Statistika a pravděpodobnost
Irena Budínová, Růžena Blažková
1. Historická poznámka
Původ slova „statistika“ pochází z latiny (status – stát) a nejprve představovala nauku o
státu. Blíže k dnešnímu pojetí statistky měla tzv. anglická politická aritmetika (zakl. J.
Graunt a W. Petty), která se zabývala shromažďováním číselných údajů o ekonomických
a demografických jevech. Počátky moderní statistiky jsou kladeny do 19. století a jsou
spojovány se jménem Belgičana Adolfa Quételéta, který se zabýval číselně vyjádřitelnými
vlastnostmi společnosti. Další význam pro rozvoj statistiky mělo založení anglické
statistické školy (aplikace v biologii, zemědělství – F. Galton, K. Pearson, R. A. Fischer).
Na vývoji metod matematické statistiky mají od počátku 20. století významný podíl B.
Gosset (pseudonym Student), P. Čebyšev, A. Ljapunov, A. Markov, Kolmogorov,
Bernstejn, Romanovskij a další.
Ve vývoji statistika nastala významná proměna ve 30. letech, kdy vzniká moderní,
analytická, induktivní statistika, jejímž základním pojmem je výběr. S použitím
matematických metod se stala samostatným vědním oborem.
2. Základní pojmy
Statistika je vědní obor, který se zabývá hromadným zkoumáním, pozorováním či
šetřením určitých objektů a jevů.
Statistika je soubor metod, které nám umožňují činit různá rozhodnutí, založená na
pozorování, porovnávání, posuzování a zhodnocení množství informací.
Statistické šetření se provádí na statistickém souboru. Statistický soubor je množina –
skupina prvků (objektů, osob, událostí aj.), které mají společné vlastnosti.
Rozlišujeme statistické soubory základní a výběrové. Základním statistickým
souborem může být např. všechno obyvatelstvo světa, všechno vodstvo na Zemi apod.
Vymezení základního souboru může někdy přinášet problémy, šetření na celém souboru může
být časově náročné nebo i nemožné, proto v praxi používáme soubor výběrový (podmnožina
statistického souboru). Tento soubor by měl vypovídat o základním souboru, z kterého byl
odvozen (jinak dochází ke zkreslení výsledků).
Statistický soubor lze rozdělit na dvě části: Na část, ve které nastává zkoumaný jev a
část, ve které zkoumaný jev nenastává. Základním statistickým úkonem je třídění, které
provádíme podle jistých kriterií (rozklad množiny na třídy). Respektujeme zásadu úplnosti
(každý prvek statistického souboru musí být v některé třídě), a zásadu jednoznačnosti (žádný
prvek nesmí být současně ve dvou třídách). Třídění může být dichotomické, trichotomické,
obecně multitonické (např. hledání v klíči pro určování rostlin).
Prvky statistického souboru se nazývají statistické jednotky. Počet jednotek statistického
souboru se nazývá rozsah souboru.
Každá statistická jednotka je nositelem určitých vlastností. Ty vlastnosti, které jsou
důležité z hlediska účelu provádění určitého statistického zkoumání, se nazývají statistické
znaky. Statistické jednotky tedy vyšetřujeme z hlediska určitého znaku nebo několika znaků,
které si zvolíme.
Statistické znaky dělíme na kvantitativní (číselné) a kvalitativní (slovní). Některé
kvantitativní znaky mohou nabývat pouze jednotlivých izolovaných hodnot - diskrétní znaky
(např. počet obyvatel obce), nebo nabývají libovolných reálných hodnot z určitého intervalu –
spojité znaky (např. hektarové výnosy). V případě, že kvantitativní znak nabývá pouze dvou
variant, hovoříme o znaku alternativním (např. muž, žena), nabývá-li více variant, hovoříme
o znaku multiplikativním (např. kvalifikace, státní příslušnost).
Číslo, které udává, kolikrát se daná hodnota znaku ve statistickém souboru vyskytuje, se
nazývá absolutní četnost hodnoty znaku. Součet jednotlivých četností sledovaného znaku je
roven rozsahu souboru.
n1 + n2 + …+nk = n
Poměrná – relativní četnost jevu je poměr absolutní četnosti a rozsahu souboru.
 k =
n
nk
(ný)
Součet relativních četností je roven jedné.
Relativní četnosti lze vyjadřovat také v procentech, pak je jejich součet 100 %.
Příklady:
Statistický soubor Statistická jednotka Statistický znak
Všichni žáci třídy Žák třídy Výška žáka
Hmotnost žáka
Prospěch v matematice
Záliby
Všichni žáci školy Žák školy Studium jazyků
Zařazení do
sportovních aktivit
Všechny dopravní prostředky, které
projedou kolem určitého stanoviště
Jednotlivý dopravní
prostředek
Druh vozidla
Typ vozidla
Barva
Poznávací značka
Všechny hody hrací kostkou Jednotlivý hod Počet ok na jedné
stěně
Všechna slova na jedné straně knihy Jedno slovo Počet písmen
Slovní druh
Všechny dopravní nehody v jednom roce v
ČR
Jedna nehoda Příčiny nehod
Hmotná škoda
Zranění osob
Rozdělení četností znaků vyjadřujeme buď v tabulce nebo graficky pomocí diagramů.
Diagram vyjadřuje vzájemný vztah mezi dvěma či více proměnnými veličinami pomocí
přehledných grafických symbolů. Rychle a názorně poskytne obrazovou informaci o
studovaném jevu.
Diagram obrázkový – obrázek vyjadřuje určitý počet prvků, např. obrázek jednoho auta
představuje např. 1 000 vyrobených aut.
Diagram bodový- četnosti jsou znázorněny pomocí izolovaných bodů.
Diagram sloupkový – histogram – používá se v případech, kdy jsou hodnoty znaků sdruženy
do intervalů. Tyto intervaly tvoří jednu stranu sloupků (obdélníků), druhou stranu tvoří
četnosti.
Diagram hůlkový – úsečkový – četnosti znaků jsou znázorněny úsečkami
Diagram spojnicový – polygon četností – získá se spojením bodů, jejichž souřadnice tvoří
hodnota kvantitativného znaku a odpovídající četnost.
Diagram kruhový – různým hodnotám znaků odpovídají kruhové výseče. Jednomu procentu
relativní četnosti odpovídá středový úhel 3,6°.
Ve sdělovacích prostředcích (televize) se využívá prostorového znázornění statistických údajů
(kvádry, válce apod.)
Charakteristiky polohy
Aritmetický průměr
Aritmetický průměr je definován jako podíl součtu hodnot znaku zjištěných u všech jednotek
souboru a počtu všech jednotek souboru:
𝑥̅ =
1
𝑛
𝑥
Poznámka: nad všemi průměry se píše vodorovná čárka
Vlastnosti aritmetického průměru:
1. Matematické vyjádření aritmetického průměru je jednoduché a snadno použitelné pro
odvození dalších vztahů.
2. Výpočet je založen na všech pozorovaných hodnotách.
3. Součet všech odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru je vždy roven
nule.
4. Aritmetický průměr je ovlivňován krajními hodnotami.
Příklad – výpočet průměrné mzdy. Pokud máme 5 pracovníků a jejich mzdy nejsou
příliš rozptýleny, aritmetický průměr je seriozní informací:
xa = 14000
5
1600015000140000001300012


Jestliže např. jen jeden má výrazně větší mzdu než ostatní, aritmetický průměr
nevypovídá seriozně o souboru:
xa = 41000
5
16000150000140001300012000


Modus
Modus znaku x je hodnota s největší četností, značí se Mod(x) nebo 𝑥. Udává, který výsledek
je zastoupen nejvíce, nepodává informace o krajních hodnotách. Praktický význam má např.
pro oděvní a obuvnický průmysl (které velikosti se v populaci vyskytují nejvíce).
Medián
Medián je prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti. Značí se
Med(x) nebo 𝑥. Je to nejrychleji zjistitelná střední hodnota má před sebou i za sebou stejný
počet hodnot. U lichého počtu hodnot je to prostřední hodnota, u sudého počtu je to
aritmetický průměr prostředních dvou. Může nahradit aritm. prům. (pokud rozdělení není
normální, pro určení průměrného platu by byl vhodnější; 50. percentil u TSP je medián)
Harmonický průměr
𝑥̅ =
𝑛
∑
1
𝑥
Harmonického průměru užíváme např. při výpočtu průměrné doby obrábění výrobku,
průměrné rychlosti vozidla apod.
Příklad: Automobil jede do kopce průměrnou rychlostí 50
h
km
, s kopce průměrnou rychlostí
120
h
km
. Délka dráhy do kopce je stejná jako s kopce (označíme ji s). Jaká byla jeho
průměrná rychlost na celé dráze?
Průměrná rychlost se vypočítá jako podíl celkové dráhy a celkového času. 𝑣 =
⋯
⋯
𝑥̅ =
2𝑠
𝑠
50
+
𝑠
120
=
1200
17
= 70,58
Geometrický průměr
𝑥̅ = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ … ∙ 𝑥
Využívá se např. při výpočtu průměrného tempa růstu za jedno období v některých
národohospodářských řadách – např. růst počtu obyvatelstva ve městě za určité období.
Příklad: Hrubý domácí produkt (HDP) nějaké země měl v následujících pěti letech
následující vývoj: +5 %, +4 %, +1 %, -1 %, +2 %. Jaký je průměrný růst HDP?
𝑥̅ = √105 ∙ 104 ∙ 101 ∙ 99 ∙ 102 = 102
Průměrný růst DPH byly 2 %. Aritmetickým průměrem bychom získali 2,2 %, ale přesnější je
v tomto případě geometrickým průměr. Vždy platí, že geometrický průměr je menší nebo
roven než aritmetický průměr.
Příklad: Vypočítejte délku hrany krychle, která má stejný objem jako kvádr o rozměrech a, b,
c.
𝑥̅ = √𝑎𝑏𝑐
Vážený průměr
𝑥̅ =
𝑥 𝑣 + ⋯ + 𝑥 𝑣
𝑣 + ⋯ + 𝑣
Používá se např. při řešení slovních úloh o směsích, výpočtu průměrné známky žáka apod.
Příklad: Kolikaprocentní líh získáme, jestliže smícháme 5 litrů 70% lihu a 10 litrů 20% lihu?
𝑥̅ =
70 ∙ 5 + 20 ∙ 10
5 + 10
= 36,7
Charakteristiky variability
Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient – jen na střední škole, na ZŠ ne
3. Základy statistiky na ZŠ
Žáci by se na ZŠ měli setkat se statistikou ve formě zpracování dat. Na konkrétních
příkladech se učí potřebné pojmy, učí se data zaznamenávat do tabulek a diagramů.
Pracují s programem MS Excel a rovněž s Internetem.
Příklad: Žáci zaznamenávají domácí mazlíčky všech žáků třídy. Mohou je zapsat do tabulky:
Kůň //
Kočka /////
Rybičky //
Pes ///////
Myš //
Morče /
Želva //
Žádný mazlíček ///
Data je také možné zaznamenat do diagramu, kde je každá položka znázorněna jedním
křížkem.
Kůň
Kočka
Rybičky
Pes
Myš
Morče
Želva
Žádný
mazlíček
Žáci jsou schopni z tabulky či diagramu určovat různé charakteristiky souboru: Celkový počet
žáků byl 24, absolutní četnost pro položku „pes“ je 7, relativní četnost je = 0,29, přibližně
29 % žáků třídy má psa.
Příklad: Ve třídě s 20 žáky byly naměřeny následné tělesné výšky žáků:
Výška / cm 132 133 135 136 137 139 140 141 142
Četnost 2 1 2 4 3 4 2 1 1
Určete, co je statistický soubor, statistické jednotky, statistický znak a vytvořte tabulku
relativních četností.
Řešení: Statistický soubor je množina všech žáků třídy, statistické jednotky jsou žáci,
statistický znak je výška žáka. Relativní četnost budeme počítat tak, že vydělíme absolutní
četnost dané hodnoty znaku rozsahem souboru. Získáme desetinné číslo a to převedeme na
procenta. Např. pro výšku 132 cm je relativní četnost 𝜈 = = = 0,1.
Výška / cm 132 133 135 136 137 139 140 141 142
Relativní četnost 0,10 0,05 0,10 0,20 0,15 0,20 0,10 0,05 0,05
Údaje zaznamenáme do histogramu:
Druhy diagramů
Různé druhy diagramů se hodí na různé druhy dat. V předchozím případě byl použit
sloupkový histogram, který je přehledný v případě nespojitých dat. Dobře se na něm dá vyčíst
absolutní četnost.
Spojnicový diagram se nejlépe hodí na průběžně se měnící data, např.:
Příklad: Na následujícím spojnicovém diagramu vidíme vývoj nezaměstnanosti v ČR
od ledna 214 do ledna 2015. Nezaměstnanost je uvedena v procentech. Můžeme zjistit,
jaká byla nezaměstnanost v daném měsíci. Např. nejvyšší byla nezaměstnanost 8,6 %
v lednu a únoru 2014. Nejnižší naopak v říjnu a listopadu 2014. Můžeme také
sledovat, jak nezaměstnanost v průběhu roku klesala a opět rostla.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
132 133 135 136 137 139 140 141 142
Četnost
Výška / cm
Zdroj: novinky.cz
Kruhový diagram dobře slouží, chceme-li opticky porovnat procentuální zastoupení
jednotlivých položek. Např. následující kruhový diagram znázorňuje zastoupení známek
z písemky z matematiky v jedné třídě:
Základy pravděpodobnosti – využití na ZŠ
1. Historická poznámka
Úvahy o náhodě spadají do renesance, kdy obchodníci a finančníci chtěli znát míru rizika
nebo zisku zamýšlených obchodních transakcí. Také Galileo Galilei se zajímal o míru
přesnosti svých, mnohokrát opakovaných pokusů. Hazardní hráči tušili, že do her zasahuje
kromě osudu a podvodů také něco zákonitého. Právě hazardní hry měly rozhodující vliv na
vývoj nové disciplíny – teorie pravděpodobnosti. Počátky jsou spojeny se jménem Luca
Pacioloho (1445 - 1514), o rozvoj teorie pravděpodobnosti se zasloužili Girolamo Cardano
(1501 – 1576), Galileo Galilei (1564 – 1642), Blaise Pascal (1623 – 1662), Pierre de Fermat
(1601 – 1665), Christiaan Huyghens (1629 – 1695), Jacob Bernoulli (1654 – 1705). Klasickou
definici pravděpodobnosti vyslovil Abraham Moivre (1667 – 1754) a zdokonalil Pierre Simon
de Laplace (1749 – 1827). Významné objevy přinesli Thomas Bayes (1702 – 1761), Denis
Poisson (1781 – 1840), Karl Fridich Gauss (1777 – 1855), Leonhard Euler (1707 – 1783).
Významná byla ruská školy představovaná zejména P. L. Čebyševem (1821 – 1894), A. A.
Markovem (1856 – 1922) , A. M. Ljapunovem (1857 – 1918), A. N. Kolmogorovem (1903 –
1987), který ve 30. letech 20. století teorii pravděpodobnosti axiomatizoval.
Teorie pravděpodobnosti proniká do mnoha dalších vědních oborů – teorie her, teorie
informací, kybernetiky, psychologie, sociologie, pojišťovnictví, finančnictví, statistiky,
biologie, zemědělství aj.
2. Propedeutika pravděpodobnosti
Na základní škole jde zejména o rozvoj pravděpodobnostního myšlení. Při výuce
pravděpodobnosti bychom měli respektovat dvoustupňový přístup.
V první části uvádět kvalitativní hodnocení – úsudky o pravděpodobnosti některých jevů,
např.:
1
2
3
4
5
Nakreslíme na tabuli pravděpodobnostní osu a diskutujeme s dětmi o tom, jak pravděpodobný
je daný jev.
Nemožné Nepravděpodobné Pravděpodobné Jisté
 V únoru bude sněžit.
 Prase bude létat.
 1. 5. bude zavřená škola.
 Autobus nezastaví na zastávce.
 Slunce bude svítit o půlnoci.
 Při házení šesti kostkami nastane jev:
o padnou všechny počty ok, tzv. postupka (malá, P(A)=0,015)
o alespoň na dvou kostkách padne stejný počet ok (velká, 1-P(A)=0,985)
o nenastane žádný z jevů A, B (0, 1-(P(A)+P(B))=0)
o padne součet 7 (velmi malá, ∙ 6 = 1,28 ∙ 10 ).
Který z jevů je více či méně pravděpodobný? Který je jistý, který je nemožný?
Ve druhé etapě provádět kvantitativní ohodnocení, uvést pravděpodobnost jako číslo.
Pravděpodobnost chápeme v klasickém slova smyslu a uvádíme ji jako poměr počtu jevů
příznivých ku počtu všech možných jevů, 𝑃(𝐴) =
( )
.
3. Základní pojmy
Náhodné pokusy
Náhoda je něco, co nemůžeme ovlivnit.
Náhoda v běžném životě – náhodou potkáte někoho, koho jste neviděli několik roků, náhodou
najdete něco, co jste dlouho hledali, existují řetězce náhod, které utvářejí osudy lidí apod.
Pokusy, které provádíme např. ve fyzice nebo chemii vedou při přesném dodržení podmínek
vždy k témuž, předem očekávanému výsledku. V praktických činnostech, ve vědě nebo ve
výzkumu se však často setkáváme s pokusy, které i při dodržení předepsaných podmínek
mohou vést k různým výsledkům, výsledky těchto pokusů se mohou od jednoho provedení
pokusu k provedení druhého měnit. Výsledky těchto pokusů závisí nejen na předepsaných
podmínkách, ale také na náhodě. Nazýváme je náhodné pokusy.
Uvažujme, že u každého náhodného pokusu jsme schopni předem určit všechny jeho možné
výsledky, a to tak, že se navzájem vylučují, tj. nastane-li jeden, nenastane druhý a že jeden
z nich nastane vždy. Množinu všech takto stanovených výsledků nazýváme množina všech
možných výsledků pokusu a značíme ji Ω. Prvky této množiny značíme ω.
Např. Při hodu mincí Ω =  l, r , při hodu hrací kostkou Ω =  1, 2, 3, 4, 5, 6 , atd.
Podmnožiny množiny všech možných výsledků nazýváme jevy. Označujeme je zpravidla
písmeny A, B, C, … V daném pokusu můžeme rozlišit tolik jevů, kolik má množina všech
možných výsledků podmnožin. Prázdná množina charakterizuje jev nemožný, množina Ω
charakterizuje jev jistý.
Pravděpodobnost jevů
Pravděpodobnost P(A) jevu A je definována jako součet pravděpodobností příznivých jevu
A: P(A) = A
p

)(
V pokusu, ve kterém jsou všechny jeho možné výsledky stejně pravděpodobné, je
pravděpodobnost jevu A rovna podílu
P(A) =
m
Am )(
kde m(A) je počet výsledků příznivých jevu A a m je počet všech možných výsledků.
Pravděpodobnost jevu nemožného je rovna nule: P(ø) = 0
Pravděpodobnost jevu jistého je rovna jedné: P(Ω) = 1
Pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí: 0  P(A)  1.
Sčítání pravděpodobností
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem vylučujících se jevů je rovna součtu
pravděpodobností těchto jevů: P (A B) = P(A) + P(B), jestliže A B = ø. (Např.
pravděpodobnost toho, že na kostce padne 1 nebo 6: + = .)
Pravděpodobnost sjednocení jevů, které se navzájem nevylučují, tj. A B  ø, je rovna
P (A B) = P(A) + P(B) – P(A B).
(Např. pravděpodobnost toho, že z balíčku karet vytáhnu čtyřku nebo srdce: + − =
= 0,34.
Pravděpodobnost jevu opačného je rovna rozdílu P(A´) = 1 – P(A).
(jevy A a A´se navzájem vylučují, proto A  A´= Ω, tedy P(A) + P(A´) = 1)
Nezávislost jevů
Nezávislostí dvou jevů rozumíme to, že nastání jednoho jevu nemá vliv na nastání nebo
nenastání druhého jevu. Matematicky to vyjádříme tak, že pravděpodobnost současného
nastání nezávislých jevů je rovna součinu jejich pravděpodobností:
P(A B) = P(A) . P(B)
Např. pravděpodobnost toho, že na obou kostkách padne sudé číslo: ∙ = .
Aktivita pro studenty: Najděte příklady pravděpodobnosti sjednocení jevů (slučitelných i
neslučitelných) a pravděpodobnosti nastání dvou nezávislých jevů.
Příklady
1. Určete množinu všech možných výsledků, jestliže házíte
a) třemi rozlišitelnými mincemi, 𝛺 = {𝑙𝑙𝑙, 𝑙𝑙𝑟, 𝑙𝑟𝑙, … } 8 možností
b) dvěma rozlišitelnými hracími kostkami. 𝛺 = {11, 12, 13, … , 16, 21, … } celkem
6.6 možností
2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo menší než 6?
3. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma rozlišitelnými hracími kostkami padne součet
ok 7?
4. Jaká je pravděpodobnost že ze součtů, které mohou padnout při hodu dvěma kostkami,
hodíme součet, který je dělitelný třemi? (Součty 3, 6, 9, 12: 21, 12; 15, 51, 24, 42, 33; 36,
63, 54, 45; 66 – = )
5. Je při hodu třemi rozlišitelnými kostkami pravděpodobnější součet 11 nebo 12?
6. Napište na papír libovolné číslo. Jaká je pravděpodobnost, že toto číslo je dělitelné pěti?
7. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvojciferné číslo není prvočíslo?
8. Z osudí, ve kterém je 10 kuliček červených a 5 kuliček modrých vybíráme
a) jednu modrou kuličku
b) dvě modré kuličky (např. 𝑃(𝐵) = ∙ = )
c) jednu červenou nebo modrou kuličku.
Vypočítejte pravděpodobnosti těchto jevů.
a)P(M) =
3
1
15
5
 b) P(B) =
21
2
105
10
 c) P(C) = 1
15
15

9. Ze skupiny pěti mužů a tří žen má být vybrána dvojice, ve které jsou:
a) jeden muž a jedna žena ( P(A) =






3
8
3.5
=
28
15
)
b) dva chlapci ( P(B) =
14
5
2
8
2
5













)
c) dvě děvčata ( P(C) =
28
3
2
8
2
3













)
Např. a) všech možností, jak vybrat dvě osoby, je = 28, 5 výběrů muže a 3 výběry
ženy, 𝑃(𝐴) =
∙
=
10. Máme tři osudí. V prvním jsou 2 žluté, 3 červené a 1 černá kulička, ve druhém jsou 3
žluté a jedna černá kulička, ve třetím 3 červené, 1 modrá, 1 černá kulička. Náhodně
vybereme jedno osudí a jednu kuličku. Znázorněte pomocí stromu a vypočítejte
pravděpodobnosti, že bude vybrána:
a) modrá kulička ( P(M) =
15
1
)
b) černá kulička ( P(Čr) =
180
37
)
c) červená kulička ( P(Čv) =
10
3
)
d) žlutá kulička ( P(Ž) =
180
77
)
(Černá kulička: 1. osudí – , 2. osudí – , 3. osudí – , pravděpodobnost, že vyberu dané osudí
– , celkem + + = )
Literatura
Bílková, D., Budinský, P., Vohánka, V.: Pravděpodobnost a statistika. Plzeň, A.Čeněk, 2009.
Budíková, M., Mikoláš, Š., Osecký, P.: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika.
Brno: MU 2001.
Calda, E., Dupač, V.: Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika.
Praha: Prometheus, 1993.
Hejný, M. a kol. Teória vyučovania matematiky. Bratislava: SPN, 1990.
Kuřina F. a kol.: Matematika a porozumění světu. Praha: Academia, 2009.
Kuřina, K., Půlpán, Z.: Podivuhodný svět elementární matematiky. Praha: Academia, 2006.
Mareš, M.: Příběhy matematiky. Příbram: Pistorius, Olšanská, 2008.
Muller-Fonfara, R.: Mathematik versrahdlich. Bassermann, 1992.
Plocki, A.: Pravděpodobnost kolem nás. Ústí nad Labem: UJEP, 2001
Plocki, A., Tlustý, P.: Pravděpodobnost a statistika pro začátečníky a mírně pokročilé. Praha:
Prometheus, 2007.