DM2 Přednáška 2
1
Rovnice na základní škole
Irena Budínová
Propedeutika rovnic
Nežli začneme v 8. ročníku probírat učivo Rovnice a nerovnice, je velmi důležité již
dříve žáky seznamovat s úlohami, které je možné pomocí rovnic řešit. Žáci mají k dispozici
jiné mechanismy, kterými úlohy vyřeší. Necháme na nich, který přístup je pro ně přirozený, a
postupně je učíme nové postupy, které mohou používat. Během 1. stupně a 6. – 7. ročníku je
možné žáky seznamovat s úlohami následujících typů:
 U mladších žáků (do 6. ročníku) úlohy s váhami, kdy symboly nahrazují číselnými
hodnotami, aby nastala rovnováha. Pomocí úloh s váhou je možné vyvodit některé
ekvivalentní úpravy.
 Slovní úlohy, vedoucí na rovnice; úloha zadaná příběhem.
 Slovně zadaný matematický model situace (úlohy typu „Myslím si číslo…“).
Úlohy s váhami
1. Kolik kroužků musíme umístit na pravou stranu poslední váhy, aby nastala rovnováha?
Jaká je hodnota jednotlivých útvarů? (1. stupeň – 6. ročník)
Děti nejdříve řeší úlohu intuitivně. Kolečko jsou dva čtverce, obdélník jsou dvě kolečka, dva
obdélníky jsou čtyři kolečka. Čtverec může být 1, kolečko 2, obdélník 4. Ale také všechny
násobky, tj. 2, 4, 8, atd. (Zkouška: 3 ∙ 2 = 4 + 2, 8 + 4 = 3 ∙ 4, 2 ∙ 8 = 4 ∙ 4)
2. Doplňte na váhy závaží tak, aby nastala rovnováha.
11 7 2 8 9 3 5 7
Žáci opět nejdříve řeší intuitivně, postupně se učí řešení zapisovat. Místo „neznámé“ nejdříve
používají jiné možnosti zápisu (třeba prázdnou pozici):
DM2 Přednáška 2
2
11__ + 7__ = 2__ + 8__
11 + 7 = 2 + 16
9__ + 3__ = 5__ + 7__
18 + 3 = 21
Tento způsob zápisu je předstupněm rovnice. Žáci si sice pouze pohrávají s čísly, většinou
z hlavy, ale nevědomky se učí používat mechanismy, které budou potřebovat v rovnicích.
Slovní úlohy a strategie jejich řešení
Zadávání těchto úloh může být důležitou etapou, kdy je na rovnici pohlíženo jako na
hádanku a výzvu k jejímu řešení. Žáci při tom mohou používat své vlastní strategie, které
nejsou tak přímočaré jako rovnice, ale rozvíjí jejich matematickou představivost. Také
v historii se s takovými postupy setkáváme. Mnozí učitelé však nepovažují za vhodné, aby
žáci hádali výsledek a nepostupovali hned od začátku systematicky. Řešení rovnic je hned od
počátku chápáno jako algoritmus, který si mají žáci osvojit, je přeskočena etapa izolovaných
modelů.
Na následujících úlohách ilustrujeme strategie řešení, které žáci mohou používat.
3. Tatínek kupoval tři autíčka, červené, modré a zelené. Modré stálo dvakrát více než
červené, zelené stálo tolik co červené a modré dohromady. Všechna autíčka stála
dohromady 120 Kč. Vypočítej cenu každého autíčka.
Možné způsoby řešení:
Bez znalosti rovnic mají žáci následující možnosti řešení rovnice:
 úvahou 120: 2 = 60; 60: 3 = 20. Zde můžeme vidět metodu řešení, jaká je zapotřebí
pro rovnice – žák dává do souvislostí ceny jednotlivých aut a celkovou cenu; modré
tedy stojí 20, červené 40 a zelené 60 Kč,
 aritmeticky s grafickým znázorněním
m
č
z
Z obrázku je možno vyčíst, že budeme sumu 120 dělit 6, 120:6=20, vypočteme cenu
jednotlivých aut.
 označením jednotlivých aut písmeny a hledáním matematického vztahu mezi nimi:
č = 2𝑚, č + 𝑚 = 𝑧, č + 𝑚 + 𝑧 = 120, 2𝑚 + 𝑚 + (2𝑚 + 𝑚) = 120 (s tímto řešením
jsme se setkali už u některých žáků 4. ročníku ZŠ).
DM2 Přednáška 2
3
4. Myslím si číslo. Když k němu přičtu 7 a výsledek vynásobím 8, dostanu 160. Které číslo
si myslím?
5. Jana uspořila dvakrát více než Jitka, Alena o 27 Kč méně než Jana. Celkem uspořily
453 Kč. Kolik Kč uspořila každá dívka?
6. Kapr váží kilo a půl kapra. Kolik váží kapr? (Problémová úloha)
Mnoho výzkumů nedávné minulosti indikovalo, že pro žáky je přijatelnější než zadávání
rovnice obvyklým způsobem 𝑥 + 3 = 5 spíše navození slovního problému, nebo alespoň
nahrazení neznámé jinými způsoby, např.
__ + 3 = 5
□ + 3 = 5
Kalchman a Koedinger (2005) popsali jednu úlohu zadanou třemi různými způsoby:
příběhem, pomocí matematického modelu, rovnicí.
 Úloha zadaná příběhem: Když se Tod vrátil ze svého zaměstnání číšníka, vynásobil
si svoji hodinovou mzdu počtem 6 hodin, které ten den odpracoval. Když k tomu
přidal 66 dolarů, které si vydělal na spropitném, zjistil, že celkem to dělá 81,90 dolarů.
Kolik Tod dostává za hodinu?
 Slovně zadaný matematický model situace: Myslím si číslo. Když ho vynásobím 6 a
pak přičtu 66, dostanu 81,9. Jaké číslo jsem si myslel?
 Rovnice: Najdi x, jestliže 𝑥. 6 + 66 = 81,90.
Z výzkumu vyplynulo, že žáci byli nejúspěšnější při úloze zadané příběhem. Žáci k řešení
slovních úloh nevyužívali rovnic, ale zcela jiných strategií - pokusu a omylu, strategií řešení
„od konce“ (začali konečnou hodnotou 81,9, odečetli 66 a výsledek vydělili 6) apod. V
průměru žáci dosáhli 66 % úspěšnosti v úloze zadané příběhem, 62 % ve slovně zadané úloze
a 43 % u rovnice.
Nedávné výzkumy ale také ukázaly, že dokonce velmi malé děti jsou schopny používat
proměnné k tomu, aby vyřešily slovně zadaný matematický model situace nebo rovnici. Děti
však musí být s pojmem neznámé seznamovány takovým způsobem, aby mu porozuměly
(Carraher et al., 2006).
Postupné zavádění symboliky rovnic pomocí slovních úloh a úloh s vahami
U slovních úloh nejdříve necháváme žáky, aby si údaje zapsali tak, jak je pro ně
přirozené. Postupně je ale chceme přivést k tomu, aby zkracovali slova na první písmeno.
Např. v úloze: Davidova maminka váží třikrát tolik a ještě o 5 kg více než David. Kolik kg
váží David, když maminka váží 59 kg? si děti mohou udělat zápis následovně: m=3d+5,
59=3d+5. Můžeme sledovat, zda děti budou schopny rovnici řešit neformálně, bez algoritmu.
DM2 Přednáška 2
4
U váhy můžeme domluvit následující symboliku: neznámé závaží … neznámá …
označíme 𝑥, známé závaží má udanou číselnou hodnotu.
6
5𝑥 = 6 + 2𝑥
Ekvivalentní úpravy vyvozené pomocí úloh s vahami
Jedná se o takové úpravy, při jejichž použití mají rovnice před úpravou a po úpravě
stejné kořeny (rovnice původní a rovnice upravená mají stejnou množinu všech řešení)
 záměna obou stran rovnice
 přičtení (odečtení) stejného čísla nebo stejného výrazu k oběma stranám rovnice
 vynásobení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným
mnohočlenem, který má pro každou proměnnou hodnotu různou od nuly
 vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným
mnohočlenem, který má pro každou proměnnou hodnotu různou od nuly.
Přičtení (odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice:
62 242 4
2𝑥 + 2 = 6
2𝑥 + 2 = 4 + 2
2𝑥 = 4
Přičtení (odečtení) stejného výrazu s neznámou k oběma stranám rovnice:
66
5𝑥 = 6 + 2𝑥
3𝑥 = 6
DM2 Přednáška 2
5
Vynásobení (vydělení) celé rovnice číslem různým od nuly:
6
2
2 2 2
3𝑥 = 6  3𝑥 = 3 ∙ 2  𝑥 = 2
1
3
𝑥 = 2  3 ∙
1
3
𝑥 = 3 ∙ 2  𝑥 = 6
Druhy rovnic probíraných na základní škole
Rozlišujme pojmy „rovnost“ a „rovnice“.
Pojem rovnosti je jedním z nejdůležitějších pojmů školské matematiky. Jedná se o
relaci, která je:
 reflexivní, tj. pro každé a z dané množiny a = a
 symetrická, tj. pro každé a, b z dané množiny platí: jestliže a = b, pak b = a
 tranzitivní, tj. pro každé a, b, c, z dané množiny platí: jestliže a = b a zároveň b = c,
pak a = c.
tedy je to relace ekvivalence.
Např. 2 + 5 = 8 − 1
Rovnice je
a) zápis rovnosti dvou výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje neznámou,
b) výroková forma, jejíž obor pravdivosti hledáme.
Na ZŠ se žáci seznamují pouze s jedním druhem rovnic, a to lineárními rovnicemi.
Obměnou jsou rovnice, ve kterých vystupuje neznámá ve vyšší mocnině, nebo s neznámou ve
jmenovateli, ale v obou případech se po úpravách rovnice mění na lineární.
Lineární rovnice o jedné neznámé je rovnice 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Vzhledem ke koeficientům
𝑎, 𝑏 má tato řešení:
 𝑎 = 𝑏 = 0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, každé reálné číslo 𝑥 je kořenem
rovnice.
 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0, rovnice nemá řešení
 𝑎 ≠ 0, rovnice má jedno řešení ve tvaru 𝑥 = − .
DM2 Přednáška 2
6
Při výuce lineárních rovnic o jedné neznámé postupujeme od jednoduchých tvarů jako 3 +
𝑥 = 5, 3𝑥 = 9, 4𝑥 + 3 = 15, na nich ukážeme základní úpravy, poté postupně přidáváme
závorky, zlomky, neznámou ve jmenovateli, další složitější rovnice.
Žáky učíme přesnou posloupnost kroků pro úpravu rovnice neboli algoritmus pro
určení neznámé. Řešení rovnice – jednak se tímto pojmem rozumí postup – proces, kterým
určujeme neznámou (myšlenkový proces postupné transformace dané rovnice na rovnost typu
„neznámá rovná se dané číslo“), jednak kořen rovnice (číslo, (uspořádaná n-tice čísel), které
po dosazení do rovnice za neznámou (neznámé) změní danou rovnici v rovnost).
Řešit rovnici znamená určit všechny kořeny této rovnice, tj. každá taková čísla, pro
které se za dosazení za neznámou do rovnice získá rovnost. Rovnici se vždy snažíme upravit
do anulovaného tvaru, případně u lineární rovnice do základního tvaru.
Př.: Řešte rovnici, proveďte zkoušku: 𝑥(4 + 𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 5)
4𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥 − 2𝑥 − 10
𝑥 − 𝑥 + 4𝑥 − 3𝑥 = −10
𝑥 = −10
Zk.: Používáme-li ekvivalentní úpravy, zkoušku provádíme vždy z toho důvodu, abychom
odhalili případnou chybu ve výpočtu. Výsledek dosadíme do zadané rovnice.
𝐿: (−10)(4 − 10) = (−10)(−6) = 60
𝑃: (−10 − 2)(−10 + 5) = (−12)(−5) = 60
𝐿 = 𝑃
Rovnice s neznámou ve jmenovateli:
Při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je možno používat důsledkové úpravy. Při
použití důsledkové úpravy řešení upravené rovnice nemusí být řešením původní rovnice
(rovnice původní rovnice původní a rovnice upravená nemají stejnou množinu všech řešení).
Na ZŠ se jedná o:
 vynásobení rovnice výrazem s neznámou, který je roven nule,
 vydělení rovnice výrazem s neznámou, který je roven nule,
 umocnění obou stran rovnice na druhou,
 odmocnění obou stran rovnice
Některé důsledkové úpravy ubírají řešení zadané rovnici, jiné naopak přidávají. Při
použití důsledkové úpravy je nutné provést zkoušku z toho důvodu, abychom odstranili
přidaná řešení.
Druhou možností je na začátku řešení určit podmínky. Zkoušku provádíme i tak,
abychom eliminovali chyby ve výpočtu.
DM2 Přednáška 2
7
Př.: Řešte rovnici a) pouze ekvivalentními úpravami, b) i důsledkovými úpravami.
𝑧
𝑧 + 1
= 1 −
4
𝑧 − 2
a) Používáme-li ekvivalentní úpravy, nemusíme na začátku stanovit podmínky,
teoreticky bychom na konci ani nemuseli dělat zkoušku (nepřibudou ani neubudou
kořeny), zkoušku ale děláme vždy kvůli chybě.
𝑧
𝑧 + 1
− 1 +
4
𝑧 − 2
= 0
𝑧(𝑧 − 2) − 1(𝑧 + 1)(𝑧 − 2) + 4(𝑧 + 1)
(𝑧 + 1)(𝑧 − 2)
= 0
𝑧 − 2𝑧 − 𝑧 + 𝑧 + 2 + 4𝑧 + 4
(𝑧 + 1)(𝑧 − 2)
= 0
3𝑧 + 6
(𝑧 + 1)(𝑧 − 2)
= 0
3(𝑧 + 2)
(𝑧 + 1)(𝑧 − 2)
= 0
Jmenovatel nikdy nemůže být roven 0, aby byla rovnice splněna, musí být čitatel
roven 0, tedy 𝑧 + 2 = 0 a máme kořen 𝑧 = −2 .
Provedeme zkoušku, zda nebyla udělána chyba. Dosazujeme kořen do zadání.
Zk.: 𝐿 = = 2, 𝑃 = 1 − = 2, 𝐿 = 𝑃
b) Nejdříve určíme podmínky: 𝑧 ≠ −1, 𝑧 ≠ 2
Celou rovnici vynásobíme výrazem (𝑧 + 1)(𝑧 − 2) (důsledková úprava):
𝑧 − 2𝑧 = 𝑧 + 𝑧 − 2𝑧 − 2 − 4𝑧 − 4
Zpočátku provádíme úpravy jednu podruhé (ne naráz). Převádíme postupně neznámou
na levou stranu rovnice, nejdříve 𝑧 , potom od obou stran rovnice odečteme (−5𝑧),
neboli přičteme 5𝑧. Výsledek 𝑧 = −2 porovnáme s podmínkami.
Zk.: Opět provádíme z důvodu případné chyby. Zkouška nám také odstraní všechny
přidané kořeny.
Sofismata
Najděte chybu ve výpočtu:
𝑎 =
3
2
𝑏
4𝑎 = 6𝑏
14𝑎 − 10𝑎 = 21𝑏 − 15𝑏
15𝑏 − 10𝑎 = 21𝑏 − 14𝑎
5(3𝑏 − 2𝑎) = 7(3𝑏 − 2𝑎)
5 = 7
DM2 Přednáška 2
8
Soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými
Jedná se o soustavu rovnic typu
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Soustavu rovnic řešíme následujícími metodami:
 dosazovací metoda (viz seminář)
 sčítací metoda (viz seminář)
 velice často se volí kombinace dvou předchozích metod – začne se sčítací metodou,
vyjádří se jedna neznámá, dosadí se do jedné z rovnic
 komparační metoda, z obou rovnic se vyjádří např. 𝑥 a porovnají se oba výrazy
 grafické řešení – až po probrání lineární funkce
Zásady:
 Rovnice píšeme stále pod sebe, jednotlivé kroky oddělujeme vodorovnou čárou. Častá
chyba: žáci začnou pracovat jen s jednou rovnicí, pak ale nevědí, kam se mají vracet.
 Výsledek zapisujeme jako uspořádanou dvojici, např. [𝑥, 𝑦] = [3, 5].
 Zkoušku provádíme dosazením obou kořenů do zadané soustavy. Je-li nekonečně
mnoho řešení, nebo není-li žádné řešení, provedeme zkoušku např. pomocí
komparační metody: vyjádříme z obou rovnic jednu neznámou a porovnáme.
Př.: Řešte soustavu rovnic s neznámými 𝑥, 𝑦:
5
𝑥 + 𝑦
+
12
𝑥 − 𝑦
= 7
1
𝑥 + 𝑦
+
6
𝑥 − 𝑦
= 2
Podmínky řešitelnosti: 𝑥 ≠ ±𝑦. Volíme substituci: = 𝑎, = 𝑏.
5𝑎 + 12𝑏 = 7
𝑎 + 6𝑏 = 2
𝑎 = 1, 𝑏 =
1
6
Máme novou soustavu rovnic:
1
𝑥 + 𝑦
= 1
1
𝑥 − 𝑦
=
1
6
DM2 Přednáška 2
9
1 = 𝑥 + 𝑦
6 = 𝑥 − 𝑦
𝑥 =
7
2
, 𝑦 = −
5
2
Provedli jsme důsledkovou úpravu, proto kořeny porovnáme s podmínkami. Zkoušku
provedeme dosazením do zadané soustavy: 𝐿 = 5 + 2 = 7, 𝑃 = 7, 𝐿 = 1 + 1 = 2, 𝑃 =
2, 𝐿 = 𝑃 , 𝐿 = 𝑃 . Řešením je uspořádaná dvojice
[𝑥, 𝑦] =
7
2
, −
5
2
Př.: Řešte soustavu rovnic:
𝑡 + 2
3
+
𝑟 − 1
5
= 2
𝑡 +
3𝑟
5
= 4
Soustava nemá řešení, zkoušku provedeme komparační metodou (z obou rovnic vyjádříme 𝑡).
Diofantovské rovnice
Neurčité neboli diofantovské (či diofantické) rovnice nejsou učivem matematiky
základní školy. Vyskytují se ale v Matematické olympiádě, proto by žáci měli dostat
příležitost se s nimi setkat. Na ZŠ žáci řeší tyto rovnice experimentálně, postupně je vedeme
k tomu, aby našli všechna možná řešení. (Různé metody řešení diofantických rovnic viz
Teorie čísel.)
Př.: Na okně jsou pavouci a mouchy. Dohromady mají 38 noh. Kolik je kterých?
Řešení: Označíme neznámé – 𝑥 je počet pavouků, 𝑦 je počet much. Sestavíme rovnici 8𝑥 +
6𝑦 = 38. Lze řešit experimentem, redukční metodou, kongruencí. Výsledek: 1 pavouk a 5
much, nebo 4 pavouci, 1 mucha.
Př.: Adam a Eva dostali košík, ve kterém bylo 31 jablek. První den snědla Eva tři čtvrtiny
toho, co snědl Adam. Druhý den snědla Eva dvě třetiny toho, co snědl týž den Adam.
Druhého dne večer byl košík prázdný. Kolik jablek snědla z košíku Eva? (Adam i Eva jablka
jedí celá a nedělí se o ně.) (L. Hozová)
[Z9-I-4, 59 ročník, 1. kolo]
DM2 Přednáška 2
10
Řešení: Jelikož je zadání určeno žákům devátých tříd, můžeme pracovat s neznámými,
pomocí nich pak vyjadřovat část celku.
1. den: Adam snědl x a Eva
3
4
x .
2. den: Adam snědl y a Eva
2
3
y.
Za oba dny Adam a Eva snědli 𝑥 + x + 𝑦 + y jablek, neboli:
𝑥 +
3
4
x + 𝑦 +
2
3
y = 31
Po odstranění zlomků dostáváme diofantickou rovnici: 21𝑥 + 20𝑦 = 372. Pokud si
vyjádříme neznámou y = , tak vidíme, že od čísla 372 potřebujeme odečíst číslo
končící určitě číslicí 2, aby byla naděje, že čitatel bude beze zbytku dělitelný dvaceti. V úvahu
tedy připadají volby 𝑥 = 2, 12, 22 …
Nejrychlejším (i nejpřehlednějším) způsobem bude opět zápis do tabulky:
Vzhledem k povaze zadání nebudeme uvažovat, že by děti snědly necelá jablka, proto
první dvojici nebudeme brát za možný výsledek, jediná zbývající je druhá v pořadí.
Pokud x = 12, pak 1. den Adam snědl 12 jablek, a Eva 9. Pokud y = 6, snědl Adam 6
jablek a Eva 4.
Odpověď: Eva snědla celkem 13 jablek.
Lineární nerovnice
Žáci již od 1. stupně znají nerovnosti typu např. 5 < 8. Intuitivně řeší úlohy typu: Najdi
všechna (přirozená) čísla menší než 7.
Zápis nerovnosti dvou výrazů, ve kterém musíme určit neznámé číslo tak, aby daná
nerovnost platila, nazýváme nerovnice. Řešit nerovnici znamená najít taková čísla, aby po
dosazení těchto čísel za neznámou se nerovnice změnila ve správnou nerovnost. Nalezená
čísla se nazývají řešení dané nerovnice. Rozlišujeme ostré nerovnice a neostré nerovnice.
Žáci se musí seznámit s pojmem intervalu, úlohy řeší v množině reálných čísel nebo
přirozených čísel. Velmi vhodné je řešení úloh pomocí číselné osy.
Nejčastěji užívané úpravy lineární nerovnice jsou:
1. Přičítání nebo odčítání stejného výrazu k oběma stranám nerovnice.
2. Násobení nebo dělení obou stran nerovnice stejným číslem různým od nuly. Žáci si
musí uvědomit, že při násobení obou stran nerovnice záporným číslem se změní znak
nerovnosti v opačný (11 > 9, −11 < −9).
x 2 12 22 …
y 1,5 6 -4,5 …
DM2 Přednáška 2
11
Zkoušku správnosti provádíme náhodným dosazením čísla z nalezeného intervalu.
Př.: Řešte nerovnici s neznámou 𝑥 v množině přirozených čísel: < +
2 + 27𝑥 < 15 + 2(12𝑥 + 1)
2 + 27𝑥 < 15 + 24𝑥 + 2
27𝑥 − 24𝑥 < 15
3𝑥 < 15
𝑥 < 5
Řešením jsou čísla 1, 2, 3, 4, tj. 𝑥 ∈ {1, 2, 3, 4}. Zkoušku provedeme dosazením do zadání,
např. 𝑥 = 1: 𝐿 = , 𝑃 = + = = , 𝐿 < 𝑃
Př.: Řešte soustavu nerovnic s neznámou 𝑥:
5(𝑥 + 1) + 6(𝑥 + 2) > 9(𝑥 + 3)
7𝑥 − 3(2𝑥 + 3) ≥ 2(𝑥 − 18)
𝑥 > 5
𝑥 ≤ 27
Řešení určíme z číselné osy:
𝑥 ∈ (5, 27〉, zkoušku provedeme náhodným dosazením.
Př.: Řešte nerovnici s neznámou 𝑥: ≥ 1
Podmínky řešitelnosti: 𝑥 ≠ −2
2𝑥 + 1
𝑥 + 2
− 1 ≥ 0
𝑥 − 1
𝑥 + 2
≥ 0
Jsou dvě možnosti, které určíme pomocí číselné osy.
Řešením je 𝑥 ≥ 1 nebo 𝑥 < −2, celkem 𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ 〈1, ∞).
DM2 Přednáška 2
12
Aplikační úloha: Dokažte, že nerovnost 𝑎 + 1 ≥ 2𝑎 platí pro každé reálné číslo 𝑎.
𝑎 − 2𝑎 + 1 ≥ 0
(𝑎 − 1) ≥ 0
Poslední nerovnost je splněna pro každé reálné číslo a vzhledem k použitým ekvivalentním
úpravám je také původní nerovnost splněna pro každé reálné číslo 𝑎.
Kvadratické rovnice na SŠ
Kvadratické rovnice se na základní škole v běžných třídách neprobírá. Přesto by měl mít
učitel ZŠ dobré povědomí o jejich řešení.
Kořeny kvadratické rovnice hledáme nejčastěji následujícími způsoby:
 pomocí vzorce (viz seminář),
 pomocí Viétových vzorců (viz seminář),
 pomocí doplnění na úplný čtverec (viz seminář),
 ve speciálních případech, kdy 𝑏 = 0 (ryze kvadratická rovnice) nebo 𝑐 = 0 používáme
rozkladu mnohočlenů. V těchto případech se velmi často vyskytují chyby.
Př.: Určete kořeny rovnice 2𝑥 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 1) .
𝑥 − 4 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
Kořeny jsou 𝑥 = 2, 𝑥 = −2. Použili jsme vzorec 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Častá chyba: Rovnice se upraví do tvaru 𝑥 = 4, použije se důsledková úprava odmocnění,
která odebere jeden kořen (protože druhou odmocninu určujeme z nezáporného čísla a
výsledkem je nezáporné číslo). Máme tedy jediný kořen 𝑥 = 2, učitelé však bez odůvodnění
píší 𝑥 = ±2.
Př.: Určete kořeny rovnice (𝑥 + 1) = 5𝑥 + 1.
𝑥 − 3𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 3) = 0
Kořeny jsou 𝑥 = 0, 𝑥 = 3.
Častá chyba: Rovnice se upraví do tvaru 𝑥 = 3𝑥, provede se důsledková úprava dělení
nulou, tím odstraníme kořen 𝑥 = 0.
DM2 Přednáška 2
13
Literatura:
Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie.
Edice Dějiny matematiky, 23. svazek. Praha: Prometheus, 2003
Carraher, D., Schliemann, A., Brizuela, B., & Earnest, D.: Arithmetic and algebra in early
mathematics education. In Journal for Research in Mathematics Education 37 (2), 87 –
115. 2006
Czudek, P. a kol.: Slovní úlohy řešené rovnicemi. 555 úloh pro žáky a učitele ZŠ, studenty a
profesory SŠ. Praha: sdružení podnikatelů HAV, 1998
Hejný, M.: Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně.
PdF UK, Praha 2014. ISBN 978-80-7290-776-2
Kalchman, M., Koedinger, K. R.: Teaching and Learning Functions. In: How Students Learn:
Mathematics in the Classroom. Editors: Donovan, M. S., Bransford, J. D. Washington, DC,
USA: National Academic Press, 2005
Tipps, S., Johnson, A., Kennedy, L. M.: Guiding Children’s Learning of Mathematics.
Wadsworth, Cangage Learning, 2011