1
ALGEBRA I – cvičení
Irena Budínová
BINÁRNÍ OPERACE A ALGEBRAICKÉ STRUKTURY
Novotná, V., Pisklák, B. (1991). Cvičení z elementární aritmetiky a elementární geometrie. 1.
část. Pedagogická fakulta v Ostravě.
Binární operace a jejich vlastnosti
1. V množině celých čísel je definována operace ∘ předpisem 𝑥 ∘ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦. Zjistěte,
zda operace ∘ je
a) neomezeně definovaná,
b) komutativní,
c) asociativní.
Dále zjistěte, zda množina 𝑍 vzhledem k operaci ∘ obsahuje prvek neutrální a případně,
ke kterým celým číslům existují prvky inverzní.
2. V množině 𝑀 = {0, 2, 3, 4} je definována operace ∘ vztahem 𝑥 ∘ 𝑦 = (𝑥 − 1)(𝑦 − 1).
Zjistěte, zda je operace neomezeně definovanou. Sestavte operační tabulku.
3. V množině 𝐴 = {𝑥, 𝑦} jsou dány operace △,  tabulkami. Určete všechny vlastnosti
uvedených operací.
△ 𝑥 𝑦
𝑥 𝑥 𝑥
𝑦 𝑥 𝑦
 𝑥 𝑦
𝑥 𝑥 𝑦
𝑦 𝑦 𝑥
4. Na množině 𝐾 = {1, 2, 3} je definována operace  tabulkou. Určete její vlastnosti.
 1 2 3
1 3 1 2
2 1 2 3
3 1 3 1
2
5. Na množině 𝑍 je definována operace −. Určete její vlastnosti.
6. V množině 𝑄 je definována operace ∘ takto: 𝑎 ∘ 𝑏 = 2𝑎 + 2𝑏 − 5. Pro operaci určete
neomezenou definovanost, komutativnost, asociativnost, neutrální prvek, a ke kterým
prvkům množiny existují prvky inverzní.
7. V množině 𝑅 je definována operace ∘ takto: 𝑥 ∘ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 . Pro operaci určete
neomezenou definovanost, komutativnost, asociativnost, neutrální prvek, a ke kterým
prvkům množiny existují prvky inverzní.
Domácí cvičení
8. Rozhodněte, zda je operace ⨁ binární operací na množině 𝑍. V kladném případě
vyšetřete její vlastnosti. Operace ⨁ je dána předpisem
𝑎⨁𝑏 = 4𝑎 + 4𝑏
9. Rozhodněte, zda je operace ⨀ binární operací na množině 𝑄. V kladném případě
vyšetřete její vlastnosti. Operace ⨀ je dána předpisem
𝑝⨀𝑞 = 𝑝 ∙ 𝑞
10. Rozhodněte, zda je operace ⨁ binární operací na množině 𝑄. V kladném případě
vyšetřete její vlastnosti. Operace ⨁ je dána předpisem
𝑥⨁𝑦 = 𝑥 − 𝑦 +
1
3
11. Na množině 𝑄 je definována operace ∙ (násobení). Určete její vlastnosti.