DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL
Def. 1 Ríkáme, že celé číslo b dělí celé číslo a (nebo b je dělitelem n nebo fl je dělitelné b
nebo a je násobkem b), právě když existuje celé číslo x, pro které platí a = b . x.
Symbolicky: b|a o (]x € C)(a=b.x)
Jestliže k číslůF a,bec neexistuje x e C iakové, že a = b . x, říkáme, Že b neděH a. b t a
Platí-li, že a = b . x, pak čísla b a xjsou dělitelé čfsla a a nazývají se sdružmí dělitelé
čísh a.
Pozn.
1. Každé celé číslo a ± 0,1, -1 má alespoň 4 celočíselné dělitele, a to čísla 1, a, -1, -a.
Tyto dělitele nazývámc samozřejmými děliten čísla a. (Ostatní dělitele, pokud existují,
2.%#ťae_ni=ťgí°p#ť#.Lěňteievrmožhčc,aúH.
3. Číslo 0 má nekonečně mnoho děliteLů, a to každé celé číslo.
4. Číslo 0 není dělitelem Žádného nenulového čísla a, protože neexistuje žádné celé číslo x
5.#s'Loaboyj:Ld€i]i:ei:ixs;:.sama(oio),neboťpmlibovohéstléčísloxplatí0.X=0.
CvičeDí:
Dopnčúá]o„má„dě]í,e]ů,jsoutočísLa:
Dvojice sdružei`ých dělitelů čísla 10:
Samozřejmí dčlitelé čígla io:
Přirozeni dělitelé ěísla 10 (to jsou dělitele čísla 10 patžící do množiny přirozcných čísel):
2. Zjistěte, jaké vlastnosti má binámi relace „dělitelnoat c€lých Čísel", a tvrzení dokažte.
Věťa 1.
Pro libovohá celá čísla a, b, c platí
a) @|a ^ b|c) j (b|a+c ^ b!a-c)
b) bla = (-b)la
c) bla = bl(-a)
Důkaz:
Pozn. Na základě části b) a c) uvedené věty můžeme dále pracovatjen v množině přirozených
čísel. (Určíme-li přirozené dělitele přiroz`eného čísla a, umíme snadno uičít všechny dělitele
čísla a i čísla -a.).
Znaky děfitelnosti
jsou věty, které umožňují rožhodnout o dělitehosti Číslaj.iným číslem bez provedeni' dělení,
jen ze zápisu čís]a
Ve všech dalšíd úvahách máme m mysli pfirozená čísla zapsaná v desítkové soustavě.
1. Přirozené číslo a je dělitelné dvěma (pěti, deseti) právě tehdy, kdyžje dvěma ®ěti, deseti)
dělitelné číslo, zapsanéjeho cifiDu nultého řádu.
2. Přirozené číslo aje dělitelné čtyřmi, právě když je čtyřmi dělitelné číslo zapsanéjeho
posledním dvojčíslím.
3. Pfirozcmé číslo a je dělitelné osmi, právě když je osmi dělitelné číslo zapsmé jeho
po§lednh troj číslím.
4. Přirozené číslo a je dělitelné třmi (devíti), právě když je třemi (devíti) dělitehýjeho
cifemý součet. (Cifemý součet je součet všech čísel zapsanýchjednotlivými číslicemi
v zápisu čísla a)
5. Pfirozené Číslo aje děLitelné jedenácti, právě když je jedenácti dělitelný součet Čísel
zapsímých jednotlivými ciffami sudého řádu zmenšený o součet ěísel zapsmých
jednotli`ými ciůami lichého řádu v zápisu čísla a.
Tyto znaky dělítelnosti plynou z obecnějších vět:
1. Dělíme-li`pňrozené č!slo a dvěma (pěti, deseti) dostaneme stejiiý zbytek, jako když
dělíme dvěma ®ěti, deseti) číslo 2apsmé ciftou nultého řádu v zápisu ěísla a,
11. Dělíme-li přirozené číslo a (aspoň trojcifemé) čtyřmi, dostaneme stejný zbytek, jako
když dělíme čtyřmi č{slo zapsané jeho posledním dvojčíslím.
111. gdč;ížmdeč-l`LpeTszmelp:íg3`o"ap:=:oj:hčoi3ist:=néí,mo:#í3:í=-e stejný zb*ek' j ako
IV. Dělíme-li pfirozené číslo a třemi (devi'ti), dostaneme stejný zbytek, jáko když děl{me
třeri (devíti) jeho cifemý součet.
V. Dělíme-li pňrozené číslo a jedenácti, dostaneme §tqjný zbytek, jako když dělíme
jedenácti součet čísel zapsaných ciflami sudého řádu zmenšený o součet Číse]
zapsaných ci ffamí lichých řádů.
Důkazy vět 1. - V. provedeme s využitím následující věty.
Věta 2.
Je-li celé číslo a součtem dvou celých čísel, z richž jedno je násobkem celého čísla b, pak
druhé dává pfi delení číslem b stejný Zbytek jako číslo a.
(Důkaz viz učebnice s.185)