Binární operace v množině Definice 1: Nechť M je libovolná neprázdná množina. Binární operací ○ v množině M rozumíme zobrazení z množiny kartézského součinu M x M do množiny M. · Jestliže v binární operaci je vzoru [x,y] M x M přiřazen obraz z M, píšeme: 1. x ○ y = z; prvek z M se nazývá výsledek operace ○. 2. ○: M x M → M. Poznámka 1. Zápisu [[x,y], z] ○, odpovídá zápis x ○ y = z (tj. z je výsledek operace ○). Příklad 1. a) Zápisu [[1,2], 3] +, odpovídá 1 + 2 = 3 (tj. 3 je výsledek operace sčítání čísel 1 a 2). binární operace sčítání součet b) Zápisu [[2,3], 6] ·, odpovídá 2 · 3 = 6 (tj. 6 je výsledek operace násobení čísel 2 a 3). binární operace násobení součin Poznámka 2. Označení binárních operací: +, ·, ○, ⁎, □,.. Příklady binárních operací ve školské matematice: 1) Sčítání (+), odčítání (-), násobení (·), dělení (:), umocňování,… (pracujeme s nimi v číselných množinách). 2) Sjednocení ( ), průnik ( ), rozdíl ( - ), symetrický rozdíl ( ) množin,… (pracujeme s nimi v systémech množin). Vlastnosti binárních operací: Označení: · ℕ - {1, 2, 3, 4, …} - množina všech přirozených čísel · ℕ[0] - {0, 1, 2, 3, 4, …} - množina všech přirozených čísel s nulou (množina všech nezáporných celých čísel) · ℂ - {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - množina všech celých čísel · ℚ - množina všech racionálních čísel (zlomky) · ℝ - množina všech reálných čísel --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 2: Binární operace ○ v množině M, která má vlastnost, že je definována pro každou uspořádanou dvojici [x,y] M x M, se nazývá operace neomezeně definovaná v množině M (zkráceně operace definovaná na množině M). Značíme ND. Symbolicky: x, y M)( z M)[ x ○ y = z]. Příklad 2: · operace sčítání (+)…….v množině ℕ, ℂ, ℚ je ND · operace odčítání (-)……v množině ℕ není ND v množině ℂ, ℚ, ℝ je ND · operace násobení (∙)….. v množině ℕ, ℂ, ℚ je ND · operace dělení (:)……. v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ není ND v množině ℚ - {0}, ℝ - {0} je ND --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 3: Binární operace ○ definovaná na množině M (je ND), se nazývá komutativní právě tehdy, když platí: x, y M)[ x ○ y = y ○ x]. Značíme K. Příklad 3: · operace sčítání (+)…….na množině ℕ, ℂ, ℚ je K · operace odčítání (-)……na množině ℂ, ℚ, ℝ není K · operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ je K · operace dělení (:)…….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} není K --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 4: Binární operace ○ definovaná na množině M, se nazývá asociativní právě tehdy, když platí: x, y, z M)[ (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z)]. Značíme A. Příklad 4: · operace sčítání (+)…….na množině ℕ, ℂ, ℚ je A · operace odčítání (-)……na množině ℂ, ℚ, ℝ není A · operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ je A · operace dělení (:)…….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} není A --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 5: Nechť v množině M je definována binární operace ○. Existuje-li prvek e M, pro který platí: x M)[ x ○ e = e ○ x = x]. Pak se prvek e M nazývá neutrálním prvkem množiny M vzhledem k operaci ○. Značíme EN. Příklad 5: · operace sčítání (+)…….na množině ℕ nemá vlastnost EN (tj. neexistuje neutrální prvek v množině ℕ vzhledem ke sčítání) · operace sčítání (+)…….na množině ℕ[0], ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost EN (tj. existuje neutrální prvek vzhledem ke sčítání e = 0: x + 0 = 0 + x = x) · operace odčítání (-)……v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EN (tj. neexistuje neutrální prvek vzhledem k odčítání) · operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost EN (tj. existuje neutrální prvek vzhledem k násobení e = 1: x ∙ 1 = 1 ∙ x = x) · operace dělení (:)……..v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EN (tj. neexistuje neutrální prvek vzhledem k dělení) Poznámka 3. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EN lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti x ○ e nebo e ○ x. --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 6: Nechť v množině M je definována binární operace ○ a nechť e je neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci ○. Prvek ā M nazýváme inverzním prvkem k prvku a M v operaci ○ v množině M právě tehdy, když platí: ā ○ a = a ○ ā = e. Jestliže a M)( ā M)[ ā ○ a = a ○ ā = e], řekneme, že ke každému prvku množiny M existuje prvek inverzní vzhledem k operaci ○. Značíme EI. Příklad 6: · operace sčítání (+)…….na množině ℕ[0] nemá vlastnost EI · operace sčítání (+)…….na množině ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost EI (tj. existuje inverzní prvek ke každému prvku z dané množiny vzhledem ke sčítání tak, aby platilo ā + a = a + ā = 0. Inverzní prvek k prvku a vzhledem ke sčítání se nazývá prvek opačný a značíme jej ā = - a) · operace odčítání (-)……v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EI (neboť nemá vlastnost EN) · operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EI · operace násobení (∙)….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} má vlastnost EI (tj. existuje inverzní prvek ke každému prvku z dané množiny vzhledem k násobení tak, aby platilo ā ∙ a = a ∙ ā = 1. Inverzní prvek k prvku a vzhledem k násobení se nazývá prvek převrácený a značíme jej ā = = a^-1. · operace dělení (:)……..v množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost EI (neboť nemá vlastnost EN) Poznámka 4. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EI lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti ā ○ a = a ○ ā. --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Definice 7: Říkáme, že binární operace ○ definovaná na množině M má vlastnost řešitelnost základních rovnic právě tehdy, když platí: a, b M) )( x, y M)[ a ○ x = b y ○ a = b]. Značíme ZR. Poznámka 5. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti ZR lze vynechat jedna z výrokových forem a ○ x = b nebo y ○ a = b. Příklad 7: · operace sčítání (+)…….na množině ℕ, nemá vlastnost ZR (tj. rovnice a + x = b není pro všechny prvky množiny ℕ řešitelná) · operace sčítání (+)…….na množině ℂ, ℚ, ℝ má vlastnost ZR (tj. rovnice a + x = b je pro všechny prvky uvažovaných množin řešitelná: x = b - a) · operace násobení (∙)….. na množině ℕ, ℂ, ℚ, ℝ nemá vlastnost ZR (tj. rovnice a ∙ x = b není pro všechny prvky uvažovaných množin řešitelná) · operace násobení (∙)….. na množině ℚ - {0}, ℝ - {0} má vlastnost ZR (tj. rovnice a ∙ x = b je pro všechny prvky uvažovaných množin řešitelná: x = ) Definice 8: Nechť v množině M je definována binární operace ○. Existuje-li prvek g M, pro který platí: x M)[ x ○ g = g ○ x = g]. Pak se prvek g M nazývá agresivním prvkem množiny M vzhledem k operaci ○. Příklad 8: · pro operaci sčítání (+) na množině ℕ, ℂ, ℚ neexistuje agresivní prvek. · pro operaci násobení (∙) na množině ℂ, ℚ, ℝ existuje agresivní prvek: g = 0: x ∙ 0 = 0 ∙ x = 0. --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- Určení vlastností binárních operací podle tvaru operační tabulky Uvažujme binární operaci ○ v množině M zapsané pomocí operační tabulky, viz příklad: Příklad 9: Je dána množina M = {a, b, c} a operace ○ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. ○ a b c a b c a b c c b c a b c Vysvětlivky k tabulce: a ○ a = b b ○ c = b c ○ a = a Řešení: ND K [DEL: A :DEL] EN EI [DEL: ZR :DEL] [DEL: :DEL] [DEL: :DEL] Pravidla pro určování vlastností operace v množině dané tabulkou: ND: Tabulka je celá vyplněná prvky množiny M K: Prvky tabulky, která je celá vyplněná prvky množiny M, jsou souměrně rozloženy podle hlavní diagonály A: Z tabulky obvykle nepoznáme - určujeme z definice nebo ze vztahu A (ZR EI) EN: Alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako záhlaví tabulky EI: Každý řádek i sloupec tabulky obsahuje neutrální prvky tak, že ve všech řádcích a sloupcích existují takové, že jsou souměrně rozloženy podle hlavní diagonály. ZR: Každý řádek i sloupec obsahuje všechny prvky množiny M Agresivní prvek g M poznáme tak, že v celém jemu příslušejícím řádku i sloupci se vyskytuje pouze prvek g. Problém asociativity operace ○ Vyjdeme ze vztahu A (ZR EI): 1. Pokud nastane situace, že EI [DEL: ZR :DEL] nebo [DEL: EI :DEL] ZR, pak platí, že operace ○ není asociativní, tj. [DEL: A :DEL] 2. Pokud nastane situace, že [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] nebo EI ZR, pak asociativitu operace ○ nelze určit přímo, ale je potřeba využít Definici 4 ověřením všech možných trojic prvků z dané množiny (zdlouhavé) Algebraické struktury s jednou operací Definice 9: Uspořádaná dvojice (M, ○), kde M je neprázdná množina, ve které je definována binární operace ○, se nazývá algebraická struktura s jednou operací. Příklad 9: Příklad algebraických struktur: (ℕ, +), (ℂ, -), (ℚ - {0}, :), (ℝ, ∙); (M, ○), kde množina M = {a, b, c} a operace ○ jsou z Příkladu 9, 10. Definice 10: I. Algebraická struktura (M, ○) se nazývá grupoid právě tehdy, když operace ○ je neomezeně definovaná v množině M (ND). II. Grupoid (M, ○), jehož operace ○ je asociativní, se nazývá pologrupa (ND, A). III. Pologrupa (M, ○) taková, že v M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci (M, ○) a ke každému prvku a M existuje prvek inverzní ā M, se nazývá grupa (ND, A, EN, EI). Poznámka 6. Jestliže v případech I., II., III. je operace ○ komutativní, pak hovoříme o I. Komutativním grupoidu II. Komutativní pologrupě III. Komutativní grupě Schéma k Definici 10: Vlastnost operace ○ Algebraická struktura ND Grupoid ND K Komutativní grupoid (M, ○) ND A Pologrupa ND A K Komutativní pologrupa ND A EN EI Grupa ND A EN EI K Komutativní grupa Příklady algebraických struktur s jednou operací 1. (ℕ, +) … komutativní pologrupa sčítání … ND K A [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] rovnice a + x = b není pro libovolné a, b ℕ řešitelná 2. (ℕ[0], +) … komutativní pologrupa s neutrálním prvkem e = 0 sčítání … ND K A EN [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] [DEL: :DEL] 3. (ℕ[0], -) … není ani grupoid odčítání …[DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] hledáme neutrální prvek, pro který platí: a – e = e – a = a a – e = a e – a = a e = 0 e = 2a (vlastnost EN není splněna) 4. (ℕ[0], ∙) … komutativní pologrupa s neutrálním prvkem e = 1 násobení …ND K A EN [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] 5. (ℕ[0], : ) …není ani grupoid dělení… [DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- 6. (ℂ, +) … komutativní grupa s neutrálním prvkem e = 0 s vlastností ZR sčítání…ND K A EN EI ZR[DEL: :DEL] ā = - a rovnice a + x = b je pro libovolné a, b ℂ vždy řešitelná 7. (ℂ, -) … grupoid s vlasností ZR odčítání …ND [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] ZR[DEL: :DEL] operace odčítání není K: a - x = b y - a = b x = a – b y = b + a a – b ℂ b + a ℂ, tj. obě rovnice jsou pro lib. a, b ℂ vždy řešitelné 8. (ℂ, ∙) … komutativní pologrupa s neutrálním prvkem e = 1 násobení …ND K A EN [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] rovnice a ∙ x = b není pro libovolné a, b ℂ řešitelná 9. (ℂ, : ) …není ani grupoid dělení… [DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] --------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------- 10. (ℚ, +), (ℝ, +) … komutativní grupy s neutrálním prvkem e = 0 a vlastností ZR sčítání…ND K A EN EI ZR[DEL: :DEL] ā = - a rovnice a + x = b je pro libovolné a, b ℚ, ℝ vždy řešitelná 11. (ℚ, -), (ℝ, -)… grupoid s vlasností ZR odčítání …ND [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] ZR 12. (ℚ, ∙), (ℝ, ∙)… komutativní pologrupy s neutrálním prvkem e = 1 násobení …ND K A EN [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] [DEL: EI :DEL] : ā ∙ a = 1 ā = pro a = 0 však neexistuje ā, neboť číslo není definováno [DEL: ZR :DEL] : a ∙ x = b x = pro a = 0 b ≠ 0 však neexistuje x ℚ, ℝ tak, aby platilo 0 ∙ x = b. 13. (ℚ, :), (ℝ, :)… není ani grupoid dělení… [DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] [DEL: ZR :DEL] 14. (ℚ - {0}, ∙), (ℝ - {0}, ∙) … komutativní grupa s neutrálním prvkem e = 1 a vlastností ZR násobení…ND K A EN EI ZR[DEL: :DEL] ā = rovnice a ∙ x = b je pro libovolné a, b ℚ - {0}, ℝ - {0} vždy řešitelná Příklad 10: Je dána množina M = {a, b, c} a operace ○ v množině M daná tabulkou. Určete vlastnosti operace ○. Pokud existuje neutrální nebo agresivní prvek, určete je. K jednotlivým prvkům stanovte prvky inverzní, pokud existují. Určete typ algebraické struktury (M, ○). 1. ○ a b c a b a c b c b a c a c b 2. ○ a b c a c a a b a c b c a b c 3. ○ a b c a c a a b c b c a b c 4. ○ a b c a a a a b a a a c a a a Příklad 11: Určete vlastnosti operace dané předpisem ○ = {[[a,b],c] ℂ^2 x ℂ: c = a + b - 2 }