Algebraické struktury
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková
Prezentace č. 5

Algebraické struktury s jednou operací
V předchozích prezentacích jste se seznámili s vlastnostmi operací v množině.
•Neomezeně definovaná operace v množině M ND
•Komutativní operace na množině M K
•Asociativní operace na množině M A
•Existence neutrálního prvku v množině M vzhledem k operaci EN
•Existence inverzního prvku pro každý prvek množiny M
vzhledem k operaci EI
•Řešitelnost základních rovnic na množině M s operací ZR
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Dodatek k minulé prezentaci
•Agresivní prvek je pomyslným protikladem prvku neutrálního. Zatímco neutrální prvek nedokáže
„změnit“ žádný prvek, jestliže s ním provedeme operaci, agresivní prvek vytvoří po operaci s
jakýmkoli prvkem opět sám sebe.
•
•Symbolicky:
•Neutrální prvek (značíme e) - ∀ a ϵ M: e o a = a o e = a
•Agresivní prvek (značíme g) - ∀ a ϵ M: g o a = a o g = g
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
V této prezentaci se budeme věnovat pouze speciálnímu pojmenování množin
s operací, která na nich splňuje určité vlastnosti.
Definice 1:
Uspořádaná dvojice (M, o), kde M je neprázdná množina, ve které je definována binární operace o, se
nazývá algebraická struktura s jednou operací.
Příklad 1:
Promyslete si, jaké vlastnosti má známá operace sčítání na přirozených číslech, jinak řečeno
algebraická struktura (N, +).
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Příklad 1:
Promyslete si, jaké vlastnosti má známá operace sčítání na přirozených číslech, jinak řečeno
algebraická struktura (N, +).
Řešení:
•Jestliže a ϵ N, b ϵ N, pak určitě i a+b ϵ N → platí ND
•Platí a+b=b+a pro všechna a, b ϵ N → platí K
•Platí a+(b+c)=(a+b)+c pro všechna a, b, c ϵ N → platí A
•Pro každé a ϵ N platí a+0=a, tedy neutrální prvek e=0. Avšak 0 nepatří mezi přirozená čísla →
neplatí EN
•Neexistuje neutrální prvek → neplatí EI
•Například pro dvojici čísel 5, 7 nemůžeme najít čísla x, y ϵ N tak, aby platilo
7+x=5 a zároveň y+7=5 → neplatí ZR
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Jinak řečeno …
Definice 2:
Algebraická struktura (M, o) se nazývá grupoid právě tehdy, když je operace o neomezeně definovaná
v M (tj. definovaná na M).
Definice 3:
Grupoid (M, o), jehož operace je asociativní, se nazývá pologrupa.
Definice 4:
Pologrupa (M, o) taková, že v M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci o a ke každému x ϵ M
existuje v M inverzní prvek, se nazývá grupa.
Jestliže je operace o v množině M navíc komutativní, pak k názvu algebraické struktury přidáme
přívlastek „komutativní“, tedy komutativní grupoid, komutativní pologrupa, případně komutativní
grupa.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Příklad 2:
Určete typ algebraické struktury
a)(N, +)
b)(Z, +)
c)(R, ∙)
d)(R – {0}, ∙)
e)(Z, :)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Příklad 2:
Určete typ algebraické struktury
Řešení:
a)(N, +) splňuje vlastnosti ND, K, A → komutativní pologrupa
b)(Z, +) splňuje vlastnosti ND, K, A, EN, EI → komutativní grupa
c)(R, ∙) splňuje vlastnosti ND, K, A, EN → komutativní pologrupa
d)(R – {0}, ∙) splňuje vlastnosti ND, K, A, EN, EI → komutativní grupa
e)(Z, :) nesplňuje ani vlastnost ND → algebraická struktura
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Příklad 3:
Určete typ algebraické struktury, P(A) je systém podmnožin množiny A={1,2,3}.
a)(P(A), ∩)
b)(P(A), ∪)
c)

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Příklad 3:
Určete typ algebraické struktury, P(A) je systém podmnožin množiny A={1,2,3}.
( P(A)={∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} )
Řešení:
a)Průnik libovolných dvou množin z P(A) je opět prvek P(A), dále je průnik množin obecně
komutativní i asociativní. Neutrálním prvkem je celá množina A, avšak například prvek {1,2} nemá
prvek inverzní, pro který by platilo
{1,2} ∩ ___={1,2,3}. Celkem platí ND, K, A, EN → komutativní pologrupa
b)Podobně platí i pro sjednocení ND, K, A. Neutrálním prvkem ve sjednocení množin je množina
prázdná, opět je problém s prvky inverzními. Například pro prvek {2,3} nenajdeme žádný inverzní
prvek, pro který má platit
{2,3} ∪ ___= ∅. Dohromady platí ND, K, A, EN → komutativní pologrupa
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Děkuji za pozornost J
•Pokud jste něco nepochopili, ráda Vás uvidím na konzultaci v aplikaci Microsoft Teams v úterý
31.3. ve 13 hodin.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]