4. Číselné obory. Intuitivní zavedení reálných čísel na ZŠ. Mocniny a
odmocniny.
Irena Budínová
Intuitivní zavedení množiny reálných čísel na základní škole
Děti se ve skutečné výuce na základní škole s reálnými čísly v podstatě nesetkají. Jediná
reálná čísla, která žáci pro různé výpočty potřebují, jsou odmocniny a 𝜋. Číslo 𝜋 však bývá
hned od začátku zaokrouhlováno na 3,14 a např. √2 na 1,41. Iracionalita těchto čísel tedy
zůstává zcela utajena.
Kladením správných otázek můžeme u žáků docílit postupného utváření pojmu
iracionálního čísla.
1. Jaké číslo bezprostředně následuje po čísle 1? (7. třída)
Můžeme vybrat číslo 1,0001, menší je číslo 1,00001, atd. Takto můžeme pokračovat až
donekonečna. Následovník čísla 1 tedy neexistuje.
2. Jaký je bezprostřední předchůdce čísla 1?
Nabízí se číslo 0, 9.
3. Čemu je rovno číslo 0, 9? (8. třída)
0,999 … = 𝑥
9,999 … = 10𝑥
9 = 9𝑥 ⇒ 𝑥 = 1
0, 9 = 1
Vypočítali jsme, že číslo, které se tvářilo jako bezprostřední předchůdce čísla 1, je samo
číslo 1. Kam se poděl malý kousíček, o který se daná čísla liší? Žádný neexistuje.
4. Čemu je rovno ? (8. třída)
9 ∙
1
3
= 9 ∙ 0, 3 = 2,99999 … = 2, 9
3 = 2, 9
5. Ukažte, že číslo 0,12345678910111213... (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je
iracionální. (9. třída)
Žáci základní školy mohou příklad řešit úvahou. Víme, že dané číslo vzniklo z po sobě
jdoucích přirozených čísel. Každé je jiné, proto není možné najít periodu. Nejedná se o
důkaz, avšak příklad vytváří velmi dobrou představu iracionality.
Důkaz je možné provést sporem. Budeme předpokládat, že dané číslo je racionální, to
znamená, že má nekonečný desetinný periodický rozvoj s délkou periody 𝑛. V daném
čísle někde jistě najdeme posloupnost 𝑛 devítek. Perioda je tedy složena ze samých
devítek. Je ale zřejmé, že už dříve jsme se museli setkat s posloupností 𝑛 osmiček. Tím
se dostáváme ke sporu.
6. Co kdybychom v předcházejícím čísle odstranili desetinnou čárku? Dostali bychom
číslo 12345678910111213... Jedná se o nekonečně velké číslo?1
Dalšími otázkami lze utvářet pojem množiny. Žáci by měli rozlišovat mezi konečnou
množinou, nekonečnou množinou a intervalem. Na střední škole se s těmito pojmy automaticky
pracuje, ačkoli na základní škole nebyly vůbec zavedeny.
7. Kolik prvků má množina {1; 2; 3; … }? Kolik prvků má množina {1; 3; 5; … }? (9. třída)
Obě množiny mají nekonečně mnoho prvků.
8. Která z těchto množin má více prvků? (9. třída)
Žádná – každému prvku první množiny můžeme přiřadit právě jeden prvek druhé
množiny.
1 → 1
2 → 3
3 → 5
⋮
Všechny spočetné nekonečné množiny mají stejnou velikost v Cantorově smyslu. Jsou
to nejmenší nekonečna, jaká mohou existovat, Cantor je označil ℵ (první písmeno
hebrejské abecedy, alef nula).
9. Je množina zlomků od 1 do nekonečna spočetná množina?
Cantor pomocí tzv. diagonální metody dokázal, že ano:
1
1
1
2
1
3
1
4
⋯
2
1
2
2
2
3
2
4
⋯
3
1
3
2
3
3
3
4
⋯
⋮
1
1
1
2
2
1
3
1
2
2
1
3
1
4
2
3
3
2
4
1
1
První, kdo zavedl pojmy potenciální a aktuální nekonečno, byl Aristoteles. Přivedlo ho k tomu přemýšlení nad
Zenonovými paradoxy. Byl přesvědčen o tom, že je možno donekonečna přičítat jednotku a tím získávat větší a
větší čísla. Pořád ale budou vznikající čísla konečně velká. Nekonečně velké číslo podle něj neexistuje. To
znamená, že nekonečno potenciálně existuje, avšak aktuálně ne. Řešení součtu nekonečných řad (které se
vyskytují i v Zenonových paradoxech) je však umožněno uznáním aktuálního nekonečna, kdy nekonečnou řadu
pokládáme za celek.
Touto metodou jsme schopni postupně vypsat všechny zlomky, žádný zlomek
nevypadne. Množina racionálních čísel (zlomků) je tedy spočetně nekonečná.
10. Je množina reálných čísel spočetně nekonečná?
Cantor dokázal, že ne (Barrow, s. 67). Reálných čísel je nekonečně větší nekonečno než
přirozených čísel, toto nekonečno se nazývá kontinuum.
11. Kolik je přirozených čísel na intervalu 〈1; 2〉?
Dvě.
12. Kolik je racionálních čísel na intervalu 〈1; 2〉? (9. třída)
Můžeme vždy pro jakákoli dvě různá čísla daného intervalu najít jejich aritmetický
průměr. Např. = , = , = , … Na daném intervalu je tedy nekonečně
mnoho racionálních čísel.
13. Kolik je reálných čísel na intervalu 〈1; 2〉?
Nekonečně mnoho. Mezi libovolnými dvěma racionálními čísly existuje nekonečně
mnoho iracionálních čísel.
Na prvním stupni základní školy se žáci seznamují s pojmem přirozeného čísla. Množina
přirozených čísel má velmi příjemné vlastnosti: Je možné ji jednoduše uspořádat, každé číslo
má svého bezprostředního následovníka, na konečném intervalu je konečně mnoho přirozených
čísel apod. Žáci si velice často myslí, že stejným způsobem se chovají všechny další číselné
obory.
Množina racionálních čísel si zachovává některé příjemné vlastnosti, např. racionální
čísla lze uspořádat, i když už ne tak snadným způsobem, jako to bylo u přirozených čísel. Avšak
na konečném intervalu existuje nekonečně mnoho racionálních čísel.
Vlastnosti reálných čísel jsou pro mnoho žáků zcela nepochopitelné: Žádné číslo nemá
svého bezprostředního následovníka, množinu nelze uspořádat, mezi každými dvěma
racionálními čísly leží nekonečně mnoho iracionálních čísel.
Geometrické konstrukce některých reálných čísel
Délku √2 má úhlopříčka čtverce o straně 1, délku √3 má tělesová úhlopříčka krychle o
hraně 1. Žáci mohou některé iracionální délky konstruovat pomocí Pythagorovy věty nebo
Eukleidových vět. Obrazy reálných čísel mohou znázorňovat na číselné ose.
0 1 2-2
Setkávání se s množinami u funkcí
Žáci by se měli setkávat s množinami v podobě definičního oboru a oboru hodnot, se
zápisy jako 𝐷(𝑓) = ℝ, 𝐻(𝑓) = ⟨1; ∞), 𝐷(𝑓) = {1; 2; 3}, aj., ale měli by jim zároveň rozumět.
Mocnina
Ve školské matematice zavádíme mocninu jako zkrácený zápis součinu dvou (nebo více)
sobě rovných činitelů.
5 ∙ 5 = 5 , 6 ∙ 6 = 6 , 15 ∙ 15 = 15
obecně
𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 .
9 ∙ 9 ∙ 9 = 9 , 1,3 ∙ 1,3 ∙ 1,3 = 1,3 , (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = (−2)
obecně zavedeme 𝑛-tou mocninu reálného čísla
𝑎 .
Číslo 𝑎 se nazývá základ a číslo 𝑛 se nazývá mocnitel (exponent).
Definice: Druhá mocnina celého (racionálního, reálného) čísla je součin dvou sobě rovných
činitelů.
Žáci se postupně učí mnoho pravidel pro počítání s mocninami, ve většině z nich dělají
chyby ještě na střední nebo na vysoké škole. Důvodem je, že si pravidla dostatečně nezvnitřní
a pak výpočty všemožně zjednodušují. Např. 2 + 3 = 5 , 2 ∙ 2 = 4 , = 2 a mnoho
jiných. Jaké jsou možnosti předcházet těmto chybám? Některé příklady lze znázorňovat pomocí
čtvercové sítě (zejména umocňování dvojčlenů), jiná pravidla lze modelovat mnoha příklady
před zavedením obecného vzorce (např. 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎𝑏) , 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 . Místo klasického
postupu pravidlo ⇨ procvičování je výhodnější volit postup pozorování ⇨ zobecňování.
Využíváme přitom kalkulačku:
2 ∙ 3 = 36 = 6 , 2 ∙ 5 = 1000 = 10 , …
žáci pozorují výpočty, podle svých možností zobecní pravidlo. Obdobně
4 ∙ 4 = 16 ∙ 64 = 1024 = 4 , 5 ∙ 5 = 390 625 = 5 .
Geometrické znázornění alg. výrazů: Binomická krychle – vyvození vztahů (𝑎 + 𝑏)
a (𝑎 + 𝑏) , trinomická krychle – pro umocňování trojčlenu. Pro případ (𝑎 + 𝑏) mohou žáci
vymýšlet další příklady, které zakreslují do čtvercové sítě a pravidlo si fixují.
b
a
b
a a+b
a-b
4 cm 6 cm
Další vzorce: (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2(𝑎 − 𝑏)𝑏 − 𝑏 = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 , 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Žáci čtverec rozstříhají a přesouvají dílky.
Ve výuce je možné využívat následující metody a činnosti:
 počítání s kalkulačkou, učitel musí žáky seznámit s tím, jak kalkulačku správně
používat,
 manipulativní činnost se čtvercovou sítí (čtverečkovaným papírem),
 využívání odhadů,
 cvičení paměti – pamětné zvládnutí druhé mocniny čísel 0 až 20, třetí mocniny čísel 0
až 10,
 určování druhých mocnin pomocí algoritmu: např. pro umocňování dvojciferných čísel
využíváme vztahu pro druhou mocninu dvojčlenu: (10𝑎 + 𝑏) = 100𝑎 + 2 ∙ 10 ∙
𝑎𝑏 + 𝑏 . Např. 47 = (40 + 7) = 100 ∙ 4 + 20 ∙ 4 ∙ 7 + 7 = 1600 + 560 + 49 =
2209. Je vhodná činnost pro procvičování operací.
Druhá odmocnina
Odmocňování je inverzní operací k umocňování. Můžeme však odmocňovat druhou
odmocninou pouze kladná čísla a výsledkem je pouze kladné číslo. To se žákům na základní
škole těžko vysvětluje, protože důvod lze ukázat na grafu kvadratické funkce a grafu funkce
druhá odmocnina a s těmito grafy se seznamují až na střední škole. Na základní škole můžeme
uvést alespoň toto zdůvodnění: Výsledkem odmocňování musí být jedno konkrétní číslo.
Definice: Druhá odmocnina z nezáporného čísla 𝑎 je nezáporné číslo 𝑏, pro které platí 𝑏 = 𝑎.
Zapisujeme √ 𝑎 = 𝑏.
Pojmy: odmocnitel, základ odmocniny, odmocnina
Algoritmus pro výpočet druhé odmocniny:
5|56|96 √5 = 𝟐
−4
156 15: 4 = 𝟑, 43 ∙ 3 = 129
−129
2796 279: 46 = 𝟔, 466 ∙ 6 = 2796
−2796
0
√55696 = 236
Odmocňované číslo rozdělíme na skupiny po dvou od desetinné čárky na obě strany. Přibližně
odmocníme první skupinu odleva: √5 = 2, toto je číslice nejvyššího řádu odmocniny. Její
kvadrát odečteme od první skupiny. K rozdílu připíšeme další dvojčíslí. Oddělíme poslední
číslici a zbytek dělíme dvojnásobkem částečného výsledku, tento podíl připíšeme
k dvojnásobku částečného výsledku a ještě jím násobíme. Součin odečteme. Pokud je menší
než dělitel, připíšeme číslici k částečnému výsledku odmocniny. Dále k výsledku připíšeme
další dvojčíslí. Opět dělíme dvojnásobkem částečného výsledku a postup opakujeme, pokud
odmocninu nevypočítáme.
Zobecnění na 𝑛-tou odmocninu (pro liché odmocniny můžeme odmocňovat i záporná
čísla a výsledkem je záporné číslo, viz graf), pravidla pro počítání s odmocninami.
Pythagorova věta
 Pythagorova věta, její algebraický a geometrický význam.
 Řešení úloh z praxe na užití Pythagorovy věty.
 Důkazy Pythagorovy věty.
 Obrácená věta k Pythagorově větě, zobecněná Pythagorova věta.
 Předpis pro pythagorejské trojice:
o předpis stanovený pythagorejci: 𝑎 = 2𝑛 + 1, 𝑏 = 2𝑛 + 2𝑛, 𝑐 = 2𝑛 + 2𝑛 + 1
o předpis připisovaný Platónovi: 𝑎 = 2𝑛, 𝑏 = 𝑛 − 1, 𝑐 = 𝑛 + 1
Absolutní hodnota
Absolutní hodnota čísla je pro kladné číslo to stejné číslo a pro záporné číslo je to číslo opačné.
Definice, která je uváděna v učebnicích, je pro žáky natolik abstraktní, že důsledkem je
nepochopení tohoto pojmu.
Definice: Absolutní hodnota reálného čísla 𝑎 je
 |𝑎| = 𝑎 pro 𝑎 > 0,
 |𝑎| = 0 pro 𝑎 = 0,
 |𝑎| = −𝑎 pro 𝑎 < 0.
Mínus vyskytující se v definici působí na žáky zcela zmatečně.
Žáci by se s absolutní hodnotou měli setkat již v průběhu základní školy. Např. pro určení
vzdálenosti obrazu čísla od počátku číselné osy je absolutní hodnota nezbytná. Číslo −5 má od
nuly vzdálenost |−5| = 5. V učebnicích někdy bývá definice absolutní hodnoty uváděna takto:
Absolutní hodnota racionálního čísla se rovná vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose
od obrazu čísla nula. Nejedná se však o definici, pouze o jednu z interpretací absolutní hodnoty.
Literatura:
Barrow, J. D.: Kniha o nekonečnu. Praha: Paseka, 2007
Devlin, K.: Jazyk matematiky. Praha: Dokořán a Argo, 2011
Seife, Ch.: Nula. Praha: Dokořán a Argo, 2005
Ženatá, E.: Přehled učiva matematiky s příklady a řešením. Blug