Tři středověké sbírky matematických úloh Alkuin: Úlohy k bystření mladíků In: Karel Macák (author): Tři středověké sbírky matematických úloh. Alkuin, Métrodóros, Abú Kamil. (Czech). Praha: Prometheus, 2001. pp. 9-42. Persistent URL: http: //dmi. cz/dmlcz/401221 Terms of use: © Macák, Karel Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http: //project.dml. cz 9 1. ALKUIN: ÚLOHY K BYSTŘENI MLADÍKÚ (Propositiones ad acuendos iuvenes) Tématicky uspořádaný překlad s komentářem 10 1.1. Úvod Snad každý člověk zabývající se matematikou se setkal s úlohou o převozníkovi, který má přepravit přes řeku vlka, kozu a hlávku zelí. Z toho plyne, že snad každý člověk, zabývající se matematikou, přišel do styku (aniž to tušil) se středověkou sbírkou úloh Propositiones ad acuendos iuvenes, což bychom mohli přeložit jako Úlohy k bystření mladíků. Tato sbírka vznikla pravděpodobně na dvoře Karla Velikého, který panoval ve francké říši v letech 768 - 814; za autora sbírky je považován anglosaský mnich Alkuin z Yorku (735? - 804) a některé úlohy z této sbírky jsou živé dodnes. Východiskem našeho výkladu je kritické vydání Alkuinovy sbírky [Fol], jehož text (bez poznámkového a kritického aparátu) je se souhlasem prof. M. Folkertse uveden ve čtvrté části naší práce. Kritické vydání bylo připraveno na základě více než deseti rukopisů a několika tištěných edicí, které se od sebe více či méně liší; v této práci nebudeme k těmto detailům přihlížet a o textu kritické edice budeme mluvit jako o textu Alkuinovu (tj. budeme říkat Alkuinovo zadání, Alkuinovo řešení a pod., i když jsme si vědomi toho, že to nemusí být vždy pravda). Podle kritického vydání obsahuje Alkuinova sbírka 53 úloh, z nichž některé se objevují v různých rukopisech v různých variantách. U všech úloh (s výjimkou úlohy č. 11) uvádí Alkuin i postup řešení, jsou to však většinou pouhé návody k mechanickému počítání bez jakéhokoli náznaku hlubšího rozboru úlohy. V našem výkladu bude u většiny úloh Alkuinův výsledek uveden, ale jeho návod nebude překládán; zájemci o Alkuinův postup řešení se mohou obrátit na úplný Alkuinův text ve čtvrté části této publikace. Pokud se charakteru překladu týče, snažili jsme se o překlad přesný, leč matematicky srozumitelný, což jsou požadavky v jistém smyslu protichůdné. Situace je navíc komplikována tím, že ani z latinského textu zadání není občas jasné, jak Alkuin úlohu vlastně myslel; v některých případech je možné teprve na základě Alkuinem připojeného řešení zpětně jednoznačně formulovat zadání, ne však vždy. Překlad je tedy výsledkem celé řady kompromisů; i z tohoto hlediska považujeme za vhodné znovu upozornit na to, že čtenář, kterému se překlad nebude líbit, má možnost přečíst si ve čtvrté kapitole originální text. Úlohy v Alkuinově sbírce nejsou nijak tématicky seřazeny. V našem překladu budou Alkuinovy úlohy uspořádány do několika tématických okruhů, přičemž však ponecháme původní číslování úloh podle [Fol]), a tyto tématické okruhy vždy stručně okomentujeme. V žádném případě se nedomníváme, že by naše tématické třídění Alkuinových úloh představovalo jediný možný přístup k problematice (srov. např. [Fo4]); zdálo se nám však úsporné z hlediska matematického komentáře k jednotlivým úlohám. V latinském textu v poslední kapitole naší práce je ponecháno původní Alkuinovo pořadí úloh. Prvním tématickým okruhem budou „převoznické" úlohy, které jsou považovány za Alkuinův „vynález".7 Širší kulturně-historické souvislosti lze najít v práci [Gr]. 11 1.2. Převoznické úlohy 1.2.1. Zadání 17. Úloha o třech bratrech, z nichž každý měl sestru8 Byli tři bratři, z nichž každý měl sestru a měli se přepravit přes řeku. Každý z nich pociťoval touhu po sestře svých přátel. Když přišli k řece, nalezli jen malou lodku, v níž se nemohli přepravit více než dva z nich současně. Řekni, kdo můžeš, jak se přepravili přes řeku, aniž by jediná z nich byla poskvrněna. 18. Úloha o vlku a koze a hlávce zelí Nějaký muž měl převézt přes řeku vlka a kozu a hlávku zelí a nemohl najít jinou lodku než takovou, která byla schopna uvézt jen dva z nich. Bylo mu však nařízeno, že má všechny převézt úplně nepoškozené. Řekni, kdo můžeš, jak je mohl nepoškozené převézt. 19. Úloha o muži a ženě vážících centnéř9 Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centnéř, mající dvě děti, které dohromady váží také jeden centnéř, se měli přepravit přes řeku. Nalezli lodku, která nemůže unést více než jeden centnéř. Nechť uskuteční přepravu, kdo může, aniž by se lodka potopila. 20. Úloha o ježcích Ježek a ježčice mající dvě děti a vážící libru se chtějí přepravit přes řeku10. 1.2.2. Komentář Protože Alkuinova úloha č. 18 je všeobecně známá, použijeme jí k zahájení komentáře. Zdá se, že všeobecně je při řešení této úlohy považováno za vhodné znázornit postup převážení pomocí grafu, do kterého jsou nějak zapsány situace vznikající na březích (kromě již zmíněného článku [Gr] viz např. knížku [Se], str. 27). Jedno z mnoha možných takových znázornění úlohy č. 18 je na následujícím obrázku. K uzlům grafu jsou připsány situace na levém a pravém břehu, k hranám je připsáno obsazení loďky. Alkuin uvádí pouze řešení odpovídající levé větvi v našem grafu.11 8v [gf], str. 315, je upozorněno na to, že z hlediska příbuzenských vztahů není zadání zcela jasné. 9Název váhové jednotky plaustrum byl přeložen volně; 1 centnéř = 61,65 kg ([Bě], str. 11). v [gf] je název váhové jednotky přeložen (s jistými výhradami) německým termínem Fuder, ale není uvedena hodnota této míry v dnešních jednotkách. 10Zadání je až příliš stručné, ale z Alkuinova řešení je zřejmé, že se jedná pouze o slovní variantu předešlé úlohy: ježek a ježčice váží po jedné libře, obě ježčata dohromady váží také jednu libru a loďka uveze nejvýše jednu libru. Hmotnost váhové jednotky zvané libra se měnila; podle [EA, SAK] původně odpovídala římská libra našim 273 g, později 327 g. 11 Autor tohoto překladu souhlasí s názorem, že graf je vhodným nástrojem ke znázornění výsledku řešení, má však jisté pochybnosti o tom, že graf je vhodným nástrojem k hledání řešení. Současně se však musí přiznat, že vlastně neví, jak by měl vypadat vhodný návod (postup, metoda, algoritmus), který by bylo možné doporučit studentům k řešení takovýchto úloh. Pro zajímavost uveďme, že v článku [bgl] jsou Alkuinovy „převoznické" úlohy studovány z hlediska celočíselného lineárního programování. 12 Graf řešení Alkuinovy úlohy č. 18 13 K úlohám č. 19 a č. 20 poznamenejme, že dítě (ježčí mládě) může samo veslovat přes řeku. U úlohy č. 19 uvádí Alkuin následující řešení: nejprve se přepraví obě děti a jedno z nich se vrátí s loďkou zpět. Pak se přepraví matka a druhé dítě se vrátí s loďkou zpět. Potom se opět přepraví obě děti a jedno z nich se vrátí s loďkou zpět, načež se přepraví otec a druhé dítě se vrátí s loďkou zpět; celá akce se uzavře závěrečnou přepravou obou dětí. Zde vzniká jistá nejasnost (z dnešního hlediska) týkající se počtu řešení úlohy. Označíme-li jedno dítě jako A a druhé jako B, je otázkou, máme-li považovat řešení, při kterém se nejprve vrací dítě A a pak dítě B, za řešení odlišné od toho, při kterém se děti vracejí v opačném pořadí (totéž se týká pořadí přepravy muž žena). Pokud všechny takové možnosti považujeme za různá řešení, má úloha 8 reseni. Na závěr okomentujme úlohu č. 17. Úloha není zcela jasně formulována a náš komentář vychází z následujícího Alkuinova řešení: nejprve se přepravím já se svoji sestrou a já se s loďkou vrátím. Pak se přepraví obě zbývající sestry a moje sestra se s loďkou vrátí. Potom se přepraví oba zbývající bratři a jeden z nich se vrátí zpět i se svou sestrou, tuto sestru nechá na břehu a přepraví se spolu se mnou. Zbylá sestra převeze loďku zpět, naloží moji sestru a přiveze ji za mnou, načež bratr, jehož sestra zůstala sama na počátečním břehu, přejede zpět a přiveze svou sestru. Na základě tohoto řešení se lze domnívat, že úloha je míněna takto: Jsou tři sourozenecké dvojice (bratr, sestra), které označíme (Bi, Si), (B2, S2), (-B3, S3); mezi těmito dvojicemi nejsou žádné příbuzenské vztahy. Pro všechna i, j = 1, 2, 3 platí, že muž Bi touží po dívkách Sj, i / j. Cest dívky S j je poskvrněna, ocitne-li se ve společnosti muže B^ i / j, a není u toho její bratr Bj. Vznikla-li by tedy na některém břehu např. sestava B\, S\, S2, bude čest dívky 62 poskvrněna, neboť byla ve společnosti cizího muže a její bratr u toho nebyl; přítomnost další dívky S\ na tomto faktu nic nemění. Probrání všech možných variant řešení přenecháváme případným zájemcům jako domácí cvičení. 1.3. Úlohy vedoucí na soustavu diofantovských rovnic12 1.3.1. Zadání 5. Úloha o kupci se sto denáry Nějaký kupec řekl: Chci za sto denárů nakoupit sto prasat, přičemž kanec stojí deset denárů, prasnice pět denárů a dvě selata jeden denár. Ať řekne, kdo rozumí, kolik je třeba koupit kanců, kolik prasnic a kolik selat, aby žádné z těchto dvou čísel nebylo ani překročeno, ani zmenšeno. 32. Úloha o otci rodiny rozdělujícím obilí Nějaký otec rodiny měl dvacet členů rodiny a nařídil dát jim dvacet měřic 12Termín „diofantovská rovnice" je zaveden v [SI] a proto ho zde respektujeme, i když bychom se spíše klonili k termínu „diofantické rovnice" (viz např. [HKŠ]). 14 obilí13: nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Řekni, kdo můžeš, kolik musí být mužů, kolik žen a kolik dětí. 33. Jiná úloha Nějaký otec rodiny měl 30 členů rodiny, kterým nařídil dát 30 měřic obilí. A nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať řeší, kdo může, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. 33a. Ještě jiná úloha Nějaký otec rodiny měl 90 členů rodiny a nařídil dát jim 90 měřic obilí. A tak nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať řekne, kdo se domnívá, že ví, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. 34. Ještě jiná úloha Nějaký otec rodiny měl 100 členů rodiny, kterým nařídil dát 100 měřic obilí takovým způsobem, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať tedy řekne, kdo může, kolik bylo mužů, kolik žen a kolik dětí. 38. Úloha o kupci kupujícím sto zvířat Nějaký muž chtěl koupit sto zvířat za sto zlatých, přičemž kůň se kupuje za tři zlaté, kráva za jeden zlatý a 24 ovcí za jeden zlatý. Řekni, kdo jsi s to, kolik bylo koní, kolik krav a kolik ovcí. 39. Úloha o kupci v orientu Nějaký muž chtěl za sto zlatých koupit v orientu sto zvířat. Nařídil svému sluhovi, ať je velbloud koupen za pět zlatých, osel za jeden zlatý a dvacet ovcí za jeden zlatý. Řekni, kdo chceš, kolik bylo za sto zlatých koupeno velbloudů, kolik oslů a kolik ovcí. 47. Úloha o biskupovi, který rozkázal rozdělit klerikům dvanáct chlebů Nějaký biskup rozkázal rozdělit klerikům dvanáct chlebů. Nařídil, aby každý kněz dostal dva chleby, každý jáhen polovinu chleba a každý lektor čtvrtinu chleba14; přitom počet kleriků byl stejný jako počet chlebů. Řekni, kdo jsi s to, kolik muselo být kněží, kolik jáhnů a kolik lektorů. 13Termín „otec rodiny" (v originálu: paterfamilias) je třeba chápat volněji, spíš jako hlava rodu (viz další úlohy). Pokud se termínu „měřice" (v originálu modius) týče, různé prameny uvádějí různé hodnoty této míry; podle [GF] se jednalo asi o 12 litrů, [SAK] uvádí 8,75 litrů. 14v originálu jsou klerikové označeni termíny presbyter, diaconus a lector, tyto termíny jsou zde přeloženy v souladu s knihou [Tr] (str. 166). Občas používané označení „klerik" pro studenty teologie není v souladu s oficiální terminologií; z hlediska dnešního církevního práva se křesťan stává klerikem až přijetím jáhenského svěcení, takže lektor je dnes ještě laikem ([Tr], str. 103). 15 1.3.2. Komentář Z matematického hlediska je jasné, že všechny uvedené úlohy vedou na soustavu dvou diofantovských rovnic o třech neznámých, která musí být řešena v oboru celých nezáporných čísel. Z výsledků uváděných Alkuinem se však zdá, že Alkuin hledal řešení pouze v oboru celých kladných čísel a za tohoto předpokladu mají všechny uvedené úlohy kromě úlohy č. 34 právě jedno řešení, což je zajímavé, protože obecně (pochopitelně) může existovat řešení více nebo taky žádné15. Z rozhovorů s učiteli získal autor tohoto komentáře dojem, že úlohy uvedeného typu se ve školské matematice objevují i dnes; při jejich řešení se (asi většinou) využívá toho, že takovou soustavu lze snadno převést na jednu diofantovskou rovnici o dvou neznámých a dál se (asi většinou) pokračuje ve větší či menší míře „experimentálně"; přitom se tiše předpokládá, že úloha má aspoň jedno řešení. Na Alkuinově úloze č. 34 ukážeme jednu možnost takového experimentálního postupu, který (za jistých předpokladů) umožní snadno najít všechna řešení. Věnujme se tedy úloze č. 34. Označme m = počet mužů, z = počet žen, d = počet dětí. Úlohu pak lze zapsat jako soustavu rovnic m + z + d = 100 , 3m + 2z + ^ = 100 . Vynásobíme-li druhou rovnici dvěma a od takto upravené rovnice odečteme první, dostaneme rovnici 5ra + Sz = 100 , kterou lze upravit na tvar 3 m = 20 — —z . 5 Z této rovnice plyne: a) Protože počet mužů m musí být celé číslo, musí být počet žen z dělitelný pěti. b) Protože počet mužů i žen musí být nezáporný, stačí dosazovat do poslední rovnice postupně z = 0, 5, ... , 30 a dostaneme odpovídající počty mužů m; zbytek do celkového počtu 100 členů rodiny pak tvoří děti. Všechna řešení dané úlohy tedy lze uspořádat do tabulky z = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30; m = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2; d = 80, 78, 76, 74, 72, 70, 68; Alkuin uvádí pouze řešení m = 11, z = 15, d = 74. 15 Z didaktického hlediska je zajímavé, že v Alkuinově sbírce je vědomě zařazena jedna úloha, která nemá řešení; nevede však na soustavu diofantovských rovnic a proto ji uvedeme až později. 16 Uvedený postup je jednoduchý, ale má jednu vadu: není univerzální. Jestliže původní soustavu dvou diofantovských rovnic o třech neznámých upravíme na diofantovskou rovnici se dvěma neznámými x a y (1) ax + by = c , pak postup použitý v předešlém příkladu je efektivní pouze tehdy, je-li c dělitelné aspoň jedním z koeficientů a, 6; není-li tato podmínka splněna, nevede uvedený postup k cíli. To lze ukázat na Alkuinově úloze č. 5; označíme-li k = počet kanců, p = počet prasnic a s = počet selat, pak analogickým postupem jako v předešlé úloze dostaneme rovnici (2) 19Jfe + 9p= 100, kterou sice můžeme upravit na tvar , 100 9 k = l9-Í9P nebo na tvar 100 19, ale to nám při řešení úlohy vůbec nepomůže. Chceme-li tuto Alkuinovu úlohu řešit elementárními prostředky, nezbývá nám nic jiného než hledat řešení rovnice (2) zkusmo; snadno se sice najde řešení k = 1, p = 9 =^ s = 90 (které uvádí i Alkuin), ale dokázat, že je to v množině celých nezáporných čísel řešení jediné, by asi bylo pracné. Uveďme na závěr tohoto paragrafu ještě Alkuinovy výsledky zbývajících úloh. U úlohy č. 32 uvádí Alkuin řešení: 1 muž, 5 žen a 14 dětí; možné by ještě bylo řešení 4 muži, žádná žena a 16 dětí, ale - jak už bylo řečeno - Alkuin asi řešení obsahující nulu neuvažoval. U úlohy č. 33 uvádí Alkuin řešení: 3 muži, 5 žen a 22 dětí (možných je též 6 mužů a 24 dětí, ale bez žen). V úloze č. 38 si kupec podle Alkuina koupil 23 koní, 29 krav a 48 ovcí (evidentní řešení úlohy spočívající v zakoupení 100 krav a ničeho jiného zřejmě neodpovídalo Alkuinovým představám), v úloze č. 39 si kupec koupil 19 velbloudů, jednoho osla a 80 ovcí (evidentní řešení se 100 osly a ničím jiným nebylo zřejmě uvažováno). Řešením úlohy č. 47 je podle Alkuina 5 kněží, 1 jáhen a 6 lektorů; řešení se 4 kněžími, 8 jáhny a žádným lektorem nebylo asi uvažováno. 1.3.3. Dvě věty Jak praví básník, trocha teorie nikoho nezabije, a tak se pokusíme ukázat přijatelný teoretický postup, který by umožnil doplnit experimentální přístup k řešení úloh uvedeného typu odpověďmi na dvě otázky, které se objevily v předešlém paragrafu: 1) Jak poznáme, že rovnice (1) vůbec má celočíselné řešení ? 2) Jestliže rovnice (1) má celočíselné řešení a my jsme jedno takové řešení experimentálně nalezli, lze nějak jednoduše vyjádřit všechna ostatní celočíselná řešení ? 17 Odpověď na tyto otázky lze najít např. v již zmíněné knize [HKŠ] na str. 200 a násl., ale tam je celý problém formulován poměrně obecně a při jeho řešení se vychází z pojmu kongruence, který ve školské matematice není běžný. Jednodušší pohled na uvedené otázky lze najít v knížce [Zn], kde se vychází z pojmu dělitelnosti; tento pojem se ve školské matematice objevuje poměrně brzo a lze s ním tedy pracovat. Z této knížky ocitujeme dvě věty (v poněkud pozměněné formulaci, abychom nemuseli zavádět další symboly), které odpovídají na obě naše otázky. Označme písmenem D největšího společného dělitele čísel a, b. Věta 1 ([Zn], str. 31, věta 9). Rovnice (1) má celočíselné řešení tehdy a jen tehdy, je-li číslo c dělitelné číslem D. Věta 2 ([Zn], str. 35, věta 10). Má-li rovnice (1) celočíselné řešení xq, yo, pak množina všech celočíselných řešení rovnice (1) je určena vztahy b x = x0 + — t , a y = yo - pt, kde t probíhá množinu celých čísel. Domníváme se, že uvedené dvě věty jsou přijatelné jako teoretický doplněk k experimentálnímu řešení úloh uvedeného typu a nebudeme tuto otázku dále rozvádět; poznamenejme jenom na závěr, že v knížce [Zn] je uveden i algoritmus k nalezení počátečního řešení xq , yo vycházející ze známého Eukleidova algoritmu k nalezení největšího společného dělitele dvou čísel. 1.4. VSUVKA: Historický komentář k „diofantovským" úlohám 1.4.1. Úvod Tato část představuje vsuvku do výkladu o Alkuinových úlohách. Důvodem k této vsuvce je skutečnost, že úlohy, kterými jsme se právě zabývali, procházejí dějinami matematiky od staré Cíny až k Leonardu Eulerovi a při výuce matematiky se uplatňují dodnes. V této části budeme jejich dlouhou historii ilustrovat na několika příkladech z různých časových období a zeměpisných oblastí; vlastní Alkuinovou sbírkou se v této části nebudeme zabývat. I když budeme stále mluvit o diofantovských rovnicích, s výjimkou posledního paragrafu zde vůbec nebude řeč o Diofantovi z Alexandrie (okolo r. 250 n.L), a to ze dvou důvodů: a) Prvním je důvod historický: v Alkuinově době nebyly Diofantovy spisy v Evropě známy ([GF], str. 293) a Alkuin tedy nemohl být Diofantem ovlivněn. b) Druhým je důvod matematický: Alkuinovy úlohy představují „prakticky" motivované slovní úlohy vedoucí na soustavu lineárních diofantovských rovnic, která má být řešena v oboru celých kladných čísel; takové úlohy však v Di-ofantových spisech vůbec nejsou studovány (viz např. [Ko], str. 195 a násl.). „Praktická" slovní úloha se u Diofanta vyskytuje jen jedna a pokud se dnes občas objevuje tvrzení, že Diofantos hledal řešení rovnic v oboru celých čísel (např. [HKŠ], str. 200, [Zn], str. 29), pak toto tvrzení není historicky podložené, protože Diofantos hledal řešení rovnic v oboru racionálních kladných čísel. 18 Lze tedy říci, že Alkuinova sbírka nemá s historickým Diofantem nic společného, a proto Diofanta ponecháme stranou; zájemce o tuto problematiku můžeme upozornit na to, že ve skriptech [Se2] je Diofantovi a jeho Aritmetice věnováno více než deset stran a v knize [Ko] více než pět stran. Jedinou výjimku učiníme v posledním paragrafu této kapitoly, kterou věnujeme oné již zmíněné jediné „prakticky" motivované Diofantově úloze. Pokud se arabské matematiky týče, v arabské matematice se úlohy vedoucí na soustavy diofantovských rovnic objevují, ale ukázce této problematiky bude věnována samostatná 3. kapitola, proto zde arabskou matematiku ponecháme stranou. 1.4.2. Čínská matematika Čínská matematika Alkuina určitě přímo neovlivnila, představuje však nej-starší zdroj úloh onoho typu, kterým se Alkuin zabýval. Poměrně podrobný výklad o čínské matematice (takřka 80 stránek) lze najít např. v [Ju] a z tohoto výkladu zde budeme vycházet. Úlohy vedoucí na diofantovské rovnice se objevují již v základním spisu staré čínské matematiky, který je nazýván Matematika v devíti knihách; tento spis shrnuje výsledky dosažené čínskými matematiky v prvním tisíciletí před n.l. Údajně byl sepsán v r. 152 př.n.L, ale nejstarší dochovaná edice pochází až z r. 263 n.l. Z hlediska Alkuinovy sbírky je však zajímavá až tzv. „úloha o drůbeži", která vznikla pravděpodobně na konci druhého století n.l.16 ([Ju], str. 81): Úloha o drůbeži Kolik je možné za sto mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, je-li jich dohromady sto a stojí-li kohout pět mincí, slepice čtyři mince a čtyři kuřata dohromady jednu minci ? Označíme-li k = počet kohoutů, s = počet slepic a r počet kuřat, pak úloha vede na soustavu rovnic k +s + r = 100 , 5k + 4s + T- = 100 . 4 Čen Luan uvádí řešení k = 15, s = 1 a r = 84; analogicky jako Alkuin neuvažuje řešení k = 0, s = 20 a r = 80. Uvádí i další variantu této úlohy, při které kohout stojí čtyři mince, slepice stojí tři mince a tři kuřata jsou za jednu minci; u této varianty uvádí pouze řešení k = 8, s = 14, r = 78, i když existuje další řešení neobsahující nulu k = 16, s = 3 a r = 81 (a navíc řešení k = 0, s = 25, r = 75). Podobnost s Alkuinem je očividná. Je ovšem třeba uvést, že čínští matematici došli dále, protože jiný čínský matematik Cang Cchiou-ťien, žijící pravděpodobně rovněž ve druhé polovině 6. století, uvádí další variantu této úlohy, při které kohout stojí pět mincí, slepice tři mince a tři kuřata jednu minci, a uvádí všechna 16Někdy se taky nazývá úlohou o ptácích. Nejstarší dochované záznamy o této úloze však pocházejí až z druhé poloviny 6. století od Čen Luana ([Ju], str. 81). 19 řešení neobsahující nulu: Jfe = 4, 8, 12; s = 18, 11, 4; r = 78, 81, 84; navíc existuje ještě řešení k = 0, s = 25, r = 75. Úloha o drůbeži vznikla v Číně, odtud pronikla do Indie a dále k Arabům. Arabskou matematikou mohl být Alkuin ovlivněn; jak už bylo řečeno, jednomu spisu arabskému bude věnována 3. kapitola této práce. Nyní se přesuňme ke starým českým početnicím. 1.4.3. Česká úloha Nejednu úlohu vedoucí na soustavu diofantovských rovnic lze najít i ve starých českých učebnicích. Zájemci o tuto problematiku mohou nahlédnout například do skript [Se], ze kterých zde ocitujeme jednu úlohu. Úloha pochází z nejstarší české učebnice, která vyšla v r. 1530 v Norimberku. Jejím autorem byl Ondřej Klatovský a její název byl ([Se], str. 31) Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom niekteré welmi užitečné regule a exempla mince rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie sebraná skrze práce a náklad Wondřeje Klatowského. Příklad, který nás zajímá, je následující ([Se], str. 44): Úloha o kvasu17 26 osob na jednom kvasu propilo 88 penízů bílých. Při tom kvase byli muži, ženy a panny; z mužů jedna osoba dáti měla 6 penízů, z žen 4 penízy a z panen jedna 2 penízy. Otázka: kolik jest při tom cechu aneb kvasu mužů bylo, kolik žen, kolik panen ? Označíme-li m = počet mužů, z = počet žen a p = počet panen, pak snadno zjistíme, že z příslušné soustavy dvou rovnic o třech neznámých lze získat rovnici z = 18 - 2ra , která vede k následující tabulce všech řešení úlohy: m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; z = 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0; p = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. Klatovský uvádí pouze řešení s 6 muži a s 8 muži. 1.4.4. Eulerova „Algebra" Leonhard Euler (1707 - 1783) patří nesporně mezi nej významnější postavy v dějinách matematiky. Považujeme proto za vhodné na závěr tohoto malého historického přehledu uvést, že do II. dílu své učebnice Vollständige Anleitung zur Algebra, která byla napsána v r. 1767, zařadil i kapitolu obsahující pět 17v [Še] nemá úloha žádný název, takže jsme byli nuceni název vymyslet. 20 úloh vedoucích na nalezení celočíselného nezáporného řešení soustavy dvou diofantovských rovnic18. Uvedeme zde pouze první z těchto úloh, protože je nejjednodušší a navíc je velice podobná úloze Ondřeje Klatovského uvedené v předešlé části. Úloha o hospodě19 Třicet lidí, muži, ženy a děti, utratilo 50 korun v hospodě. Útrata muže jsou 3 koruny, útrata ženy je 2 koruny a dítěte 1 koruna. Kolik bylo mužů, žen a dětí? Úloha je natolik podobná úloze Ondřeje Klatovského, že nepovažujeme za nutné podrobněji ji rozebírat. Analogicky jako u Klatovského vede k rovnici z = 20 - 2ra a tabulka všech možných řešení u Eulera vypadá takto: m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; z = 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0; d = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 . 1.4.5. Jedna Diofantova úloha V Diofantově „Aritmetice" je uvedena jediná úloha, která svým zadáním připomíná úlohy Alkuinovy a Metrodorovy, z hlediska matematického stojí však daleko výše. Jedná se o 33. úlohu z 5. knihy „Aritmetiky" (ve vydání [WD] je na str. 249) a její zadání je následující: Dva druhy vína smísil zkušený muž: máz lepšího je za osm drachem, horšího za pět. Co za oba druhy zaplatil, je čtvercové číslo; přidáš-li k tomuto čtverci dané číslo, obdržíš jiný čtverec a jeho strana ti dává celkové množství vína, které smísil. Nuže, můj chlapče, zjisti mi, kolik lepšího druhu a kolik horšího ten člověk smísil. Zadání má jeden háček: neříká se v něm, čemu má být rovno ono „dané číslo", které má být přidáno k ceně vína; až z Diofantova řešení se ukáže, že toto číslo má být rovno 60. Při řešení této úlohy je nutné mít na paměti fakt, že Diofant ve své „Aritmetice" řeší rovnice v oboru kladných racionálních čísel, nikoli v oboru kladných celých čísel, jak se dnes někdy mylně soudí. Z toho pak plyne (jak ostatně bude vidět na našem příkladu), že úloha může mít i nekonečně mnoho řešení; je ovšem otázkou, zda si toho Diofant byl vědom. Základní myšlenku Diofantova postupu při řešení dané úlohy (podle [WD]) lze v dnešní terminologii vyjádřit takto: 18Vycházíme zde z anglického vydání [Eu], které je reprintem vydání z r. 1840. Je k němu připojena úvodní stať C. Truesdella z r. 1972, ve které se uvádí (str. xxxiii), že tato Eulerova učebnice je po Eukleidových „Základech" nejčtenější matematickou knihou v historii; odtud také přebíráme údaj o roku vzniku této Eulerovy knihy. 19V [Eu] nemá úloha žádný název, takže jsme byli nuceni název vymyslet. 21 Označme x celkový počet mázů (tj. v zadání „celkové množství vína"). Pokud v zadání položíme „dané číslo" = 60 (jak to dělá Diofant ve svém řešení), pak ze zadání plyne x2 — 60 = zaplacená částka = (x — y)2 , kde y je další neznámá. Z této rovnice dostáváme, že y2 + 60 (3) 2y Z cenových relací plyne, že celkový počet mázů musí být větší než 1/8 zaplacené částky a menší než 1/5 zaplacené částky20. Dostáváme tedy dvě nerovnice ^(ar2-60)