Varianta A
IMAp04 — zápočtová písemka (max. 20 bodů)
Příklad 1 (1 bod) Jsou dána dvě přirozená čísla a, b, pro která platí: a je dělitelné patnácti, b je dělitelné jednadvaceti. Dokažte, že součin těchto dvou čísel je dělitelný devíti.
15x.21y=9.(35xy)
Příklad 2 (2 body) Na místa symbolů x, y doplňte v čísle 5Sx7y takové cifry, aby vzniklé číslo bylo dělitelné číslem 15. Uveďte všechny možnostii.
53175, 53475, 53775, 53070, 53370, 53670, 53970
Příklad 3 ( 4 body).
(a) Vypište (např. do tabulky) všechny dělitele čísla 160.
(b) Dále zjistěte nejmenší nenulové přirozené číslo, kterým je potřeba číslo 160 vynásobit, aby vznikla druhá mocnina přirozeného čísla.
(c) Definujte pojem přirození dělitelé čísla z.
a) 1,2,4, 5, 8,10,16,20, 32,40, 80,160
b) 10
Příklad 4 (3 body) .
(a) Rozhodněte a zdůvodněte, zdaje číslo 493 prvočíslo nebo číslo složené.
(b) Definujte pojem číslo složené.
a) 493=1 7.29, není prvočíslo
Příklad 5 (2 body) číslo 1323 rozložte na prvočinitele a určete počet všech jeho přirozených dělitelů.
3A3.7A2, počet dělitelů 12
Příklad 6 (2 body) Vlaky z Brna do Prahy jezdí vždy v celou hodinu každou hodinu od 7 do 19 hodin (včetně). Vlaky z Brna do Bratislavy odjíždějí každých 90 minut, přičemž první odjížíd v 7 hodin ráno, poslední v 7 hodin večer. Kolikrát za den nastane situace, že vlaky do Prahy a do Bratislavy odjíždějí z Brna současně?
Vlaky odjíždí současně pětkrát za den.
Příklad 7 (3 body) .
(a) Pomocí Eukleidova algoritmu určete nej většího splečného dělitele D {a, b) čísel a = 576, b = 464. Díále určete nejmenší společný násobek n(a, b) těchto dvou čísel.
(b) Definujte pojem největší společný dělitel čísel x a y.
a) 16
Příklad 8 (3 body) Řešte neurčitou rovnici
7x + 4y = 2
x=4t-2; y=-7t+4; t je celé číslo