P3 Zápočtová písemná práce předmětu IMAk02 (max. 20 bodů) 1. Je dána množina Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Určete výčtem prvků množiny A, B, jestliže platí: Z = A ∪ B ∧ {1, 3, 4, 5} ⊂ A − B ∧ 2 /∈ B ∧ B = ∅. Situaci zakreslete pomocí Vennových diagramů. 2. Nechť p, q, r jsou výrokové formule. Rozhodněte a zdůvodněte, zda následující zápis je zápisem správného pravidla odvozování: p⇔q, q⇒¬r p∨¬r . 3. V množině A = {1, 2, 3, 4} jsou definovány binární relace: R1 = {[1, 1], [2, 1], [3, 2], [4, 4]}, S = {[4, 3], [3, 2], [1, 1], [2, 2]}. Zapište výčtem prvků binární relaci R1 ◦ S, (R1 ◦ S)−1 , (R1 ◦ S) . Rozhodněte a zdůvodněte, zda relace R1 ◦ S je uspořádání v množině A. 4. Je dána množina M = {1, 2, 3}. Zapište výčtem prvků binární relaci R2 = {[x, y] ∈ M × M; x < 3 ⇒ x + y = 3}. Určete, které z vlastností R, AR, S, AS, T , SO má binární relace R2. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je relace R2 relací ekvivalence na množině M. Pokud ano, určete třídy rozkladu příslušejícího relaci R2. 5. Jsou dány množiny A = {a, b, 1, c}, B = {1, 2, c, 3}. a) Zapište výčtem prvků binární relaci R1 z množiny A do množiny B, která není zobrazení. b) Určete přesně typ zobrazení Z = {[c, 1]} z množiny A do množiny B a rozhodněte, zda je prosté. c) Zapište výčtem prvků jedno vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B. 6. Vysvětlete pojmy: a) ekvivalence výroků p, q, b) rozdíl množin A, B, c) relace R je symetrická v množině M, d) lineární uspořádání v množině M, e) doplňková relace k relaci R v množině M, f) definiční obor zobrazení Z, g) množiny A, B jsou ekvivalentní.