Úlohy do semináře DM4

                                     Sestavila Irena Budínová


1.      Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády. Vysvětlete
postup řešení.

V lichoběžníku  platí, že  je delší základnou, průsečík úhlopříček  dělí úsečku  v poměru 4 : 3 a
obsah trojúhelníku  je roven 12,5 cm. Určete obsah celého lichoběžníku.

2.      Žák má problémy se sčítáním zlomků, sčítá je tak, že součet čitatelů dělí součtem
jmenovatelů, např.: . V čem vidíte příčinu chyby? Jaká nápravná cvičení navrhujete?

3.      Zdůvodněte (pokud možno různými způsoby), proč platí následující pravidla:

a)      Součin dvou záporných čísel je číslo kladné.

b)      Dělit nulou nelze.

4.      Ukažte induktivní a deduktivní přístup při dokazování následujícího tvrzení a dokažte
úplnou matematickou indukcí.

Číslo  je dělitelné šesti pro libovolné přirozené číslo .

5.      Řešte následující slovní úlohy a) experimentálně, b) kongruencemi.

Číslo  dává po dělení pěti zbytek 2 a po dělení sedmi zbytek 4. O jaké číslo se jedná?

6.   Dokažte, že   není racionální číslo. Znázorněte úsečku délky  cm

a)      pomocí Pythagorovy věty,

b)      pomocí Eukleidových vět.

7.      Vyslovte větu o podílu dvou odmocnin a ověřte ji na úrovni ZŠ.

8.      Na následující úloze vysvětlete problematické části procentového počtu.

Cena kabátu byla nejprve zvýšena o 20 % a potom byla tato nová cena snížena o 35 %. Nyní se kabát
prodává za 3 990 Kč. Jaká byla jeho původní cena před zdražením?

9.      Řešte následující slovní úlohu a ukažte různé přístupy k řešení:

Honza, David a Kája mají dohromady ušetřeno 4 070 Kč. Kája ušetřil o 180 Kč méně než Honza, David
dvakrát méně než Honza. Kolik korun ušetřil každý z nich?

10.  Řešte metodou falešného předpokladu: Ke čtvrtině neznámého čísla jsme přičetli třetinu tohoto
čísla a od výsledku odečetli 5. Získali jsme 16. Jaké je neznámé číslo?

11.  Vyslovte a dokažte větu o úhlopříčkách čtverce.

12.  Řešte následující slovní úlohu i) pomocí rovnic, ii) pomocí funkcí (graficky):

Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 4 km/h vyjel z téhož místa o 2 hodiny později cyklista
průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od výchozího místa dohoní cyklista chodce?

13.  Řešte aritmeticky: Kolik litrů vody je třeba přilít k 7 litrům lihu o koncentraci 72 %,
abychom získali líh o koncentraci 44 %?

14. Nalezněte koeficienty a tvar kvadratického polynomu , jestliže víte, že součin kořenů je roven
 a součet kořenů .

15.  Řešte úlohu prostředky žáka ZŠ: Obdélník má obsah 96 čtverečních jednotek. Jeho šířka je o 4
délkové jednotky větší než jeho délka. Určete rozměry obdélníku.

16.  Řešte v oboru reálných čísel rovnici pouze ekvivalentními úpravami:

17. Zakreslete graf funkce  a na postupu vysvětlete transformace grafu.

18. Zakreslete grafy funkcí . Určete vlastnosti druhé funkce.

19.  Racionální lomená funkce: Zakreslete graf funkce . Určete vlastnosti této funkce.

20.  Jak se změní tlak plynu, jestliže se při stejné teplotě změní jeho objem na dvojnásobek?
Zakreslete graf.

21. Goniometrické funkce: Pomocí jednotkové kružnice definujte funkci . Dále pomocí jednotkové
kružnice určete .

22.  Máme pravidelný trojboký jehlan o délce hrany základny 2 cm a výšce 4 cm. Určete odchylku a)
boční stěny od základy, b) boční hrany od základny.

23. Zjistěte bez kalkulačky za použití pravítka, kružítka a úhloměru úhel , je-li .

24. Planimetrie: Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny jsou v poměru ,
rameno je dlouhé 7 cm a výška je 4,5 cm.

25.  Míry geometrických útvarů.

Vepište do kružnice o poloměru  postupně rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný
šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník. Vyjádřete jejich obvody a obsahy pomocí .

26.  Řešte kombinatorické úlohy. Postupujte způsobem odpovídajícím základní škole a pomocí vzorce,
který na příkladu osvětlíte.

Kolik přímek je určených 12 různými body v rovině, jestliže právě čtyři z nich leží na jedné přímce
a žádné tři další ze zadaných bodů již neleží na jedné přímce?

27.  Řešte úlohy z pravděpodobnosti a statistiky:

Z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 0 sestavte všechna šesticiferná čísla tak, aby se číslice v zápisu čísla
neopakovaly. Náhodně vybereme jedno číslo. Vypočítejte pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo
bude i) dělitelné pěti, ii) dělitelné třemi.