splňují zadání, její vlastnosti tedy jsou: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR (M, ⁕) je algebraická struktura [USEMAP] Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: a) ND ⋀ EI Operace určené tabulkami splňují zadání, jejích vlastnosti tedy jsou: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR (M, ⁕) je algebraická struktura [USEMAP] Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: b) A ⋀ ZR Řešení mohou být následující Operace určené všemi třemi tabulkami splňují podmínky zadání, jejich vlastnosti tedy jsou: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR (M, ⁕) je komutativní pologrupa Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Řešení: b) A ⋀ ZR Řešení mohou být následující Operace určené oběmi tabulkami splňují podmínky zadání, jejich vlastnosti tedy jsou: ND ⋀ A ⋀ K ⋀ EN ⋀ EI ⋀ ZR (M, ⁕) je komutativní pologrupa s neutrálním prvkem [USEMAP]