MA0004 Matematická analýza 1, 3. seminář
1. 3. 2022
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       1 / 11
Náplň cvičení
O Limita funkce jedné proměnné
B Spojitost funkce jedné proměnné
■ Body nespojitosti
Literatura a použité zdroje
■ Došlá, Z., Kuběn, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU: Brno, 2004.
■ Horváth, P. Materiály k výuce Matematika 1. Dostupné zde: https://j ointlab.upol.cz/~horvath/matematikal_f tk/
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       2 / 11
Limita funkce a její typy
Limita funkce
Definice: Funkce f (x) má v bodě xq G M* limitu rovnou číslu Z. e M*, tj
lim f (x) = L,
x-»xo
když ke každému okolí O(Ľ) bodu í. existuje okolí O(xq) takové, že pro všechna x G O(xq) \ {xq} platí f (x) G O(L).
Rozlišujeme tyto čtyři případy dle xq, ľ.
xq, L vlastní	vlastní limita ve vlastním bodě
xq nevlastní, L vlastní	vlastní limita v nevlastním bodě
xq vlastní, L nevlastní	nevlastní limita ve vlastním bodě
xq, L nevlastní	nevlastní limita v nevlastním bodě
Animace limity: viz https://www.geogebra.org/rn/ymptkVU3
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       3 / 11
Typy limit funkcí
Příklad 1: Zkuste pomocí vhodných počítačových aplikací, na základě vlastního úsudku ci po poradě s kamarády, přijít na to, jakého typu jsou následující limity:
limx^3 lim*^-l ^l^ŕ        ľ,m^2 (x-l)2+5
limx^_oo 2X      limx^oo i^g lim^oo arctg x
Věta: Nechť existuje okolí 0(xq) takové, že pro všechna x £ 0(xq) \ {xo} platí rovnost f (x) = g(x). Pak
lim f(x) = A        lim g(x) = /4,
x—>-xo x—>-xo
kde A e RU {-00,00}.
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       4 / 11
Jednostranné limity funkce
Limita zprava a zleva
Definice: Funkce f (x) má v xo G M* limitu zprava rovnou L G M*, tj
lim f (x) = L,
x—>-x,
+
0
když ke každému okolí O(Ľ) bodu L existuje S > 0 takové, že pro všechna x G (xq,xq + 5) platí f (x) G O(L). Podobně pro limitu zleva lim     - f (x).
Vybrané důležité věty:
O Funkce ŕ má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu, přičemž
limx^Xo f (x) = L ^ limx^x+ f (x) = 1 = limx^x- ŕ(x)-
Jestliže platí limx^Xo f (x) = 0 a pro funkci g existuje okolí O(xq) bodu xq, v němž je g ohraničená, pak limx^Xo f (x) • g {x) = 0.
Početní operace s limitami...
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       5 / 11
Spojitost funkce
Spojitost funkce v bodě		
Definice: Funkce ^(x) je v	bodě xq GK spojitá, jestliže	
	lim f(x) — f(xo).	
	x-txo	
Podobně pro spojitost zleva	, či zprava.	
Věta o složené funkci: Nechť limx^Xo ^(x) = a a funkce g je spojitá v bodě a. Pak platí, že
lim g(f(x)) = g{ lim f(x)) = g(a).
Příklad 2: Spočítejte následující limity
a) lim
b) lim
'x—>-oo
6x+l 32x-3
x—>-oo
In
2x+l Vx2+3
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       6 / 11
Body nespojitosti - typy
Předpokládejme, že funkce f{x) není v bodě xq spojitá.
■ xq je bod odstranitelné nespojitosti, když existuje vlastní limx^Xo ^(x), ale nerovná se ^(xo).
■ xq je bod nespojitosti 1. druhu, když existují vlastní jednostranné limity limx^x- ŕ(x) = a a limx^x+ r(x) = b, avšak a ^ b.
■ xq je bod nespojitosti 2. druhu, když alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje neboje nevlastní.
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       7 / 11
Druhy nespojitosti funkcí
Příklad 3: Na obrázcích jsou znázorněny grafy 5 funkcí. Určete, zda jsou spojité v bodě c, pokud ne, určete, o jaký druh nespojitosti se jedná.
/to
a)
d)
b)
e)
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       8 / 11
Nalezení funkce splňující limitní kritéria
Příklad 4: Rozdělte se do skupin po 2-3 lidech. Jeden ze skupiny určí, jaké limitní omezení či podmínku na spojitost má splňovat neznámá funkce r(x). Zbývající členové skupiny se snaží najít vhodný příklad funkce f(x) vyhovující kritériím kamaráda(ky). Následně si role vymění.
Příklady omezení či podmínek:
(a) Najdi funkci f(x) takovou, která má v bodě x = 3 limitu rovnou 5.
(b) Najdi funkci f(x) takovou, která má v bodě x = 3 limitu rovnou 5, ale není v něm (x = 3) spojitá.
(c) Najdi funkci r(x) takovou, která má v bodě x = 0 limitu rovnou —oc.
Poznámka: Tyto příklady slouží pouze pro inspiraci. Vymýšlejte svá vlastní limitní omezení či podmínky na spojitost.
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       9 / 11
Příklady na limity funkcí
(c (d
(e
(f
(g (h O
lirriv^_
x2+4x+3
Příklad 5: Pomocí jednoduchých úprav spočítejte následující limity: (a (b
x->-l       x3 + 1
i- 2-Vx-3
limx_>0 ^ [víme, že ľ.mx_^0 ^ = 1] linw) sin4x
Vx+T-l
limx^_oo (4x3-x2+x + 2) lim
2x3-x2+5 'x^oc x2+x_2
i;m y^-6x mít1x-kx) 3x+i
limx^oo {y/x-2 - y/x)
l'mx^l x2Z3x+2
l'mx^0   y3^y 2
xj—x'
□ -        =       1 ^o^o
Lukáš Másilko
3. cvičení
1. 3. 2022       10 / 11
Výsledky príkladu 1
(a)	2 3
(b)	1 56
(c)	2 3
(d)	8
(e)	—oc
(0	oc
(g)	2
(h)	0
0)	neexistuje
0)	—oc
Lukáš Másilko 3. cvičení 1. 3. 2022       11 / 11