Doplnění úloh k distanční výuce •Základy matematických disciplín IMAk01 (podzim 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Úlohy z teorie množin •Základy matematických disciplín IMAk01 (podzim 2020) Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Katedra matematiky PdF MU Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. [USEMAP] •Příklad 1: Pro množiny A, B, C platí: •A ∆ B = B ⋂ C ˄ A ⊂ C – A ˄ B ≠ Ø. (Drábek, text, str. 18, cv. 18 a)) •Situaci znázorněte v množinovém diagramu pomocí symbolů Ø a · a rozhodněte o pravdivosti následujících výroků: • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky 1.C ≠ Ø 2.B ∆ C ≠ Ø 3.A ⋃ B = A ∆ B 4.A = Ø 5.B ⋃ C = B ⋂ C 6.A ⋂ B ⊂ B ⋂ C 7.A ⊂ C 8.(A ⋃ B ⋃ C )´ = A´ 9. 9. [USEMAP] •Řešení: •A ∆ B = B ⋂ C ˄ A ⊂ C – A ˄ B ≠ Ø. 1.podmínka: A ∆ B = B ⋂ C • I ⋃ IV ⋃ III ⋃ VI = V ⋃ VI • • I = Ø • IV = Ø • III = Ø • V = Ø • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky I II III IV V VI VII VIII Ø Ø Ø Ø II VI VII VIII [USEMAP] •Řešení: •A ∆ B = B ⋂ C ˄ A ⊂ C – A ˄ B ≠ Ø. •2. podmínka: A ⊂ C – A • I ⋃ II ⋃ IV ⋃ V ⊂ VI ⋃ VII • • I = Ø • II = Ø • IV = Ø • V = Ø • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky I II III IV V VI VII VIII Ø Ø Ø Ø Ø VI VII VIII [USEMAP] •Řešení: •A ∆ B = B ⋂ C ˄ A ⊂ C – A ˄ B ≠ Ø. •3. podmínka: B ≠ Ø • II ⋃ III ⋃ V ⋃ VI ≠ Ø • • VI ≠ Ø • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky I II III IV V VI VII VIII Ø Ø Ø Ø Ø VII VIII · [USEMAP] •Řešení: •A ∆ B = B ⋂ C ˄ A ⊂ C – A ˄ B ≠ Ø. • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Ø Ø Ø Ø Ø · VII VIII Máme zjistit, zda následující výroky jsou pravdivé: 1.C ≠ Ø 2.B ∆ C ≠ Ø 3.A ⋃ B = A ∆ B 4.A = Ø 5.B ⋃ C = B ⋂ C 6.A ⋂ B ⊂ B ⋂ C 7.A ⊂ C 8.(A ⋃ B ⋃ C )´ = A´ 9. 9. [USEMAP] • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Ø Ø Ø Ø Ø · VII VIII 1.C ≠ Ø pravdivý (C = IV ⋃ V ⋃ VI ⋃ VII) 2.B ∆ C ≠ Ø nelze rozhodnout (B ∆ C = II ⋃ III ⋃ IV ⋃ VII) 3.A ⋃ B = A ∆ B pravdivý (A ⋃ B = I ⋃ II ⋃ III ⋃ IV ⋃ V ⋃ VI A ∆ B = I ⋃ IV ⋃ III ⋃ VI) 4. A = Ø pravdivý 5. B ⋃ C = B ⋂ C nelze rozhodnout (B ⋃ C = II ⋃ III ⋃ IV ⋃ V ⋃ VI ⋃ VII B ⋂ C = V ⋃ VI) 6. A ⋂ B ⊂ B ⋂ C pravdivý 7. A ⊂ C pravdivý 8. (A ⋃ B ⋃ C )´ = A´ nepravdivý ((A ⋃ B ⋃ C )´ = VIII A´= III ⋃ VI ⋃ VII ⋃ VIII) 1. 1. [USEMAP] •Příklad 2: Znázorněte následující množiny L, P v diagramu množin A, B, C: •L = [(A ⋃ B ) - C ] ⋂ (C ∆ B ), P = (B - C ) ⋂ (A ∆ C ). (Drábek, text, str. 19, cv. 19, 1.) •Dále rozhodněte, jaké podmínky musí splňovat množiny A, B, C, aby platilo: a) L ⊂ P •b) P ⊂ L •c) P = L •d) P ≠ L • • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky [USEMAP] •Řešení: •L = [(A ⋃ B ) - C ] ⋂ (C ∆ B ), • •A ⋃ B = I ⋃ II ⋃ III ⋃ IV ⋃ V ⋃ VI •(A ⋃ B ) – C = I ⋃ II ⋃ III •C ∆ B = II ⋃ III ⋃ IV ⋃ VII •[(A ⋃ B ) - C ] ⋂ (C ∆ B ) = II ⋃ III •L = II ⋃ III Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky I II III IV V VI VII VIII I III V IV II VI VII VIII [USEMAP] •Řešení: •P = (B - C ) ⋂ (A ∆ C ). •B – C = II ⋃ III •A ∆ C = I ⋃ II ⋃ VI ⋃ VII •(B - C ) ⋂ (A ∆ C ) = II •P = II Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky I II III IV V VI VII VIII I III V IV II VI VII VIII [USEMAP] •L = [(A ⋃ B ) - C ] ⋂ (C ∆ B ), P = (B - C ) ⋂ (A ∆ C ). •a) L ⊂ P III = Ø II ⋃ III ⊂ II •b) P ⊂ L platí vždy II ⊂ II ⋃ III •c) P = L III = Ø II = II ⋃ III •d) P ≠ L III ≠ Ø • L Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky III V IV II VI VII VIII I II III IV I V VII VI P [USEMAP] •Příklad 3: •Na výletě bylo 32 žáků. U stánku s občerstvením si jich 16 koupilo limonádu a 23 oplatky. Čtyři žáci si nekoupili ani limonádu ani oplatky. Kolik žáků si koupilo oplatky i limonádu? Kolik žáků si koupilo oplatky, ale nekoupili si limonádu? • •Řešení: •Označme: •A – množina žáků, kteří si koupili limonádu •B – množina žáků, kteří si koupili oplatky •Z – množina všech žáků třídy (základní množina) • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky Z [USEMAP] •Na výletě bylo 32 žáků. U stánku s občerstvením si jich 16 koupilo limonádu a 23 oplatky. Čtyři žáci si nekoupili ani limonádu ani oplatky. Kolik žáků si koupilo oplatky i limonádu? Kolik žáků si koupilo oplatky, ale nekoupili si limonádu? • •Označme: •a – počet žáků, kteří si koupili pouze limonádu •b – počet žáků, kteří si koupili limonádu i oplatky •c – počet žáků, kteří si koupili pouze oplatky •d – počet žáků, kteří si nekoupili limonádu ani • oplatky • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky b a Z c d [USEMAP] •Na výletě bylo 32 žáků. U stánku s občerstvením si jich 16 koupilo limonádu a 23 oplatky. Čtyři žáci si nekoupili ani limonádu ani oplatky. Kolik žáků si koupilo oplatky i limonádu? Kolik žáků si koupilo oplatky, ale nekoupili si limonádu? •Co víme ze zadání: •1. a + b + c + d = 32 •2. a + b = 16 •3. b + c = 23 •4. d = 4 •---------------------------------------------------- •a + b + c + 4 = 32 ⟹ a + b + c = 28 • a + b = 16 • b + c = 23 • •16 + c = 28 ⟹ c = 12 •b + 12 = 23 ⟹ b = 11 • a + 11 = 16 ⟹ a = 5 • • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky b a Z c d [USEMAP] •Na výletě bylo 32 žáků. U stánku s občerstvením si jich 16 koupilo limonádu a 23 oplatky. Čtyři žáci si nekoupili ani limonádu ani oplatky. Kolik žáků si koupilo oplatky i limonádu? Kolik žáků si koupilo oplatky, ale nekoupili si limonádu? • • •5 žáků si koupilo pouze limonádu, •11 žáků si koupilo obojí, •12 žáků si koupilo pouze oplatky, •4 žáci si nekoupili nic, •16 žáků (a + b) si koupilo limonádu, •23 žáků (b + c) si koupilo oplatky, •16 žáků (c + d) si nekoupilo limonádu, •9 žáků (a + d) si nekoupilo oplatky, • • • • • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky 11 5 Z 12 4 [USEMAP] •Příklad 4: •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? • •Řešení: •Označme: •A – množina žáků, kteří navštívili Rakousko •B – množina žáků, kteří navštívili Itálii •C – množina žáků, kteří navštívili Německo •Z – množina všech žáků třídy (základní množina) • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? •Označme: •a – počet žáků, kteří navštívili jen Rakousko •b – počet žáků, kteří navštívili Rakousko a Itálii, ale nenavštívili • Německo •c – počet žáků, kteří navštívili jen Itálii •d – počet žáků, kteří navštívili Rakousko a Německo, ale nenavštívili • Itálii •e - počet žáků, kteří navštívili všechny tři země •f - počet žáků, kteří navštívili Itálii a Německo, ale nenavštívili • Rakousko •g - počet žáků, kteří navštívili jen Německo •h - počet žáků, kteří nenavštívili žádnou ze tří zemí • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky a b c d e f g h [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? •Co víme ze zadání: •a + b + c + d + e + f + g + h = 35 •d + e + f + g = 7 •b + c + e + f = 7 •a + b + d + e = 5 •b + e = 2 •d + e = 1 •e = 1 •h = 21 • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky a b c d e f g h [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? •a + b + c + d + 1 + f + g + 21 = 35 ⟹ a + b + c + d + f + g = 13 •d + 1 + f + g = 7 ⟹ d + f + g = 6 •b + c + 1 + f = 7 ⟹ b + c + f = 6 •a + b + d + 1 = 5 ⟹ a + b + d = 4 •b + 1 = 2 ⟹ b = 1 •d + 1 = 1 ⟹ d = 0 • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky a b c d e f g h [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? • •a + 1 + c + 0 + f + g = 13 ⟹ a + c + f + g = 12 •0 + f + g = 6 ⟹ f + g = 6 •1 + c + f = 6 ⟹ c + f = 5 •a + 1 + 0 = 4 ⟹ a = 3 • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky a b c d e f g h [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? • •3 + c + f + g = 12 ⟹ c + f + g = 9 •5 + g = 9 ⟹ g = 4 •f + 4 = 6 ⟹ f = 2 •c + 2 + 4 = 9 ⟹ c = 3 • • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky a b c d e f g h [USEMAP] •Ze 35 žáků třídy jich bylo o prázdninách 7 v Německu a stejně tolik v Itálii. Rakousko navštívilo 5 žáků. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Všechny tyto tři země navštívil 1 žák. V Itálii i v Rakousku byli 2 žáci, v Rakousku a Německu byl 1 žák. Kolik žáků navštívilo Německo nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Rakousko nebo Itálii? Kolik žáků navštívilo Německo nebo Rakousko? • •Německo nebo Itálii navštívilo b + c + d + e + f + g, tedy 11 žáků. •Rakousko nebo Itálii navštívilo a + b + c + d + e + f, tedy 10 žáků. •Německo nebo Rakousko navštívilo a + b + d + e + f + g, •tedy 11 žáků. • • • • Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky 3 1 3 0 1 2 4 21 [USEMAP]