MA0004 Matematická analýza 1, 1. seminář
15. 2. 2022
Lukáš Másilko
1. cvičení
□        S1 ~ =
15. 2. 2022
Náplň cvičení
□ Posloupnosti
■ Opakovaní znalostí ze střední školy
■ Monotonie a omezenost posloupnosti
■ Limita posloupnosti
Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydaní. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
■ Bušek, I. Řešené maturitní úlohy z matematiky Praha: SPN, 1985.
■ Odvárko, O. Matematika pro gymnázia - Posloupnosti a řady Praha: Prométheus, 1995. ISBN 80-7196-195-7.
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 2/9
Opakování znalostí o posloupnostech ze střední školy
Zopakujte si (doma):
■ posloupnosti a jejich vlastnosti (pojem posloupnost, rekurentní určení posloupnosti, některé vlastnosti posloupností)
■ aritmetická posloupnost
■ geometrická posloupnost
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 3/9
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní:
(a) l,^+llj„=1
(b)
(<=) (^Ci
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená:
(c) ((-1)" • „)~ 1
< □ ►   < [S? ►   4 = >   4 ^ k       š ^)Q,0
Lukáš Másilko	1. cvičení	15. 2. 2022 4	t/9
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní
(b) t
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená:
(c) ((-1)" ■ ! Výsledky:
1. (a) rostoucí, (b) není monotónní, (c) klesající;
2. (a) omezená, (b) omezená, (c) není omezená.
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti		
Definice: Necht je dána posloupnost {an} a číslo [G t. f posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému existuje index r?o G N takový, že pro všechna n > r?o platí	Reknem reálněn an- L	e, že íu e > 0
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 5/9
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti _1		
Definice: Necht je dána posloupnost {an} a číslo [G t. f posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému existuje index r?o G N takový, že pro všechna n > r?o platí	Reknem reálněn an- L	e, že íu e > 0 < e.
Příklad 3a (úkol pro dvojice): Posloupnost {an} je dána následujícím
i
'n—>-oo än — 2
předpisem: an = ^ 2*n+n- Platí pro ni, že L — lim
(—l)n-\-n
■ Vypočítejte prvních pár členů posloupnosti -—^—.
■ Pro Vámi zvolenou kladnou hodnotu parametru s najděte vhodné r?o G N tak, aby platila předchozí definice.
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 5/9
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti		
Definice: Necht je dána posloupnost {an} a číslo [G t. f posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému existuje index r?o G N takový, že pro všechna n > r?o platí	Reknem reálněn an- L	e, že íu e > 0
Příklad 3a (úkol pro dvojice): Posloupnost {an} je dána následujícím předpisem: an = ^~12^+n. Platí pro ni, že L — lim^^ an — |.
■ Vypočítejte prvních pár členů posloupnosti *—^—.
■ Pro Vámi zvolenou kladnou hodnotu parametru e najděte vhodné r?o G N tak, aby platila předchozí definice.
K ověření správnosti vašeho řešení pomůže soubor cvl_priklad3a.ggb, který si můžete stáhnout v interaktivní osnově Matematická analýza 1 -semináre a otevřít v Grafickém kalkulátoru Geogebry.
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 5/9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn-^oo an můžeme začít dosazením n = oo a pokusit se o vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}: □       n, n2, n2 + n, 5 • n2, v7/?, 1234 - n, 2n + 1234
0 n-1", n°
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 6/9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn_í.00 an můžeme začít dosazením n = oo a pokusit se o vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an} □ ±J, n, n2, n2 + n, 5 • n2, y/ň, 1234 - n, 2n + 1234
Neurčité výrazy:
r, °°i		"0"
±		
- OO-	J	ô
Jcx)-oo]j0-oo],[0%[oou],[l°°]
o-
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 6/9
Počítaní s nekonečnem
Při výpočtu lim^oo an můžeme začít dosazením n = oc a pokusit se o vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}
14 2
—, n. n ,
n '     ' '
,2
n + n, 5 • rr
, v n, 1234-n, 2n + 1234
Neurčité výrazy:
		"0"
±		
- OC-	J	ô
Jcx)-oo]j0-oo],[0%[oou],[l°°]
o-
U posloupností (a obecně u funkcí) můžeme zkoumat rychlost jejich růstu a dle tohoto kritéria je porovnávat. Skutečnost, že posloupnost {an} roste výrazně pomaleji než posloupnost {bn} zapisujeme an « bn. Pro reálná čísla 0 < a < b, 1 < a < (3 platí:
n3 « nb « an « (3n « n\ « nn
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 6/9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu lim^oo an můžeme začít dosazením n = oc a pokusit se o vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}
14 2
—, n. n ,
n '     ' '
,2
n + n, 5 • rr
, v n, 1234-n, 2n + 1234
Neurčité výrazy:
		"0"
±		
- OC-	J	ô
Jcx)-oo]j0-oo],[0%[oou],[l°°]
o-
U posloupností (a obecně u funkcí) můžeme zkoumat rychlost jejich růstu a dle tohoto kritéria je porovnávat. Skutečnost, že posloupnost {an} roste výrazně pomaleji než posloupnost {bn} zapisujeme an « bn. Pro reálná čísla 0 < a < b, 1 < a < (3 platí:
n3 « nb « an « (3n « n\ « nn
Příklad: Posloupnosti {n2 + 3n — 1} a {n2} rostou stejně rychle, členy 3n — 1 můžeme u 1. posloupnosti ignorovat.        n    a > <1 „ <1 > t
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 6/9
Limita posloupnosti
Příklad 3b: Pro posloupnost {an} najděte lim grafickým znázorněním prvních pár členů.
an. Pomožte si
(a) an
(b) an
(c) an
(d) an
(e) an
(f) a„
1
n
1 n
(-ir-7i
c (c G K) n
— n
Příklad 3c: Vypočtěte lim^oo an zadaných posloupností:
(a) 3n
(b) a„
(c) an
3n2+l ~~ 2n2+l
_ 3n+l ~~ 2n2+l
3n2+l 2n+l
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 7/9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte
(a) lim 2"2+1
(b) lim
(c) lim
(d) lim
(e) lim
(f) lim
(g) lim
(h) lim
f 2lľĹ _   6 n3
^ a7+1 a72-3
(2n+l)4-(n-2)4 (n+l)4+(a7-l)4
^4+2-7^+1
(Va7 + 1 - Vn)
n—>>oo
n—>>oo
n (^n — Vn2 + 3
6n+l 32n-3
In
2n+l
Lukáš Másilko
15. 2. 2022
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte
(a) lim 2"2+1
(b) lim
n—S-oo
(c) lim
(d) lim
(e) lim
(f) lim
(g) lim
(h) lim
/7—»00
n^řoc
n^oo
3-n2
f 2dľĹ _   ^ n3 \n+l n2-3
(2n+l)4-(n-2)4 (n+l)4+(n-l)4
^n4+2-x/^+l
(+ 1 - yfn) n(n- Vn2 + 3)
6n+l 32n-3
In
2n+l
Výsledky:
4. (a) -2, (b) -oo, (c) f, (d) 0, (e) 0, (f) -§, (g) 27, (h) In 2.
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 8/9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte
(\\ |im 2+3^ y) llmn—>oo 3"_2
(j) I'm (k) lim
n\_ n2
(n+2)!+(n+l)!
(n+3)!
(I) lim^oo ^(1 + 2 + 3 + ...+ n)
(m) lim
(n) lim
(o) lim
(p) lim
/7—>00
/7—>00
(3n+2 _ 3+5+7+---+(2n+l)\ 3 n-5
V
1+Í + Í + -+J7T 1+1 + 1+..   , J_
(l - j^)" (pomůže znalost li m n^oo (l + \)n = e) (l + j^)9n 7 (pomůže znalost li m n^oo (l + \)n = e)
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 9/9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte: (i) lim 2+3"
(j) I'm (k) lim
ni
(n+2)!+(n+l)!
(n+3)!
(I) lim^oo ^(1 + 2 + 3 + ...+ n) (m) lim
(3n+2 _ 3+5+7+---+(2n+l)\ awoo y   3 a7-5 )
(n) lim
^3^9^ ^3"
(o) lim^oo (l - ±)   (pomůže znalost lim n^oo (l + ±)  = e) (p) lim^oo (l + j^)9n 7 (pomůže znalost li m n^oo (l + ±)n = e)
Výsledky:
4. (i) 1, (j) oo, (k) 0, (I) \, (m)        (n) ±, (o) e"!, (p) e;
Lukáš Másilko
1. cvičení
15. 2. 2022 9/9