Konstrukční geometrie Poslední aktualizace: 23. března 2021, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2021/MA0007/ Plán Celkově ► jaro 2021: konstrukční geometrie („syntetická") — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2021 a jaro 2021: počítací geometrie („analytická") — soustavy rovnic, matice, determinanty V 7 C ■ r n v Plán Celkově ► jaro 2021: konstrukční geometrie („syntetická") — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2021 a jaro 2021: počítací geometrie („analytická") — soustavy rovnic, matice, determinanty Jaro 2021 . _____k \ ► klasická konstrukční geometrie: Základy,(cľotykové úlohy^ ► geometricky^ shodná, podobná, afinní, projektivní a pár dalších —9 ► poznámky k zobrazování prostoru do roviny Organizační věci Preference (1) celkový přehled hlavní myšlenky a teoretické pozadí (3) konstrukce a technické záležitosti Organizační věci Preference (1) celkový přehled (2) hlavní myšlenky a teoretické pozadí (3) konstrukce a technické záležitosti Materiály ^ ^ ^ r-----"\ ► IS: osnova,přednáška,jGeoGebra, odkazy, staré písemky Zakončení ► výkresy -> zkoušková písemkaQ ústní zkouška Soutěž ► o nejpovedenější konstrukci/výkres/aplikaci použitelnou ve výuce □ s Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 Pravidelný pětiúhelník a další 40 Teorie podobnosti 52 Dotykové úlohy 55 Geometrická zobrazení 56 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 59 Zdroje 60 □ s Základy Úvod 2 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,1 1 kolem^OOAttp: //cs. wikipedia. org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady kolem - 300, < tu ►^^►^^►^^^ ^ o o, o Základy Úvod 2 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,1 ovšem s Hilbertovými upřesněními.2 ~- Základní pojmy: ► bod, přímka, rovina < < \----' ^ —f-ŕ- Základní vztahy/relace: ^^^^>. ► incidence, uspořádání, rounobéž^^fS^Q^Q^ spojitost Základní definice: - ► např. úhel, pravý úhel, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnostpřímek,... it í X. . — í" /__' ' _ . /__ _ i I r , \ 1 kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady 2kolem +1900/http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert' s_axiomB Základy Úvod 2 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,1 ovšem s Hilbertovými upřesněními.2 Základní pojmy: ► bod, přímka, rovina Základní vztahy/relace: ► incidence, uspořádání, rovnoběžnost, shodnost, spojitost Základní definice: ► např. úhel, pravý úhel, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnost přímek,... 1 kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady 2kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axiomB Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) Každé dva různé body spojuje přímka. Úvod 3 / Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit. Lze vytvořit kružnici s libovolným danýn^ff^erřhprocházející libovolným jiným bodem. j(IV)] Všechny pravé úhly jsou shodné menší než dva a + J3 < 2R ==> g ah se pro kaji V 1 A g ah se protínají , t- / - h t ll Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) Úvod 3 (I) Každé dva různé body spojuje přímka. (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit. (III) Lze vytvořit kružnici s libovolným daným středem procházející libovolným jiným bodem. (IV) Všechny pravé úhly jsou shodné. (V) Když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky (dostatečně prodlouženy) setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. a + p < 2R ==> g ah se protínají Konstrukce založené na postulátech (l)-(lll) jsou tzv. eukleidovské konstrukce. Postulát (V) je přezdíván pátým Eukleidovým postulátem.3 3https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate i □ i < S i -r)c\(y Eukleidovy všeobecné axiómy Úvod 4 ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. in S Eukleidovy všeobecné axiómy ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. Dnes čteme jako: ► k = / a m = / => k = m. ► k = / a m = n => /c + m = / + n. ► apod.4 https: //mathcs. čiarku. edu/~dj oyce/java/elements/bookl/cmhtmljgi Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... zbvlvmi dvěma J r 1 j j y ' ' y LD\J\Jly I let fjl III/L/tí i iKŽKjkJjdi iLJJi y //CsL/Cs/ 11 l\ V y£11111 i\ži i\ži IILA C/ojĽC/ < __:_x__- . .__" r . "__i „ i_____Ä. ,«i,í . "f_i,.. : ~ i"4.„ 5viz konstrukci tělesa reálných čísel (algebra) a problém sestroiitelnýchdveliaiirt Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... * q Typický axióm uspořádání je např.: ► Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem. ► Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Úvod 5 Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány. Typický axióm uspořádání je např ► Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden ? nich je mezi zbylými dvěma. o i * > * Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv Dedekindovým axiómem. i Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy tvpu skok"ji ..mezera". ... jde zejména o upřesnění představy eukleidovské přímky jakožto „reálné" přímky!5 5viz konstrukci tělesa reálných čísel (algebra) a problém sestrojitelných veličin (s. 24)r Co na postulátu (V) nezávisí Úvod 6 Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. a = 7 => Co na postulátu (V) nezávisí Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. Věta o vnějším úhlu trojúhelníku. 0 h II g 6 Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořádání (viz s. 8). ■ ^ 7Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku (viz s. 9). □ g m £ i Detail k větě o vnějším úhlu v trojúhelníku Úvod 8 É> • K z- t/e. j-f^hr P o (o r* c/ťn a~ j A U* ^ BOOK I. PR, is produced, :fie externa/ ( Y....1 ) W greater than either- sf the internal remote tsngta and produce it until Jraw -■ ■ — In like manner it can be produced, which is rr: r ) -1 } Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-16.html Co na postulátu (V) nezávisí Úvod 6 Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. Věta o vnějším úhlu trojúhelníku. ► Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek7 (odtud existence rovnoběžky). 6Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořadánú(viz s. 8). 7Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku (viz s. 9). Co na postulátu (V) závisí —^ ► Věta o střídavých úhlech8 (odtud jednoznačnost rovnoběžky). ► Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich obsazích.10 ► Pythagorova věta (a téměř vše co následuje)... 8Nepřímo: a ± y ==> a + p ± y +p => 2R í y +/?; odtud podle (V) plyne, že se přímky h, g protínají, tedy nejsou rovnoběžné (viz s. 10). ^ 9Přímo pomocí věly^o^jííd^ (viz s. 11). 10 Podrobněji od s. 12... Co na postulátu (V) závisí Úvod 7 Věta o střídavých úhlech8 (odtud jednoznačnost rovnoběžky). h || g => a = y Věta o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku.9 A fa Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich jDbsazích.10 Pythagorova věta (a téměř vše co následuje). cl > a K 8Nepřímo: a ±y ==> a + J3 ž y + J3 ==> 2R ž y + /?; odtud podle (V) plyne, že se přímky h, g protínají, tedy nejsou rovnoběžné (viz s. 10). 9Přímo pomocí věty o střídavých úhlech (viz s. 11). 10 Podrobněji od s. 12... Detail k větě o střídavých úhlech 13 Úvod 10 BOOK L PROP, XXIX, THEOR. STRAIGHT Ikt ( ) fading on fwo parallel jlraight lines ( and ■)i makes the alternate angles equal to one another; and aijh the external equal to the internal and eppojite angle on the fame jide ; and the t-wo interna! tingles en the fame Jide together equal to t-wo right angles. For if the alternate angles^ ^^k. 1 c1ua], -■ — j^tok Therefore ■■■■ Jj (pr. 27.) and there- fore two ftraight Jines which intcrfc .*. = . the external angle equal to the rial and oppofitc on the fame tide : it' ^^^r be added to both, then + 0 (pr-'3)- Ttat is to fay, the two internal angles at the fame Jide of the cutting line are equal to two right angles. Q. E. D. 3http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-30.html Detail k větě o součtu úhlů v trojúhelníku 14 Úvod 11 BOOK I. PROP. XXXII. THEOR. 33 F any ßde ( 'Hlglí to the fum cf the tieo intei dppQJitt angles {^/^ and and the three internal a ttffty triangle taken tagf, equal ti PWC right anglei. Through the point /\ draw - II -(pr. 3t.)- The A* (pr. 29.). (ax. 2.), and therefore 4i =rr\ ü. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-32. html Základní tvrzení o rovnostech obsahů15 Obsahy 12 © -i) Rovnoběžníkyíresp. trojúhelníky se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah. Trojúhelník ABC a rovnoběžník ECGF mají stejný obsah (kde E = střed BC aBC\\AF): ' ■ Rovnoběžníky BEFG a BALM mají stejný obsah (kde společný bod B e úhlopříčce HK): \ (h^ ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce, resp. věta Pythagorov^r^ 15Ve všech důkazech vystačíme s větou o střídavých úhlech a shodnými trojúhelníky (viz s. 14, 15). Eukleidova věta o odvěsně/resp. Pythagorova věta ) obsahy 13 Q Věta Trojúhelník BAC je pravoúhlý a P je pata výšky z vrcholu A. Potom platí BP • BC = BA2 aCPCB = CA2, tudíž BC2 = BA2 + AC2. Důkaz. ► FBAG je čtverec a úhel BAC je pravý => body G,A, C leží na jedné přímce, a ta je rovnoběžná s FB. ► Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. FBC a ABD a znovu podle zákl. věty o obsazích: obsah FBA = obsah FBC = obsah ABD = obsah PBD. Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL. Obdobně to funguje na druhé straně... □ Eukleidova věta o odvěsně, resp. Pythagorova věta Obsahy 13 Věta Trojúhelník BAC je pravoúhlý a P je pata výšky z vrcholu A. Potom platí BP-BC = BA2 aCP-CB = CA2, tudíž BC2 = BA2 + AC2 D L Důkaz. ► FBAG je čtverec a úhel BAC je pravý => body G,A,C leží na jedné přímce, a ta je rovnoběžná s FB. ► Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. FBC a ABD a znovu podle zákl. věty o obsazjch: ^ ^ obsah FBA = obsah FBC = obsah ABD = obsah PBD. Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL Obdobně to funguje na druhé straně... □ Detail k větě o obsazích rovnoběžníků16 0 36 BOOK I. PROP. XXXf. THEOR. P o A $ k 0 A "i — ^ r J o» 5 * 5 5 ARALLELOGRAMS onthejame buje, ttud between the Jilme parními, are {in urea) equal. j' u' f Obsahy 14 0 é 5^ n- On account o/ the parallels, (pr. 54-) __ and Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-36.html Detail k větě o složených rovnoběžnících Obsahy 15 Kvadratura mnohoúhelníku Obsahy 16 Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.18 Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názorným rozstříháním... Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) \ z Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah <=^> jeden lze rozstříhat na části, z nichž ] ' lze složit ten druhý. Jy Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním 18 http://ggbtu.be/mkripDpYd Kvadratura mnohoúhelníku Obsahy 16 Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.18 im. Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názornýrr( rozstříhán Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah <^^> jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý. 1 H- Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním / 18http://ggbtu.be/mkripDpYd Mezishrnutí — takto NE! 17 Mezishrnutí — takto ANO! 18 G eo m ejrick^ geometrické konstrukce vs. algebraické výrazy. ť-- ^ Trocha algebry 1 9 --—y ° i \ * W - 4 r C-——« í\ Y P-1 Obrázek 4.11: |2] II. 6: Pokud je C střed úsečky AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo od B, potom ylatťjÁD ■ BB\ + OB2 = \CD2\ Poznámky Při značení \AB\ =: b a \DB\ =: x lze předchozí tvrzení psát jako 2 2 2 (b + x)x + ||) = (§+*) > neboli *2 + b* + (^) =(^+x Uvedené úpravy známe jako tzv. doplnění do čtverce. Tyto úpravy jsou prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice... Míříme k charakterizaci sestrojitelných veličin (s. 22)... Geometrická algebra Trocha algebry 1 9 geometrické konstrukce, vs. algebraické výrazy Obrázek 4.11: [A] II.fi: Pokud je C střed úsečky^AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo od B, potom platí l\D ■ BBj +\CB2\ = Cín Poznámky Při značení \AB\ =: ba\DB\ =Qj)e předchozí tvrzení psát jako {b + x)x b neboli x2 + bx + - = ( - + x Uvedené úpravy známe jako tzv. doplnění do čtverce. Tyto úpravy jsou prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice... ^- __) Míříme k charakterizaci sestrojitelných veličin (s. 22). Zlatý řez Trocha algebry 6 Definice * Bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu, pokud poměr celé úsečky k delší části řezu je stejný jako poměr delší části ke kratší, tzn. pokud BA :AH = AH : HB, ^nebo AB : BH = BH : HA.^ (i) AC je kolmice £ AB, gřjperQŽ £ Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího^ z Pythagorovy věty (s. 14): CF-FA+fef = EF2(£)EB2 = /fe\ + AB2, neboli | CF • FA = AB2, Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. \f iJ^-.fc Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako AH2 = AB ■ BH, neboli AH : BH = AB^AH. □ oznsičeni |Afí| —\ b si |A/-/| —\ x definice zlsitého řezu zni. b:x = x:(b-x), neboli b(b-x) = x2, nebe stupně sestrojené veličiny jsou: Vš-1 u i b, \AF\ -- \™ 'i Důkaz a něco navíc Trocha algebry 23 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 21) a z Pythagorovy věty (s. 14): CF ■ FA + AE2 = EF2 = EB2 = AE2 + AB2 neboli CF • FA = AB2. Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako * f AH2 = AB • BH, neboli AH : BH = AB : AH. □ * .V \ N - j H \l J ) -fc > • 1» B Počítání Při označení |AB| =:£ a \AH\ =:x,definic^zlatého řezulzní: ib : x = x : (ib - x), neboli £>(£>-x) = x2, neboli jx2 + bx - b2 = Oj \S \EC\ = \b b, \AF\ ■- \™ 'I a/5—1 u i Důkaz a něco navíc Trocha algebry 23 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 21) a z Pythagorovy věty (s. 14): CF ■ FA + AE2 = EF2 = EB2 = AE2 + AB2 neboli CF • FA = AB2. Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. f Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. Ŕ To můžeme zapsat jako AH2 = AB ■ BH, neboli AH : BH = AB : AH. □ \ < H_\ 7, -fc 1. > 1 Počítání Při označení |AB| =: b a |AH| =: x definice zlatého řezu zní: b : x = x : (b - x), neboli £>(£>-x) = x2, neboli Postupně sestrojené veličiny jsou: Pu £ íi • I x2 + bx - b2 = 0. |AE| = |EC| = -b. 2 • IE8I = V5 b, \AF\ = \AH\ = x = Skutečně, x = ^L-^-b je kořenem kvadratické rovnice x2 + bx Sestrojitelné veličiny \-1 -i 4—l Trocha algebry 24 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ® sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ^ (^) násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp, podobných trojúhelníků,19 omočí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce .0 druhou odmocni y V / 19 Podobnostem se budeme věnovat záhy, viz s. ??. Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 24 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků,19 ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Nic dalšího neumíme a nic dalšího ani sestrojit ^eízeí) Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem vyjádřit pomocí konečného počtu^^---— 9 Podobnostem se budeme věnovat záhy, viz s. ??. Důkaz ---f- -1 ~i o Trocha algebry 25 O) • • • • Q \/ , v Začneme s úsečkou představující jednotku. • - - QCfil(OC^l)^ ír] Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava dvoujineárních rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ~> soustava lineární a kvadratické rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava dvou kvadratických rovnic. r t 4 \ 2 / \ 2 / 2 / \2 / Důkaz Trocha algebry 25 Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava dvou lineárních rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava lineární a kvadratické rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava dvou kvadratických rovnic. *--------- Eliminací jedné proměnné dostaneme jednu lineární, nebo kvadratickou rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... Kořen(y) lib. lineární a kvadratické rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů pomocí právě uvedených operací! □ fc = x^ + bx + - =1 — 1 \2/ \2/ - c, cc -2±\ - c. -b± Vb2 - 4c Důkaz Trocha algebry 25 Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava dvou lineárních rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava lineární a kvadratické rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava dvou kvadratických rovnic. Eliminací jedné proměnné dostaneme jednu lineární, nebo kvadratickou rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... Kořen(y) lib. lineární a kvadratické rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů pomocí právě uvedených operací! □ Poznámka Algebraické vyjádření kořenů kvadratické rovnice/x2 + bx + c = 0 2 vypadá takto: což po odmocnění a úpravě vede k dobře známému vyjádření Slavné problémy starověku (a) zdvojení krychle ^ x=(^pa, (b) rozvinutí kružnice ^ x = ggr, (c) kvadratura kruhu ^ x = yjňr, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ____ Díkv J.H. L i, i cop. i . i_ii iuc11 icii / (a), (b) a (c) nej 20r. 1 Slavné problémy starověku Trocha algebry 26 (a) zdvojení krychle ^> x = ^2a, (b) rozvinutí kružnice ~» x = 20r, (c) kvadratura kruhu ^ x = a^t, 0 "(d) roztřetění úhlu ~> 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ...... (s@ Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.20 ^ 8 20 r.(l76ľ) resp.(i882^) □ = š -ť) <\cy Slavné problémy starověku Trocha algebry 26 (a) zdvojení krychle ^ x = ^2a, (b) rozvinutí kružnice ^ x = 27rr, (c) kvadratura kruhu ^ x = ^r, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ...... (s. ??) Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.20 Z předchozího (a trochu následujícího) víme, že ► problémy (a), (b) a (c) nejsou nikdy řešitelné, problémy (d) a (e) ve speciálních případech řešitelné jsou. r. 1767, resp. 1882 Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Trocha algebry 27 £7 Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. ^ -p Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. U Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Mascheroniovská a steinerovské konstrukce inverzního bodu Af k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Trocha algebry 27 Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Mascheroniovské a steinerovské konstrukce inverzního bodu A' k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Věta Konstrukce je proveditelná eukleidovsky <^^> je proveditelná mascheroniovsky <^^> je proveditelná steinerovsky21 Tvrzení vyplývá z předchozího (s. 25); obvykle však nebývá jasné, jak odp. konstrukce provést... Konstrukce neusis Trocha algebry 28 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) Archimédés: Trisekce úhlu s označeným pravítkem... < ► < -E ► < E ► E O Q, O Konstrukce neusis Trocha algebry 28 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) Archimédés: Trisekce úhlu s označeným pravítkem... Poznámka P Takto lze sestrojit (reálné) kořeny libovolné kubické rovnice, tedy vyřešit problémy (a), (d) a některé další (e) na s. 26.. .zz http://en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction i □ i < _pi i = *)c\(y Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 y Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 [~0~kružnicích 32 Dotykové úlohy 41 Geometrická zobrazení 42 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 45 Zdroje 46 Kosinová věta Kosinovávěta 31 Jako důsledek (a zobecnění) Pythagorovy věty (s. 14) představujeme: Věta V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: BC2 = BA2 + AC2 + 2DA • AC, \ BC2 = BA2 + AC2 - 2DA • AC. □ a Kosinová věta Kosinovávěta 31 Jako důsledek (a zobecnění) Pythagorovy věty (s. 14) představujeme: Věta V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: DC = AC-0 A BC2 = BA2 + AC2 + 2DA • AC, BC2 = BA2 + AC^^DA • AC. Důkaz. Plyne z Pythagorovy věty (zde pro trojúh. BDC a BDA) a Pán^Pra^ BC2(=^BD2 + DC2(=^BD2 + (DA_+jAC)2(=^ gj>^-t ^npAMc -e 4c = (BD2 + DA2) + AC2 + 2DA • AC^BA2 + AC2 + 2DA • AC. □ 11 1 1 yi /™\ 1 1 yi n i i / n a 1 02 _ u2 , JI □ rS1 Kosinová věta Kosinovávěta 31 Jako důsledek (a zobecnění) Pythagorovy věty (s. 14) představujeme: Věta V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: Důkaz. Plyne z Pythagorovy věty (zde pro trojúh. BDC a BDA) a pár úprav: BC2 = BD2 + DC2 = BD2 + (DA + AC)2 = = (BD2 + DA2) + AC2 + 2DA • AC = BA2 + AC2 + 2DA • AC. □ Poznámka Při obvyklém značení a = \BC\, b = |AC|, c = \AB\ aa = \iBAC\ můžeme obě části předchozí věty psát současně jako Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 £o kružnicích 32^] —} Dotykové úlohy 41 Geometrická zobrazení 42 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 45 Zdroje 46 O kružnicích O kružnicích 33 J Jako důsledky věty o součtu úhlů v trojúhelníku (s. 7) uvádíme:23 (3 větu o středovém a obvodovém úhlu, C? spec. případ — Thaletovu větu, větu o úsekovém úhlu, apod. fu = 2a = konst. flí S. U <- a 23 https://ggbm.at/MtseAe67 Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 ——^ Pravidelný pětiúhelník a další 40 Teorie podobnosti 52 Dotykové úlohy 55 Geometrická zobrazení 56 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 59 Zdroje 60 O kružnicích O kružnicích 33 Jako důsledky věty o součtu úhlů v trojúhelníku (s. 7) uvádíme: ► větu o středovém a obvodovém úhlu, ► spec. případ — Thaletovu větu, ► větu o úsekovém úhlu, ► apod. jj = 2a = konst. a +p = 90° cp = a https://ggbm.at/MtseAe67 □ ^ - = 1^00,0 O středovém a obvodovém úhlu O kružnicích Pro kružnici se středem E a úseč BC je úhel BEC středový (ozn. ji) a úhel BAC obvodový (ozn. a): Věta Středový úhel k dané úseči je dvakrát větší než lib. úhel obvodový (ji = 2a). Proto jsou obvodové úhly k téže úseči všechny stejné. Důkaz. ► Trojúhelník ABE je rovnoramenný => úhly u základny jsou stejné (ozn. fi). ► Věta o součtu úhlů v trojúhelníku ABE =^> vnější úhel s = 2/3. Ze stejných důvodů platí také r/ = 2y, odkud plyne /i = 2a. Podobně by se zdůvodnily i ostatní varianty... □ O úsekovém úhlu O kružnicích 35 Pro kružnici, úseč BC a tečnu BF je úhel CBF úsekový (ozn. íp)\ Věta Úsekový úhel k dané úseči je stejný jako úhel obvodový (a = (p), 1 \t X s \ s \ i N> A ř\ <* 1 \ l \ \ \ \ N \m / \ >/y e Důkaz. ► Věta o obvodovém úhlu => úhel BAC je stejný pro lib. A (ozn. a). ► Vezměme A' tak, aby A'B byl průměrem kružnice (aA'BC ozn./3). Věta o tečně = 90°. ► Thaletova věta => úhel u C je pravý. Věta o součtu úhlů v trojúhelníku A'BC =^> a +]3 = 90°. Celkem tedy a = vyznačené úhly u vrcholů C, jsou stejné. ► Navíc úhly u vrcholu D jsou stejné => trojúhelníky Ci DA2 a C2DA^ jsou podobné. Tedy DCi : DC2 = DA2 : Dy^, což je ekvivalentní DCi • DA^ = DC2 • DA2. O mocnosti O kružnicích Sečna jdoucí bodem D protíná kružnici v bodech C a A: Věta Pro libovolnou sečnu platí, že součin DC • DA je stále stejný. Au DCi • DA<\ DC2 • DA2 = • • • = konst. Důkaz 2. Alternativně (a univerzálně) pomocí podobných trojúhelníků: ► Věta o obvodových úhlech => vyznačené úhly u vrcholů C, jsou stejné. ► Navíc úhly u vrcholu D jsou stejné => trojúhelníky Ci DA2 a C2DA^ jsou podobné. ► Tedy Dd : DC2 = DA2 : DA^, což je ekvivalentní DCi • DAi = DC2 • DA2. □ O mocnosti O kružnicích 38 Pro bodí^Dvně^ružnice (a B bod dotyku tečny) platí I" DC-DA = DB2 = DE2 - EB2 Definice Mocnost bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo Cl j ji § m := DE2 - r2 jejic II kJLI UUU: 25 \y O mocnosti O kružnicích 38 Pro bod D vně kružnice (a B bod dotyku tečny) platí DC-DA = DB2 = DE2 - EB2. Definice Mocnoslbodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo D. Q ~) m:=DE2-r2. —z> Chordálaje množina všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma daným kružnicím. Věta Chordála dvou nesoustředných kružnic je přímka, která je kolmá na spojnici jejich středů25 25 Vyplývá z definice a Pythagorovy věty. -írS^ -e O o, O Užitek O kružnicích 39 Kotoulením kružnice uvnitř kružnice s dvojnásobným poloměrem se převádí pohyb otáčivý na přímočarý... Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestix^ííelfíé^alfeiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 —í> Pravidelný pětiúhelník a další • • 40 Teorie podobnosti 52 Dotykové úlohy 55 Geometrická zobrazení 56 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 59 Zdroje 60 Pravidelný pětiúhelník Pravidelný pětiúhelníkadalší Pravidelný = všechny strany a všechny úhly navzájem shodné. J i Pravidelný pětiúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 41 Postřehy (1) Souměrnost podle osy jdoucí E => AD || BC a BE || CD => BCDF je kosočtverec. —'~^=======^ (2) Obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné => trojúhelník ABD je rovnoramenný a úhly u základny jsou dvojnásobky úhlu u vrcholu D, tzv. zlatý trojúhelník. (3) Trojúhelníky ADE a EAF jsou oba rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => jsou podobné. -írnP^ •<_► •<_► _ O Q, O Pravidelný pětiúhelník Pravidelný pětiúhelníkadalší 41 Pravidelný = všechny strany a všechny úhly navzájem shodné. Postřehy (1) Souměrnost podle osy jdoucí E => AD || BC a BE || CD => BCDF je kosočtverec. (2) Obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné => trojúhelník ABD je rovnoramenný a úhly u základny jsou dvojnásobky úhlu u vrcholu D, tzv. zlatý trojúhelník. Trojúhelníky ADE a EAF jsou oba rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => jsou podobné. Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 42 Pravidelný 5-úhelník lze sestrojit pomocí zlatého 3-úhelníku, a ten lze sestrojit pomocí zlatého řezu: Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí: poměr ramene a základny je zlatý trojúhelník je zlatý. Důkaz. Předp. AK = delší část zlatého řezu AB, L takový, že AL = AB a BL = AK, chceme p = 2a\ \/ * BL = t< uocrxuv y aABL ie Z_ I—/1_I \ - \J YJ \I\J\JL \j v y t— i_/11 \ = a => LALB = a -\- ô. = a + č, I Uv I IUI dl I ICI * KL = BL = AK. => (ľ Celh + <* = Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 42 Pravidelný 5-úhelník lze sestrojit pomocí zlatého 3-úhelníku, a ten lze sestrojit pomocí zlatého řezu: Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí: poměr ramene a základny je zlatý <^^> trojúhelník je zlatý Důkaz. Předp. AK = delší část zlatého řezu AB, L takový, že AL = AB a BL = AK, chceme p = 2a: .- I ►)£=daiv_řez a AK = BL Toto je i \ AB : BL = BL : BK\ neboli BA • BK = mocnost v/ bodu B ke kružnici AKL i BL = tečna a/ Úsekový iBLK = obvodový z LAK = a => ^zAL/3j= g + ô. j aABL je rovnoramenný => p_ = a + ô. f zLKB = a + 5, což je = p. ý =^> KL = BL= AK. ► Proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný => a = ô. j j j Celkem tedy B = a + 5 = 2a. I Uv I IUI dl I ICI Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 42 Pravidelný 5-úhelník lze sestrojit pomocí zlatého 3-úhelníku, a ten lze sestrojit pomocí zlatého řezu: * + ^~ A ^---ŕ Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí: poměr ramene a základny je zlatý <^^> trojúhelník je zlatý. Důkaz Předp. AK = chcem ► K = zlatý řez a AK = BL í část zlatého řezu AB, L takový, že AL = AB a BL = AK, => AB \ BL = BL \ BK, neboli BA • BK = BL2 Toto je mocnost bodu B ke kružnici AKL => BL = tečna. Úsekový iBLK = obvodový z LAK' = a => zALB = a + 5. aABL je rovnoramenný => = 4- s\ 1/ ^ lLKB je vnějším úhlem v aAKL => lLKB = a + ô, což^e = /3. Odtud plyne, že aBLK je rovnoramenný => KL = BL y AK. ► Proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný a = Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 42 Pravidelný 5-úhelník lze sestrojit pomocí zlatého 3-úhelníku, a ten lze sestrojit pomocí zlatého řezu: Předp. AK = delší část zlatého řezu AB, L takový, že AL = AB a BL = AK, chceme p = 2a: ► K = zlatý řez a AK = BL => AB : BL = BL : BK, neboli BA-BK= BL2. ► Toto je mocnost bodu B ke kružnici AKL => BL = tečna. ► Úsekový iBLK = obvodový iLAK = a => a ALB = a + S. ► aABL je rovnoramenný => /3 = a + č. ► zL^B je vnějším úhlem v aAKL => zL^B = a + 6, což je = /3. ► Odtud plyne, že aBLK je rovnoramenný => KL = BL = AK. ► Proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný => a = 5. Celkem tedy p = a + 6 = 2a. □ Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí: poměr ramene a základny je zlatý <^^> trojúhelník je zlatý. Důkaz. Zlatý řez přímo Pravidelný pětiúhelník a další 43 Zlatý řez lze v pravidelném 5-úhelníku objevit rovnou Věta Úhlopříčky pravidelného 5-úhelníku se protínají v poměrech zlatého řezu...26 Důkaz. ► Trojúhelníky ADE a EAF jsou rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => JSOU podobné. Odpovídající si strany jsou urnemé = Současně však p\a\\^DE^=^EA^=^DF, tedy AD: DF= DF: FA * AD : DE = EA: AF. □ ^ -^L ... -lL^^' r <~~y A P 26 jejichž delší části jsou shodné se stranami 5-úhelníku. < ► < E ► < E ► E O Q, O Výpočet a něco navíc C Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4^1)6. —^ Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = á/ío, 12,16,20, ^Kombinací předchozího lze sestrojit také např. projn = ^5 271 i 1 1 11 — 1 (a b\ _ al + bk > 1 ^ 1/ " 3-5" ié => a/ + bk = 1, pro nějaká celá čísla a, b, Další pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další 47 Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20,... Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15,... Věta Pokud lze sestrojit pravidelný k-úhelník a I-úhelník, potom lze sestrojit také pravidelný n-úhelník, kde n = nejmenší společný násobek k a I27 (a b\ _ al + bk I I I ié => al + bk = 1, pro nějaká celá čísla a, b, 27Pozor: n.s.n. nelze obecně nahradit součinem (viz např. 3-3 = 9)! Další pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další 47 Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20,... Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15,... c— Věta Pokud lze sestrojit pravidelný k-úhelník a I-úhelník, potom lze sestrojit také II i pravidelný n-úhelník, kde n = nejmenší společný násobek k a I 27 Důkaz. Bez újmy můžeme předp. k, I nesoudělné. Kombinacemi odp. středových úhlů umíme - + - \ 360c Bezout: k,l nesoudělné => al + bk = J^, pro nějaká celá čísla a, b, ... .. t tedy umíme středový úhel k • /-úhelníku I c 27Pozor: n.s.n. nelze obecně nahradit součinem (viz např. 3-3 = 9)! _ c 28 Detail pro k = 3 a / = 5 4. BOOK IF. PROP. XVL PROP. O infertile an equilateral and equiangular quindecagcn in a given circle. and be The arc fubtended by and ——— the fides of an equilateral pentagon inferihed in the given circle, and . the fide of an inscribed equi- lateral triangle. of the whole d rcumfcrencc. The arc fubtended !' by T . ľ of the w " I circumfci hole circumference. Their difference 22 -> ,*, the arc luhtciidcd by the whole circumference. ^ difference of Hence if ftraight lines equal to be placed in the circle (B. 4. pr. t), an equilateral and equiangular quin-decagon will be tluis infcrlbed in the circle. Q. E, D- Pravidelný pětiúhelník a další 48 28http: //www .math, ubc. ca/~cass/Euclid/book4/images/bookIV-EpropW. html- Další sestrojitelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další Z předchozího tušíme, že ne každý pravidelný mnohoúhelník je sestrojitelný: Věta (Gaussova-Wantzelova) Pravidelný n-úhelník lze sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> n je součinem libovolné mocniny 2 a navzájem různých Fermatových prvočísel. Fermatovo prvočíslo je prvočíslo tvaru Fk = 22k + 1. K dm I /*> 7n,3in/^ K"\^M 170 V\i F0:3, Fi =5, F2: 17, F3:257, F4: ^^^^ d 1 lze I 3 4 5 6 8 10_12_15 16 17_20_ iiiě- ~T~ 11 ~TŠ 14- _18 19~~ ~21 22~ Další sestrojitelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další 49 Z předchozího tušíme, že ne každý pravidelný mnohoúhelník je sestrojitelný: Věta (Gaussova-Wantzelova) Pravidelný n-úhelnik lze sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> n je součinem libovolné mocniny 2 a navzájem různých Fermatových prvočísel. Fermatovo prvočíslo je prvočíslo tvaru Fk = 22k + 1. K dnešnímu dni29 je známo pouze pět Fermatových prvočísel: 30. března 2021, viz https: //en. wikipedia. org/wiki/Fermat_number & Pravidelný 17-úhelník Pravidelný pětiúhelník a další 50 Délku strany pravidelného 17-úhelníku vepsaného do kružnice s poloměrem r lze vyjádřit jako aiy = Y A/34 - 2 VŤ7 - 2 V34 - 2 VŤ7 - 4 V17 + 3 VŤ7 + V"! 70 - 26 VŤ7 - 4 V34 + 2 VT7. V Gaussova konstrukce pravidelného 17-úhelníku vypadá takto 30 3C 30. března 1796 viz https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon & Užitek Pravidelný pětiúhelník a další 51 Konečně umíme rozeznat přesné konstrukce od přibližných... Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 Pravidelný pětiúhelník a další 40 —} Teorie podobnosti 52 Dotykové úlohy 69 Geometrická zobrazení 70 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 73 Zdroje 74 Úměrnosti Teorie podobnosti 53 Teorie podobnosti (kniha VI) je založena na pojmu úměrnosti, tedy rovnosti poměrů veličin (kniha V): Definice _ Veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, a : b = c : d, pokud pro každá čísla m, n platí na[=)mb <^^> ni = \nd. VK/ ,TíF * h r H i cm am n icm i pic la celá. a r {■- \rr\ l/oŤrló rooinnó lni /^íolr\ /^» /_ m \ rvi /_ m \ rjlo + í n / HICUI 31-j řezů. álních pomocí tzv. Dedekindových Úměrnosti Teorie podobnosti 53 Teorie podobnosti (kniha VI) je založena na pojmu úměrnosti, tedy rovnosti poměrů veličin (kniha V): Definice Veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, a : b = C : d, pokud pro každá čísla m, n platí na = mb <^=> nc = md. Poznámky pro moderního čtenáře Veličiny a, b, c, d jsou reálná čísla, čísla m, n jsou číslapejá. Předchozí definici můžeme vyslovit taky takto:31 Reálná čísla r (= §) a s (= §) jsou si rovna, pokud pro každé racionální číslo q (= ^) platí 31- Tady by se nám měla vybavovat konstrukce reálných čísel z racionálních pomocí tzv. Dedekindových řezů... >0^O Základní tvrzení o poměrech obsahů Teorie podobnosti Věta Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. - obsah ACB : obsah AQP = CB : CD o*- t Důkaz. Plyne přímo ze základní věty o rovnosti obsahů trojúhelníků (s. 15) a z definice rovnosti poměrů (s. 53) C Základní tvrzení o poměrech obsahů Teorie podobnosti ^ Věta Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. E A F obsah ACB : obsah ACD = CB : CD Důkaz. Plyne přímo ze základní věty o rovnosti obsahů trojúhelníků (s. 15) a z definice rovnosti poměrů (s. 53)... □ Poznámka Odtud máme vzoreček pro výpočet obsahu trojúhelníku: l kde S = obsah trojúhelníku, a = velikost strany, v = velikost výšky na stranu a. S = ±a • v, Detail k větě o poměrech obsahů 32 Teorie podobnosti 55 2 ;2 BOOK VI. PROP. I. l'UEOR. R I AN GUIS and piiraHflo-grmns having she filmt altitude unto one another as thtir iafrt. Í and ^ Let the trijngles have a common vcrcex, and their bales - and — in the fimc l'traíght line. Produce — both ways, take fucccilivcly on — produced lines equal to it; and on ■ produced lines succeffively equal to il; and draw lints from the common vertex to their extremities. 4k The triangle? thus formed arc all equal to one another, lince their bales arc equal. (B. i. pr. 3S.) 4k and its bale are reflectively equi- multiples of m and the bale BOOK Fl. PROP. I. THEOR. * 3 In like manner k 1 and its bafe are refpec-tivcly equimultiples of A and tne bafe If/aor 6 times j| C = or ^ * or 5 *'mes then m or 6 times —^— C = or n or 5 times , 0 and « fland for every multiple taken as in the fifth definition of the Fifth Book. Although we have only Ihown that this property cJfifts when m equal 6, and n equal 5, yet it is evident that rbe property holds good for every multiple value that may he given to m, and to n. a (B. 5. def. 5.) Parallelograms having the fame altitude are the doubles of the triangles, on their bales, and are proportional to them (Part l), and hence their doubles, the parallelograms, are as their bafes. (B. 5. pr. 1 5.) tj. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVI-Eproplghtml - Základní tvrzení o poměrech ramen Teorie podobnosti Věta Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku <^^> protíná zbylé dvě strany úměrně. SD' : SD = SE' : SE <=> D'E' II DE SD' : SD = obsah SD'E : obsah SE' : SE = obsah SE'D : obsah na n Základní tvrzení o poměrech ramen Teorie podobnosti 56 Věta Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku <^^> protíná zbylé dvě strany úměrně. Důkaz. Podle předchozí věty víme, že __ -) SDV^D = |obsah SD^E : obsah SDE* SE'/sE = obsah SED : obsah SED. E'/ SE = obsah SPD / ^ L__J Jmenovatelé na pravé straně jsou titíž a trojúhelníky SD'E a SE'D mají společný průnik SDE. □ s Základní tvrzení o poměrech ramen Teorie podobnosti Věta Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku <^=> protíná zbylé dvě strany úměrně. SD' : SD = SE' : SE <=> D'E' || DE Důkaz. Podle předchozí věty víme, že SD' : SD = obsah SD'E : obsah SDE, SP : SE = obsah SED : obsah SED. Jmenovatelé na pravé straně jsou titíž a trojúhelníky SDrE a SErD mají společný průnik SDE. Tedy: Rovnost poměrů SD' : SD a SP : SE <^> rovnost obsahů DDrE a EE'D <^> rovnoběžnost DrEr a DE (s. 15). □ Podobné trojúhelníky Teorie podobnosti 57 Definice Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. b : ^ 5 □ S Podobné trojúhelníky Teorie podobnosti 57 Definice Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. T t Tedy: trojúhelníky jsou podobné, pokud (při obvyklém značení) a = ď, (3 = (3\ y = y\ —} b : C = b' : ď, C : a = ď : ď, a : b = ď : b'. Druhou sadu rovností obvykle přepisujeme takto —b a' : a = b' : b = ď : c = koeficient podobnosti. * ^^^^^ Ekvivalence v definici podobnosti Teorie podobnosti 58 Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 57) jsou ekvivalentní: k Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. " - B a = ď, p = p, y = y' <^> b : C = b' : ď, C: a = ď : ď, a : b = a' : b'. □ S1 Ekvivalence v definici podobnosti Teorie podobnosti 58 Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 57) jsou ekvivalentní: Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. a ď, J3 = J3',(y = YJ <^=>^ b : C = b' : ď, Č : a = ď : ď, a : b = ar :bf Důkaz. Implikace zleva doprava je důsledkem předchozí věty (s. 56)... yf Ekvivalence v definici podobnosti Teorie podobnosti Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 57) jsou ekvivalentní: Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. a = a', fí = p\ 7 = 7' <^^> b : C = b' : ď, c : a = ď : a', a : b = a' : b C- Q Důkaz. Implikace zleva doprava je důsledkem předchozí věty (s. 56). "^Pro opačné tvrzení uvažme pomocný trojúhelník ABD, který má shodné vnitřní úhly s trojúhelníkem A'B'C. Ekvivalence v definici podobnosti Teorie podobnosti 58 Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 57) jsou ekvivalentní: Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. a = ď, fi=fiř, y = Y <^> b : c = b' : ď, c:a = ď :a\ a : b = a' : b'. Důkaz. Implikace zleva doprava je důsledkem předchozí věty (s. 56)... Pro opačné tvrzení uvažme pomocný trojúhelník ABD, který má shodné vnitřní úhly s trojúhelníkem A'B'C. Nyní strany u shodných úhlů jsou úměrné a současně trojúhelníky ABD a ABC mají společnou stranu, tedy jsou shodné... □ □ s = i O 0,0 Detail k implikaci 33 Teorie podobnosti 59 2ZO BOOK Ft. PROP. V. THEOR. F tips triangles haw their ßdti proper- tiíTial (........_ : —__ ■) and :; '■ : —) they are equiangular, \11tJ the equal angles are j'ubtended by the Itomvh- From the extremities of ■« draw and ........- j making W= 4 (B. i. p*. and confequently J — ■ (B. I. pr. 32), * and lince the triangles are equiangular, (B. 6. pr. 4) j but and erjnfeqiicntly -(B. 5. pr. 9). BOOK VI. PROP. V. THEOR. 221 Therefore, the two triangles having a common bafi-_ and their fides equal, have alio equal angles op- polite to equal fides, i. e. — and (B. i. pr. 8). But W = (conll.) and .•. = ; for " v předchozí větě se přezdívá věta UU. Mnoho předchozích úvah lze nahradit úspornějším argumentem s podobnými trojúhelníky, viz např.: ► Věta o mocnosti bodu ke kružnicí (s. 37). ► Věta o zlatém řezu v pravidelném pětiúhelníku (s. 43). ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce (s. 14): -|— ■ ' I I rI J\ /~\ J\ /~\ I-\ *r i I I r Bj_v ' 'II II Poznámky 06 od \ -f A. • / ' c c Teorie podobnosti 60 D mplikaci „=>" v předchozí větě se přezdívá věta UU Mnoho předchozích úvah lze nahradit úspornějším argumentem s podobnými trojúhelníky, viz např.: ► Věta o mocnosti bodu ke kružnicí (s. 37). ► Věta o zlatém řezu v pravidelném pětiúhelníku (s. 43). ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce (s. 14): Důkaz. Trojúhelníky ADC a ACB mají po dvou shodné vnitřní úhly => AC :AD = AB:AC => AC2 = AB • AD, i jsou podobné Ostatní vztahy lze zdůvodnit podobně > Ai >dob? □ □ s O obsazích podobných útvarů Věta i Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr ' druhých mocnin odpovídajících stran. Teorie podobnosti 61 Je-li koeficient podobnosti c E k, potom poměr obsahů = 0 - ^ ker((L O obsazích podobných útvarů Věta Teorie podobnosti 61 Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr druhých mocnin odpovídajících stran. . l I Je-li koeficient podobnosti = k, potom poměr obsahů = k2. to? Důkazy. ^ Pomocný boď G \ BC je takový, že —* EF : BG = BC : EF = • • • = AB : DE = k : 1 L neboli BC : BG = {BC : EF) • (EF : BG) =^): 1. <— ^ -> ^rovnosti_EF^BG^AB^D^vyplývá, že obsah DEF = obsah ABG (£. í Odtud dostáváme (s. 54): ^ obsah ABC : obsah DEF = obsah ABC : obsah ABG = BC : BG = /c2 : 1. □ 34 bez infinitezimálních úvah pro obecné k e < S1 ► < -E ► < E ► E O Q, O O obsazích podobných útvarů Teorie podobnosti 61 Věta Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr druhých mocnin odpovídajících stran. Poznámky k důkazu Snadné pro k e Z, resp. k e Q. (dělení na menší navzájem shodné trojúhelníčky) Problematické pro k e R — možné přístupy: ► limitní přechod, (libovolně jemné dělení) ► vzoreček, (viz s. 54) ► "elementární" trik. (pomocný bod G e BC takový, že EF : BG = • • • = k : 1; úpravy a předchozí základní tvrzení ~> obsah ABC : obsah DEF = obsah ABC : obsah ABG = k2 : 1) A Je-li koeficient podobnosti = k, potom poměr obsahů h k Zobecnění Pythagorovy věty Teorie podobnosti Věta___ Pokud jsou mnohoúhelníky nad stranami pravoúhlého trojúhelníku\jDgc}QbaQ potom obsah mnohoúhelníku nad přeponou je roven součtu obsahů těch nad odvěsnami. Důkaz. Plyne z předchozího tvrzení (s. 61) a z Pythagorovy věty (s. 14). □ O obsazích kruhů Teorie podobnosti 63 U křivočarých útvarů se infinitezimálním úvahám nevyhneme...34 Věta Poměr obsahů kruhů je stejný jako poměr druhýchjriocnin jejich průměrů. Idea důkazu. "Každý kruh lze libovolně přesně aproximovat mnohoúhelníky. Každé dva kruhy jsou podobné a pokud jsou aproximovány analogicky, jsou odpovídající mnohoúhelníky taky podobné. ^Poměrům obsahů takových mnohoúhelníků rozumíme (s. 61)... □ Si : S2 - - r\ 2 . 2 '2- 34 v klasickém pojetí pomocí tzv. Eudoxovy metody. O obsazích kruhů Teorie podobnosti 63 U krivocarých útvarů se infinitezimálním úvahám nevyhneme. 34 Věta I Poměr obsahů kruhů je stejný jako poměr druhých mocnin jejich průměrů. Idea důkazu. Každý kruh lze libovolně přesně aproximovat mnohoúhelníky. Každé dva kruhy jsou podobné a pokud jsou aproximovány analogicky, jsou odpovídající mnohoúhelníky taky podobné. Poměrům obsahů takových mnohoúhelníků rozumíme (s. 61)... □ Poznámka Při obvyklém značení můžeme předchozí tvrzení psát jako S2 = rf : rf ,j neboli Si : rf = S2 : rf 6*--4 Ji 34 v klasickém pojetí pomocí tzv. Eudoxovy metody. O obsahu a obvodu kruhu35 Věta (Archimedova) Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož jedna odvěsna je shodná s poloměrem, druhá s obvodem kruhu. Poznámky: Jinými slovy:/S = \r • cukde r = poloměr kružnice a o = její obvod. To spolu s rovno"S>lhia s. 63 dává —i S = \r • o = konst- r2. Tzn. stejná konstanta vystupuje ve vyjádření jak obsahu, tak obvodu! Při tradičním značení: — S = n • ŕ a o = o = 2n • r. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Area_o£_a_circle#Archimedes's_pSSoo£ - Poznámky ke kvadratuře ^Libovolný mnohoúhelník kvadráturovat umíme (s. 17), kruhjne^ (s. 26). Některé křivočaré útvary však kvadraturovat lze: Hippokratés: Vyznačené půlměsíce nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku 65 mají stejný obsah jako tento trojúhelník.36 F: Archimédés: Obsah parabolické úseče je rover(\)pbsahu trojúhelníku PQq (což jsou | obsahu opsaného rovnoběžníku). 36plyne snadno z tvrzení na s. 63, 62 a 33... 37plyne z vlastností paraboly a součtu jisté geometrické řady MGZishrnutí (navazuje na s. 46, pokračování na s. 72) Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 Pravidelný pětiúhelník a další 40 \__ Teorie podobnosti 52 ~~*) Trocha stereometrie 67 Pravidelné mnohostěny 73 Dotykové úlohy 83 Geometrická zobrazení 84 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 87 Zdroje 88 O objemech rovnoběžnostěnů (a hranolů) Trocha stereometrie K tvrzením o rovnoběžnících (s. 13, s. 54, s. 61) máme tyto 3D analogie: ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem. ► Poměr objemů royno^žnostgnú se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. ► Poměr objemů podobných rovnoběžnostěnů je stejný jako poměr třetích mocnin odpovídajících stranr O objemech jehlanů Trocha stereometrie K tvrzením o trojúhelnících uvádíme na ukázku jednu 3D analogii s naprosto neanalogickým důkazem: Věta Idea důkazu. Každý jehlan lze libovolně přesně aproximovat konečným počtem hranolů. - Např. můžeme v obou jehlanech použít hranoly se stejnými výškami. - Poměrům objemů takových hranolů rozumíme (s. 68)... □ Poznámky 1 t Trocha stereometrie 70 ~ Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieriho princip 38 Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou: Teprve odtud máme vzorečky \ \ kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Mill V y~\\ i yv~> I "7 O 1/ I O /N O KV* I 38http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle 39 □ r_P < 1 ► 1 ^0,0 Poznámky Trocha stereometrie 70 Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieriho princip. Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou: Teprve odtud máme vzorečky kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Pozor Ani v případě jehlanů se stejnými základnami a stejnými výškami (tedy se stejnými objemy) nelze úvahy v předchozím důkazu nahradit stříháním a přeskupováním částí jako u rovnoběžnostěnů, resp. hranolů!39 Tzn. 3D analogie Wallaceovy-Bolyaiovy-Gerwienovy věty (s. 17) obecně neplatí. http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_third_problemn _5 - = _ Trocha stereometrie S podobnými úvahami jako na s. 69 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že ► Poměr objemů válců se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich podstav, ► poměr objemů koulí je stejný jako poměr třetích mocnin jejich průměrů, ► objem kužele je roven | objemu jemu opsaného válce, ► apod. Tvto 11 11Q ľ"\/"V O válcích, kuželích, koulích Trocha stereometrie 71 S podobnými úvahami jako na s. 69 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že ► Poměr objemů válců se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich podstav, ► poměr objemů koulí je stejný jako poměr třetích mocnin jejich průměrů, ► objem kužele je roven | objemu jemu opsaného válce, ►apod. „jjC^ v--(T,*).*r Tyto poznatky doplňuje pozoruhodná j Věta (Archimedova), Obie Objem koule je roven \ objemu jemu opsaného válce 40 r - 3 40 viz např. opět https://cs.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%C5%ABv_práicip □ i5P Základy 1 Úvod 1 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 12 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 20 Kosinová věta 30 O kružnicích 32 Pravidelný pětiúhelník a další 40 Teorie podobnosti 52 Trocha stereometrie 67 ^ Pravidelné mnohostěny 73 Dotykové úlohy 83 Geometrická zobrazení 84 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 87 Zdroje • 88 Platónská tělesa Pravidelné mnohostěny 74 = pravidelné konvexní mnohostěny = konvexní mnohostěny, které mají stejný počet stěn kolem každého vrcholu a jejichž stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky41. Věta ^ Platónských těles je právě pět druhů: čtyřstěn krychle fy) dvanáctistěn y-20, s~/2 025) osmistěn h "12, S"ô (83) dvacetistěn y-/2,h~JU,S~20 (203) ^ 0 o T3 41 ==> mají všechny stěnové úhly shodné, lze je vepsat do koule atd. http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid < □ ► < r_P ► < _ ► < 1 ► Důkaz Pravidelné mnohostěny 75 (1) Platónských těles není víc než pět druhů: součet úhlů kolem každého vrcholu musí být ostře menší než plný úhel: ^1-m {3.3} Defect 130° S* Defect 120° 00 {3.5} Defect 60° L1 {+.3} Defect 90° •'Defect^ A {5.3} Defect 36° D/fecf*^ A vertex needs at least 3 faces, and an angle defect. A 0° angle defect will fill the Euclidean plane with a regular tiling. By Descartes' theorem, the number of vertices is 720°/defect. \J l\CW lUl Lt/lt/oU. < 1 ► 1 ^0,0 Důkaz Pravidelné mnohostěny 75 (1) Platónských těles není víc než pět druhů: součet úhlů kolem každého vrcholu musí být ostře menší než plný úhel: A {3.*} Defect 120° <_> {3.5} Defect 60° AA {3.3} Defect 130° W {3.5} Defect 0° L {+.3} Defect 90° Defect 0° Á {5.3} Defect 36° {6.3} Defect 0° A vertex needs at least 3 faces, and an angle defect. A 0° angle defect will fill the Euclidean plane with a regular tiling. By Descartes' theorem, the number of vertices is 720°/defect. (2) Platónských těles je právě pět druhů: pro každou z pěti možností je třeba „složit" odpovídající těleso: ► čtyřstěn {3,3}, krychle {4,3}, osmistěn {3,4} jsou snadné, ► pro rozbor dvacetistěnu {3,5} a dvanáctistěnu {5,3} budeme potřebovat větu o pravidelném 5-, 6- a 10-úhelníku vepsaném do téže kružnice (s. 45)... Pravidelný dvacetistěn poprvé Pravidelné mnohostěny 76 Bubínek: QL = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, LE = strana vepsaného 10-úhelníku, LEQ = pravoúhlý trojúhelník. Proto podle s ► EQ = strana vepsaného 6-úhelníku = poloměr kružnice Pravidelný dvacetistěn podruhé Pravidelné mnohostěny Čepičky: QWZ = pravoúhlý trojúhelník, QZ = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, QW = strana vepsaného 6-úhelníku. Proto podle s. 45: ► WZ = strana vepsaného 10-úhelníku = delší část zlatého řezu poloměru kružnice. WZ = delší část zlatého řezu úsečky WQ. Pravidelný dvacetistěn potřetí Pravidelné mnohostěny 78 Pravidelný dvacetistěn je vepsán do koule. v Řez dvacetistěnu a řez zlatý. 42 42viz konstrukci na s. 22 Pravidelný dvanáctistěn stručně Nad každou stěnou krychle uvažme vrcholy U, V, W podle obr. ... a postupně se zdůvodní, že: ► body UBCWV leží v jedné rovině, ► pětiúhelník UBCWV je pravidelný, ► vzdálenost středu krychle je od všech vrcholů stejná. ru = rp = delší část zlatého řezu úsečky pn. https://is .muni . cz/el/ped/jaro2021/MA0007/um/prednaska/zaklac^i.pd£ - Dotykové úlohy Úvod 83 = úlohy s body, přímkami, kružnicemi a jejich dotykem. Definice Přímka a kružnice, resp. dvě kružnice se dotýkají, pokud mají právě jeden společný bod. Věta \ Přímka se dotýká kružnice v bodě C <=^> je kolmej k průměru FC. j Kružnice se dotýkají v bodě A <=> spojnice jejich středů prochází bodem A. 44 Důkazy zpravidla nepřímo, viz např. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/prapIIIli_flhtml- = _ Dotyk vs. orientovaný dotyk Úvod 84 Často je výhodné (obča^nut^ rozlišovat orientace: ► cyklus = orientovaná kružnice, ► paprsek = orientovaná přímka, ► orientovaný dotyk = dotyk ve shodě s orientacemi. Základy 1 Dotykové úlohy 82 Úvod 82 Základní úlohy 85 Zobecnění 90 Obecná Apollóniova úloha 93 Geometrická zobrazení 98 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 121 Zdroje 122 Základní úlohy s tečnami Tečna z bodu ke kružnici: (a) pomocí Thaletovy kružnice Základní úlohy 86 (b) pomocí souměrnosti Společné tečny ke dvěma kružnicím: (a) pomocí stejnolehlosti y/ (b) pomoáí dilatace45 45... redukováno na předchozí případ. < ► < E ► < E ► E O Q, O Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy Kružnice opsaná trojúhelníku, kružnice vepsaná mezi tři přímky pomocí os úseček, os úhlů 9l~ 4 Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 88 Kružnice procházející dvěma body a dotýkající se přímky, resp. kružnice: Základní úlohy s kružnicemi ... redukováno na předchozí případ (s. 88). □ r_P Základy 1 Dotykové úlohy 82 Úvod 82 Základní úlohy 85 —^ Zobecnění 90 Obecná Apollóniova úloha 93 Geometrická zobrazení 98 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 121 Zdroje 122 Mírné zobecnění Kružnice dotýkající se kružnice a dvou přímek: Zobecnění 91 (a) pomocídilatace4' (b) pomocí stejnolehlosti v/ 47 redukováno na předchozí případ (s. 89). (Další zobecnění) Zobecnění 92 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou kružnic: Pomocí stejnolehlosti a mocnosti lze ukázat, že platí SKSA = SP-SQ'. Tím je bod K jednoznačně určen, umíme jej sestrojit, ... ... a tím redukováno na předchozí případ (s. 88). Základy 1 Dotykové úlohy 82 Úvod 82 Základní úlohy 85 Zobecnění 90 Obecná Apollóniova úloha 93 Geometrická zobrazení 98 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 121 Zdroje 122 Obecná Apollóniova úloha 94 = dotyková úloha se třemi danými kružnicemi. Všechny předchozí úlohy (a mnoho dalších) chápeme jako mezní případy: lim(kružnice) = bod, lim (kružnice) = přímka. Obecná (neorientovaná) úloha má až 8 řešení; se zvolenými orientacemi dostáváme řešení po dvojicích: □ s Poznámky -4 Zajímavá historie, mnoho rozličných řešení a řada aplikací. Obecná Apollóniova úloha 95 49 Viz např. van Roomenoyo řešení, Newtonovu reformulaci a problém trilaterace FA7- C n - Vx w .• Středy všech cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří kuželosečku. 49http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius i □ i ► nemá smysl mluvit o obrazu bodu jako takovém (bez kontextu),51 ► měli jsme vždy bod na orientované kružnici, resp. přímce, ► není podstatná ona kružnice, resp. přímka, ale orientovaný dotyk, ► orientovaný dotyk (dvou křivek) nejsnáze znázorníme (tečným) vektorem... Na rozdíl od všech ostatních zobrazeních v tomto kurzu! Dilatace jakožto příklad kontaktního zobrazení Dilatace 100 Co to je? Orientované kontaktní zobrazení v rovině, p + Čím je určena? Nenulovým reálným číslem p. '—f Jak je určena? Obraz lib. orient, dotyk, elementu zastoupeného vektorem v je reprezentován vektorem v', který je posunut o vzdálenost p kolmo k v, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci... 4* Dilatace jakožto příklad kontaktního zobrazení Dilatace 100 Co to je? Orientované kontaktní zobrazení v rovině. Čím je určena? Nenulovým reálným číslem p. Jak je určena? Obraz lib. orient, dotyk, elementu zastoupeného vektorem v je reprezentován vektorem v', který je posunut o vzdálenost p kolmo k v, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci... Jaké má vlastnosti? Orientované kontaktní zobrazení! K čemu to je dobré? Zachovává orientovaný dotyk křivek (viz s. 86, 91, 112, ...)! Základy 1 Dotykové úlohy 82 Geometrická zobrazení 98 Dilatace a kontaktní zobrazení 98 •—^ Kruhová inverze a konformní zobrazení 101 Souměrnosti a shodná zobrazení 118 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 127 Zdroje 128 Kruhová inverze Kruhová inverze 1 02 Co to je? Transformace roviny vyjma jednoho bodu, ozn. O.52 Čím je určena? Kružnicí se středem O a poloměrem j\53 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A ž O leží na polopřímce OA, a to tak, že OA\ "i'ui/tr^e Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s kružnicí samodružných bodů, základní konformní transformace v rovině, nepřímá, ... 52tzv. střed kruhové inverze 53tzv. řídící kružnice Vlastnosti Kruhová inverze 1 03 zřeJmé: „ (a) Kruhová inverze je involutivní transformace. ^ (b) Všechny body na řídící kružnici jsou samodružné. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice, se zobrazuje dovnitř, a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze je samodružná; přitom jediné samodružné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a lim X' = O, resp. lim X' = oo. * - • na r C/ CO 7/ im u se z( '/ //o W/n í/i /Oľ7fl I Vlastnosti Kruhová inverze 1 03 Zřejmé: (a) Kruhová inverze je involutivní transformace. (b) Všechny body na řídící kružnici jsou samodružné. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice, se zobrazuje dovnitř, a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze je samodružná; přitom jediné samodružné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a lim X' = O, resp. lim X' = oo. Nezřejmé: XéM Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. [CQ Kružnice kolmá ke V se zobrazuje sama na sebe. ^ Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V. g]> Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení. Vlastnosti Kruhová inverze 1 04 (e) Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. Ozn. B e i a B' e y průsečíky s lib. přímkou jdoucí O. Dokážeme, žeBaB' jsou inverzního vzhledem ke l~: Dooy r\ a r\ jsou inverzní vznieoem Ke i , taKze a a a taKy. OBř-OB = OA'OA = ŕ. □ Vlastnosti Kruhová inverze 1 04 Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. Q >>> Důkaz. Předp. extrémní dvojici A i-> A', kde OA _l £ a OA' = průměr y. q Ozn. B e £ a B' e y průsečíky s lib. přímkou jdoucí O. >i Dokážeme, že B a B' jsou inverzního vzhledem ke l~: > ^ ^ e 4 * Thaletova věta => úhel OB'A' je P™>) => trojúhelníky OAB a OA'B' jsou poflo&a/č s'- / s/ neboli OB'-OB = OA'OA. Body A a A' jsou inverzní vzhledem ke l~, takife B a B' taky: OB'-OB = OA'OA = r2. □ Vlastnosti Kruhová inverze 1 05 (f) Kružnice kolmá ke V se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke ľ. -7r Ť Vlastnosti Kruhová inverze 1 05 (f) Kružnice kolmá ke ľ se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V. Důkaz. Kružnice y protíná řídící kružnici r kolmo54 <=^> poloměr OP je í^£*wtke kružnici y pro libovolnou sečnu jdoucí bodem O platí55 body A a A' jsou - vzhledem ke ľ □ 54tzn. tečny ve společném bodě P jsou kolmé 55podle věty o ^of^i-^odu ke kružnici (s. 37) □ S1 Vlastnosti Kruhová inverze 1 06 (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. I I ie ľ a A \-> i (s. ??) plyne, ze obrazem y Vlastnosti Kruhová inverze 1 06 (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. Důkaz Uvažme kružnici ľ, která je soustředná s ľ a protíná kružnici y kolmo Ukážeme, že složení kruhových inverzí ľ a ľ je stgj/So c :56 ^ ► Ozn. A i-> A' kruhovou inverzi vzhledem ke ľ a A i-> Ä kruhovou inverzi vzhledem ke Ť, tedy OA-<žÁ = n a CÄOÄ'=/vy Odtud po úpravě □ OAř : OA =^ :AJ= konst., neboli OAř = konst • OA. bb... zbytek je jasný: z předchozího (s. 105) a vlastností stejnolehlosti (s. ??) plyne, že obrazem y vzhledem ke r je kružnice. Pozor Kruhová inverze 1 07 _ ^---na sTrnH V! Při kruhové inverzi ľ : J{±ý A' se střed y .---y—nastřed y'j (Viz též obraz středu y vzhledem ke kruhové inverzi V...) Vlastnosti (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení.57 -L —i i i i d y /// d t j 57 úhlojevné, tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Vlastnosti (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení.57 f\ p/ Důkaz. Kruhová inverze 1 08 Odchylka dvou křivek v jejich společném bodě P = odchylka jejich tečen m a€. Místo dvou obecných křivek můžeme uvažovat lib. dvě kružnice, které prochází bodem P a mají přímky m a i jako tečny. Místo obecných dvou kružnic můžeme uvažovat kružnice ay2, které jsou ^^£\k řídící kružnici ľ! Avšak kružnice yA a y2 se zobrazují samy do sebe (s. 105), obrazem bodu P je druhý společný bod P' kružnic a odchylka v bodě P je stejná jako odchylka v bodě P'. □ 57 úhlojevné, tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Poznámky Kruhová inverze 1 09 Každé podobné zobrazení je konformní Dalším známým nepodobným konformním zobrazením je např. stereografická projekce (sféry bez jednoho bodu do roviny): Kruhovou inverzi lze vyjádřit pomocí stereografické projekce a souměrnosti sféry podle roviny rovníku... Konformní zobrazení Kruhová inverze 110 Kruhová inverze a obecná konformní zobrazení: ► nezachovávávají vzdálenosti ani poměry vzdáleností, ► nezobrazují přímky na přímky, ► nezachovávávají obsahy, resp. objemy, ► ale zachovávávají odchylky protínajících se křivek, ► jsou prostá (injektivní). / Užitek 111 Sestrojit cykly, které se dotýkají tří daných cyklů. 58http://ggbtu.be/mrFsNSnbN i □ i i s i Užitek (1) vhodná dilatace: 112 d = -10.8 • k • I • g • i • t • j ... tím je úloha redukována na případ s bodem místo kružnice,... Užitek (2) vhodná kruhová inverze: d = -10.8 • k • I • g kružnice procházející bodem C se zobrazují do přímek (s. 104), Užitek (3) společné tečny dvou kružnic: 114 ... což je jedna ze základních úloh (s. 86), ... <_?► -<_► •<_► _ o, o Užitek 115 .. .což je snadné, ... Užitek (5) dilatace zpět: ...což je taky snadné. Osová souměrnost Shodná zobrazení 119 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o.59 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na kolmici k ose, a to tak, že X'X0 — —XX0, kde X0 = průsečík XX' s osou o. Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s přímkou pevných bodů, základní shodnost v rovině, nepřímá transformace, 59tzv. osa Obecná shodná zobrazení Definice Shodné zobrazení ((aj) zachovává vzdálenosti, tzn. pro libovolné body A,B a jejich obrazy A\Bf platí \A'B'\ = \AB\. cl* 1 [A Další vlastnosti (b) zachovává kolineárnost bodů, (c) zachovává odchylky přímek, — ^ 55 (d) zachovává obsahy, resp. objemy, (e) je prosté (injektivní). Shodnosti v rovině Shodná zobrazení 121 Shodnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tjjtříjbodů v obecné poloze). Věta Každá shodnost v rovině je složením nejvýšeitn psových souměrností: Důkaz. Postupně vkládáme osy tak, aby ► A \-+ A' ... dořešíme obrazy B i-> B^ a C i-> Ci, ► B^ i-> Bf ... dořešíme obraz d i-> C2, atd. □ proto je osová souměrnost základní shodností v rovině. Klasifikace v rovině Shodná zobrazení 1 22 Odtud klasifikace shodností v rovině: identita = složení dvou os. soum. takových, že Oi = o2, 77; — i I v posunutí = složení dvou os. soum. takových, že o^ \\ o2, otáčení = složení dvou os. soum. takových, že o^ a o2 jsou různoběžné, středová souměrnost = složení dvou os. soum. takových, že o^ _l o2, ^Ql * osová souměrnost = iedna os. soum., 1 posunutá souměrnost = složení tří obecných os. soum /// -h l—/ 1 Poznámky ^ s Shodnost s přímkou pevných bodů je právě osová souměrnost (e). Shodnosti (a)-(d) jsou přímé (zachovávají orientaci), shodnosti (e)-(f) jsou nepřímé (mění orientaci). Pojmenování (f) je odvozeno z možného rozkladu na osovou souměrnost a posunutí: Symetrické vzory Odtud klasifikace symetrických vzorů, viz např. ► sedm frízových vzorů60 AXAAAAA/ ^ ^ ^ ^_ ^ ^ b ^ ^> ^ ^ 5 [sed m náct^tapetových vzorů 61 ^^^^^ t atp. 60http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group 61 http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group Základy 1 Dotykové úlohy 82 Geometrická zobrazení 98 Dilatace a kontaktní zobrazení 98 Kruhová inverze a konformní zobrazení 101 Souměrnosti a shodná zobrazení 118 Stejnolehlost a podobná zobrazení 124 Osová afinita a afinní zobrazení 133 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 144 Zdroje 145 Stejnolehlost aneb škálování Podobná zobrazení 125 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Bodem S a nenulovým reálným číslem k.62 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží přímce SX, a to tak, že §)C = k ■ ŠX. k c o Jaké má vlastnosti? Transformace se pevným bodem, základní podobnost, v rovině přímá transformace, ... 62tzv. střed a koeficient = poměr škálování Speciální a mezní případy Podobná zobrazení 126 Spec. pro koeficient |k| = 1 dostáváme shodnosti: -■ identita, pokud k = 1, ^ středová souměrnost, pokud k = -1. s í Pokud bychom připustili k = 0, dostaneme velmi degenerovaný případ ► zobrazení do jednoho bodu. H x v Základní vlastnosti a skládání stejnolehlostí Základní poznatek známe ze s. 56! Zejména, každá stejnolehlost je ► podobné zobrazení, které Podobná zobrazení 127 ► každou přímku zobrazuje na přímku s rovnoběžnou. Zobrazení s těmito vlastnostmi není mnoho, jmenovitě tři: Věta 9 -> Složení dvou stejnolehlostí se středy Si, resp. S2 a koeficienty k^, resp. k2 je: ► identita, právě když k-\ • k2 = 1 aS^ = S2, • ► posunutí, právě když k^ • k2 = 1 aS^ í S2,63 ' ~" —*5 ► obecná stejnolehlost, právě když k^ ■ k2 í 1.64 63 64 , přičemž vektor posunutí je násobkem vektoru S-\ S2 pokud S^ ž S2, potom střed výsledné stejnolehlosti leží na přímce Si S2 = e -O o, O Stejnolehlý obraz kružnice Podobná zobrazení 128 Mongeova věta Podobná zobrazení 129 Odtud Mongeova věta .65 Věta Mezi šesti středy stejnolehlostí tří kružnic jsou čtyři kolineární trojice 65 ... uplatnění např. při řešení obecné Apollóniovy úlohy Obecná podobná zobrazení A Definice Podobné zobrazení ^ c (a) zachová poměry vzdáleností, tzn. pro libovolné body A, B a jejich obrazy A\B' platí \A'B'\ =(k)\AB\, kde(Q= kladná konstanta, tzv. koeficient podobnosti. Podobná zobrazení 130 ŕ V _ 1 5 (\ O J- HC Další vlastnosti (b) zachovává kplineární bodů, r (c) zachovává odchylky přímek, U" (d) obsahy se mění (c^-krát, resp. objemy se mění Z^-krát, (e) je prosté (injektivní). Poznámky Podobná zobrazen «L C I Podobnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj.QřyDodů v obecné poloze). Každé shodné zobrazení je podobné (s koeficientem k = 1). Každé podobné zobrazení je složenímnCjUliO jIiuUiiujIí a stejnolehlosti proto je stejnolehlost základní podobností. Užitek Podobná zobrazení 132 Pantograf66 http://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph □ i_p - = *)c\(y Základy 1 Dotykové úlohy 82 Geometrická zobrazení 98 Dilatace a kontaktní zobrazení 98 Kruhová inverze a konformní zobrazení 101 Souměrnosti a shodná zobrazení 118 Stejnolehlost a podobná zobrazení 124 j> ^Osová afinitaj a afinní zobrazení 133 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 144 Zdroje 145 Osová afinita aneb škálování v jednom směru Afinní zobrazení 1 34 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Címje určena? Přímkou o, směrem s a nenulovým reálným číslem m.67 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na přímce se směrem s, a to tak, že kde X0 = průsečík XXf s osou o. 67 tzv. osa, směr škálování a modul = poměr škálování v daném směru Osová afinita aneb škálování v jednom směru Afinní zobrazení 1 34 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o, směrem s a nenulovým reálným číslem m.67 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na přímce se směrem s, a to tak, že kde X0 = průsečík XXř s osou o. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní afinní transformace v rovině, přímá/nepřímá podle znaménka m, ... 67 tzv. osa, směr škálování a modul = poměr škálování v daném směru Speciální a mezní případy Afinní zobrazení 135 Speciálními, resp. mezními případy osové afinity jsou:68 ► osová souměrnost, pokud *>> ^-1 $i*i*V X °5*- ► šikmá souměrnost, pokud *« - -i °^ * r~C« ^JK 0 * ► e/ace aneb naklonění, pokud >^'f=i4*m*=^"l), _^yí 2S_ W • % <7 Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerovaný (neinjektivní) případ: do přímky o ve směru s. 1 68 m _ m = -1 <==> involuce o $ 3r □ s < 1 ► 1 >OQvO Základní vlastnosti Afinní zobrazení 1 36 Obecná osová afinita zachovává: (a) kolineárnost bodů, ... pokud se různé body zobrazí na různé body. Obecná afinní zobrazení Definice (^Obecné afinní zobrazení je zobrazení s vlastnostm Bijektivní afinní zobrazení se nazývá afinita (viz osová Afinní zobrazení 1 37 předchozí strany. Afinita, která zachovává obsahy (resp. objemy), se nazývá ekviafinita (viz šikmá souměrnost nebo elace)!^-^^ _r C2 1/ *^ Poznámka £ Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní... 70Příkladem neprostého afinního zobrazení je např. rovnoběžné promítání... Užitek Afinní zobrazení 141 Afinní obraz pravidelného šestibokého hranolu a jeho řez rovinou KLM. http://ggbtu.be/mkvJL3iqr □ i_p - = ^c\cy Afinity v rovině Afinní zobrazení 139 Analogicky k tvrzení na s. 121 máme: í~tfěta [ Každá afinita v rovině je složením nejvýše Důkaz. / Myšlenka důkazu je ^t^^na 5 volnost v realizaci Ia/okso ^gtsi „ □ proto je osová afinita základní afinitou v rovině. Příklad Stejnolehlost jako složení dvou osoyý určenosti afinního zobrazení Afinní zobrazení 140 _ 1 Afinní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy_^_ různých bodů... ■2.1 Afinní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy bodů v obecné poloze... (Aa. ^ i--'---' o4/\" "w\. *i» Věta . Proste^} afinní zobrazení prosto P*T^"| bodů v obecné poloze. Důkaz. n _/e jednoznačně určeno obrazy Induktivní a konstruktivní — pomocí ft^v a/ 08 6"^Ba přenášení ()g \ % 70resp. .JT^gříliš degenerované", viz dále. 71 https://ggbm.at/yWcCaQeA □ i_p < 1 ► 1 ^0,0 Shrnutí a poznámky Afinní zobrazení 141 / Každé podobné zobrazení je * f ' Každé shodné zobrazení je fc-fctM >v Fí'^/ « Podobné a ekviafinní zobrazení je JHOD/ve- / < K 0 3-rozměrnou analogií osové afinity je afinita s 3-rozměrnou analogií rovnoběžného promítání do přímky je _^ rovnoběžné promítání do £«v/tVY. 1 b —i a Ď Obecné afinní zobrazení zobrazuje přímky na přímky, zachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, zachovává rovnoběžnost, tf£ zachovává obsahy, resp. objemy, zachovává odchylky, mGw^í být prosté (injektivní). Užitek Afinní zobrazení 1 42 5 4^cT(/ Afinní obraz pravidelného šestibokého hranolu a jeho řez rovinou KLM. 72 72 http://ggbtu.be/mkvJL3iqr Základy 1 Dotykové úlohy 82 Geometrická zobrazení 98 Dilatace a kontaktní zobrazení 98 Kruhová inverze a konformní zobrazení 101 • Souměrnosti a shodná zobrazení 118 • Stejnolehlost a podobná zobrazení 124 Osová afinita a afinní zobrazení 133 ^*Poslední zobecnění a projektivní rozšíření 143 « Osová kolineace a projektivní zobrazení 159 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 167 Zdroje 168 Poslední zobecnění Projektivní rozšíření 1 44 Poslední příspěvky do sbírky základních zobrazení (s. 117): Od posunutí ke stejnolehlosti to je stejné... ... jako od osové afinity k osové kolineaci... ... nebo jako od rovnoběžného promítání ke středovému... Jak to funguje? Projektivní rozšíření 1 45 Posunutí vs. stejnolehlost: \ y A* \ X'X II A'A smer, XX' = AA' = ... vektor posunutí, SX' _ s/v_ ŠX ŠA X'XnA'A n... střed, = ... koef. stejnolehlosti, .Posunutí = stejnolehlost se středem v Jak to asi funguje? Projektivní rozšíření 1 46 Osová afinita vs. osová kolineace: S -J <0 ■já A - A' X'X II A' A XX0 X'X0 A'A0 AA0 .. smer, . modul, X'Xn A'A n ... střed, ???? = ???? = modul,73 ,Osová afinita = osová kolineace se středem v 73 kde ???? je nějak určeno body A, A', A0 ^) Jak to asi funguje? Projektivní rozšíření 1 47 Rovnoběžné vs. středové promítání: ► A'A || BřB || ... směr, AřA n BřB n ... střed, ► = M = ... zákl. invariant, ???? = ???? = ... zákl. invariant,74 „Rovnoběžné promítání = středové promítání se středem v kde ???? je ná/a/c určeno body A, B, C a D. Dělicí poměr a dvojpoměr Projektivní rozšíření 1 48 Definice Dělicí poměr trojice kolineárních bodů (A, B, C) je reálné číslo d takové, že platí AC — d • BC \ značíme a zapisujeme takto: d = (AB C) = \Dygj£gmě^čtveřice kolineárních bodů (A, B, C, D) je poměr dělicích poměrů (AB C) : (AB D); značíme a zapisujeme takto: (AB CD) = e 1(1 y Poznámky ^ o* , _i / Vzhledem k tomu, že lim (AB D) =/l , platí lim (AB CD) = <ápt*- ( A 8 c )j 7> —í '--A —) _ -—N —> /—1^ £3 iař Známe Projektivní rozšíření 1 49 Věta ^ ^ Při rovnoběžném promítání se zachovávají poměry trojic kolineárních boóó^J t A) Důkaz. (a) Spec. případ plyne z f>© trojúhelníků AArC a BB'C ( (b) Obecný případ plyne z (a) a s fi© o*^>Tírojúhelníků (s. 56) a vztahu (AB C) = {AB CD^) (s. 148). (b) Obecný případ plyne z (a) a p^OoB/Javn trojúhelníků... □ 76 pokud se různé body zobrazí na různé body. < ► < -E ► < E ► E O Q, O Detaily k důkazu Pappovy věty (a) Z modré, resp. oranžové podobnosti plyne Po dělení resp. BC 6 V BCy li?1 tudíž (ABCQ =|(/VB/ CD')^ Levá strana je však totéž, co (AB CDoo), tedy 6řc' (ABCDoo) = (AřBřCDř). Detaily k důkazu Pappovy věty (b) ř Doplníme rovnoběžky s přímkou SD jdoucí bodem C, resp. C. <£- (F(aj^lyne {A,B, C) = (A±SJi) ■ resP- c') = í 4VcVj Ze žluté podobnosti plyne Mi8tO* (*i&tc(), a tedy (ABCD) = (A'B' CD'). □ s Jak tO tedy funguje? (navazuje nas. 146) Projektivní rozšíření 1 53 Osová afinita vs. osová kolineace: X'X || A'A || ... směr, X'X nA'An... střed, (X'XX0) = (A'AAo) = ... modul, {XřXX^= [AřAA0S) = ... modul. Všudypřítomná osová kolineace. Projektivní rozšíření 1 55 Speciální a mezní případy projektivní rozšíření 154 Speciálními, resp. mezními případy osové kolineace jsou: ► osová afinita, pokud S je 00 ► stejnolehlost, pokud o je ^ ► posunutí, pokud S i o jsou Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerované (neinjektivní) případy: ► středové promítání do přímky o z bodu S. ► rovnoběžné promítání do přímky o, pokud S je 0,0 Pozor! Projektivní rozšíření 155 Obecná afinní zobrazení fungují v rovině, resp. prostoru. Při osové kolineaci či středovém promítání některé body M F^^obraz, jiné vzor; resp. jsou „ v o° ": 71 \\ ... to jsou tzv. úběžníky, horizont apod. Pro větší pohodlí si náš eukleidovský prostor rozšíříme: Eukleidovský prostor rozšířený o „body v nekonečnu" je tzv. projektivní prostor. Původní body jmenujeme vlastní, ty nové pak nevlastní. Projektivní rozšíření Projektivní rozšíření 1 56 Přesněji, body rozšířeného prostoru (A) ztotožňujeme s přímkami (a,) procházejícími nějakým externím bodem (S): Vlastní body odpovídají ruivhot. , nevlastní body r*^*** «^ s původním (nerozšířeným) prostorem. Tedy: r~ ► Projektivní rozšíření eukleidovské přímky má J £ & nevlastní bod, / ► Projektivní rozšíření eukleidovské roviny má f ŕuiU/ievlastních bodů. ^ p ► Každé dvě přímky v projektivní rovině se Pn-o r f'/i/4 j ■ • ' ► Atd. "«0 Uspořádání Projektivní rozšíření 1 57 po 1) ► Projektivní přímka je CMne./^^ • \ V * Projektivní přímka ^^ocoOJ^rojektivní rovinu na dvě nesouvislé části.77 v) ► Uspořádání bodů na projektivní přímce V$t\f{ valného smyslu: 11 oo -f—fr- C f D Eukleidovská vs. projektivní přímka 77 Vzpomeňte na diskuzi kolem věty o vnějším úhlu v trojúhelníku (s. 8).n Základy 1 Dotykové úlohy 82 Geometrická zobrazení 98 Dilatace a kontaktní zobrazení 98 Kruhová inverze a konformní zobrazení 101 Souměrnosti a shodná zobrazení 118 Stejnolehlost a podobná zobrazení ^ ^^.„^c e 124 * Osová afinita a afinní zobrazení ŕ or* * 133 j Poslední zobecnění a projektivní rozšíření r°l Cľľ) 143 - Osová kolineace a projektivní zobrazení 158 - Shrnutí a přehledy 167 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 175 Zdroje 176 Osová kolineace pořádně (viz s. 153) Projektivní zobrazení 1 59 Co to je? Transformace projektivní roviny. Čím je určena? Přímkou o, bodem S a nenulovým reálným číslem m.78 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na přímce SA, a to tak, že (A'A A0S) = m, kde A0 = průsečík AA' s osou o a (A'A A0S) = dvojpoměr. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní projektivní transformace v rovině, ... tzv. osa, střed a modul Základní vlastnosti (víz s. 136) Projektivní zobrazení 1 60 Osová kolineace zachovává: ✓ (a) kolineárnost bodů, / (b) dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů. Další vlastnosti (viz s. 137) Osová kolineace s osou o, středem S a modulem m: (d) zobrazuje přímku p do sebe, právě když f* ^ cr nebo p (e) je involutivní, právě když m = -1 . po ne o- ' Poznámky (f) i^z^r smysl (globálně) řešit zda je přímé^ */ (g) tf&Ah smysl (globálně) řešit změny obsahů. / Obecná projektivní zobrazení (víz s. 138) Projektivní zobrazení 1 62 Definice Obecné projektivní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi |(a) la (b) z předchozí strany. ~ icAy/teď Bijektivní projektivní zobrazení se nazývá projektivita nebo kolineace. l, Poznámky Základní vlastnosti [(a)) a (b) nejsou zcela nezávislé. Ve skutečnosti (v jistých případech) vlastnost (a) implikuje (b). 79 Pokud projektivní zobrazení zobrazuje všechny (ne)vlastní body na (ne)vlastní, potom je Af iíí ÍL i I ... viz základní větu projektivní geometrie a její důsledky (za rok)! Projektivity V rovině (rýmuje ses. 139) Projektivní zobrazení 1 63 Analogicky k předchozím případům máme: p Věta l_ Každá kolineacey (projektivní) rovině je složením nejvýše 3 o c --- (C0 tG{.C e. * Důkaz. * Myšlenka důkazu je 5 ta l€ $Tto volnost v realizaci ítuC t/er*i •• - □ Ä7 také proto je osová kolineace základní kolineací v rovině. O určenosti projektivního zobrazení (doplňuješ. 140) Projektivní zobrazení 164 —> ► AAO Projektivní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), *" ^OJ ? různých bodů ^ ► tedy např. obrazy ^ různých vlastních bodů a ^ úběžníkem... á^wX Projektivní zobrazeni mezi rovinami je zcela určeno Ti—f^4'L^ —) ► obrazy bodů v „dostatečně obecné" poloze, —3 ► nebo obrazy _3_ vlastních bodů v obecné poloze a 2. odpovídajími úběžníky... I A 1 > I [7 i -t. Prosté80 projektivní zobrazení prostoru dimenzefnjje jednoznačně určeno obrazy n-M vlastních bodů v obecné poloze afh^] odpovídajícími úběžníky Důkaz. Induktivní a konstruktivní — pomocí úběžníků a přenášení dvojpoměrů. □ 80 resp. „ne příliš degenerované", viz dále... < 1 ► 1 ^0,0 Shrnutí a poznámky (viz s. 141) Projektivní zobrazení 1 65 Každé afinní zobrazení je p roJ *• * f, r _t_____________________,________________^ v ______________J v _________, t. 3-rozměrnou analogií osové kolineace je kolineace s 3-rozměrnou analogií středového promítání do přímky je středové promítání doloviny..j 3 6 7. í> 6 Obecné projektivní zobrazení: c ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává dvojpoměry vzdáleností čtveřic kolin. bodů, ► a/C zachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► v€ zachovává rovnoběžnost, 0 ► a/ c zachovává obsahy, resp. objemy, [^J ► MG zachovává odchylky, ► 0^O Desarguesova věta Shrnutí a přehledy 169 Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a Xř Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ' prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXfY',YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. Desarguesova věta... Desarguesova věta Shrnutí a přehledy 169 Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ' prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXrYr,YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. ...a její trojrozměrná interpretace. Přehled základních transformací v rovině Shrnutí a přehledy 1 52 střed S osa o Seo modul druh vlastní vlastní ne ano ne ne 0 1 -1 jinak (středové promítání do přímky) \ osová kolineace^ nevlastní vlastní ne ano ne ne 0 1 -1 jinak (rovnoběžné promítání do přímky) osová afinita ^— vlastní nevlastní ne ' ne ne ne 0 1 -1 jinak (promítání do bodu) 4-5 «t Ir í e<* ' stejnolehlost £— nevlastní nevlastní ano 1 posunutí ^— cr Transformace je involutivní <^^> modul =-1 . Degenerované případy <^^> modul = O . Pro afinní transformace: přímá <^^> modul > o , nepřímá <^^> modul < 0 Přehled typů zobrazení a jejich vlastností Shrnutí a přehledy 1 53 kolin. vzdál. děl. porn. dvojpom. rovnob. obs. odch. projektivní G — — + — — — afinní + — + + + — — ekviafinní + — + + + + — podobná + — + + + — + shodná + + + + + + + konformní — — — — — — n - í/ ► Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na ngvlagtní), je A F ť** as f • ► Afinní zobrazení, které zachovává poměry vzdáleností j^^jikoli (tedy i nekolineárních) trojic bodů, je P«po8^& • ► Konformní zobrazení, které je projektivní, je poOod/se • ► Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je * ^ • 0Aŕ e ' ^Coô s AK*/) < [3P ► < -š ► < E ► E O Q, O Hierarchie zobrazení (víz s. 105) Shrnutí a přehledy 1 54 Užitek Mnoho základních zobrazení můžeme (resp. hu$' i n g ) pozorovat při znázorňování původně stereometrických problémů: □ Základy 1 Dotykové úlohy 74 Geometrická zobrazení 87 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 156 Volně 158 —> Vázaně 161 Analyticky 164 Exoticky 166 Závěrečné shrnutí 171 Zdroje 176 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 157 Podle způsobu promítání dělíme na: ► středové, řM.ř(cnv. ► rovnoběžné, a p ► exotické. Podle způsobu provedení dělíme na: volné,83 —) ► vázané,84 ► vychytané,85 ► analytické,86 ► exotické. ... takto jsme to dělali dosud, za chvíli, za chvíli, takto budeme dělat příští rok... Umíme: středové a rovnoběžné promítání (viz s. 145 a 123) Volně 158 Středové promítání (projekce) je modelové projektivní zobrazení: (i) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (ii) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.87 Nevlastní body mohou mít vlastní obrazy (tzv. úběžníky) a naopak. Rovnoběžné promítání je středové promítání s nevlastním středem. Rovnoběžné promítání je afinní zobrazení, navíc tedy (iii) zachovává rovnoběžnost přímek, (iv) zachovává obyčejné poměry trojic kolineárních bodů.88 87... kdykoli to dává smysl (pokud se různé body zobrazí na různé) 88... kdykoli to dává smysl... Umíme: volné promítání (viz s. 147 a 125) Volné středové/rovnoběžné promítání je určeno několika málo body a obecnými vlastnostmi projektivních/afinních zobrazení (i)-(iv): Věta —^ „Nepříliš degenerované" (a) afinní, (b) projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy (a) /* +1 bodů v obecné poloze, (b) /«*jM bodů v obecné poloze a ^_ odpovídajícími Oběžníky Základní konstrukce jsou: Volně 159 —1 1 1 LJ Poznámka V předpokladu věty tušíme jistý zádrhel: Jak sestrojit obraz bodu v „souřadné rovině", která se zobrazuje do přímky? □ s Volný průmět pravidelného dvanáctistěnu Volně 160 pomocí vepsané krychle (podle s. 71): — ,__ Jt i X \ \ jť^ I ® \ \ " X / / \ X. j** \ \ N i r i i i Nově: vázané promítání Vázaně 161 Vázané promítání je určeno přesným vymezením průmětny a středu, resp. směru promítání vzhledem k zobrazovanému objektu. Pro zadání si pomáháme s pomocnými sdruženými průměty (nárys, půdorys): + 5i Na rozdíl od předchozí metody odpadají jakékoli omezující předpoklady! Základní konstrukční dovednosti jsou: ► přímíc přímky a roviny, ► odměřování a přenášení vi o/v u^m s t í < ► < E ► < E ► E O Q, O Vázaný průmět kvádru89 do speciálně zvolené průmětny p: M ľf4 Vstup: Q Pohlf d loviu ŕ ■ vflzanyprumtlrprintl ggb — X lil [~Äl • * h 0, 0. 4 1 pní/ Oŕjf S Vázaně 162 1 ? 3 Výhled: analytické vyjádření Analyticky 165 Středové promítání ze středu S = [6,0,5] do roviny p : = 0} ► v afinních (kartézských) souřadnicích: [X|, X2, Xs] 6-*í v homogenních (rozšířených) souřadnicích: (x0 : x<\ : x2 : x3) i-> (6x0 - x^ : 0 : 6x2 : 6x3 tj. M í6 -1 0 0] M 0 0 0 0 0 0 6 0 x2 lo -5 0 6 J —» j Dotykové úlohy (s. 75-85) základní úlohy (tečny) «/ ^ KJ^r%t ► základní nápady (mocnost, souměrnost, stejnolehlost, dilatace) ► základní motivace (obecná Apollóniova úloha) Užitek (s. 16, 35,46, 73, 86) ► kvadratura mnohoúhelníku ► kvadratické rovnice a jejich řešení ► pravidelný 5úhelník apod. ► specifické dotykové úlohy ► celkový přehled Zobrazení Závěrečné shrnutí 1 74 Taxonomie ► hlavníj3ál£ř (shodná, podobná, (ekvi)afinní, projektivní) (s. 105-148) ► další typy (konformní, kontaktní) (s. 90-104) ► příMagly, obecné vlastnosti a hierarchie (s. 150-154) Obecný rámec (s. 128-148) °° Základní příklady (s. 152, 158) ► regulární: osová kolineace (a spec. případy), Desarguesova věta ► singulární: středové, resp. rovnoběžné promítání 3 0—* Zobrazení Závěrečné shrnutí 1 75 Zobrazování prostoru do roviny (s. 157-169) ► podle promítání: středové (=> projektivní), rovnoběžné (=> afinní) ► podle zadání: volné (obrazy několika bodů), vázané (střed/směr promítání a rovina), ... ► základní úlohy (přenášení (dvoj)poměru kolin. bodů) ► vychytávky (otočení roviny, zářezová metoda apod.) Užitek (s. 99-104, 127, 155, 170) ► obecná Apollóniova úloha ► obecné průměty pravidelných a jiných těles ► řezy hranolů, jehlanů a jejich skutečné velikosti ► celkový přehled