Adobe Systems
1
Aritmetika 2 – jaro 2022
Mgr. Helena Durnová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková

Adobe Systems
2
Organizace semestru
̶Paralelně s IMAk04 běží volitelný předmět IMAk14 Matematika 4, v němž budeme dále procvičovat
látku probíranou v předmětu IMAk04 Aritmetika 2
̶
̶Ke studiu můžete využít tuto prezentaci i stručný výtah; rovněž jsou k dispozici namluvené
prezentace z minulých let (distanční výuka)
̶
̶Na konci semestru zápočtová písemná práce (ukázku najdete během semestru ve Studijních materiálech
předmětu IMAk04 v ISu).
̶

Adobe Systems
3
Relace dělitelnosti

Adobe Systems
4
Relace dělitelnosti

Adobe Systems
5
Relace dělitelnosti

Adobe Systems
6
Relace dělitelnosti

Adobe Systems
7
Relace dělitelnosti

Adobe Systems
8


Adobe Systems
9
Relace dělitelnosti
Definice 2
Celé číslo dělitelné dvěma se nazývá sudé číslo.
Celé číslo, které není dělitelné dvěma (dává při dělení dvěma zbytek 1), se nazývá liché číslo.

Adobe Systems
10
Relace dělitelnosti - příklady
Příklad 2
Dokažte, že
a)součet libovolného sudého čísla a libovolného lichého čísla je liché číslo;
b)součet libovolných dvou lichých čísel je sudé číslo;
c)součin libovolného sudého čísla s libovolným lichým číslem je sudé číslo.
d)součin libovolného lichého čísla s libovolným lichým číslem je liché číslo
Příklad 3
Určete vlastnosti relace „dělitelnost celých čísel“ a tvrzení zdůvodněte.
Příklad 4
Jsou dána čísla a, b, pro která platí, že a je dělitelné osmi a b je dělitelné šesti. Dokažte, že
jejich součin je dělitelný číslem 24.

Adobe Systems
11
Relace dělitelnosti - příklady

Adobe Systems
12
Znaky dělitelnost
̶Uvedeme zde věty, na základě nichž rozhodujeme o dělitelnosti čísla jiným číslem, aniž bychom
dělení provedli.
̶
̶Pro zjednodušení zápisu ve všech větách uvažujme přirozená čísla zapsaná v desítkové soustavě. Na
základě předchozí prezentace lze věty o dělitelnosti rozšířit i na celá čísla.

Adobe Systems
13
̶Přirozené číslo a je dělitelné dvěma (pěti, deseti) právě tehdy, když je dvěma (pěti, deseti)
dělitelné číslo zapsané jeho cifrou nultého řádu.
̶Přirozené číslo a je dělitelné čtyřmi právě tehdy, když je čtyřmi dělitelné číslo zapsané jeho
posledním dvojčíslím.
̶Přirozené číslo a je dělitelné osmi právě tehdy, když je osmi dělitelné číslo zapsané jeho
posledním trojčíslím.
̶Přirozené číslo a je dělitelné třemi (devíti) právě tehdy, když je třemi (devíti) dělitelný jeho
ciferný součet (tj. součet všech čísel zapsaných jednotlivými ciframi v zápisu čísla a).
̶Přirozené číslo a je dělitelné jedenácti právě tehdy, když je jedenácti dělitelný součet čísel
zapsaných jednotlivými ciframi sudého řádu zmenšený o součet čísel zapsaných jednotlivými ciframi
lichého řádu v zápisu čísla a.
̶
̶

Adobe Systems
Zápatí prezentace
14
Znaky dělitelnosti

Adobe Systems
15
̶Všechny znaky dělitelnosti ze 3. slidu plynou z obecnějších vět:
̶
̶Dělíme-li přirozené číslo a dvěma (pěti, deseti), dostaneme stejný zbytek, jako když dělíme dvěma
(pěti, deseti) číslo zapsané cifrou nultého řádu v zápisu čísla a.
̶Dělíme-li přirozené číslo a čtyřmi, dostaneme stejný zbytek, jako když dělíme čtyřmi číslo zapsané
jeho posledním dvojčíslím (u jednociferných čísel doplníme před cifru nulu).
̶Dělíme-li přirozené číslo a osmi, dostaneme stejný zbytek, jako když dělíme osmi číslo zapsané
jeho posledním trojčíslím (u méně než trojciferných čísel doplníme před cifry nuly).
̶Dělíme-li přirozené číslo a třemi (devíti), dostaneme stejný zbytek, jako když dělíme třemi
(devíti) jeho ciferný součet.
̶Dělíme-li přirozené číslo a jedenácti, dostaneme stejný zbytek, jako když dělíme jedenácti součet
čísel zapsaných jednotlivými ciframi sudého řádu zmenšený o součet čísel zapsaných jednotlivými
ciframi lichého řádu v zápisu čísla a.
̶

Adobe Systems
16


Adobe Systems
17
Příklady
Příklad 1
Rozhodněte, zda je číslo 4 356 dělitelné čísly 2; 3; 4; 5; 8; 9 a 11. Pokud není některým z čísel
dělitelné, určete zbytek po dělení.
Příklad 2
V číslech 437*; 32* a 4*54 nahraďte symbol * takovou cifrou, aby vzniklé číslo bylo dělitelné
a)čtyřmi;
b)osmi;
c)devíti;
d)jedenácti.
Uveďte vždy všechna řešení.

Adobe Systems
18
Příklady
Příklad 3
O pěticiferném čísle 448** víme, že je dělitelné čísly 3 a 25. Doplňte cifry na místa hvězdiček.
Najděte všechny možnosti.
Příklad 4
Z čísla 74 851 562 vyškrtněte čtyři cifry tak, aby vzniklé číslo bylo dělitelné pěti a třemi.
Najděte všechny možnosti.
Příklad 5
Doplňte rodné číslo 950324/**** tak, aby bylo platné. Stačí uvést jednu možnost.
Příklad 6
Dokažte s využitím rozvinutého zápisu čísla kritérium dělitelnosti
a)čtyřmi
b)devíti

Adobe Systems
19
Prvočísla a čísla složená
̶Rozdělíme přirozená čísla na dvě velké podmnožiny a jednu jednoprvkovou:
̶číslo 1 bude patřit do zvláštní podmnožiny
̶prvočísla (čísla, která mají právě dva různé dělitele) tvoří jednu velkou podmnožinu
̶čísla složená (čísla s alespoň třemi různými děliteli) tvoří druhou velkou podmnožinu
̶
̶Podmnožina prvočísel a podmnožina čísel složených mají prázdný průnik
(tj. číslo je buď prvočíslo, nebo číslo složené).

Adobe Systems
20
Definice: prvočíslo, číslo složené
Definice 2.
Přirozené číslo p>1 nazýváme prvočíslem, právě když má právě dva různé přirozené dělitele (tj.
čísla 1 a p).
Přirozené číslo a>1, které není prvočíslem (tj. má více než dva  přirozené dělitele), nazýváme
složeným číslem.

Adobe Systems
21
Příklady
̶Číslo  13  je prvočíslo, protože má právě dva přirozené dělitele, čísla  1 a 13. Jsou to
samozřejmí dělitelé čísla 13.
̶Číslo  12  je složené číslo, protože má více než dva přirozené dělitele: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
̶
̶ Číslo 1 podle definice není prvočíslo ani číslo složené.

Adobe Systems
22
Věta o existenci prvočíselného dělitele
Věta 2: Každé přirozené číslo  n > 1  má aspoň jednoho prvočíselného dělitele.
Důkaz: Číslo  n > 1   má alespoň jednoho dělitele, který je větší než 1. Z jeho dělitelů je jeden
nejmenší, označme ho  p.
Tento nejmenší přirozený dělitel  p > 1   musí být prvočíslem.
Kdyby totiž  p  bylo složené číslo, tj.  p = a.b, kde  1 < a <  p ,  1 < b <  p ,  pak by ze
vztahů  a| p a  p|n  plynulo  a| n,  což by znamenalo, že existuje dělitel
a <  p čísla  n, což by bylo  v rozporu s naším předpokladem, že  p je nejmenší z přirozených
dělitelů čísla n.  Číslo  p je tedy prvočíslo.

Adobe Systems
23
Jak rozhodneme, zda je dané číslo prvočíslo nebo číslo složené?
Máme-li rozhodnout o tom, zda dané číslo a > 1  je prvočíslem nebo složeným číslem, můžeme
postupovat tak, že zjišťujeme, zda je dané číslo dělitelné prvočísly menšími než toto číslo.
Platí totiž věta:  Existuje-li prvočíslo menší než číslo a, které dělí číslo a, pak  a je složené
číslo.
Uvedený postup je však  značně zdlouhavý. Proto budeme využívat následující věty:
Věta 3. Jestliže přirozené číslo a není dělitelné žádným prvočíslem menším nebo rovným  odmocnině z
a, pak a  je prvočíslo.

Adobe Systems
24
Důkaz věty 3
Provedeme nepřímý důkaz, tj. přímý důkaz věty obměněné)
Věta obměněná k větě 3: Není-li a prvočíslo, pak je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p menším než
odmocnina z a.
Tedy předpokládejme, že číslo a není prvočíslo, pak podle věty 2. existuje prvočíslo p, které je
nejmenším dělitelem čísla a. Můžeme psát:  a = q . p   a současně  p < a; současně platí také:  p
je menší nebo rovno q .  Je tedy a větší nebo rovno p2   a odtud plyne, že  p musí být menší nebo
rovno odmocnině z a.

Adobe Systems
25
Jak zjistit, zda dané číslo je prvočíslo
Příklad: Zjistěte, zda 173 je prvočíslo nebo složené číslo.
Řešení:  Odmocnina ze 173 je menší než 14 (druhá mocnina 14 je 196), proto budeme zjišťovat, zda
číslo 173 je dělitelné některým z prvočísel 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Číslo 173 není dělitelné žádným z těchto prvočísel, proto je prvočíslem.
̶

Adobe Systems
26
Prvočíselný rozklad

Adobe Systems
27
Příklady
Příklad 1
Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou čísla 437, 593, 1007, 2771, 3012 prvočísla, nebo čísla složená.
Příklad 2
Najděte alespoň tři prvočísla větší než 120 a zároveň menší než 150.
Příklad 3
Najděte největší prvočíslo, kterým je dělitelné číslo
a)1326
b)2406
c)4380

Adobe Systems
28
Příklady
Příklad 4
Rozložte na součin prvočinitelů číslo
a)500
b)2024
c)1326
Příklad 5
Najděte alespoň tři přirozená čísla, která jsou dělitelná
a)všemi jednocifernými prvočísly,
b)všemi přirozenými čísly od jedné do deseti.
Určete v obou případech nejmenší přirozené číslo, které podmínkám vyhovuje.

Adobe Systems
29
Největší společný dělitel
Jak už název napovídá, největší společný dělitel dvou přirozených čísel je ten největší ze všech
společných dělitelů.
Např. čísla 50 a 60 mají následující společné dělitele: 1, 2, 5, 10
Největší z těchto společných dělitelů je číslo 10. Formálně řečeno:
Definice 3. Společný dělitel přirozených čísel a, b je každé přirozené číslo d,  pro které platí
d│a  a   d│b.
Definice 4. Největší společný dělitel přirozených čísel a, b je ten ze společných dělitelů, který
je dělitelný všemi společnými děliteli. Označujeme   D(a,b).

Adobe Systems
30
Hledání největšího společného dělitele
Největšího společného dělitele dvou přirozených čísel lze najít třemi způsoby:
(a) využitím definice;
(b) pomocí tzv. Eukleidova algoritmu;
(c) pomocí rozkladu na součin prvočinitelů.
Hledání s využitím definice lze použít u malých čísel, u větších je spíše neobratné.
Hledání pomocí rozkladu na prvočísla se učí na ZŠ.
Eukleidův algoritmu nabízí silný nástroj pro hledání největšího společného dělitele.

Adobe Systems
31
Příklad
Příklad: Určete množinu všech společných dělitelů čísel 24 a 30 a největší společný dělitel čísel
24 a 30.
Řešení: Číslo 24 je dělitelné čísly  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Číslo 30 je dělitelné čísly 1, 2, 3,
5,  6, 10, 15, 30.
Množina všech společných dělitelů čísel 24 a 30 je průnik těchto dvou množin, tj. množina {1, 2, 3,
6}
Největší společný dělitel  D(24,30) = 6.
Toto číslo je dělitelné všemi menšími společnými děliteli, tj. platí:
  1 | 6 ,  2 | 6 ,  3 | 6 ,  6 | 6

Adobe Systems
32
Věta (Eukleidův algoritmus)
Věta 5. Jestliže přirozené číslo a dává při dělení nenulovým přirozeným číslem b nenulový
zbytek z, tzn. a = b . q + z  (přičemž z < b), pak platí, že množina všech společných dělitelů
čísel  a, b  je množinou všech společných dělitelů čísel  b, z.
Dále platí: Největší společný dělitel čísel a, b je roven největšímu společnému děliteli čísel  b,
z, tj.  D(a,b) = D(b,z).
Tím převádíme úkol určit D(a,b) na určení D(b,z). To je výhodné, neboť čísla b a z jsou menší než
čísla a, b.  Důkaz je uveden v ZEA,  s. 189.
Na větě 5. je založen postup výpočtu největšího společného dělitele dvou přirozených čísel nazývaný
Eukleidův algoritmus.

Adobe Systems
33
Eukleidův algoritmus (řešený příklad)
Příklad: Zjistěte  D (268, 80), tj. největšího společného dělitele čísel 268 a 80, pomocí
Eukleidova algoritmu.
Řešení:         268 :  80 = 3   neboli    268 = 80 . 3 + 28 (zbytek 28)
  D (80, 28):   80 : 28 = 2                      80 = 28 . 2 + 24 (zbytek 24)
  D (28, 24):   28 : 24 = 1                      28 = 24. 1 +  4    (zbytek 4)
  D (24, 4):     24 :  4  =  6                      24 = 6 . 4            (zbytek 0)
Největší společný dělitel  čísel 268 a 80 je  číslo 4, tj. poslední nenulový zbytek  při postupném
dělení.

Adobe Systems
34
Rozšíření definice (největšího) společného dělitele na tři a více čísel
 Definice 3 (společný dělitel dvou čísel)  a  Definici 4 (největší společný dělitel dvou čísel D
(a, b)) lze rozšířit na libovolný konečný počet přirozených čísel.
Příklad: Hledáme společné dělitele čísel 12, 27 a 36.
Společnými děliteli čísel 12 a 27 jsou čísla 1 a 3; D (12, 27) = 3.
Společnými děliteli čísel 27 a 36 jsou číslo 1, 3 a 9; D (27, 36) = 9.
Společnými děliteli čísel 12 a 36 jsou číslo 1, 2, 3, 4, 6 a 12;
D (12, 36) = 12. Tedy D (12, 27, 36) = 3.

Adobe Systems
35
Čísla soudělná a nesoudělná
Libovolná dvě čísla mají vždy alespoň jednoho společného dělitele.
Tím je číslo 1. Pokud jiného společného dělitele nemají, nazývají se nesoudělná; v opačném případě
se nazývají soudělná.
Formálně:
Definice 5. Přirozená čísla a, b se nazývají nesoudělná, právě když je jejich největší společný
dělitel roven 1.
Stručně píšeme:    D(a,b) = 1
Definice 6. Přirozená čísla a, b se nazývají soudělná, právě když je jejich největší společný
dělitel větší než 1. Stručně: D(a,b) > 1.

Adobe Systems
36
Příklady: čísla soudělná a nesoudělná
Podobně jako Definice 3 a 4 lze Definice 5 a 6 rozšířit na libovolný konečný počet přirozených
čísel.
Příklady:
Čísla  4, 7, 6, 9  jsou nesoudělná, protože  D(4,7,6,9) = 1
Čísla   8, 12, 32   jsou soudělná, protože  D(8, 12, 32) = 4
̶

Adobe Systems
37
Příklady
Příklad 1
 Určete všechny přirozené společné dělitele čísel:
a)   60, 36
b)   48, 72, 0
c)   24, -132, 54
Příklad 2
K číslu  a = 51  najděte číslo b  tak, aby  D(a,b) = 17.
Příklad 3
Najděte dvě přirozená čísla,  jejichž součet je 432 a největší společný dělitel je 36.

Adobe Systems
38
Příklady
Příklad 4
Největší společný dělitel dvou přirozených čísel je 24. Jedno z nich je dvojnásobkem
druhého. Která jsou to čísla?
Příklad 5
Určete pomocí rozkladu na prvočinitele i pomocí Eukleidova algoritmu:
a)  D(455, 273)
b)  D(360, 504)
c)  D(90, 108, 84)
d)  D(568, 426, 355)

Adobe Systems
39
Nejmenší společný násobek
Podobně jako u největšího společného dělitele, i zde je pojem intuitivní. Ze všech společných
násobků dvou čísel (kterých je ovšem nekonečně mnoho) vybíráme právě ten nejmenší.

Např. čísla 15 a 6 mají následující násobky:
15 -> 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150; 165; 180 …
6 -> 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96 …
Nejmenší společný násobek čísel 6 a 15 je číslo 30. Dalšími společnými násobky jsou čísla 60, 90,
120, 150 … Je vidět, že nejmenší společný násobek dělí všechny společné násobky daných dvou čísel.

Adobe Systems
40
Definice n(a,b)
Definice 7:
Společný násobek přirozených čísel a, b je každé přirozené číslo m, které je dělitelné oběma čísly
a, b, tedy a|m a b|m.
Definice 8:
Nejmenší společný násobek přirozených čísel a, b je ten ze společných násobků, který je dělitelem
všech společných násobků čísel a, b. Označujeme n(a,b)

Adobe Systems
41
Nejmenší společný násobek

Adobe Systems
42
Hledání n(a,b)

Adobe Systems
43
Příklad

Adobe Systems
44
Příklady
Příklad 1
Nalezněte alespoň tři přirozené společné násobky čísel
a)   5, 12
b)   17, 0
c)   - 6, 8, 17
Příklad 2
Určete všechny společné násobky čísel 60 a 144, které jsou větší než 1000 a menší než 2000.
Příklad 3
Určete obecně (ze začátku můžete za a a b dosazovat nějaká čísla):
a)   n(a,1)                 c)   n(a,ab)
b)   n(a,a)                 d)   n(a,a+1)     Eukleidův algoritmus: a+1-a = 1  D(a, a+1-a) = D(a,1)
= 1

Adobe Systems
45
Příklady
Příklad 4
  Jak se změní nejmenší společný násobek dvou přirozených čísel, když každé z nich vynásobíme
třemi?
Příklad 5
Určete pomocí rozkladu na prvočinitele i pomocí vztahu mezi n(a,b) a D(a,b)
a)  n(222, 185)
b)  n(360, 504)
c)  n(90, 108, 84)
d)  n(156, 182, 208)

Adobe Systems
46
Rozklad přirozeného čísla na součin prvočinitelů
Prvočíselný rozklad přirozeného čísla  využíváme především  k výpočtu největšího společného
dělitele  a nejmenšího společného násobku daných čísel a k určení počtu všech přirozených dělitelů
daného přirozeného čísla.
Příklady - prvočíselný rozklad:
132 = 2 • 2 • 3 • 11
121 = 11 • 11
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

Adobe Systems
47
Výpočet největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku z rozkladu daných čísel  na
součin prvočinitelů.
Největší společný dělitel daných přirozených čísel je součinem všech prvočinitelů, kteří se
současně vyskytují v prvočíselných rozkladech všech daných čísel, a to s nejmenším s vyskytujících
se exponentů.
Nejmenší společný násobek daných čísel je součinem všech různých prvočinitelů, kteří se vyskytují v
rozkladech daných čísel, a to v největší mocnině.

Adobe Systems
Zápatí prezentace
48
Hledání D(a,b) a n(a,b) pomocí prvočíselného rozkladu
Příklad:  Zjistěte  D(108, 90)  a   n(108, 90).
Řešení:           108 = 22. 33           90 =  2 . 32 . 5
                        D(108, 90) = 2 . 32 =  18
                         n(108, 90) =  22. 33. 5 = 540

Adobe Systems
Zápatí prezentace
49
Určení počtu dělitelů

Adobe Systems
50
Příklad

Adobe Systems
51
Příklady
1. Vypočítejte     a)   D[n(84, 54), n(24, 132)]
b)  n[D(84, 132), n(24, 54)]
c)
2. Zjistěte, zda platí:   D[n(48, 72), n(48, 144)] =    n [48, D(72, 144)]
1.
3. Určete nejmenší nenulové přirozené číslo, kterým je třeba násobit
a) číslo 1224, abychom dostali druhou mocninu přirozeného čísla
b) číslo 600, abychom dostali třetí mocninu přirozeného čísla.

Adobe Systems
52
Příklady
4. Určete všechny přirozené dělitele čísel   68,   360,  504.
5. Určete počet všech přirozených dělitelů čísel   420,  824,  687.
6. Obdélník o rozměrech 56cm  a  98cm se má rozdělit příčkami rovnoběžnými se stranami obdélníku na
čtverce co možná největší. Kolik bude čtverců a jak velká bude jejich strana?
7. V krabici jsou tužky. Víme, že je jich více než 200 a méně než 300 a že se dají svázat do svazků
po 10  a po 12. Kolik je tužek  krabici?

Adobe Systems
53
Neurčité rovnice

Adobe Systems
54
Poznámky k neurčitým rovnicím
Obsah obrázku text, muž, staré, pózování Popis byl vytvořen automaticky

Adobe Systems
55
Kdy je neurčitá rovnice řešitelná?

Adobe Systems
56
Příklad

Adobe Systems
57
Řešení redukční metodou

Adobe Systems
58
Řešení redukční metodou - pokračování
t
x=2t
y=5t-3
0
0
-3
1
2
2
2
4
7

Adobe Systems
59
Slovní úloha

Adobe Systems
60
Slovní úloha - pokračování
t
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
2
7
12
17
22
27
32
y
13
11
9
7
5
3
1
2x+5y
4+65=69
14+55=69
24+45=69
34+35=69
44+25=69
54+15=69
64+5=69

Adobe Systems
61
Další slovní úloha

Adobe Systems
62
Příklady

Adobe Systems
63
Příklady
Příklad 3:
Určete největší a nejmenší trojciferné číslo, které dává při dělení třemi zbytek 2 a při dělení 7
zbytek 5.
Příklad 4:
Číslo 91 rozložte a součet dvou sčítanců, z nichž jeden je dělitelný pěti a druhý devíti.
Příklad 5:
Rozdíl dvou přirozených čísel, z nichž první je dělitelné číslem 23, druhé číslem 29, je roven 1.
Určete nejmenší taková kladná čísla.

Adobe Systems
64
Příklady
Příklad 6:
Vytvoří-li žáci ve třídě čtveřice, jeden žák zbyde, vytvoří-li trojice, zbydou dva žáci. Kolik žáků
je ve třídě, jestliže jich je více než 20 a méně než 30?
Příklad 7:
Anička sbírala na zahradě jablka. Maminka jí řekla, že za každá čtyři jablka jí dá bonbon, tatínek
zase nabízí za každých 6 jablek nálepku. Jak může Anička směnit jablka za bonbony a nálepky,
jestliže si nechce žádné jablko nechat?

Adobe Systems
65
Jaké relace na množině celých (přirozených) čísel již známe?

Adobe Systems
66
Připomenutí: věta o dělení se zbytkem

Adobe Systems
67
Kongruence a zbytkové třídy: jak souvisí?
̶Někdy nás zajímá pouze zbytek po dělení, nikoliv podíl.
V takovém případě můžeme použít kongruence.
̶Příklad 1: dny v týdnu se opakují po sedmi dnech. Víme-li, že např. 8. daného měsíce je středa,
potom 15. bude také středa; dále 18. bude sobota
̶Příklad 2: potřebujeme rozdělit ovoce mezi tři děti, ale máme 17 kusů ovoce. Číslo 17 dává po
dělení třemi zbytek 2, tedy když přidáme 1 nebo 4 nebo 7, … kusů ovoce, budeme mít počet kusů
dělitelný třemi
̶Všechna přirozená čísla můžeme rozdělit na třídy podle toho, jaký zbytek dávají po dělení číslem m
– těmto třídám říkáme
zbytkové třídy modulo m

Adobe Systems
68
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=3
Modulo 3
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:
Komutativní Komutativní, Neutrální prvek: 1
Neutrální prvek: 0 (agresivní prvek pro násobení)
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky – 1 i 2 jsou inverzní
samy k sobě
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
(krát)
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1

Adobe Systems
69
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=4
Modulo 4
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:        6.10 = 2.3.2.5=4.3.5
Komutativní Komutativní     (4k+2)(4m+2) = 4 (…)+4 =4((..))
Neutrální prvek: 0 Neutrální prvek: 1
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky, ale ani 2 nemá inverzní
prvek
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
(krát)
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1

Adobe Systems
70
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=5
Modulo 5
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:
Komutativní Neutrální prvek: 0 Komutativní, Neutrální prvek: 1
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky, inverzní prvky existují
pro čísla 1-4
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
(krát)
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1

Adobe Systems
71
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=6
Modulo 6
Opět dopadá skoro všechno analogicky, nacházíme dva dělitele nuly: čísla 2 a 3.
Nápad: pokud je modulo prvočíslo, dělitelé nuly nebudou, jinak ano – děliteli nuly budou vždy
všichni dělitelé daného čísla
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
(krát)
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1

Adobe Systems
72
Příklady

Adobe Systems
73
Úlohy k opakování základů algebry 1

Adobe Systems
74
Úlohy k opakování základů algebry 2
Příklad 3:
Určete, jaké vlastnosti má relace dělitelnosti na množině přirozených čísel.
Připomínáme: číslo a je v relaci s číslem b tehdy, pokud platí: a dělí b
(tj. např. 3 dělí 3 --- dvojice 3, 3 je v relaci; 2 dělí 4, tj. dvojice 2, 4 je v relací,
ale 4 nedělí 2, tj. dvojice 4, 2 v relaci není R, aS, T – uspořádání – „stromeček“
Příklad 4:
Určete, jaké vlastnosti má relace kongruence na množině celých čísel.
Připomínáme: číslo a je kongruentní modulo m s číslem b tehdy, pokud a i b dávají stejný zbytek po
dělení číslem m. R, S, T….. Ekvivalence – (zbytkové) třidy
7 je kongr. 12 (mod 5) a 12 je kongr. 17 (mod 5), tedy 7 je kongr. 17 (mod 5)

Adobe Systems
75
Kalendář
Když 1. ledna je pondělí, co je 1. července? - sobota čtvrtek
1. února? - čtvrtek 1. srpna? - úterý      neděle
1. března? - čtvrtek (nepřestupný rok) 1. září? - pátek    středa
1. dubna? - sobota 1. října? - pondělí  pátek
1. května? - pondělí 1. listopadu? - čtvrtek   pondělí
1. června? - čtvrtek 1. prosince? - sobota    středa
Namátkou – loni bylo 1. září i 1. prosince úterý
Letos – 1. ledna byl pátek, 1. března pondělí, také 1. listopadu bude pondělí
0
3
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
Když 1. ledna je pondělí, co je pátek 1. července? - sobota
1. února? - čtvrtek pondělí 28 1. srpna? - úterý
1. března? - čtvrtek (nepřestupný rok) 31…3 1. září? - pátek
1. dubna? - s čtvrtek 30..2 1. října? - pondělí
1. května? - pondělí sobota 1. listopadu? - čtvrtek
1. června? - čtvrtek                    úterý
1. prosince? - sobota

Adobe Systems
76
Přestupné roky a počáteční hodnota
-Každý čtvrtý rok, tj. rok dělitelný 4, avšak nikoliv 100
-Rok 1900 přestupný nebyl
-Přestupné roky ve 20. století:
1904, 1908, …., 1992, 1996
-A co rok 2000? – vzhledem k potřebě další (zpětné) korekce jsou roky dělitelné 400 přestupné, tedy
i rok 2000 byl přestupný
-Krása výpočtu dne podle data ve 20. století spočívá v tom, že 1. 1. 1900 bylo pondělí (výhoda viz
výpočet v tabulce).

Adobe Systems
77
Postup výpočtu ve 20. století
Datum 1. ledna 1900: 12. 4. 1961 výpočty modulo 7 – počet dnů v týdnu
Součet: 1 + 0 + 0 + 0 = 1 …. Bylo to pondělí  součet: 5 + 6 + 5 + 1 = 17 kongr. 3 mod 7… středa
Kódy dnů:
-
I. čtvrtletí
0
3
3
II. čtvrtletí
6
1
4
III. čtvrtletí
6
2
5
IV. čtvrtletí
0
3
5
Den – pořadové číslo
Měsíc (z tabulky)
Rok – pořadové číslo
Rok – podle počtu přestupných
1 / 12 … 5
0 / 6
0 / 61 … 5
0 / 60:4 = 15 …1
pondělí
úterý
středa
čtvrtek
pátek
sobota
neděle
1
2
3
4
5
6
0

Adobe Systems
78
Postup výpočtu pro 21. století
Datum 1. ledna 1900 / 11. 9. 2001 – jako pokračování 20. století
Součet: 1 + 0 + 0 + 0 = 1 …. bylo pondělí    součet: 4 + 5 + 3 + 4 = 16 kongr. 2 (mod 7) … úterý
Kódy dnů:
-
I. čtvrtletí
0
3
3
II. čtvrtletí
6
1
4
III. čtvrtletí
6
2
5
IV. čtvrtletí
0
3
5
Den – pořadové číslo
Měsíc (z tabulky)
Rok – pořadové číslo
Rok – podle počtu přestupných
1 / 11 … 4
0 / 5
0 / 101 … 3
0 / 101:4 = 25 … 4
pondělí
úterý
středa
čtvrtek
pátek
sobota
neděle
1
2
3
4
5
6
0

Adobe Systems
79
Intuitivně: co jsou a k čemu jsou
matematické definice a věty?
-Stručně řečeno, definice jsou k tomu, abychom nemuseli vždy znovu složitě vysvětlovat, co máme na
mysli, když řekneme … třeba prvočíslo.
-Definice se dají přirovnat k učení se slovíček v cizím jazyce: nemá smysl se dohadovat, zda se
ostrov anglicky řekne isle nebo ne, musíme se to naučit.
-
-Naopak věty vyjadřují vztahy mezi definovanými objekty. Jsou to tvrzení, přesněji pravdivá
tvrzení, o matematických objektech.
-Hrajeme-li podle stejných pravidel, v matematice se nehádáme, spíše ten, kdo dříve pochopí,
vysvětluje druhému, co objevil, co vidí, a ten druhý ještě ne.
-Např. rovnost vrcholových úhlů; jednoznačnost rozkladu na prvočísla, …
-

Adobe Systems
80
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické definice?
-
-
-
Definice nám pomůže ujasnit si, že hovoříme skutečně o tomtéž.
Na rozdíl od definic používaných v humanitních vědách (např. definice pojmu nadané dítě, začínající
učitel, …), kde zpravidla uvedeme různé definice a pak se postavíme na něčí stranu nebo na základě
uvedeného řekneme, co to znamená pro nás, v matematice slouží definice k domluvě; o definici se v
matematickém textu nediskutuje, nýbrž se přijímá
Obsah obrázku text Popis se vygeneroval automaticky.

Adobe Systems
81
Jaké chyby děláme v definicích?
Příliš široká definice – zahrnuje i objekty, které nechceme
Např. Čtverec je rovinný objekt, který má čtyři strany.
(zkuste vymyslet další příliš široké definice čtverce)
Příliš úzká definice – nezahrnuje všechny objekty, které chceme
Např. Kružnice je množina bodů, které mají od středu vzdálenost 5 cm.

Adobe Systems
82
Jaké další chyby děláme v definicích?
Nadbytečná definice – obsahuje více slov téhož významu (pleonasmus)
Např. Čtverec je čtyřúhelník, který má čtyři strany a tyto strany jsou stejně dlouhé.
Definice kruhem – odkazuje na pojem, který má být vysvětlen
Např. Prvočíslo je přirozené číslo, které není složené.
(nelze: číslo složené jsme definovali jako "ne-prvočíslo")

Adobe Systems
83
Obsah a rozsah pojmu
̶Obsah pojmu:
̶Soubor všech vlastností, které jsou pro daný pojem charakteristické
Př: vlastnosti prvočísla, soudělných čísel, ...
̶Rozsah pojmu:
̶Soubor všech prvků, které mají charakteristické vlastnosti uvedené v definici daného pojmu
Př: prvočísla jsou 2, 3, 5, 7, atd., ale ne 1, ne –3, ne –7, ….
̶
̶

Adobe Systems
84
Definice implicitní a explicitní
̶Pojmy definujeme přímo (explicitně), jiné nepřímo (implicitně)
̶
̶Příklady implicitních definic:
̶Např. Každé číslo lze v desítkové soustavě zapsat pomocí číslic 0-9 a mocnin čísla 10; v tomto
vyjádření nazýváme počet číslic - řád soustavy (zde desítková; známe i binární, čtyřkovou, ….),
číslici u i-té mocniny deseti nazýváme číslicí i-tého řádu atp.
̶Jsou to ty definice, které "nejsou na první pohled poznat".
̶Uveďte další příklady.
̶

Adobe Systems
Zápatí prezentace
85
(z předmluvy ke Slovníku školské matematiky)
Oficiální matematická terminologie a značení
"Matematik často střídá označení podle toho, o kterém problémovém okruhu pojednává a z jakého
hlediska. Nelze proto např. vyhovět přání některých školských pracovníků, aby se závazně stanovilo,
jakými písmeny se mají označovat množiny a jakými jejich prvky. Jde-li třeba v geometrii o množinu
bodů, označí se prvky velkými písmeny, pracujeme-li s množinou úhlů, použijí se pro prvky písmena
řecké abecedy apod. Pokus o důslednost by nás zavedl do slepé uličky."
̶Česká terminologická komise pro matematiku, v Praze v září 1981
(Matematici chtěli terminologii sjednotit. Jejich cílem bylo také pokud možno používat slova, která
se běžně nepoužívají, aby bylo hned jasné, že jde o pojem matematický.)
̶

Adobe Systems
86
Hra: co je to, když se řekne….
(zejména pojmy z aritmetiky, ne z geometrie)
-Zlomek: viz diskuse v minulém semestru
-Množina:
-Číslo:
-Rovnice:
-Rovnost:
-Nerovnost (nerovnice --- „fajnšmekři“ nepoužívají):
-
-Shodneme se na tom, že a/b je také

Adobe Systems
87
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické věty?
-
-
-
Větou (matematickou větou) formulujeme "zjevnou pravdu", například to, že jediné sudé prvočíslo je
2, relace rovnosti je symetrická i antisymetrická současně.
Pokud dva lidé zacházejí se  stejnými pojmy, na jejichž významu se dohodli pomocí matematických
definic (konvence), o pravdivosti matematické věty se nemohou hádat, pouze se o ní přesvědčit.
K přesvědčení nepřesvědčeného slouží důkaz: krok po kroku ukážeme, že to, co vidíme, je jasná
pravda :-)
Obsah obrázku text Popis se vygeneroval automaticky.

Adobe Systems
88
Hra: které matematické věty jsou ekvivalence a které implikace (zejména  z aritmetiky)
-Pravidla pro dělitelnost: 2, 3, 4, 5, 6, ….:
-Číslo dělitelné 9 je vždy dělitelné 3
-Dává-li číslo k po dělení 4 zbytek 1, pak dává zbytek 1 po dělení 4 i jeho druhá mocnina
-…
-(vymyslete další:)
-Implikace s existenčním kvantifikátorem
-Implikace se všeobecným kvantifikátorem
-Obrácená věta (nemusí být pravdivá)
-Obměněná věta
-
-

Adobe Systems
89
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické důkazy?
-Důkaz: je prostředek k zviditelnění zřejmého. Probíhá krok po kroku a jeho forma závisí na tom,
kdo komu důkaz říká
-1. studující učiteli na písemce: jde jen o kontrolu, zda studující správně pochopil obsah definic
(Př.: Dokažte, že neexistuje číslo, které je současně prvočíslo i číslo složené).
-2. učitel studujícímu (např. ve skriptech, na přednášce, …): snaha osvětlit problém, rozdělit
myšlenkový postup na menší kroky
-3. matematik matematikovi: důkaz "jednou provždy"
-Formálně: přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí