DM2 P3
1
SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ ROVNICEMI
Růžena Blažková, Irena Budínová
Slovní úlohy jsou úlohy, ve kterých jsou vztahy mezi známými a neznámými údaji vyjádřeny
slovní formulací. Úkolem řešení slovních úloh je najít hledané údaje, tedy stanovit
posloupnost operací, které je třeba s danými údaji provést, aby bylo možné odpovědět na
otázku. K tomu je nutné porozumět textu zadání slovní úlohy, provést přepis textu do
matematického jazyka – v tomto případě do rovnice či soustavy rovnic.
Schematicky:
SLOVNÍ Matematizace reálné MATEMATICKÁ
ÚLOHA situace ÚLOHA
VÝSLEDEK Interpretace VÝSLEDEK
SLOVNÍ výsledku MÚ MATEMATICKÉ
ÚLOHY do reality ÚLOHY
Výsledek matematické úlohy nemusí být vždy výsledkem slovní úlohy. Mohou nastat
případy, kdy matematická úloha má více řešení, avšak pro interpretaci do reality vyhovují jen
některá řešení.
Řešení slovních úloh má na základní škole nezastupitelnou funkci. Mají funkci
o motivační – přibližují zavádění nových pojmů
o přispívají k rozvoji myšlení žáků
o aplikační - ilustrují použití učiva v praxi
o výchovnou – číslo je přesvědčivým argumentem
o přímo rozvíjí kompetence k učení, k řešení problémů, komunikativní, i další
prostřednictvím volby vhodného tématu úlohy.
Postup řešení slovní úlohy:
1. Analýza textu – Co máme vypočítat, které údaje jsou známé. Čtení textu
s porozuměním dělá žákům problémy.
2. Označení neznámé. Důležité je stanovit neznámou tak, aby bylo možné vyjádřit další
vztahy.
DM2 P3
2
3. Matematický zápis vztahů mezi veličinami. Problémy činí zejména vyjadřování
vztahů na porovnávání.
4. Sestavení rovnice (soustavy rovnic). Správně zaznamenat vztahy tak, aby se obě
strany rovnice sobě rovnaly.
5. Vyřešení rovnice. Zde se projeví chyby v provádění operací (závorky – před závorkou
“-„ , roznásobení závorek – dvou dvojčlenů, zlomky – všechny výrazy vynásobit
společným jmenovatelem, chyby numerické, apod.)
6. Dvě zkoušky správnosti (zkouška správnosti slovní úlohy se neprovádí dosazením do
rovnice – ta může být sestavena nesprávně, viz další příklad).
7. Odpověď na otázku slovní úlohy.
Poznámka: Při řešení slovních úloh dbáme na správný zápis jednotek. Máme dvě možnosti,
jak postupovat:
1. Úlohu matematizovat a během řešení rovnice počítat pouze s čísly, k jednotkám se
vracíme v odpovědi.
2. Jednotky důsledně zapisovat po celou dobu řešení.
Zásadně se však vyhýbáme smíšeným zápisům, kdy na jedné straně rovnice jednotky
nepíšeme a na druhé ano – např. (viz př. 3) 0,8.380 = 304 Kč. Správný zápis:
0,8.380 Kč = 304 Kč.
Typy příkladů
1. Anička si koupila tričko, svetr, který byl třikrát dražší než tričko a boty, které byly o
230 Kč dražší než svetr. Celkem zaplatila 1 980 Kč. Kolik Kč stály jednotlivé kusy,
které si koupila?
Označení neznámé: cena trička
Zápis vztahů: cena trička v Kč … x
cena svetru v Kč …3x
cena bot v Kč …3x + 230
Sestavení rovnice: x + 3x + 3x + 230 = 1 980
řešení rovnice: 7x + 230 = 1 980
DM2 P3
3
7x = 1 750
x = 250
Zkouška slovní úlohy: tričko 250
svetr 3. 250 = 750
boty 750 + 230 = 980
celkem 250 + 750 + 980 = 1 980
Odpověď: Tričko stojí 250 Kč, svetr 750 Kč a boty 980 Kč.
2. Při rozvozu zboží rozvezli 1. den jednu třetinu zásilky, druhý den dvě pětiny zbytku,
třetí den 300 kusů. Kolik kusů zboží bylo v zásilce?
Neznámá: počet kusů zboží v zásilce
První den rozvezli … 𝑥 … zbytek 𝑥
Druhý den rozvezli … ∙ 𝑥
1
3
𝑥 +
2
5
∙
2
3
𝑥 + 300 = 𝑥
5𝑥 + 4𝑥 + 4 500 = 15 𝑥
6 𝑥 = 4 500
𝑥 = 750
Zkouška SÚ 1. den … 250
2. den … 200
3. den … 300
Celkem: 750
Odpověď: V zásilce bylo 750 kusů zboží.
Možné chyby: Nevynásobí všechny členy rovnice
3. Cena encyklopedie byla snížena o 450 Kč, takže 4 knihy za novou cenu jsou o 600 Kč
levnější, než byly 3 knihy za starou cenu. Jaká byla původní cena knihy a kolik Kč stojí
po slevě?
DM2 P3
4
Neznámá: původní cena knihy
Rovnice: 4(x – 450) + 600 = 3x
Řešení rovnice: x = 1 200
Zkouška SÚ: stará cena v Kč 1 200
nová cena v Kč 1 200 – 450 = 750
4 . 750 = 3 000
3 . 1 200 = 3 600 rozdíl 600.
Odpověď: Cena encyklopedie po slevě je 750 Kč.
Chyby: 4(x – 450) = 3x + 600 (600 přičte špatně)
x = 2 400
Pokud se dělá jen zkouška dosazením do rovnice, zkouška vyjde, avšak zkouška slovní úlohy
nevyjde.
4. Jaká je cena koně, když jedna desetina jedné poloviny ceny koně je 7 tisíc korun?
Neznámá : cena koně
Rovnice: ∙ 𝑥 = 7 000
𝑥 = 140 000
Problém žáků: vyjádření vztahů.
5. Sud je naplněn vodou z jedné třetiny objemu. Po odlití 5 litrů vody byl sud naplněn do
jedné čtvrtiny. Jaký je objem sudu?
Neznámá: objem sudu (v litrech)
Rovnice:
4
5
3
xx

x = 60
Zkouška: Na začátku je v sudu 20 l vody, po odlití 15 l vody, což je objemu sudu.
DM2 P3
5
Odpověď: Objem sudu je 60 litrů.
6. Sad ovocných stromků byl vysazován během tří let. Ve druhém roce bylo vysázeno o
15 % více stromků než v prvním roce, ve třetím roce bylo vysázeno o 40 % méně než
v prvním a druhém roce dohromady. Celkem bylo vysázeno 4 128 stromků. Kolik
stromků bylo vysázeno v jednotlivých letech?
Neznámá: počet stromků v prvním roce
Rovnice: x + 1,15 x + (2,15x – 0,4 . 2,15 x) = 4 128
x = 1 200
Zkouška: 1 rok 1 200 stromků, 2. rok 1,15 ∙ 1200 = 1380, 3. rok 0,6 ∙ (1200 + 1380) =
1548, celkem 4128.
Odpověď: V prvním roce bylo vysázeno 1200 stromků, ve druhém 1380 stromků, ve
třetím 1548 stromků.
Problém: vyjádření 3. roku, počítání s desetinnými čísly. Procenta lze vyjádřit též zlomky se
jmenovatelem 100.
7. Otec je stejně stár, jako je součet věků jeho pěti dětí. Ten činí 42. Za kolik roků bude
jeho věk roven polovině součtu věku jeho dětí?
Neznámá: počet roků, které uplynou
Rovnice: 2(42 + x) = 42 + 5x
x = 14
Zkouška: Otci je 42 let, za 14 let mu bude 56 let. Věk každého z dětí se zvýší o 14, tj.
celkem o 5 ∙ 14 = 70 let. 42 + 70 = 112, 112: 2 = 56.
Odpověď: Za 14 let bude otcův věk roven polovině součtu věku jeho dětí.
DM2 P3
6
Slovní úlohy o směsích
8. Ze dvou druhů jablek – 1. druh v ceně 21 Kč za kg, 2. druh v ceně 13 Kč za kg – máme
smíchat 50 kg směsi v ceně 17,80 Kč za kg. Kolik kilogramů každého druhu máme
vzít?
a) řešení lineární rovnicí o jedné neznámé: počet kilogramů dražších jablek označíme x,
počet kilogramů levnějších jablek (50-x)
21x + 13(50-x) = 50.17,80
x = 30
obecně ax+by=(x+y).c
b) řešení soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: počet kilogramů dražších
jablek je x, levnějších jablek y
x + y = 50
21x+13y = 50.17,80
x=30, y=20
Zkouška SÚ: 30 ∙ 21 + 20 ∙ 13 = 890, 890: 50 = 17,80
Odpověď: Vezmeme 30 kg dražších jablek a 20 kg levnějších jablek.
12. Kolik vody přidáme do 92% lihu, abychom získali líh 65%? (65 dílů lihu a 27 dílů
vody)
Slovní úlohy o pohybu
Před řešením úloh o pohybu je třeba se žáky s předstihem zopakovat:
a) převody jednotek času (1h = 60min, 1min=60s) a rychlosti (1 m/s =3,6 km/h, odvodit)
b) fyzikální vztahy pro rychlost, dráhu, čas, taktéž vyjadřování neznámé ze vzorce
c) skutečnost, že jestliže se dvě tělesa pohybují proti sobě, přibližují se k sobě rychlostí,
která je rovna součtu rychlostí obou těles. Jestliže se dvě tělesa pohybují stejným
směrem, těleso s větší rychlostí se přibližuje k tělesu s menší rychlostí takovou rychlostí,
která je rovna rozdílu rychlostí obou těles.
Úlohy o pohybu lze řešit aritmeticky, pomocí rovnic, graficky.
DM2 P3
7
13. Vzdálenost měst A, B je 60 km. Z města A vyšel chodec průměrnou rychlostí 4 km za
hodinu a současně proti němu vyjelo nákladní auto z města B. Jaká byla rychlost
nákladního auta, jestliže se s ním chodec setkal za 1,2 hodiny?
Zakreslíme grafické znázornění.
Verze vhodná pro 6. ročník:
13. a) Vzdálenost měst A, B je 60 km. Z města A vyšel chodec průměrnou rychlostí 4 km za
hodinu a současně proti němu vyjelo nákladní auto z města B rychlostí 46 km za
hodinu. Z jak dlouho se setkají?
Nyní na základě získaných poznatků – aritmetické řešení a řešení pomocí rovnice – můžeme
vyřešit samotnou úlohu 13.
Zapíšeme známé a neznámé údaje: s=60 km, v1=4 km/h, v2=?, t=1,2 h. Je také vhodné
zakreslit schematický obrázek situace pro lepší představu.
a) aritmetické řešení (buď s jednotkami nebo bez nich):
s1=v1t=4 km/h . 1,2 h = 4,8 km
s2=60 km – 4,8 km = 55,2 km
v2=s2/t=
55,2 km
1,2 h =46 km/h
Zkouška: Vypočítáme, kolik km ušel chodec (4 ∙ 1,2 = 4,8), kolik km ujelo auto (46 ∙
1,2 = 55,2), dohromady to musí dát celkovou dráhu (55,2+4,8=60).
b) řešení pomocí rovnice:
s=s1+s2
s=v1t+ v2t  𝑠 − 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑡  𝑣 =
c) graficky: volíme vodorovnou osu časovou, svislou pro vzdálenost chodce a auta
(nikoli dráhu), ze známých údajů (doba, kdy se setkali a rychlost chodce) zakreslíme
grafy rychlostí obou dvou. Z grafu již vidíme (pokud rýsujeme přesně), že auto ujelo
za hodinu 46 km.
s/km
t/h1 2
60
4
chodec
auto
1,2
46km
DM2 P3
8
14. Z vesnice A vyšel v 11 hodin Vašek rychlostí 4,5 km/h směrem do vesnice B, která je
od vesnice A vzdálena 6 km. V 11:30 hodin vyšel z vesnice B Dalibor rychlostí 4,8
km/h směrem do vesnice A. Kolik kilometrů od vesnice B se potkají? V kolik hodin to
bude?
Úlohu „proti sobě“, kdy děje nezačínají ve stejný okamžik, nejdříve převedeme na úlohu,
kdy děje začínají ve stejný okamžik. Obě situace zakreslíme obrázkem.
Odpověď: Potkají se přibližně 2 km od vesnice B v 11:54 hodin.
15. Na dvoukolejné trati dohonil rychlík nákladní vlak. Rychlík jel rychlostí 72 km za
hodinu, nákladní vlak rychlostí 36 km za hodinu (jedou stejným směrem). Za jakou
dobu budou od sebe vzdáleni 9 km?
Aritmeticky lze úlohu řešit pomocí rozdílu rychlostí.
Pomocí rovnice vycházíme ze zadané informace 𝑠 − 𝑠 = 9 km.
Odpověď: Za čtvrt hodiny budou vzdáleni 9 km.
16. Za traktorem, který jede rychlostí 18 km za hodinu, vyslali o 3,5 hodiny později osobní
auto, které má traktor dohonit za 45 minut. Jakou průměrnou rychlostí musí automobil
jet?
Nejdříve dopočítáme počáteční vzdálenost mezi traktorem a autem, ta je 63 km. Aritmetické
řešení pomocí rozdílu rychlostí je nevýhodné (neznáme jednu rychlost), použijeme rovnici.
Nezapomeneme převést jednotky. Auto musí jet rychlostí 102 km/h.
Poznámka: V některých úlohách o pohybu je daleko snazší postupovat úvahou než
rovnicemi. Např. následující úlohu je daleko jednodušší nakreslit a řešit úvahou:
Dva běžci trénují na kruhové dráze, která je dlouhá 375 metrů. Když startují ze stejného místa
a běží opačným směrem, potkají se za 30 sekund. Když běží stejným směrem, je mezi nimi za
30 sekund vzdálenost 15 m. Jaká je průměrná rychlost každého z běžců?
Situace nakreslíme pod sebe, a to ne do kruhových drah, ale na úsečky. Z obrázků si můžeme
všimnout, že když od celkové dráhy 375 m odečteme 15 m, výsledek 360 m vydělíme dvěma,
dostaneme to, co uběhl první běžec. Tedy 𝑠 = 180 m, 𝑠 = 195 m. Z času 30 s dopočítáme
rychlosti, 𝑣 = 6 m/s, 𝑣 = 6,5 m/s. Řešení s rovnicemi by bylo zdlouhavé, žáci by se v něm
nemuseli vyznat.
DM2 P3
9
Úlohy o společné práci
Pro řešení úloh o společné práci je nezbytné ujasnit vztahy mezi počtem hodin potřebných
k vykonání určité práce a množstvím práce vykonané za 1 hodinu (2 hodiny, x hodin).
Např.: Traktorista zorá pole za 10 hodin. Jakou část práce vykoná za 1 hodinu (5 h, 12 h)?
Jeden dělník vykoná určitou práci za 8 hodin, druhý by ji vykonal za 6 hodin. Jakou část práce
vykonají za 1 hodinu (2 h, x h), budou-li pracovat společně? Dělník vykoná určitou práci za a
hodin, učeň za b hodin. Za kolik hodin splní úkol při společné práci?
16. Na splnění úkolu pracují dva dělníci. Jeden z nich by splnil sám úkol za 12 hodin,
druhý za 10 hodin. Za kolik hodin splní úkol, budou-li pracovat společně?
První dělník za hodinu udělá 1/12 práce, druhý 1/10 práce. Dohromady za hodinu udělají
1/12+1/10 práce, což můžeme označit jako x-tinu práce, celou práci proto udělají za x hodin:
1
12
+
1
10
=
1
𝑥
𝑥
1
12
+
1
10
= 1
𝑥 =
60
11
≐ 5,5
Provádíme důsledkovou úpravu násobení rovnice neznámou.
Zkouška: 1.dělník ... za 5,5 h ... přibližně 0,45 úkolu
2. dělník ... za 5,5 h .. přibližně 0,55 úkolu
1 úkol
Poznámka: Úlohy nemusíme vždy volit tak, aby vycházely „krásně“ (tj. celočíselně), aby se
žáci také naučili zaokrouhlovat nebo vyjadřovat výsledek zlomkem.
17. Na vyčištění mýtiny by potřeboval první dělník 12 hodin, druhý dělník 8 hodin. Druhý
začal pracovat, když první měl 2 hodiny práce za sebou. Za kolik hodin dokončili
práci společně?
První dělník pracoval sám 2 hodiny, což znamená, že udělal šestinu práce. Zbylo tedy práce,
přepočítáme údaje. Vytvoříme rovnici. Společně pracovali 4 hodiny.
18. Zásoba uhlí stačila na vytopení většího pokoje na 12 týdnů, menšího pokoje na 14
týdnů. Zpočátku se topilo 4 týdny v obou pokojích, pak jen v menším. Na kolik týdnů
stačila zásoba uhlí?
DM2 P3
10
Za týden se spotřebuje uhlí v 1. pokoji, uhlí v 2. pokoji. Za 4 týdny: v 1. pokoji, v 2.
pokoji. Celkem se za 4 týdny spotřebovalo uhlí, zbylo . To stačilo na 5 týdne v malém
pokoji.
Pozor! Některé úlohy na směsi se tváří jako úlohy o společné práci. Mohou být jako chyták
na přijímacích zkouškách. (Viz úloha řešená na semináři:)
17. Dva různé traktory denně společně zorají 8 ha pole. Na zorání 95 ha polí je třeba, aby
první traktor pracoval 10 dní a druhý traktor 15 dní. Kolik ha pole denně zorá každý
traktor?
Literatura:
Blažková, R., Matoušková, K.: K problematice výuky řešení slovních úloh na základní škole.
In: Sborník prací Pedagogické fakulty MU v Brně, svazek 122, s. 17-30. Brno: MU, 1987
Blažková, R., Matoušková, K., Vaňurová, M.: Kapitoly z didaktiky matematiky (slovní úlohy a
projekty). Brno: MU, 2011