MA0004 Matematická analýza 1, 12. seminář 3. 5. 2022 Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 1 / 12 Náplň cvičení Q Totálni diferenciál Q Teč na rovina Q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Literatura a použité zdroje 9 Kuběn J. a kol. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné z: homel. vsb. cz/~kat>002/výuka/vpzmal3_14/materiály/ Dif erencialni_pocet_vice_promennych. pdf a Došlá Z., Došlý O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf • Klaška J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z: http://mathoníine.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_f ile=1021 Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 2 / 12 Totální diferencia Totální diferencia Definice: Řekneme, že funkce f : IR2 —> K. definovaná v okolí bodu [xo;yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí |jm f{x0 + /i,y0 + k)- r(x0,y0) - {Ah + Bk) _ (/7,/c)^(0,0) V/72 + k2 Lineární funkce Ah + Bk proměnných /7, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x0;y0] a značí se df(x0,yo)(h,k), příp. c/f(x0,yo). Poznámka: Totální diferenciál lze použít k přibližnému výpočtu hodnoty funkce dvou proměnných v zadaném bodě. Funkci Ah + Bk lze nahradit takto: df(x0, y0) = fx{xo, yo) ■ h+ fy (x0, y0) • /c Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 3 / 12 Využití totálního diferenciálu Je-li x — x0 + h, y = y0 + k, pak lze pomocí diferenciálu vypočítat přibližnou hodnotu funkce f v bodě [x, y] vypočítat takto: Hx,y) = f{xo,yo) + df(x0,yQ) = f (xo, yo) + fx (*o, yo) ■ h + fy (x0, y0) • k Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 4 / 12 Příklad 1: Spočtěte totální diferenciál funkce f v obecném bodě [x, y]. a) f (x, y) = 3x2 - 2y3 b) f(x,y) = y- In2x c) r(x,y) = xy d) ŕ (x, y) = arctan xy e) ŕ (x, y) = In ^ x2 + y2 Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 5 / 12 Totální diferenciál - příklady Příklad 1: Spočtěte totální diferenciál funkce f v obecném bodě [x, y] a) f b) f c) f d) f e) f x, y) = 3x2 - 2y3 x, y) = y ■ In2x x, y) = xy x, y) = arctan xy x, y) = In ^x2 + y2 Výsledky: a) df(x,y) b) c/f (x, y) c) df(x,y) d) c/ŕ (x, y) e) df(x,y) 6x ■ dx — 6y • c/y ^ • c/x + In 2x • c/y xy • (y • dx + x • In y • c/y) -(y-dx + x-dy) ^2^2 -(x-dx + y-dy) □ s1 ► < -e ► < = Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 5 / 12 Totální diferenciál - příklady Příklad 2: Vypočtěte totální diferenciál funkce f v bodě A pro dané dx, dy. a) f(x,y) = ^, A=[2, 2], dx = 0,03, dy = 0,01 b) f (x,y) = x + y- y/x2+y2, A = [3,4\, dx = 0,l, dy = 0,2 c) f(x,y) = e^, A = [1,2], dx = -0,1, Hy-yoy. Věta: Tečná rovina r ke grafu funkce f v bodě Mq existuje právě tehdy, když je funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo]. Její rovnice je r : z = /x(x0,y0) • (x - x0) + /ý(x0,y0) • (y - yo) + f(x0,y0). Poznámka: Přímka n procházející dotykovým bodem Mq kolmo k rovině r je normála ke grafu funkce f bodě T. Normálový vektor roviny r je (/x(xo,yo), ry(xo,yo), — 1) 3 parametrické rovnice normály jsou tudíž: (x,y,z) = (x0 + t • /x(x0,y0),yo + t • /ý(x0,yo),z0 - ŕ), t G R. Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 8 / 12 Tečná rovina a normála - příklady Příklad 4: Určete rovnici tečné roviny r a normály n ke grafu funkce v zadaném bodě: a) f(x,y) = V1 -x2 - Y2' [xo,yo, zó] = b) f(x,y) = x2+xy + 2y2, [x0,y0, z0] = [l;l;4] c) f(x,y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1; -1;?] d) f(x,y) = e*2+y2, [x0,y0, z0] = [0;0;?] Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 9 / 12 Tečná rovina a normála - příklady Příklad 4: Určete rovnici tečné roviny r a normály n ke grafu funkce v zadaném bodě: a) f(x,y) = V1 -x2 - Y2' [xo,yo, zó] = b) f(x,y) = x2+xy + 2y2, [x0,y0, z0] = [l;l;4] c) f(x,y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1; -1;?] d) f(x,y) = e*2+y2, [x0,y0, z0] = [0;0;?] Výsledky: a) r : x + y + z = y/Ž, n : (x, y, z) b) r : 3x + 5y - z = 4, n : (x, y, z) c) r:x + y-2z=f, n:(x,y,z) = d) r:z = l, n : (x, y, z) = (0,0,1- = (7!-ŕ'7!-ŕ^-ŕ)' ŕeM = (l + 3t, l + 5í,4- í), Í6M = (l + J • ŕ,-l +1 • ŕ, f - ŕ), tel ŕ), ŕ G R □ S1 ► < -e ► < = Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 9 / 12 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Lokální extrémy, stacionární bod Definice: Nechť r(x,y) je funkce dvou proměnných a M[xo,yo] £ D(f). a) Řekneme, že funkce ŕ má v bodě M lokální maximum, jestliže existuje okolí O(M) takové, že pro každé [x,y] G O(M) platí r(x,y) < b) Řekneme, že funkce ŕ má v bodě M lokální minimum, jestliže existuje okolí O(M) takové, že pro každé [x,y] G O(M) platí r(x,y) > f(M). Jestliže pro [x,y] 7^ [*b,yo] jsou předchozí nerovnosti ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. minimu. Definice: Řekneme, že bod M[xo,yo] je stacionárním bodem funkce f, jestliže platí fx(M) = 0 a fy(M) = 0. Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 10 / 12 Lokální extrémy - jak je vyšetřit Věta: Nechť funkce ŕ má v bodě 7~[xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a T je její stacionární bod. Označme = fxx(x,y) • fyy(x,y) - (x,y). Pak platí: O Jestliže H{T) > 0, je v bodě T ostrý lokální extrém. Pro fxx(T) > 0 je T minimum, o pro fxx{T) < 0 je T maximum. O Jestliže H{T) < 0, není v bodě T lokální extrém. O Jestliže H(7~) = 0, nedává věta odpověď (extrém může být, ale nemusí). Poznámka: Výraz H(x,y) se nazývá "hessián" funkce f. H(x,y) = fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y) Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 11 / 12 Lokální extrémy - príklady Příklad 5: Určete lokální extrémy funkce dvou proměnných. a) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y2 + 5x + 2y b) f (x, y) = 2xy - 3x2 - 2y2 + x + y c) f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 d) f (x, y) = x + xy — 2xy — 5x e) f (x, y) = 2x3 - 3xy + 2y3 + 1 Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 12 / 12 Lokální extrémy - príklady Příklad 5: Určete lokální extrémy funkce dvou proměnných a) f (x> y) = x2 + 2xy + 3y2 + 5x + 2y b) f (x> y) = 2xy — 3x — 2y + x + y c) f (x> y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 d) f (x> y) = x + xy — 2xy — 5x e) f y) = 2x3 - 3xy + 2y3 + 1 13 3 4 ' 4J Výsledky: a) lokálni minimum v bodě b) lokálni minimum v bodě ^ c) lokálni minimum v bodě [0,0], lokální maximum v bodě [-§, 0 stac. body, v nichž extrém nenastává: [—1,2] ; [—1, —2] d) lokálni minimum v bodě \\/2, ll , lokálni maximum v bodě [-a/2,1], stac. body, v nichž extrém nenastává: 0,1 + y/6 ; 0,1 — y/6] e) lokálni minimum v bodě nenastává: [0, 0] i i L2' 2J , stacionární bod, v němž extrém □ S1 ► ^ -E ► < = Lukáš Másilko 12. cvičení 3. 5. 2022 12 / 12