Konstrukční geometrie Poslední aktualizace: 22. května 2021, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2021/MA0007/ Plán Celkově ► jaro 2021: konstrukční geometrie („syntetická") — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2021 a jaro 2021: počítací geometrie („analytická") — soustavy rovnic, matice, determinanty Jaro 2021 ► klasická konstrukční geometrie: Základy, dotykové úlohy ► geometrická zobrazení: shodná, podobná, afinní, projektivní a pár dalších ► poznámky k zobrazování prostoru do roviny Organizační věci Preference (1) celkový přehled (2) hlavní myšlenky a teoretické pozadí (3) konstrukce a technické záležitosti Materiály ► IS: osnova, přednáška, GeoGebra, odkazy, staré písemky Zakončení ► výkresy —> zkoušková písemka —> ústní zkouška Soutěž ► o nejpovedenější konstrukci/výkres/aplikaci použitelnou ve výuce Základy 4 Úvod 5 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 22 Kosinová věta 31 O kružnicích 32 Pravidelný pětiúhelník a další 39 Teorie podobnosti 50 Trocha stereometrie 64 Pravidelné mnohostěny 69 Dotykové úlohy 77 Geometrická zobrazení 90 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 159 Závěrečné shrnutí 174 ~7r\rr\\ts i 7Q Základy Úvod 5 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,1 ovšem s Hilbertovými upřesněními.2 Základní pojmy: ► bod, přímka, rovina Základní vztahy/relace: ► incidence, uspořádání, rovnoběžnost, shodnost, spojitost Základní definice: ► např. úhel, pravý úhel, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnost přímek,... Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... 1 kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady 2kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) Úvod 6 (I) Každé dva různé body spojuje přímka. (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit. (III) Lze vytvořit kružnici s libovolným daným středem procházející libovolným jiným bodem. (IV) Všechny pravé úhly jsou shodné. (V) Když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky (dostatečně prodlouženy) setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. a +p < 2R ==> g ah se protínají Konstrukce založené na postulátech (l)-(lll) jsou tzv. eukleidovské konstrukce. Postulát (V) je přezdíván pátým Eukleidovým postulátem.3 3https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate Eukleidovy všeobecné axiómy Úvod 7 ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. Dnes čteme jako: ► k = / a m = / => k = m. ► k = / a m = n => /c + m = / + n. ► apod.4 https://mathcs.čiarku.edu/~djoyce/java/elements/bookl/cn.html Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Úvod 8 Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... Typický axióm uspořádání je např.: ► Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem. ► Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". ... jde zejména o upřesnění představy eukleidovské přímky jakožto „reálné" přímky!5 5viz konstrukci tělesa reálných čísel (algebra) a problém sestrojitelných veličin (s. 25). Co na postulátu (V) nezávisí úvod 9 ► Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. ► Věta o vnějším úhlu trojúhelníku.6 B CD y > a a y > p ► Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek7 (odtud existence rovnoběžky). oí — y =^> h || g 6Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořádání (viz s. 11). 7Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku (viz s. 12). Co na postulátu (V) závisí úvod 10 ► Věta o střídavých úhlech8 (odtud jednoznačnost rovnoběžky). h\\g => a = y ► Věta o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku.9 a-\-p-\-y = 2R ► Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich obsazích.10 ► Pythagorova věta (a téměř vše co následuje)... 8Nepřímo: a ž y ==> a +/3 í y + j3 =^> 2R ± y odtud podle (V) plyne, že se přímky h, g protínají, tedy nejsou rovnoběžné (viz s. 13). 9Přímo pomocí věty o střídavých úhlech (viz s. 14). 10 Podrobněji od s. 15... Detail k větě o vnějším úhlu v trojúhelníku 11 Úvod 11 ió BOOK L PROP. XVI. THEOH. F a Jíik ef ti iri,;n- \ produced, tfa external greater than either of the internal remote angks A. A Make Draw In and -------(pr. jo.). and produce it until -; draw ■ '' . and ¥-4 (conň. pr, 15.), .'. = .4.), In like manner it can be ihown, that if be produced, ^Qjj^ C jj^^' is a . Q. E. D- http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-16.html Detail k větě o existenci rovnoběžky 12 28 BOOK I. PROP. XXVll. TIIEOR. IF a Jlraight line ing two other Jlraight lines, •with thetn the alternate angles (^^^ and ) equal, thefi tvso firaight lines are parallel. If te not parallel to they Ilia. 11 meet when produced. If it be poflible, let thofc lines be not parallel, but meet when produced ; then the external angle ^^fP is greater than fl^. (pr. 16), but they arc alio equal (hyp.), which is abfurd : in the fame manner it may be mown that they cannot meet on the other fide; /, they are parallel. Q. E. D. 2http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-28. html Detail k větě o střídavých úhlech13 úvod 13 BOOK L PROP. XXIX. THEOR. STRAIGHT lint { ...... ) fining on two parallel jlraight lines ( vm«> and ), makes the alternate angles equal to one another; and aljb the external equal to the internal and oppofte angle on the fame fide ; and the two internal angles on the fame Jide together equal to two right angles. ■> and For if the alternate angles t equal, ■ ■ -, ■ aking ' — ' Therefore ■■— [] (pr. 27.) and there- fore two fought lines which interact are parallel to the fame Anight line, which i& impoifible (ax. 12). Hence the alternate angles and are nol unequal, that is, ihey are equal: ~ (pr. 15}; = ^J^- the external angle equal to the nal and oppofite on the fame lide: it' be added both, then + (pr. 13)- Tlrat is to fay, the two internal angles at the fame Jide of the cutting line are equal to two right angles. Q. E. D. 3http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-30.html Detail k větě o součtu úhlů v trojúhelníku Úvod 14 BOOK L PROP. XXXII. THEOil. F any jide ( — oj a triangl? duced, the Si ____ tí thefum of the interna appQJitt angles [J^Sk and^^^ ) and the three internal angles Oj every triangle taken together are f ^^^L squill to tti-o rig/it (ingles. Through the point /\ draw - II -(pr-3'-)- and therefore (pr. 13.). Q- E- D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-32.html Základní tvrzení o rovnostech obsahů Obsahy 15 ► Rovnoběžníky, resp. trojúhelníky se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah. ► Trojúhelník ABC a rovnoběžník ECGF mají stejný obsah (kde E = střed BC aBC \\AF)\ U E C ► Rovnoběžníky BEFG a BALM mají stejný obsah (kde společný bod B e úhlopříčce HK): F E / K ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce, resp. věta Pythagorova.. 15Ve všech důkazech vystačíme s větou o střídavých úhlech a shodnými trojúhelníky (viz s. 17, 18). Eukleidova věta o odvěsně, resp. Pythagorova věta Obsahy 16 Věta Trojúhelník BAC je pravoúhlý a P je pata výšky z vrcholu A. Potom platí BP-BC = BA2 aCPCB = CA2, tudíž BC2 = BA2 + AC2 ir I { r j i 1 i L ^ t t i . i ■ • ■ Důkaz. FBAG je čtverec a úhel BAC je pravý => body G, A, C leží na jedné přímce, a ta je rovnoběžná s FB. Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. FBC a ABD a znovu podle zákl. věty o obsazích: obsah FBA = obsah FBC = obsah ABD = obsah PBD. Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL Obdobně to funguje na druhé straně... □ Detail k větě o obsazích rovnoběžníků16 Obsahy 17 36 BOOK I. PROP. XXXV. THEOR. ARALLELOGRAMS on the Jame bují', and between the Jame paral-leli, are {in urea) equal. On account of the parallels, and Bt pr- 34-) (pr. 8.) and A =1 \ \ \ a minus \ — ^ Q. E. D. 6http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-36.html Detail k větě o složených rovnoběžnících17 Obsahy 18 4+ BOOK I. PROP. XLIII. THEOR. HE complements and the parallelograms which sire about the diagonal of a parallelogram are equal. and (pr- 34-) (Pr- 34-) (ax. 3.) Q. E. D. 7http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-44.html Kvadratura mnohoúhelníku Obsahy 19 Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.18 Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názorným rozstříháním... Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah <^^> jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý. Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním http://ggbtu.be/mkripDpYd Mezishrnutí — takto NE! 20 Mezishrnutí — taktO ANO! (pokračování na s. 44) 21 Geometrická algebra ... geometrické konstrukce vs. algebraická vyjádření. Trocha algebry Obrázek 1.11: [A U.6: Pokud je C střed úsečky AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo od B, potom ylatílAD- BĽ\ + C B2 = CD2 Poznámky Při značení |>A8| =: b a \DB\ =: x lze předchozí tvrzení psát jako 2 2 2 2 (fc + x)x + (^) = (§+*) > neboli x2 + bx + f^ = (§+*) • Uvedené úpravy známe jako tzv. doplnění do čtverce. Tyto úpravy jsou prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice... Míříme k charakterizaci sestrojitelných veličin (s. 25)... Zlatý řez Trocha algebry 23 Definice Bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu, pokud poměr celé úsečky k delší části řezu je stejný jako poměr delší části ke kratší, tzn. pokud BA : AH = AH : HB, nebo AB : BH = BH : HA. Konstrukce (i) AC je kolmice k AB, přičemž AC = AB, (ii) E = středAC, (iii) F leží na polopřímce CA tak, že EF = EB, (iv) H leží na úsečce AB tak, že AH = AF. Potom AH je delší částí zlatého řezu úsečky AB. v N \ H \ ,-1$ Mi-^-1 8 Důkaz a něco navíc Trocha algebry Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 22) a z Pythagorovy věty (s. 16): CF • FA + AE2 = EF2 = EB2 = AE2 + AB2, neboli CF -FA = AB2. Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. f Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako AH2 = AB ■ BH, neboli AH : BH = AB : AH. □ E c Počítání Při označení |AB| =: b a |AH| =: x definice zlatého řezu zní: b : x = x : (b - x), neboli ib(ib-x) = x2, neboli x2 + bx - b2 = 0. Postupně sestrojené veličiny jsou: 1 VŠ VŠ -1 \AE\ = \EC\ = -b, \EB\ = -^-b, \AF\ = \AH\ = x = -L— b. Skutečně, x = ^^-b je kořenem kvadratické rovnice x2 + bx - b2 = 0... Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 25 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků,19 ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Nic dalšího neumíme a nic dalšího ani sestrojit nelze: Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> jej lze vyjádřit pomocí konečného počtu 1 + ) 9 Podobnostem se budeme věnovat záhy, viz s. 50. Důkaz Trocha algebry 26 Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava dvou lineárních rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava lineární a kvadratické rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava dvou kvadratických rovnic. Eliminací jedné proměnné dostaneme jednu lineární, nebo kvadratickou rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... Kořen(y) lib. lineární a kvadratické rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů pomocí právě uvedených operací! □ Poznámka Algebraické vyjádření kořenů kvadratické rovnice x2 + bx + c = 0 vypadá takto: x2 + bx + f^j =||J -c, neboli (*+§) = ||J - c, což po odmocnění a úpravě vede k dobře známému vyjádření Slavné problémy starověku Trocha algebry 27 (a) zdvojení krychle ^ x = ^2a, (b) rozvinutí kružnice ^ x = 27rr, (c) kvadratura kruhu ^ x = ^r, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ...... (s. 47) Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.20 Z předchozího (a trochu následujícího) víme, že ► problémy (a), (b) a (c) nejsou nikdy řešitelné, problémy (d) a (e) ve speciálních případech řešitelné jsou. r. 1767, resp. 1882 Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Trocha algebry 28 Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Mascheroniovská a steinerovské konstrukce inverzního bodu A' k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Věta Konstrukce je proveditelná eukleidovsky <^^> je proveditelná mascheroniovsky <^^> je proveditelná steinerovsky21 Tvrzení vyplývá z předchozího (s. 26); obvykle však nebývá jasné, jak odp. konstrukce provést. Konstrukce neusis Trocha algebry 29 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) Archimédés: Trisekce úhlu s označeným pravítkem... Poznámka Takto lze sestrojit (reálné) kořeny libovolné kubické rovnice, tedy vyřešit problémy (a), (d) a některé další (e) na s. 27...22 http://en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction Konstrukce elipsy pomocí neusis udělátka. Kosinová věta Jako důsledek (a zobecnění) Pythagorovy věty (s. 16) představujeme: Věta V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: BC2 = BA2 + AC2 + 2DA • AC, BC2 = BA2 + AC2 - 2DA • AC. Důkaz. Plyne z Pythagorovy věty (zde pro trojúh. BDC a BDA) a pár úprav: BC2 = BD2 + DC2 = BD2 + (DA + AC)2 = = (BD2 + D>A2) + /AC2 + 2DA • >AC = BA2 + AC2 + 2D>A • AC. □ Poznámka Při obvyklém značení a = |BC|, b = |>AC|, c = |Afí| a a = \iBAC\ můžeme obě části předchozí věty psát současně jako B C O kružnicích O kružnicích Jako důsledky věty o součtu úhlů v trojúhelníku (s. 10) uvádíme: ► větu o středovém a obvodovém úhlu, ► spec. případ — Thaletovu větu, ► větu o úsekovém úhlu, ► apod. jj = 2a = konst. a +p = 90° cp = a https://ggbm.at/MtseAe67 O středovém a obvodovém úhlu O kružnicích Pro kružnici se středem E a úseč BC je úhel BEC středový (ozn. ji) a úhel BAC obvodový (ozn. a): Věta Středový úhel k dané úseči je dvakrát větší než lib. úhel obvodový (\i = 2a). Proto jsou obvodové úhly k téže úseči všechny stejné. Důkaz. ► Trojúhelník ABE je rovnoramenný => úhly u základny jsou stejné (ozn. /3). ► Věta o součtu úhlů v trojúhelníku ABE => vnější úhel s = 2/3. Ze stejných důvodů platí také 77 = 2y, odkud plyne jjl = 2a. Podobně by se zdůvodnily i ostatní varianty... □ O úsekovém úhlu Pro kružnici, úseč BC a tečnu BF je úhel CBF úsekový (ozn. ip)\ Věta Úsekový úhel k dané úseči je stejný jako úhel obvodový (a = (p). Důkaz. Věta o obvodovém úhlu => úhel BAC je stejný pro lib. A (ozn. ► Vezměme A' tak, aby A'B byl průměrem kružnice [lA'BC ozn.p) Věta o tečně => y+p = 90°. ► Thaletova věta => úhel u C je pravý. Věta o součtu úhlů v trojúhelníku A'BC => a +p = 90°. Celkem tedy a = y. A O mOCnOSti O kružnicích Sečna jdoucí bodem D protíná kružnici v bodech C a A\ Věta Pro libovolnou sečnu platí, že součin DC ■ DA je stále stejný. DC - DA = DB2 konst. Důkaz 1. Lze zdůvodnit několikerým užitím Pythagorovy věty (pro pravoúhlé trojúhelníky DBE, DFE, CFE) a pár úpravami:24 DB2 = DE2 - EB2 = DE2 - EC2 = (DF2 + FE2) - (EF2 + FC2) = = DF2 - FC2 = (DF + FC) • (DF - FC) = DA ■ DC. _ □ 24Třeba rozlišovat, zda je bod D uvnitř nebo vně kružnice! O mocnosti O kružnicích Sečna jdoucí bodem D protíná kružnici v bodech C a A: Věta Pro libovolnou sečnu platí, že součin DC • DA je stále stejný. DCi • DA<\ DC2 • DA2 = • • • = konst. Důkaz 2. Alternativně (a univerzálně) pomocí podobných trojúhelníků: ► Věta o obvodových úhlech => vyznačené úhly u vrcholů C, jsou stejné. ► Navíc úhly u vrcholu D jsou stejné => trojúhelníky Ci DA2 a C2DA^ jsou podobné. ► Tedy Dd : DC2 = DA2 : DA^, což je ekvivalentní DCi • DAi = DC2 • DA2. □ O mocnosti O kružnicích Pro bod D vně kružnice (a B bod dotyku tečny) platí DC-DA = DB2 = DE2 - EB2. Definice Mocnost bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo m:=DE2-ř. Chordála je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma daným kružnicím. Věta Chordála dvou nesoustředných kružnic je přímka, která je kolmá na spojnici jejich středů25 Vyplývá z definice a Pythagorovy věty... Užitek O kružnicích * / . j - Jř . I • - ' y Kotoulením kružnice uvnitř kružnice s dvojnásobným poloměrem se převádí pohyb otáčivý na přímočarý... Pravidelný pětiúhelník Pravidelný pětiúhelníkadalší Pravidelný = všechny strany a všechny úhly navzájem shodné. Postřehy (1) Souměrnost podle osy jdoucí E => AD || BC a BE || CD => BCDF je kosočtverec. (2) Obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné => trojúhelník ABD je rovnoramenný a úhly u základny jsou dvojnásobky úhlu u vrcholu D, tzv zlatý trojúhelník. (3) Trojúhelníky ADE a EAF jsou oba rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => jsou podobné. Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další Pravidelný 5-úhelník lze sestrojit pomocí zlatého 3-úhelníku, a ten lze sestrojit pomocí zlatého řezu: Předp. AK = delší část zlatého řezu AB, L takový, že AL = AB a BL = AK, chceme fi = 2a: ► K = zlatý řez a AK = BL => AB : BL = BL : BK, neboli BA-BK= BL2. ► Toto je mocnost bodu B ke kružnici AKL => BL = tečna. ► Úsekový iBLK = obvodový iLAK = a => zALB = a + 5. ► aABL je rovnoramenný => /3 = a + č. ► lLKB je vnějším úhlem v aAKL => zL^B = a + 6, což je = p. ► Odtud plyne, že aBLK je rovnoramenný => KL = BL = AK'. ► Proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný => a_=__5. Celkem tedy p = a + 6 = 2a. □ Věta V7 rovnoramenném trojúhelníku platí: poměr ramene a základny je zlatý <^^> trojúhelník je zlatý. Důkaz. Zlatý řez přímo Pravidelný pětiúhelník a další 41 Zlatý řez lze v pravidelném 5-úhelníku objevit rovnou: Věta Úhlopříčky pravidelného 5-úhelníku se protínají v poměrech zlatého řezu...26 Důkaz. ► Trojúhelníky ADE a EAF jsou rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => jsou podobné. ► Odpovídající si strany jsou úměrné => AD : DE = EA : AF. ► Současně však platí DE = EA = DF, tedy AD : DF = DF : FA. □ ... jejichž delší části jsou shodné se stranami 5-úhelníku. Výpočet a něco navíc Pravidelný pětiúhelník a další 42 Středový úhel v pravidelném n-úhelníku je an = 360°/n. Velikost strany pravidelného n-úhelníku veps. do kružnice s poloměrem r je (podle kosinové věty) cos a n- Pro n = 10 je or10 = 36°, pro n = 5 je a5 = 72c Ale to jsou právě úhly ve zlatém trojúhelníku! Odtud aio= 2(VŠ-1) a (podle kosinové věty) cos 72° = ^ = Po dosazení dostáváme Zkratka a něco navíc Pravidelný pětiúhelník a další Na obr. je konstrukce zlatého řezu úsečky AB a zlatý trojúhelník ABL Věta Strana pravidelného 5-úhelníku vepsaného do kružnice je přeponou pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsnami jsou strany pravidelného 6-úhelníku, resp. 10-úhelníku vepsaného do téže kružnice. Důkaz. Z předchozího víme, že a6 = r, a10 = -(V5-1), Podle Pythagorovy věty v trojúhelníku ABJ platí a5 = r- V1O-2VŠ. \BJ\ = r ( 1 + Vš-\\ ■ = ^ >/10 - 2 VŠ = a5. □ MGZishrnutí (navazuje na s. 21, pokračování na s. 63) 44 Další pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20 Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15,.. Věta Pokud lze sestrojit pravidelný k-úhelník a I-úhelník, potom lze sestrojit také pravidelný n-úhelník, kde n = nejmenší společný násobek k a I.27 Důkaz. Bez újmy můžeme předp. k, I nesoudělné. Kombinacemi odp. středových úhlů umíme: Bezout: k, I nesoudělné => al + bk = 1, pro nějaká celá čísla a, b, ... tedy umíme středový úhel k • /-úhelníku. □ Pozor: n.s.n. nelze obecně nahradit součinem (viz např. 3-3 = 9)! Detail pro k = 3 a / = 5 28 Pravidelný pětiúhelník a další 46 144 BOOK IF. PROP. XVI. PROP. O infcribe an equilateral and equiangular quhidecagcn in a given circle. and be the fides of an equilateral pentagon inicribed in the given circle, and the fide of an inscribed equilateral triangle. The arc fubtended by 1__t__ _ and —^— The arc fubteode of the whole circumference. of the whole circumference. Their difference = T'i ,*, the arc iubtended by the whole circumference. = 1V difference of Hence if ftraight lines equal to be placed in the circle (B. 4. pr. 1), an equilateral and equiangular quin-decagon will he thus inferibed in the circle. Q. E. D. 28http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book4/images/bookIV-propl6.html Další sestrojitelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další Z předchozího tušíme, že ne každý pravidelný mnohoúhelník je sestrojitelný: Věta (Gaussova-Wantzelova) Pravidelný n-úhelník lze sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> n je součinem libovolné mocniny 2 a navzájem různých Fermatových prvočísel. Fermatovo prvočíslo je prvočíslo tvaru Fk = 22k + 1. K dnešnímu dni29 je známo pouze pět Fermatových prvočísel: F0 = 3, F<[ = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Tedy: lze 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 nelze 7 9 11 13 14 18 19 21 22 22. května 2021, viz https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number Pravidelný 17-úhelník Pravidelný pětiúhelník a další Délku strany pravidelného 17-úhelníku vepsaného do kružnice s poloměrem r lze vyjádřit jako a17 = T- ^34-2VT7-2V34-2VT7-4yi7 + 3VT7+ ^170 - 26 VŤ7 - 4 ^34 + 2 VŤ7. Gaussova konstrukce pravidelného 17-úhelníku vypadá takto30 30. března 1796, viz https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon Užitek Pravidelný pětiúhelník a další 49 Úměrnosti Teorie podobnosti Teorie podobnosti (kniha VI) je založena na pojmu úměrnosti, tedy rovnosti poměrů veličin (kniha V): Definice Veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, a : b = c : d, pokud pro každá čísla m, n platí na = mb <^^> nc = md. Poznámky pro moderního čtenáře Veličiny a, b, c, d jsou reálná čísla, čísla m, n jsou čísla celá. Předchozí definici můžeme vyslovit taky takto:31 Reálná čísla r (= |) a s (= §) jsou si rovna, pokud pro každé racionální číslo q (= ^) platí r | q <=> s | q. 31 Tady by se nám měla vybavovat konstrukce reálných čísel z racionálních pomocí tzv. Dedekindových řezů... Základní tvrzení o poměrech obsahů Teorie podobnosti 51 Věta Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. E A F obsah ACB : obsah ACD = CB : CD Důkaz. Plyne přímo ze základní věty o rovnosti obsahů trojúhelníků (s. 17) a z definice rovnosti poměrů (s. 50)... □ Poznámka Odtud máme vzoreček pro výpočet obsahu trojúhelníku: S=^-a-v, kde S = obsah trojúhelníku, a = velikost strany, v = velikost výšky na stranu a. Detail k větě o poměrech obsahů 32 Teorie podobnosti 52 2;z BOOK FI. PROP. I. THEOR. BOOK VL PROP, I. THEOR, * 3 RIANGL1-S and paralkk-gramt having the farní altitude art to Que attithir as thíir hajá. Í and ^ Let the tri.mgles ■ and have a common vertex, and their bales - and 1 in the fame itralght line. Produce ——~ both ways, take fucceflively on ™" produced lines equal to it; and on ■ produced lines succeflively equal to il; and draw lints from the common vertex to their extremities. /A The triangles jC£Ji thus formed are all equal to one another, iince their hales are equal. (B. i, pr. 3S.) and its bafc arc refpcctively equimultiples of Jí and the bale - ■- ■ . In like manner [ and its bafe are reffec- tively equimultiples of ft and the bafe J i Jftfiorfi times j| C = or ^ " "r 5 then m or 6 times -™» C = or ^ « Or 5 times — — , m and ft rtand for every multiple taken as in the fifth definition of the Fifth Book. Although wc have only flioivn that this property cxifts when m equal 6, and n equal 5, yet it is evident that the property holds good for every multiple value that may be given to m, and to n. a (B. 5. def. j.) Parallelograms having the fame altitude arc the doubles of the triangles, on their bafes, and are proportional to them (Part l), and hence their doubles, the parallelograms, are as their bafes. (B. 5. pr. 1 5.) Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVI-propl.html Základní tvrzení o poměrech ramen Teorie podobnosti Věta Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku <^^> protíná zbylé dvě strany úměrně. SD' : SD = SE' : SE <=> D'E' || DE Důkaz. Podle předchozí věty víme, že SD' : SD = obsah SD'E : obsah SDE, SE' : SE = obsah SE'D : obsah SED. Jmenovatelé na pravé straně jsou titíž a trojúhelníky SD'E a SE'D mají společný průnik SDE. Tedy: Rovnost poměrů SD' : SD a SE' : SE rovnost obsahů DD'E a EE'D <^> rovnoběžnost D'E' a DE (s. 17). □ Podobné trojúhelníky Teorie podobnosti 54 Definice Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. Tedy: trojúhelníky jsou podobné, pokud (při obvyklém značení) a = ď, (3 = (3\ y = y\ b : c = b' : ď, C : a = ď : ď, a : b = ď : b'. Druhou sadu rovností obvykle přepisujeme takto a' : a = b' : b = ď : c = koeficient podobnosti. Ekvivalence v definici podobnosti Teorie podobnosti Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 54) jsou ekvivalentní: Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. a = a', p = j3', y = y' <^> b : C = b' : ď, C : a = ď : a', a : b = ď : bf. Důkaz. Implikace zleva doprava je důsledkem předchozí věty (s. 53)... Pro opačné tvrzení uvažme pomocný trojúhelník ABD, který má shodné vnitřní úhly s trojúhelníkem A'B'C. Nyní strany u shodných úhlů jsou úměrné a současně trojúhelníky ABD a ABC mají společnou stranu, tedy jsou shodné... □ Detail k implikaci =33 Teorie podobnosti 56 220 BOOK VI. PROP. V. THEOR. F two triangles have their Jides proportional (.-......_ : .......... i) and :: ———— ' ——- ) they are equiangular, and the equal angles are jitbiended by the /icimsh-geus Jides. \ From the extremities of V draw Jut - and ........- , making ^= A, W = 4 (B. l.pr. 2,,); and confequentty ^ = (B. I. pr. 34), and lince the triangles are equiangular, (B. 6. pr. 4]; but and confequcntly (Ii. 5. pr.9). In the like manner it may lie ŕhown that BOOK VI. PROP. V. THEOR. 221 Therefore, the two triangles having a common bafe _ and their fides equal, have alfo equal angles op- polite to equal fides, i. e. A - ▼ and f\ = W (B. i. pr. 8). —- MĚL ; for the fame But 1 — and i reafon i, and confequcntly = (B. I. 32); and therefore the triangles are equiangular, and it is evi dent that the homologous fides fubtend the equal angles. E. D. 33http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVI-prop5.html Poznámky Teorie podobnosti Implikaci „=>" v předchozí větě se přezdívá věta UU. Mnoho předchozích úvah lze nahradit úspornějším argumentem s podobnými trojúhelníky, viz např.: ► Věta o mocnosti bodu ke kružnicí (s. 36). ► Věta o zlatém řezu v pravidelném pětiúhelníku (s. 41). ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce (s. 16): Důkaz. Trojúhelníky ADC a ACB mají po dvou shodné vnitřní úhly => jsou podobné => AC : AD = AB : AC => AC2 = AB ■ AD. Ostatní vztahy lze zdůvodnit podobně... □ O obsazích podobných útvarů Teorie podobnosti Věta Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr druhých mocnin odpovídajících stran. Poznámky k důkazu Snadné pro k e Z, resp. k e Q. (dělení na menší navzájem shodné trojúhelníčky) Problematické pro k e R — možné přístupy: ► limitní přechod, (libovolně jemné dělení) ► vzoreček, (viz s. 51) ► "elementární" trik. (pomocný bod G e BC takový, že EF : BG = • • • = k : 1; úpravy a předchozí základní tvrzení ^ obsah ABC : obsah DEF = obsah ABC : obsah ABG = k2 : 1) A Je-li koeficient podobnosti k, potom poměr obsahů = k2. Zobecnění Pythagorovy věty Teorie podobnosti 59 Věta Pokud jsou mnohoúhelníky nad stranami pravoúhlého trojúhelníku podobné, potom obsah mnohoúhelníku nad přeponou je roven součtu obsahů těch nad odvěsnami. Důkaz. Plyne z předchozího tvrzení (s. 58) a z Pythagorovy věty (s. 16). □ O obsazích kruh U Teorie podobnosti U křivočarých útvarů se infinitezimálním úvahám nevyhneme...34 Věta Poměr obsahů kruhů je stejný jako poměr druhých mocnin jejich průměrů. G Idea důkazu. Každý kruh lze libovolně přesně aproximovat mnohoúhelníky. Každé dva kruhy jsou podobné a pokud jsou aproximovány analogicky, jsou odpovídající mnohoúhelníky taky podobné. Poměrům obsahů takových mnohoúhelníků rozumíme (s. 58)... □ Poznámka Při obvyklém značení můžeme předchozí tvrzení psát jako Si : S2 = r2 : rf, neboli Si : r2 = S2 : rf = konst. ... v klasickém pojetí pomocí tzv. Eudoxovy metody. O obsahu a obvodu kruhu35 61 Věta (Archimedova) Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož jedna odvěsna je shodná s poloměrem, druhá s obvodem kruhu. Poznámky Jinými slovy: S = \r • o, kde r = poloměr kružnice a o = její obvod. To spolu s rovností na s. 60 dává S = \r • o = konst • r2. Tzn. stejná konstanta vystupuje ve vyjádření jak obsahu, tak obvodu! Při tradičním značení: S = n • r2 a o = 2n • r. https://en.wikipedia.org/wiki/Area_o£_a_circle#Archimedes's_proof Poznámky ke kvadratuře Libovolný mnohoúhelník kvadráturovat umíme (s. 19), kruh neumíme (s. 27). Některé křivočaré útvary však kvadraturovat lze: ► Hippokratés: Vyznačené půlměsíce nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku mají stejný obsah jako tento trojúhelník.36 ► Archimédés: Obsah parabolické úseče je roven | obsahu trojúhelníku PQq (což jsou | obsahu opsaného rovnoběžníku).37 Q plyne snadno z tvrzení na s. 60, 59 a 32... plyne z vlastností paraboly a součtu jisté geometrické řady. MGZishrnutí (navazuje na s. 44, pokračování na s. 68) O objemech rovnoběžnostěnů (a hranolů) Trocha stereometrie K tvrzením o rovnoběžnících (s. 15, s. 51, s. 58) máme tyto 3D analogie: ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem. ► Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. ► Poměr objemů podobných rovnoběžnostěnů je stejný jako poměr třetích mocnin odpovídajících stran. O objemech jehlanů Trocha stereometrie 65 K tvrzením o trojúhelnících uvádíme na ukázku jednu 3D analogii s naprosto neanalogickým důkazem: Věta Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. Idea důkazu. Každý jehlan lze libovolně přesně aproximovat konečným počtem hranolů. Např. můžeme v obou jehlanech použít hranoly se stejnými výškami. Poměrům objemů takových hranolů rozumíme (s. 64)... □ Poznámky Trocha stereometrie Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieňho princip. Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou: Teprve odtud máme vzorečky V=ls.v, kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Pozor Ani v případě jehlanů se stejnými základnami a stejnými výškami (tedy se stejnými objemy) nelze úvahy v předchozím důkazu nahradit stříháním a přeskupováním částí jako u rovnoběžnostěnů, resp. hranolů!39 Tzn. 3D analogie Wallaceovy-Bolyaiovy-Gerwienovy věty (s. 19) obecně neplatí. http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_third_problem O válcích, kuželích, koulích Trocha stereometrie S podobnými úvahami jako na s. 65 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že ► Poměr objemů válců se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich podstav, ► poměr objemů koulí je stejný jako poměr třetích mocnin jejich průměrů, ► objem kužele je roven | objemu jemu opsaného válce, ► apod. Tyto poznatky doplňuje pozoruhodná Věta (Archimedova) Objem koule je roven § objemu jemu opsaného válce.40 viz např. opět https://cs.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%C5%AFv_princip Platónská tělesa Pravidelné mnohostěny 69 = pravidelné konvexní mnohostěny = konvexní mnohostěny, které mají stejný počet stěn kolem každého vrcholu a jejichž stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky41 Věta Platónských těles je právě pět druhů: čtyřstěn i> krychle osmistěn (H) fy) -6 (83) dvanáctistěn y-20, h-30, s~/2 025) dvacetistěn v>t2,h-30,s~20 (203) 41 ==> mají všechny stěnové úhly shodné, lze je vepsat do koule atd. http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid Důkaz Pravidelné mnohostěny 70 (1) Platónských těles není víc než pět druhů: součet úhlů kolem každého vrcholu musí být ostře menší než plný úhel: AA AA V W {3.3} {3.4} {3,5} {3.6} Defect ÍBO" Defect 120° Defect 60; Defect 0' ■ ■■ ■ A {4.3} {4,4} {5,3} {6.3} Defect 90° Defect 0° Defect 36; Defect 0» A vertex needs at least 3 faces, and an angle defect. A 0° angle defect will fill the Euclidean plane with a regular tiling. By Descartes' theorem, the nur nber of vertices is 720°{defect. (2) Platónských těles je právě pět druhů: pro každou z pěti možností je třeba „složit" odpovídající těleso: ► čtyřstěn {3,3}, krychle {4,3}, osmistěn {3,4} jsou snadné, ► pro rozbor dvacetistěnu {3,5} a dvanáctistěnu {5,3} budeme potřebovat větu o pravidelném 5-, 6- a 10-úhelníku vepsaném do téže kružnice (s. 43)... Pravidelný dvacetistěn poprvé Pravidelné mnohostěny 71 Bubínek: QL = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, LE = strana vepsaného 10-úhelníku, LEQ = pravoúhlý trojúhelník. Proto podle s. 43: ► EQ = strana vepsaného 6-úhelníku = poloměr kružnice. EQ = VE, tedy EVWQ je čtverec. Pravidelný dvacetistěn podruhé Pravidelné mnohostěny 72 Čepičky: QWZ = pravoúhlý trojúhelník, QZ = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, QW = strana vepsaného 6-úhelníku. Proto podle s. 43: ► WZ = strana vepsaného 10-úhelníku = delší část zlatého řezu poloměru kružnice. 2 WZ = delší část zlatého řezu úsečky WQ. Pravidelný dvacetistěn potřetí Pravidelný dvacetistěn je vepsán do koule. Pravidelné mnohostěny 73 viz konstrukci na s. 23 Pravidelný dvanáctistěn stručně Pravidelné mnohostěny 74 Nad každou stěnou krychle uvažme vrcholy U, V, W podle obr... ... a postupně se zdůvodní, že: ► body UBCWV leží v jedné rovině, ► pětiúhelník UBCWV je pravidelný, ► vzdálenost středu krychle je od všech vrcholů stejná. RU = RP = delší část zlatého řezu úsečky PN. Užitek Pravidelné mnohostěny Circogonia icosahedra vlevo nahoře. Shrnutí43 (navazuje na s. 68) Základy 4 Dotykové úlohy 77 Úvod 78 Základní úlohy 80 Zobecnění 84 Obecná Apollóniova úloha 86 Geometrická zobrazení 90 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 159 Závěrečné shrnutí 174 Zdroje 179 Dotykové úlohy Úvod 78 = úlohy s body, přímkami, kružnicemi a jejich dotykem. Definice Přímka a kružnice, resp. dvě kružnice se dotýkají, pokud mají právě jeden společný bod. Věta Přímka se dotýká kružnice v bodě C <^^> je kolmá k průměru FC. Kružnice se dotýkají v bodě A <^^> spojnice jejich středů prochází bodem A. 44Důkazy zpravidla nepřímo, viz např. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/booklll/proplllll.html Dotyk vs. orientovaný dotyk Úvod 79 Často je výhodné (občas nutné) rozlišovat orientace: ► cyklus = orientovaná kružnice, ► paprsek = orientovaná přímka, ► orientovaný dotyk = dotyk ve shodě s orientacemi. Základní úlohy s tečnami základníúiohy so (a) pomocí Thaletovy kružnice (b) pomocí souměrnosti Společné tečny ke dvěma kružnicím: ... redukováno na předchozí případ. Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 81 pomocí os úseček, os úhlů Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 82 Kružnice procházející dvěma body a dotýkající se přímky, resp. kružnice: např. pomocí mocnosti Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 83 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou přímek: k '-k (a) pomocí souměrnosti 46 (b) pomocí stejnolehlosti ... redukováno na předchozí případ (s. 82). Mírné zobecnění Kružnice dotýkající se kružnice a dvou přímek: ... redukováno na předchozí případ (s. 83). (Další zobecnění) Zobecnění 85 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou kružnic: Pomocí stejnolehlosti a mocnosti lze ukázat, že platí SKSA = SP-SQ'. Tím je bod K jednoznačně určen, umíme jej sestrojit, ... ... a tím redukováno na předchozí případ (s. 82). Obecná Apollóniova úloha Obecná Apollóniova úloha 86 = dotyková úloha se třemi danými kružnicemi. Všechny předchozí úlohy (a mnoho dalších) chápeme jako mezní případy lim(kružnice) = bod, lim (kružnice) = přímka. r—>0 r—>oo Obecná (neorientovaná) úloha má až 8 řešení; se zvolenými orientacemi dostáváme řešení po dvojicích: •3 ^ ®c •© Poznámky Obecná Apollóniova úloha Zajímavá historie, mnoho rozličných řešení a řada aplikací...49 Viz např. van Roomenovo řešení, Newtonovu reformulaci a problém trilaterace... Středy všech cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří kuželosečku. http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius Náš přístup Obecná Apollóniova úloha 88 Z předchozích ukázek je patrné, že budeme protěžovat užití geometrických transformací k zjednodušení problému: ► souměrnosti, ► stejnolehlost, ► dilatace, ► kruhová inverze, ► apod. Podrobnosti k jednotlivým transformacím od s. 91 Ukázka typického použití na s. 102... Poznámka Specifická zadání nabízejí mnohá (a specifická) řešení: Obecná Apollóniova úloha např. pomocí mocnosti, stejnolehlosti, dilatace, souměrnosti, výpočtu, kruhové inverze Základy 4 Dotykové úlohy 77 Geometrická zobrazení 90 Dilatace a kontaktní zobrazení 91 Kruhová inverze a konformní zobrazení 93 Souměrnosti a shodná zobrazení 109 Stejnolehlost a podobná zobrazení 114 Osová afinita a afinní zobrazení 122 Poslední zobecnění a projektivní rozšíření 131 Osová kolineace a projektivní zobrazení 145 Shrnutí a přehledy 153 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 159 Závěrečné shrnutí 174 Zdroje 179 Dilatace jakožto příklad problémového zobrazení Dilatace 91 Dilataci jsme poprvé potkali při konstrukci společných tečen ke dvěma kružnicím (s. 80): Popis dilatace jakožto geometrického zobrazení je ošidný: ► nemá smysl mluvit o obrazu bodu jako takovém (bez kontextu),51 ► měli jsme vždy bod na orientované kružnici, resp. přímce, ► není podstatná ona kružnice, resp. přímka, ale orientovaný dotyk, ► orientovaný dotyk (dvou křivek) nejsnáze znázorníme (tečným) vektorem... Na rozdíl od všech ostatních zobrazeních v tomto kurzu! Dilatace jakožto příklad kontaktního zobrazení Dilatace Co to je? Orientované kontaktní zobrazení v rovině. Čím je určena? Nenulovým reálným číslem p. Jak je určena? Obraz lib. orient, dotyk, elementu zastoupeného vektorem v je reprezentován vektorem v', který je posunut o vzdálenost p kolmo k v, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci... Jaké má vlastnosti? Orientované kontaktní zobrazení! Kčemu to je dobré? Zachovává orientovaný dotyk křivek (viz s. 80, 84, 103, ...)! Kruhová inverze Kruhová inverze Co to je? Transformace roviny vyjma jednoho bodu, ozn. O.52 Čím je určena? Kružnicí se středem O a poloměrem r.53 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A ž O leží na polopřímce OA, a to tak, že \OA\\OA'\ = ř, neboli \OA'\ = \OA\' Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s kružnicí pevných bodů, základní konformní transformace v rovině, nepřímá, ... tzv. střed kruhové inverze tzv. řídící kružnice Vlastnosti Kruhová inverze Zřejmé: (a) Kruhová inverze je involutivní transformace. (b) Všechny body na řídící kružnici jsou pevné. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice, se zobrazuje dovnitř, a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze je pevná; přitom jediné pevné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a lim X' = O, resp. lim X' = oo. Nezřejmé: (e) Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. (f) Kružnice kolmá ke V se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V. (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení. Vlastnosti Kruhová inverze (e) Kružnice procházející středem o se zobrazuje na přímku (neprocházející středem o), a naopak. Důkaz. Předp. extrémní dvojici a i-> a', kde oa _l i a oa' = průměr y. Ozn. b e i a b' e y průsečíky s lib. přímkou jdoucí O. Dokážeme, že b a b' jsou inverzního vzhledem ke l~: ► Thaletova věta => úhel ob'a' je pravý => trojúhelníky oab a Oy4'B' jsou podobné => OB' : OA = oa' : OB neboli OBr • ob = oa' ■ oa. ► Body a a a' jsou inverzní vzhledem ke l~, takže b a b' taky: oe'-oe = oa' ■ oa = ř. □ Vlastnosti Kruhová inverze (f) Kružnice kolmá ke ľ se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V. Důkaz. Kružnice y protíná řídící kružnici r kolmo54 poloměr OP je tečnou ke kružnici y <^> pro libovolnou sečnu jdoucí bodem O platí55 OAOAř = OP2 = r2 <^^> body A a A' jsou inverzní vzhledem ke l~. □ tzn. tečny ve společném bodě P jsou kolmé podle věty o mocnosti bodu ke kružnici (s. 36) Vlastnosti Kruhová inverze (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. Důkaz. Uvažme kružnici ľ, která je soustředná s ľ a protíná kružnici y kolmo. Ukážeme, že složení kruhových inverzí ľ a ľ je stejnolehlost:56 ► Ozn. A i-> A' kruhovou inverzi vzhledem ke V a A i-> Ä kruhovou inverzi vzhledem ke Ť, tedy ► Odtud po úpravě OÄ' : OA = ŕ : ř2 = konst., neboli OÄf = konst OA. □ OA-OA= ř2 a OAOA' = ř. 56... zbytek je jasný: z předchozího (s. 96) a vlastností stejnolehlosti (s. 117) plyne, že obrazem y vzhledem ke V je kružnice. Při stejnolehlosti ľ o r : A i-> A' se střed y zobrazuje na střed y'. Při kruhové inverzi ľ : A i-> Af se střed y nezobrazuje na střed yf (Viz též obraz středu y vzhledem ke kruhové inverzi V...) Vlastnosti Kruhová inverze (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení. Důkaz. ► Odchylka dvou křivek v jejich společném bodě P = odchylka jejich tečen m ► Místo dvou obecných křivek můžeme uvažovat lib. dvě kružnice, které prochází bodem P a mají přímky m a i jako tečny. ► Místo obecných dvou kružnic můžeme uvažovat kružnice y^ ay2, které jsou kolmé k řídící kružnici ľ! ► Avšak kružnice yA a y2 se zobrazují samy do sebe (s. 96), obrazem bodu P je druhý společný bod P' kružnic a odchylka v bodě P je stejná jako odchylka v bodě P'. □ ... úhlojevné, tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Poznámky Kruhová inverze 1 00 Každé podobné zobrazení je konformní. Dalším známým nepodobným konformním zobrazením je např. stereografická projekce (sféry bez jednoho bodu do roviny): Kruhovou inverzi lze vyjádřit pomocí stereografické projekce a souměrnosti sféry podle roviny rovníku... Konformní zobrazení Kruhová inverze 101 Kruhová inverze a obecná konformní zobrazení: ► nezachovávávají vzdálenosti ani poměry vzdáleností, ► nezobrazují přímky na přímky, ► nezachovávávají obsahy, resp. objemy, ► ale zachovávávají odchylky protínajících se křivek, ► jsou prostá (injektivní). Užitek 102 Orientovaná Apollóniova úloha: d = 0 • k ■ I • g Sestrojit cykly, které se dotýkají tří daných cyklů. http://ggbtu.be/mrFsNSnbN Užitek 103 (1) vhodná dilatace: d = -10.8 • k • I • g » i ■ t » j .tím je úloha redukována na případ s bodem místo kružnice, Užitek 104 (2) vhodná kruhová inverze: d = -10.8 • k • I • g • t • j kružnice procházející bodem C se zobrazují do přímek (s. 95), Užitek (3) společné tečny dvou kružnic: 105 . což je jedna ze základních úloh (s. 80), Užitek 106 .což je snadné, Užitek (5) dilatace zpět: 107 . což je taky snadné. Hlavní větev geometrických zobrazení 108 Osová souměrnost Shodná zobrazení 1 09 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o.59 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na kolmici k ose, a to tak, že ——> —> X X0 = —XXo, kde X0 = průsečík XX' s osou o. Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s přímkou pevných bodů, základní shodnost v rovině, nepřímá transformace, ... tzv. osa Obecná shodná zobrazení Shodná zobrazení 110 Definice Shodné zobrazení (a) zachovává vzdálenosti, tzn. pro libovolné body A,B a jejich obrazy A\B' platí \A'B'\ = \AB\. Další vlastnosti (b) zachovává kolineárnost bodů, (c) zachovává odchylky přímek, (d) zachovává obsahy, resp. objemy, (e) je prosté (injektivní). SllOdnOSti V rOVině Shodná zobrazení 111 Shodnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj. tří bodů v obecné poloze). Věta Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností: Důkaz. Postupně vkládáme osy tak, aby ► /IhA'... dořešíme obrazy B a C Cu ► 8^8'... dořešíme obraz Ci i-> C2, atd. □ . proto je osová souměrnost základní shodností v rovině. Klasifikace v rovině Shodná zobrazení 112 Odtud klasifikace shodností v rovině: (a) identita = složení dvou os. soum. takových, že o^ = o2, (b) posunutí = složení dvou os. soum. takových, že o^ || o2, (c) otáčení = složení dvou os. soum. takových, že o^ a o2 jsou různoběžné, (d) středová souměrnost = složení dvou os. soum. takových, že o^ _l o2, (e) osová souměrnost = jedna os. soum., (f) posunutá souměrnost = složení tří obecných os. soum. Poznámky Shodnost s přímkou pevných bodů je právě osová souměrnost (e). Shodnosti (a)-(d) jsou přímé (zachovávají orientaci), shodnosti (e)-(f) jsou nepřímé (mění orientaci). Pojmenování (f) je odvozeno z možného rozkladu na osovou souměrnost a posunutí: Symetrické vzory Shodná zobrazení 113 Odtud klasifikace symetrických vzorů, viz např. sedm frízových vzorů 60 ^ ^ ^ *o ^ ^ ^ ^ sedmnáct tapetových vzorů 61 atp. 60http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group 61 http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group Stejnolehlost aneb škálování Podobná zobrazení 114 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Bodem S a nenulovým reálným číslem k.62 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží přímce SX, a to tak, že SX' = k ■ SX. Jaké má vlastnosti? Transformace se pevným bodem, základní podobnost, v rovině přímá transformace, ... tzv. střed a koeficient = poměr škálování Speciální a mezní případy Podobná zobrazení 115 Spec. pro koeficient |k| = 1 dostáváme shodnosti: ► identita, pokud k = 1, ► středová souměrnost, pokud k = -1. Pokud bychom připustili k = 0, dostaneme velmi degenerovaný případ: ► zobrazení do jednoho bodu. Základní vlastnosti a skládání stejnolehlostí Podobná zobrazení 1 b Základní poznatek známe ze s. 53! Zejména, každá stejnolehlost je ► podobné zobrazení, které ► každou přímku zobrazuje na přímku s ní rovnoběžnou. Zobrazení s těmito vlastnostmi není mnoho, jmenovitě tři: Věta Složení dvou stejnolehlostí se středy S<\, resp. S2 a koeficienty k^, resp. k2 je: ► identita, právě když k^ ■ k2 = 1 a = S2, ► posunutí, právě když k^ • k2 = 1 aS^ ž S2,63 ► obecná stejnolehlost, právě když kA-k2±\ .64 —> ..., přičemž vektor posunutí je násobkem vektoru Si S2 ... pokud Si ž S2, potom střed výsledné stejnolehlosti leží na přímce Si S2 Stejnolehlý obraz kružnice Stejnolehlým obrazem kružnice je kružnice, ... ... každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, ... ... a to dvojím způsobem. Mongeova věta Podobná zobrazení 118 Odtud (pro zajímavost) Mongeova věta:65 Věta Mezi šesti středy stejnolehlostí tří kružnic jsou čtyři kolineární trojice. Důkaz. Plyne z věty o skládání stejnolehlostí (s. 116)... □ ... uplatnění např. při řešení obecné Apollóniovy úlohy Obecná podobná zobrazení Podobná zobrazení 119 Definice Podobné zobrazení (a) zachová poměry vzdáleností, tzn. pro libovolné body A, B a jejich obrazy A\Bř platí \A'B'\ = k-\AB\, kde k = kladná konstanta, tzv. koeficient podobnosti. Další vlastnosti (b) zachovává kolineárnost bodů, (c) zachovává odchylky přímek, (d) obsahy se mění k2-krát, resp. objemy se mění k3-krát, (e) je prosté (injektivní). Poznámky Podobná zobrazení 120 Podobnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj. tří bodů v obecné poloze). Každé shodné zobrazení je podobné (s koeficientem k = 1). Každé podobné zobrazení je složením nějaké shodnosti a stejnolehlosti. ... proto je stejnolehlost základní podobností. Užitek Podobná zobrazení 121 Osová afinita aneb škálování v jednom směru Afinní zobrazení 1 22 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o, směrem s a nenulovým reálným číslem m.67 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na přímce se směrem s, a to tak, že X'X0 = m-XX0, kde X0 = průsečík XXf s osou o. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní afinní transformace v rovině, přímá/nepřímá podle znaménka m, ... tzv. osa, směr škálování a modul = poměr škálování v daném směru Speciální a mezní případy Afinní zobrazení 1 23 Speciálními, resp. mezními případy osové afinity jsou: ► osová souměrnost, pokud m = -1 a s _l o, ► šikmá souměrnost, pokud m = -1as/o, ► e/ace aneb naklonění, pokud s || o (=> m = 1), Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerovaný (neinjektivní) případ: ► rovnoběžné promítání do přímky o ve směru s. Základní vlastnosti Afinní zobrazení 1 24 Osová afinita zachovává: (a) kolineárnost bodů, (b) poměry vzdáleností trojic kolineárních bodů, (c) rovnoběžnost přímek. / * Důkaz. Variace na podobné trojúhelníky. □ Další vlastnosti Osová afinita s osou o, směrem s a modulem m: (d) zobrazuje přímku p do sebe, právě když p = o nebo p | (e) je přímá, resp. nepřímá, právě když m > 0, resp. m < 0, (f) je involutivní, právě když m = -1, (g) obsahy se mění m-krát. Obecná afinní zobrazení Afinní zobrazení 1 26 Definice Obecné afinní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a)-(c) z předchozí strany. Bijektivní afinní zobrazení se nazývá afinita. Afinita, která zachovává obsahy (resp. objemy), se nazývá ekviafinita (viz šikmou souměrnost nebo elaci). Poznámka Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní...68 A Ve skutečnosti (v jistých případech) vlastnost (a) implikuje (b) a (c)... 69 68 ... založeno na char. rovnoběžníku jako čtyřúhelníku, jehož úhlopříčky se půlí ... viz základní větu afinní geometrie (příští semestr) 69 Afinity v rovině Analogicky k tvrzení na s. 111 máme: Věta Každá afinita v rovině je složením nejvýše tří osových afinit. Důkaz. Myšlenka důkazu je stále stejná, volnost v realizaci větší... ... proto je osová afinita základní afinitou v rovině. Příklad Stejnolehlost jako složení dvou osových afinit: O určenosti afinního zobrazení Afinní zobrazení 1 28 Afinní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy dvou různých bodů... Afinní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy tří bodů v obecné poloze... Věta Prosté70 afinní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy n + 1 bodů v obecné poloze. Důkaz. Induktivní a konstruktivní — pomocí rovnoběžek a přenášení dělicích poměrů...71 □ resp. „ne příliš degenerované", viz dále. https://ggbm.at/yWcCaQeA Shrnutí a poznámky Afinní zobrazení 1 29 Každé podobné zobrazení je afinní. Každé shodné zobrazení je ekviafinní. Podobné a ekviafinní zobrazení je shodné. 3-rozměrnou analogií osové afinity je afinita s rovinou pevných bodů... 3-rozměrnou analogií rovnoběžného promítání do přímky je rovnoběžné promítání do roviny... Obecné afinní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► zachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► nemusí být prosté (injektivní). Užitek Afinní zobrazení 1 30 http://ggbtu.be/mkvJL3iqr Poslední zobecnění Projektivní rozšíření 131 Poslední příspěvky do sbírky základních zobrazení (s. 108): Od posunutí ke stejnolehlosti to je stejné... ... jako od osové afinity k osové kolineaci... ... nebo jako od rovnoběžného promítání ke středovému... Jak to funguje? Posunutí vs. stejnolehlost: Projektivní rozšíření 1 32 ' řs' / \ / \ / \ - - -ŕ - ' \ -V- v A* \ X'X II A'A smer, XX' = AA' = ... vektor posunutí, SX' _ s/v_ ŠX ŠA X'XnA'A n... střed, = ... koef. stejnolehlosti, .Posunutí = stejnolehlost se středem v nekonečnu." Jak to asi funguje? Osová afinita vs. osová kolineace: Projektivní rozšíření 1 33 3< Sír y A -X- s s 1 * X'X II A'A XX0 X'X0 A'A0 AA0 smer, .. modul, X'Xn A'A n ... střed, ???? = ???? = modul,73 ,Osová afinita = osová kolineace se středem v nekonečnu." 73kde ???? je nějak určeno body A, A', A0 a S. Jak to asi funguje? Projektivní rozšíření 1 34 Rovnoběžné vs. středové promítání: f 1 ( t i \ ara || brb || ... směr, 4^ = =S = ... zákl. invariant, b'c bc ArA n bfb n ... střed, ???? = 9999 = zákL invariant,74 Rovnoběžné promítání = středové promítání se středem v nekonečnu." 74kde ???? je nějak určeno body /4, B, C a D. Dělicí poměr a dvojpoměr Projektivní rozšíření 1 35 Definice Dělicí poměr trojice kolineárních bodů (A, B, C) je reálné číslo d takové, že platí —> —> AC = d-BC; značíme a zapisujeme takto: d={ABC) = BC Dvojpoměr čtveřice kolineárních bodů (A, B, C, D) je poměr dělicích poměrů (AB C) : (AB D); značíme a zapisujeme takto: (ABCD) = — :—. BC BD Poznámky Vzhledem k tomu, že lim (AB D) = 1, platí lim (AB CD) = (AB C); stručně D—>oo D—>oo (AB CDoo) = (AB C). Známe Projektivní rozšíření 1 36 Věta Při rovnoběžném promítání se zachovávají poměry trojic kolineárních bodů. Důkaz. (a) Spec. případ plyne z podobnosti trojúhelníků AA'C a BB'C (s. 53). (b) Obecný případ plyne z (a) a shodností protilehlých stran v rovnoběžnících. □ ... pokud se různé body zobrazí na různé body. Nově Projektivní rozšíření 1 37 Věta (Pappova) Při středovém promítání se zachovávají dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů. Důkaz. (a) Spec. případ (C = C a SD' || p) plyne z podobností trojúhelníků (s. 53) a vztahu (AB C) = (AB CD^) (s. 135). (b) Obecný případ plyne z (a) a podobnosti trojúhelníků... □ ... pokud se různé body zobrazí na různé body. Detaily k důkazu Pappovy věty (a) Projektivní rozšíření 1 38 Z modré, resp. oranžové podobnosti plyne ÄC ÄŠC' BC WC' — = —, resp. — = —. SD' A'D' SD' B'U Po dělení ÄC ÄŠC' Wcf ÄŠC' AŤ)' BC A^D' WDf WC' Wd^ tudíž (ABC) = (A'Bf C'Df). Levá strana je však totéž, co (AB CD*,), tedy (AB CDoo) = (A'B' CD'). Detaily k důkazu Pappovy věty (b) Projektivní rozšíření 1 39 Doplníme rovnoběžky s přímkou SD jdoucí bodem C, resp. C. Z (a) plyne (A C) = {AB CD), resp. {A2B2 C) = (AřBř CřD'). Ze žluté podobnosti plyne (A^ B1 C) = (A2B2 C), a tedy (AB CD) = (A'Bf CD'). Jak tO tedy funguje? (navazuje nas. 133) Osová afinita vs. osová kolineace: Projektivní rozšíření 1 40 ► XřX || A'A || ... směr, XřX nA'An... střed, ► (X'XX0) = (A'A A0) = ... modul, (X'XX0S) = (A'A A0S) = ... modul. Speciální a mezní případy Projektivní rozšíření Speciálními, resp. mezními případy osové kolineace jsou: ► osová afinita, pokud S je v nekonečnu, ► stejnolehlost, pokud o je v nekonečnu, ► posunutí, pokud S i o jsou v nekonečnu. f>os u in v t / S "t ť j ři o \ tkl b í ~t Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerované (neinjektivní) případy: ► středové promítání do přímky o z bodu S. ► rovnoběžné promítání do přímky o, pokud S je v nekonečnu. Pozor! Projektivní rozšíření 1 42 Obecná afinní zobrazení fungují v celé rovině, resp. prostoru. Při osové kolineaci či středovém promítání některé body nemají obraz, jiné vzor; resp. jsou „v nekonečnu": ... to jsou tzv. Oběžníky, horizont apod. Pro větší pohodlí si náš eukleidovský prostor rozšíříme: Eukleidovský prostor rozšířený o „body v nekonečnu" je tzv. projektivní prostor. Původní body jmenujeme vlastní, ty nové pak nevlastní. Projektivní rozšíření Projektivní rozšíření 1 43 Přesněji, body rozšířeného prostoru (A) ztotožňujeme s přímkami (a,) procházejícími nějakým externím bodem (S): Vlastní body odpovídají různoběžkám, nevlastní body rovnoběžkám s původním (nerozšířeným) prostorem. Tedy: ► Projektivní rozšíření eukleidovské přímky má právě jeden nevlastní bod, ► Projektivní rozšíření eukleidovské roviny má přímku nevlastních bodů. ► Každé dvě přímky v projektivní rovině se protínají.77 ► Atd. Rovnoběžky se protínají v nevlastním bodě, různoběžky ve vlastním. Uspořádání Projektivní rozšíření 1 44 ► Projektivní přímka je uzavřená. ► Projektivní přímka nerozděluje projektivní rovinu na dvě nesouvislé části. ► Uspořádání bodů na projektivní přímce nemá valného smyslu: Eukleidovská vs. projektivní přímka Vzpomeňte na diskuzi kolem věty o vnějším úhlu v trojúhelníku (s. 11). Osová kolineace pořádně (viz s. 140) Projektivní zobrazení 1 45 Co to je? Transformace projektivní roviny. Čím je určena? Přímkou o, bodem S a nenulovým reálným číslem m.79 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na přímce SA, a to tak, že (A'A A0S) = m, kde A0 = průsečík AA' s osou o a (A'A A0S) = dvojpoměr. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní projektivní transformace v rovině, ... tzv. osa, střed a modul Základní vlastnosti (víz s. 124) Osová kolineace zachovává: (a) kolineárnost bodů, (b) dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů 'X' " ■ - . Důkaz. Plyne z definice a z Pappovy věty. Další vlastnosti (viz s. 125) Projektivní zobrazení 147 Osová kolineace s osou o, středem S a modulem m: (d) zobrazuje přímku p do sebe, právě když p = o nebo p b S, (e) je involutivní, právě když m = -1. Poznámky (f) nemá smysl (globálně) řešit zda je přímé/nepřímé, (g) nemá smysl (globálně) řešit změny obsahů. Obecná projektivní zobrazení (víz s. 126) Projektivní zobrazení 1 48 Definice Obecné projektivní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a) a (b) z předchozí strany. Bijektivní projektivní zobrazení se nazývá projektivita nebo kolineace. Poznámky Základní vlastnosti (a) a (b) nejsou zcela nezávislé. Ve skutečnosti (v jistých případech) vlastnost (a) implikuje (b).. .80 Pokud projektivní zobrazení zobrazuje všechny (ne)vlastní body na (ne)vlastní, potom je afinní. ... viz základní větu projektivní geometrie a její důsledky (za rok)! Projektivity V rovině (rýmuje se s. 127) Projektivní zobrazení 1 49 Analogicky k předchozím případům máme: Věta Každá kolineace v (projektivní) rovině je složením nejvýše tří osových kolineací. Důkaz. Myšlenka důkazu je stále stejná, volnost v realizaci stále větší... □ . také proto je osová kolineace základní kolineací v rovině. O určenosti projektivního zobrazení (doplňuješ. 128) projektivní zobrazení 150 Projektivní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), ► tj. obrazy tří různých bodů, tedy např. obrazy dvou různých vlastních bodů a jedním úběžníkem... Projektivní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno ► obrazy čtyř bodů v „dostatečně obecné" poloze, ► nebo obrazy tří vlastních bodů v obecné poloze a dvěma odpovídajími úběžníky... Věta Prosté81 projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy n + 1 vlastních bodů v obecné poloze a n odpovídajícími úběžníky Důkaz. Induktivní a konstruktivní — pomocí úběžníků a přenášení dvojpoměrů... □ 81 resp. „ne příliš degenerované", viz dále... Shrnutí a poznámky (viz s. 129) Projektivní zobrazen Každé afinní zobrazení je projektivní. Projektivní zobrazení, které zobrazuje (ne)vlastní body na (ne)vlastní, je afinní. 3-rozměrnou analogií osové kolineace je kolineace s rovinou pevných bodů... 3-rozměrnou analogií středového promítání do přímky je středové promítání do roviny... Obecné projektivní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává dvojpoměry vzdáleností čtveřic kolin. bodů, ► nezachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► nezachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► nemusí být prosté (injektivní). Užitek (viz s. 130) Projektivní zobrazení 1 52 82Na obrázku můžeme vidět několik známých korespondencí: osová kolineace, osová kolineace, osová kolineace,... Osa vs. střed Shrnutí a přehledy 153 Vše, co jsme kdy jmenovali základní transformací v rovině, mělo ► osu = přímku pevných bodů, ► střed = takový bod, že každá jím jdoucí přímka je pevná. Osa nebo střed mohou být vlastní nebo nevlastní (s. 141). Z Desarguesovy věty vyplývá, že ► projektivní transformace v rovině má osu <^^> má střed. https://ggbm.at/az7e9qsC Desarguesova věta Shrnutí a přehledy 154 Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ'prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXrYr,YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. Desarguesova věta a její trojrozměrná interpretace. Přehled základních transformací v rovině Shrnutí a přehledy 155 střed S osa o S e o modul druh vlastní vlastní ne 0 (středové promítání do přímky) ano 1 projektivní elace ne -1 harmonická souměrnost ne jinak osová kolineace nevlastní vlastní ne 0 (rovnoběžné promítání do přímky) ano 1 elace ne -1 šikmá, resp. osová souměrnost ne jinak osová afinita vlastní nevlastní ne 0 (promítání do bodu) ne 1 identita ne -1 středová souměrnost ne jinak stejnolehlost nevlastní nevlastní ano 1 posunutí Transformace je involutivní <^^> modul = -1. Degenerované případy <^^> modul = 0. Pro afinní transformace: přímá <^^> modul > 0, nepřímá <^^> modul < 0. Přehled typů zobrazení a jejich vlastností Shrnutí a přehledy 156 kolin. vzdál. děl. porn. dvojpom. rovnob. obs. odch. projektivní + — — + — — — afinní + — + + + — — ekviafinní + — + + + + — podobná + — + + + — + shodná + + + + + + + konformní — — — — — — + ► Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je afinní. ► Afinní zobrazení, které zachovává poměry vzdáleností jakýchkoli (tedy i nekolineárních) trojic bodů, je podobné. Konformní zobrazení, které je projektivní, je podobné. ► Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je shodné. Hierarchie zobrazení (víz s. 108 Shrnutí a přehledy 157 V.«) »A- o- '<-x ^ f (A ľ l 6, i Ä- c ť ) k riA k o i/o.' i'^"u p ^0 j t L x iv "» i „Sou' t'h'nUcf- ř , / rovno L * -vh In 0^ - ■ i / " -f <; 1^ » iA w. a. N> O <, U. iri "t I írn»S Užitek 158 Mnoho základních zobrazení můžeme (resp. musíme) pozorovat při znázorňování původně stereometrických problémů: Základy 4 Dotykové úlohy 77 Geometrická zobrazení 90 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 159 Volně 161 Vázaně 164 Analyticky 167 Exoticky 169 Závěrečné shrnutí 174 Zdroje 179 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 160 Podle způsobu promítání dělíme na: ► středové, ► rovnoběžné, ► exotické. Podle způsobu provedení dělíme na: ► volné,84 ► vázané,85 ► vychytané,86 ► analytické,87 ► exotické. ... takto jsme to dělali dosud, za chvíli, za chvíli, takto budeme dělat příští rok... Umíme: středové a rovnoběžné promítání (viz s. 148 a 126) Volně 161 Středové promítání (projekce) je modelové projektivní zobrazení: (i) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (ii) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.88 Nevlastní body mohou mít vlastní obrazy (tzv. úběžníky) a naopak. Rovnoběžné promítání je středové promítání s nevlastním středem. Rovnoběžné promítání je afinní zobrazení, navíc tedy (iii) zachovává rovnoběžnost přímek, (iv) zachovává obyčejné poměry trojic kolineárních bodů.89 ... kdykoli to dává smysl (pokud se různé body zobrazí na různé) ... kdykoli to dává smysl... Umíme: volné promítání (viz s. 150 a 128) Volné středové/rovnoběžné promítání je určeno několika málo body a obecnými vlastnostmi projektivních/afinních zobrazení (i)-(iv): Věta „Nepříliš degenerované" (a) afinní, (b) projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy (a) n + 1 bodů v obecné poloze, (b) n + 1 bodů v obecné poloze a n odpovídajícími úběžníky Základní konstrukce jsou: (a) rovnoběžky a přenášení poměrů, (b) úběžníky a přenášení dvojpoměrů. Poznámka V předpokladu věty tušíme jistý zádrhel: Jak sestrojit obraz bodu v „souřadné rovině", která se zobrazuje do přímky Volný průmět pravidelného dvanáctistěnu ... pomocí vepsané krychle (podle s. 74): Nově: vázané promítání vázaně 164 Vázané promítání je určeno přesným vymezením průmětny a středu, resp. směru promítání vzhledem k zobrazovanému objektu. Pro zadání si pomáháme s pomocnými sdruženými průměty (nárys, půdorys): Na rozdíl od předchozí metody odpadají jakékoli omezující předpoklady! Základní konstrukční dovednosti jsou: ► průnik přímky a roviny, ► odměřování a přenášení vzdáleností... Vázaný průmět kvádru90 Vázaně 165 ... do speciálně zvolené průmětny p: http://ggbtu.be/mZvl063hi Vychytaný průmět pravidelného dvacetistěnu ... tzv. zářezovou metodou (podle s. 71-72): Cvičení: analytické vyjádření Analyticky 167 ... vzhledem k naznačené souřadné soustavě: .U'ab Cŕŕ 0 J* si J -5 i i ^ * " " r * -2 Q 1 S " 1 3 ľ ------ ' 1 i______i -3 -4> J 1 1 | 1 Výhled: analytické vyjádření Analyticky 168 Středové promítání ze středu S = [6,0,5] do roviny p : = 0} ► v afinních (kartézských) souřadnicích: 6x2 6x3 - 5x1 [X|, X2, Xs] 0. 6 - *í 6 - *í v homogenních (rozšířených) souřadnicích: (x0 : x<\ : x2 : x3) i-> (6x0 - x^ : 0 : 6x2 : 6x3 - 5xí); tj. M í6 -1 0 0] M 0 0 0 0 0 0 6 0 x2 lo -5 0 6 J projektivní), rovnoběžné (=> afinní) ► podle zadání: volné (obrazy několika bodů), vázané (střed/směr promítání a rovina), ... ► základní úlohy (přenášení (dvoj)poměru kolin. bodů) ► vychytávky (otočení roviny, zářezová metoda apod.) Užitek (s. 102-107, 130, 158, 173) ► obecná Apollóniova úloha ► obecné průměty pravidelných a jiných těles ► řezy hranolů, jehlanů a jejich skutečné velikosti ► celkový přehled Základy 4 Dotykové úlohy 77 Geometrická zobrazení 90 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 159 Závěrečné shrnutí 174 Zdroje 179 Literatura 180 [A] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999 [DV] L. Drs, J. Všetečka, Objektivem počítače: geometrie speciálních fotografických technik, SNTL, 1981 [EB] The Elements of Euclid, obrázkové vydání od O. Byrneho, 1847,93 [EJ] Euclid's Elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T.L. Heatha, 1908-1998,94 [EV] Eukleidés, Základy, české vydání podle překladu F. Servíta, 1907-2012,95 [H] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 [K] F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 [M] V. Medek, Deskriptívna geometria, SNTL, 1962 [P] J.I. Perelman, Zajímavá geometrie, Mladá Fronta, 1954 http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html http://alephO.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Eukleides_Servit.pdf Obrázky 181 [A], 1, 6, 9, 10, 22-24, 29, 32-35, 37, 39, 41, 53-55, 62, 66, 71-74, 116 [DV], 169, 170 [EB], 11-14, 17, 18, 46, 52, 56 [EJ], 31,51,58-60, 64, 78,81 [EV], 15, 16 [H], 28, 40, 43, 48, 93, 95-99 [K], 89, 117, 122, 158 [M], 173 [P], 38 Escher, M.C., 113 Fryštáková, M., 49 Kutuzov, B.V., 172 Mišejková, B., 166 Němcová, Ž., 158 Nedvědová, K., 19 Penrose, R., 142 Pokorný, A., 113 Sekora, O., 109 Vachútková, T., 163 Velebova, I., 158 Obrázky 182 http://caliban.mpipz.mpg.de/haeckel/kunstformen/, 75 http://divisbyzero.com, 49 http://en.wikipedia.org/, 173 http://etc.usf.edu/clipart/, 30, 65, 79 http://mathworld.wolfram.com/, 86 http://missmcdonaldart.blogspot.cz/, 173 http://thedisorderofthings.files.wordpress.com/, 173 http://wellcomecollection.org/, 173 http://wikipedia.org, 57, 70 http://www.daviddarling.info/encyclopedia/, 121 http://www.myddoa.com/feast-of-herod-donatello/, 173