MA0004 Matematická analýza 1, 11. seminář
26. 4. 2022
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       1 /8
Náplň cvičení
Q Parciální derivace funkce dvou proměnných
Literatura a použité zdroje
• Kuběn J. a kol. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné z:
homel. vsb. cz/~kat>002/výuka/vpzmal3_14/materiály/ Dif erencialni_pocet_vice_promennych. pdf
o Došlá Z., Došlý O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf
• Klaška J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z:
http://mathoníine.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_f ile=1021
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       2 /8
Parciální derivace 1. řádu funkce dvou proměnných
Parciální derivace 1. rádu funkce dvou proměnných
Definice: Nechť funkce f : IR2 —>> K. je definovaná v bodě [xo;yo] a nějakém jeho okolí. Položme p(x) = r(x,yo). Má-li funkce cp derivaci v bodě xq, nazýváme tuto derivaci parciální derivacífunkce f podle proměnné x v bodě [xo;yo] a označujeme /x(xo,yo), event. |í(x0,y0), ^(x0,y0). To znamená, že
/x(x0.yoj = lim -= lim -
x^xo       x — Xq x—»xo x — Xq
Podobně, má-li funkce ip(y) = r(xo,y) derivaci v bodě yo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [xo;yo] a označujeme /ý(x0,yo), event. §^(x0,y0), ^(x0,yo).
Při parciální derivaci podle proměnné x bereme proměnnou y jako konstantu a takto s ní nakládáme při derivaci. Stejně naopak, derivujeme-li podle proměnné y.
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       3 /8
Geometrický význam parciální derivace 1. rádu
Nechť je dána funkce ŕ : R ^ R a Gf je její graf. Necht tt je rovina daná rovnici y = yo- Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce f) je průsečíkem Gf Dtv křivka v rovině 7ľ a parciální derivace fx{xo\yo) udává směrnici tečny ŕ k této křivce v bodě Qo = [*o;yo; f(xo;yo)L v'z obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny ŕ je tg a).
z
Podobně, derivace /ý(xo;yo) udává směrnici tečny ke křivce v bodě Qo, která vznikne průsečíkem plochy Gf s rovinou x ^=n^.< ^ > , 1, < 1 > t
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       4 /8
Příklady na parciální derivace 1. řádu
Příklad 1: Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí:
a) z = x3 + 2x2y + 3xy2 + 4x - 5y + 100
b) z= *
c) z= (x2y+ y)4
d) z = x^
e) z = x • In (x2 — y2)
f) z = a/x + sin xy
Příklad 2: Spočtěte parciální derivace 1. řádu funkce v bodě A
a) f(x, y)=y2+yVT+xž, A =[2, 5]
b) f(x,y) = ln(x+£), /\ = [1, 2]
c) f(x,y) = arctan z, /4 = [0, 1]
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       5 /8
Výsledky príkladu
Příklad 1:
a) z
b) z
C) í
d) z
e) z.
■X
■X
■x
■x
■x
3x2 + 4xy + 3y2 + 4, zy = 2x2 + 6xy - 5, 7' zy = -^, y^O
8xy4(x2 + l)3, zy = 4y3 (x2 + l)4 yxy_1, zy = xy In x, x > O
ln(x2-y2) + ^, zy = -Ä. x2-y2>0
x'-y
_ 1+y-cosxy
^ _ x-cosxy      ^. _|_      ^.   ^ q
Příklad 2:
a) ŕx(2, 5)
b) fx (1,2):
c) fx (0,1) =
■-2V5, fy (2, 5) = 10 + VŠ
0, fy (1,2) = Í
1, ŕy(0,l) = 0
□       S1 ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       6 /8
Parciální derivace 2. řádu funkce dvou proměnných
Parciální derivace 2. rádu funkce dvou proměnných
Parciální derivace 1. řádu /x(x,y), fy(x,y) mohou mít v bodech svého definičního oboru opět parciální derivace podle x nebo y, které nazýváme parciální derivace 2. řádu funkce f\
d ídf
(dx)
dzf
— f —f
dx \dxJ      dx2      'AA 'xx
d df
d y \dy
d_ (d£\ = d2f dy \dxJ
d2 f _ r    _ rff
dy2 — 'w — 'yy
d í df
dx v dy
_ - f -f"
dxdy ~ ,xy ~ 'xy
d2 f _ r _ rff dydx — 'yx — 'yx
druhá parciální derivace f podle x, druhá parciální derivace f podle y,
. druhá parciální derivace f podle xay,
.. druhá parciální derivace f podle y a x.
Schwarzova věta: Nechť funkce f má spojité parciální derivace fxyi fyx v bodě [xo;yo]. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí
fxy(x0,y0) = /ýx(x0,y0).
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       7 /8
Příklady na parciální derivace 2. řádu
Příklad 3: Spočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí
a) z = x2 + xy — 3xy3
b) z= ^
c) z = e2y • sin x
Lukáš Másilko
11. cvičení
□ iS1
26. 4. 2022       8 /8
Příklady na parciální derivace 2. řádu
Příklad 3: Spočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí:
a) z = x2 + xy — 3xy3
b) z =
_ xy+x
c) z = e
y
sin x
Výsledky:
a) zx = 2x + y - 3y3, zy = x - 9xy2, zxx = 2, zy = -18xy,
zxy = zyx = 1 - 9y
-yx
b)  7  - ^±Í   7   - _A_   z    -Oz    - ^ z    -z    - -i
u>/ zx —   y   5 zy —     y2 5 zxx — u, zyy — y3 5 zxy — zyx — ^2
c) zx — e2ycosx, zy = 2e2ysinx, zxx = —e2y zyy = 4e2y sin x, zxy = zyx = 2e2y cos x
sin x,
□ s
=
Lukáš Másilko
11. cvičení
26. 4. 2022       8 /8