105 1.5. Gravitační pole Není třeba na úvod této kapitoly uvádět praktický příklad působení gravitace na hmotná tělesa. Každý jsme již upadli, nebo nám něco spadlo na zem. Této problematiky jsme se již dotkli v dynamice, hlavně v kapitole tíhová síla a tíha tělesa. V následující kapitole se na příčinu našich „pádů“ podíváme podrobněji. 1. Osvojit si poznatek o vzájemném přitahování hmotných objektů. 2. Umět definovat gravitační pole 3. . Znát vztah pro velikost gravitační síly. 4. Umět vypočítat gravitační síly i jiných polí než v gravitačním poli Země.Formulovat Newtonův gravitační zákon ve vektorovém tvaru. 5. Definovat intenzitu a potenciál daného místa gravitačního pole. 6. Vysvětlit pojem ekvipotenciálních hladin. 7. Znát matematickou souvislost mezi intenzitou a potenciálem, vysvětlit fyzikální význam gradientu. 8. Vědět, že gravitační síla Fg uděluje tělesům v okolí Země zrychlení ag. 9. Znát vztah pro velikost gravitačního zrychlení. 10. Znát přibližnou hodnotu gravitačního zrychlení na povrchu Země. 11. Umět vypočítat ag a Fg v dané výšce h nad povrchem Země. 12. Rozlišit gravitační a tíhovou sílu, zdůvodnit čím se liší. 13. Vědět, že tíhová síla uděluje tělesům při povrchu Země zrychlení tíhové zrychlení g . 14. Vědět, proč velikost tíhového zrychlení závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. 15. Osvojit si poznatek, že volný pád je pohyb v homogenním tíhovém poli Země s nulovou počáteční rychlostí. 16. Vědět, že vrhy těles jsou pohyby složené z rovnoměrného přímočarého pohybu rychlostí vo a volného pádu. 17. Rozlišit podle směru počáteční rychlosti vrh svislý vzhůru (dolů), vodorovný a šikmý. 18. Vědět, jak závisí tvar trajektorie satelitu na jeho počáteční rychlosti. 19. Umět vypočítat první kosmickou rychlost. 20. Znát slovní formulace tří Keplerových zákonů. 1.5.1. Newtonův gravitační zákon Dříve, než si vyslovíme Newtonův gravitační zákon si musíme vysvětlit pojem gravitační síla a gravitační pole. Z vlastní zkušenosti víme, že všechna hmotná tělesa jsou přitahována Zemí. Na tato tělesa působí Země gravitační silou Fg. Prosím nezaměňovat s tíhovou silou FG, rozdíl si vysvětlíme dále. Důležité je, že gravitační síla 106 působí na všechna hmotná tělesa na i nad povrchem Země. V okolí Země existuje gravitační pole. Gravitační pole tělesa je prostor v jeho okolí, ve kterém se projevují účinky gravitační síly Fg na jiná hmotná tělesa. Gravitační pole Země samozřejmě není jediným existujícím gravitačním polem. Své gravitační pole má Měsíc, Slunce, ale i člověk nebo dřevěná bedna zkrátka každé hmotné těleso. Jsme-li v gravitačním poli Země, je současně i Země v našem gravitačním poli. Působí-li Země na nás gravitační silou, působíme i my na Zemi gravitační silou a to stejně velikou. (Newtonův zákon akce a reakce). Gravitační silové působení mezi tělesy je vzájemné. Vzájemné gravitační působení se uskutečňuje pomocí hypotetických částic zvaných gravitony. Představa fyziků je taková, že každý hmotný objekt stále vysílá do svého okolí a tedy i k druhému hmotnému objektu gravitony a na druhé straně pohlcuje ty gravitony které přicházejí od druhého objektu. Takže jsme si řekli, co je to gravitační pole, co je gravitační síla a teď nezbývá než si velikost této síly vyjádřit. To už provedl před staletími Isaac Newton, když vyslovil Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se vzájemně přitahují gravitační silou Fg, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností m1, m2 a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r.(Obr.1.5.-1) 2 21 r mm Fg κ= . 1.5.-1 Konstanta úměrnosti κ (kappa) je gravitační konstanta a má hodnotu κ = 6,67.10-11 N.m2 .kg-2 . Gravitační konstanta je univerzální konstanta platná v celém Vesmíru. Tato konstanta nezávisí na prostředí v okolí tělesa, jehož působení sledujeme. Obr.1.5.-1 Vztah 1.5.-1 vyjadřuje pouze velikost gravitační síly. Ale i gravitační síla jako každá jiná má i svůj směr. To vystihuje Newtonův gravitační zákon ve vektorovém tvaru: Směr si vyjádříme pomocí jednotkového vektoru o r (Obr.1.5.-1), který má jednotkovou velikost a leží na spojnici obou na sebe působících hmotností: o g r mm rF 2 21 κ= 1.5.-2 Gravitační síla Fg mezi dvěma tělesy se nezmění, i když v okolí obou těles budou jiné hmotné objekty. Stejná gravitační síla na nás působí venku na chodníku, ale i uvnitř uzavřeného masivního betonového bunkru. A ještě jeden fakt si musíme zdůraznit. Ačkoliv Newtonův gravitační zákon platí přesně jen pro hmotné body, můžeme ho použít i na reálné předměty. Vzdáleností r je v tomto případě vzdálenost jejich středů. 107 Vypočítejte, jakou gravitační silou se přitahují a) dva lidé o hmotnostech 80 kg, b) Země a Měsíc. Ad a) Dosadíme do gravitačního zákona. Protože směr gravitační síly je zřejmý, použijeme skalárního zápisu – vztah 1.5.-1. 7 2 11 2 21 10.2,4 1 80.80 10.67,6 −− === r mm Fg κ N. To je prakticky nezměřitelná síla. Ad b) Opět dosadíme do gravitačního zákona ( ) 20 28 2224 11 2 21 10.2 10.8,3 10.4,7.10.6 10.67,6 === − r mm Fg κ N. To odpovídá přibližně tíze 1000000000000 letadlových lodí o výtlaku 20 000 tun. Řešeným příkladem jsme chtěli ukázat, že gravitační síla se prakticky projevuje pouze u těles velkých hmotností. TO 1.5.-1 Dva hmotné body, z nichž každý má hmotnost m, se vzájemně přitahují ze vzdálenosti r silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují ze vzdálenosti r/2 ? TO 1.5.-2 Dva hmotné body, z nichž každý má hmotnost m, se vzájemně přitahují ze vzdálenosti r silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují, změní-li se hmotnost každého z nich na 2 m? U 1.5.-1 Satelit obíhá kolem Země po kruhové dráze o poloměru 6,6.103 km měřeno od jejího středu. Jakou musí mít rychlost aby se na této dráze udržel? Počítejte s hmotností Země 6.1024 kg. U 1.5.-2 Jak velkou silou působí Měsíc na 1 m3 mořské vody o hustotě 1 030 kg.m-3 ? Které jevy v důsledku tohoto působení Měsíce pozorujeme? 1.5.2. Intenzita a potenciál gravitačního pole K popisu gravitačního pole slouží ještě další veličiny. Pomocí gravitační síly Fg můžeme definovat každý bod gravitačního pole, ale současně musíme uvést ještě jeden údaj a to velikost hmotnosti m, na kterou v dotyčném místě gravitační síla působí. Tak k úplnému definování pole v daném místě potřebujeme dva údaje. Zavedeme si tedy novou veličinu intenzitu gravitačního pole jako gravitační sílu na jednotkovou hmotnost. m gF K = [N.kg-1 = m.s-2 ] 1.5.-3 Pomocí této veličiny již definujeme gravitační pole jednoznačně. Směr intenzity gravitačního pole je stejný jako směr gravitační síly. To jsme pořád hovořili o vektorovém popisu pole. Podobně je to také se skalárním popisem pole. Každý bod gravitačního pole můžeme definovat (popsat) pomocí skalární veličiny potenciální energie gravitačního pole Epg. Ale máme tu zase stejný problém. Musíme uvést nejen velikost potenciální energie v daném místě, ale také říci, že se jedná o potenciální energii objektu hmotnosti m. Řešení tohoto problému je stejné jako u vektorového popisu. Zavedeme si novou veličinu potenciál gravitačního pole jako potenciální energii jednotkové hmotnosti pomocí následujícího vztahu: 108 m E V pg g = [J.kg-1 = m2 .s-2 ] 1.5.-4 Mohu teď jednoznačně popsat gravitační pole pomocí skalární veličiny - potenciálu. U gravitačního pole bude vztah pro změnu potenciálu velmi jednoduchý. Vzpomeňte si, vyjadřovali jsme si změnu potenciální energie tíhového pole výrazem ∆Ept = mgh. Pro gravitační pole – pole gravitačních sil Fg = mag bude změna gravitační potenciální energie dána vztahem ∆Epg = magh, kde ag je gravitační zrychlení. Podělíme-li tento vztah hmotností, dostaneme pro změnu potenciálu gravitačního pole vztah ∆Vg =agh. O gravitačním zrychlení ag bude pojednáno v následující kapitole. Vyjádříme si změnu potenciálu ještě jinak. Vztah 1.5.-4 si přepíšeme pro změnu potenciálu. . m E V pg g ∆ =∆ Dosaďme do tohoto vztahu z obecného vztahu pro změnu potenciální energie (vztah 1.4.-11): m V r r i g ∫− =∆ 2 1 . rF d . Ale podíl vnitřní síly Fi, pořád hovoříme ještě o gravitačním poli – tedy síly gravitační Fg, a hmotnosti m je intenzita gravitačního pole K. Vztah tedy přepíšeme do tvaru: rK rFg g d .∫ ∫ −= − =∆ 2 1 2 1 . r r r r m V d rKg d .∫−=∆ 2 1 r r V . 1.5.-5 Tento vztah ukazuje souvislost mezi vektorovým popisem pole pomocí intenzity pole K a skalárním popisem pomocí potenciálu pole Vg. Vztah platí pro jakékoliv pole (gravitační, elektrické, magnetické atp.). Ještě vhodnější je zápis v diferenciálním tvaru: rd.K−=gVd . 1.5.-6 Máme-li tedy pole charakterizováno v každém bodě intenzitou pole, můžeme pomocí matematické operace získat popis pomocí skalární veličiny potenciálu. A teď bude nutné si troch osvěžit, co víte z matematiky. Nalistujte si pojem gradient skalární veličiny a zjistíte, že se dá krásně aplikovat na náš problém. Můžeme při znalosti průběhu skaláru (potenciálu) matematickou operací vypočítat průběh vektorové veličiny (intenzity). Vyjdeme z přepisu vztahu 1.5.-6 do tvaru o gV rK .rdd −= a vyjádříme si z něj vektor intenzity 109 og r V rK . d d = Tento vztah je zjednodušený vztah obecného zápisu ggradV−=K 1.5.-7 Obr. 1.5.-2 Vztah mezi intenzitou a potenciálem lépe pochopíte z grafického vyjádření. Na Obr. 1.5.-2 máte nakresleny řezy místy stejného potenciálu V, kterým říkáme ekvipotenciální hladiny. Co bude ekvipotenciální hladinou v případě pole v okolí hmotného bodu hmotnosti m1? Vyjdeme z definičního vztahu pro potenciál a upravíme si jej pomocí Newtonova gravitačního zákona r m r m m r mm m V o o 1 2 1 2 2 21 . .. κκ κ −=−= − = − = ∫ ∫∫ rr rrrFg g d dd 1.5.-8 Velikost potenciálu bude záviset na konstantě κ , velikost hmotnost m1, která gravitační pole vyvolává a na vzdálenost od zdroje pole r. Pro stejnou vzdálenost r bude potenciál stejný – ekvipotenciální plochou v tomto případě bude tedy povrch koule o poloměru r. Důležitý je poznatek, že při přemisťování jiné hmotnosti po ekvipotenciální hladině se nekoná práce. Lehce si to zdůvodníte dosazením do vztahu pro práci 1.4.-2 ∫= 2 1 drF.2,1W dosazením za sílu z Newtonova gravitačního zákona. V našem případě vektor změny dr a jednotkový vektor ro jsou na sebe kolmé a skalární součin je tedy roven nule. Ale vraťme se ještě k obrázku Obr. 1.5.-2. Přemisťujme tedy jednotkovou hmotnost nejdříve po ekvipotenciální hladině s velikostí potenciálu Vg. Protože se pohybujeme po ekvipotenciální hladině, práce se nekoná. 110 Teď přemisťujme jednotkovou hmotnost ve směru v obrázku označeném jako dr1. Vykonaná elementární práce bude dána vztahem .gVd=− rK d . Místo síly Fg je zde intenzita K protože přemisťujeme jednotkovou hmotnost. A teď přemisťujme zase jednotkovou hmotnost, opět z hladiny Vg na hladinu Vg +d Vg ale ve směru normály n (vektor dr ) – ve směru intenzity K. Velikost vykonané práce bude stejná, ale účinnost bude maximální. To je význam funkce gradient aplikované v rovnici 1.5.-7. TO 1.5.-3 Na těleso hmotnosti m působí gravitační pole silou Fg. Intenzita tohoto gravitačního pole K v daném bodě prostoru je vektor K = a) Fg/m b) Fg m c) Fg g d) κ g TO 1.5.-4 V gravitačním poli uvažujte dva body A,B. V bodě A působí na těleso hmotnosti 3 kg gravitační síla 30 N, v bodě B působí na těleso hmotnosti 2 kg gravitační síla 40 N. Co platí o velikostech intenzit KA a KB v bodech A a B ? a) KA = KB b) KA > KB c) KA < KB TO 1.5.-5 Víte, že intenzita gravitačního pole Země ve vzdálenosti r od jejího středu je K = (- κ MZ /r 2 ).ro , kde MZ je hmotnost Země. Vypočítejte potenciál v témže místě. V = TO 1.5-6 Těleso hmotnosti 2 kg má v určitém bodě gravitačního pole potenciální energii 10 J. Vypočítejte potenciál tohoto gravitačního pole v daném bodě. V = 1.5.3. Gravitace v okolí Země Zjednodušíme si situaci. Předpokládejme, že Země je homogenní koule o hmotnosti M a poloměru R = 6 371 km. Pak Newtonův gravitační zákon přepíšeme do tvaru : 2 r mM Fg κ= . 1.5.-9 Tento vztah určuje gravitační sílu, kterou Země působí na těleso hmotnosti m ve vzdálenosti r ≥ R od středu Země viz Obr.1.5.-3. . Obr.1.5.-3 Použijeme-li Newtonův zákon síly F = ma, můžeme napsat pro gravitační sílu vztah Fg = m ag. Symbolem ag jsme si označili gravitační zrychlení. Dosadíme-li do tohoto vztahu za gravitační sílu z gravitačního zákona, dostaneme pro gravitační zrychlení výraz: 111 2 r M ag κ= . 1.5.-10 Jedná se vlastně vztah pro intenzitu gravitačního pole K. Gravitační zrychlení podle tohoto vztahu bude záviset na výšce h = r – R tělesa nad Zemí. V tabulce závislosti gravitačního zrychlení na výšce se můžete podívat, jak výrazně se mění gravitační zrychlení se vzdáleností od povrchu Země. Tabulka závislosti gravitačního zrychlení na výšce Výška nad Zemí h (km) ag (m.s-2 ) Mořská hladina 0 9,83 Mount Everest 8,8 9,80 Nejvyšší výška výstupu balónu 36,6 9,71 Dráha raketoplánu 400 8,7 Komunikační družice 35 700 0,225 A teď si konečně vysvětlíme rozdíl mezi gravitačním zrychlením ag a tíhovým zrychlením g. Zůstaňme na Zemi. Podle Newtonova gravitačního zákona na libovolné těleso na Zemi působí gravitační síla Fg = m ag . Ve skutečnosti, ale na těleso působí tíhová síla FG = m g. Velikosti tíhové a gravitační síly Země se liší a to z následujících důvodů: Gravitační síla závisí na vzdálenosti tělesa od středu Země. Ale země není dokonalá koule, je to elipsoid zploštěný na pólech. Tíhové zrychlení roste směrem od rovníku k pólu – mění se se zeměpisnou šířkou. Hustota Země se mění v jednotlivých oblastech pod povrchem Země. Proto také tíhové zrychlení je různé v různých místech Země. Největší vliv má ale rotace Země. Podíváme-li se na obrázek Obr.1.5.-4, vidíme, že na těleso na povrchu země působí gravitační síla Fg. Ale protože Země rotuje, působí na toto těleso i odstředivá síla rmFo 2 ω= . Úhlová rychlost rotace Země je na všech zeměpisných šířkách stejná, ale poloměr otáčení r