MA0004 Matematická analýza 1, 5. seminář
15. 3. 2022
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       1 /8
Náplň cvičení
q Derivace funkce jedné proměnné
■ Geometrický význam derivace
■ Využití základních vzorců
■ Derivace složené funkce
■ Úprava funkce před stanovením derivace
■ Tečna a normála funkce
Literatura a použité zdroje
■ Došlá, Z., Kuběn, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU: Brno, 2004.
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       2 /8
Geometrický význam derivace
Derivace funkce
Definice: Derivací funkce f{x) v bodě xq nazveme limitu
..    f{x) - f(x0)            f(x0 + Ax) - f(x0) lim -=  lim---.
x^x0     x — xq        Ax-^o Ax
Značit budeme f'(x), resp. y'. Je-li limita vlastní, mluvíme o vlastní derivaci, v opačném případě se jedná o derivaci nevlastní. V případě, že existují jen jednostranné limity, mluvíme o derivaci zprava (zleva).
Ukázka animace vysvětlující geometrický význam derivace f (x) v určitém bodě S2 = [xo, f(xo)], k němuž se přibližuje bod SI = [a, f(a)]\
https://www.geogebra.org/classic/xwk2gdvh
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       3 /8
Využití základních vzorců
x2-h x
'X
Příklad 1: Zderivujte následující funkce D f(x) =
B f{x) = B f(x) = B ŕ (x) =
ŕ(x) =
x
x2 • In x
x2 + l x2-l
1+sin x
cos x
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       4 /8
Využití základních vzorců
x2-?/x
x
x+^x+1
Příklad 1: Zderivujte následující funkce: H f(x) =
f(x) =
f(x) = f(x) = f(x) =
X
x2 • In x
x2 + l x2-l
1+sin x
Výsledky:
1.
4.
cos x	
O	ľ(x-l).^]
5 Z-	2x2
4x
(*2-irJ
, 5.
1—sin x
3. [x-(2lnx +1)],
Lukáš Másilko
□        S1 ►  < -E ►  < =
5. cvičení
15. 3. 2022       4 /8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
f f f f f f f
f
x x x x x x x
x
■ 4
sin x
= e
In3 (x2 - 1) tg32x
+ 3
= x2
• Vl + x:
(5-2xY arctgl±í
Lukáš Másilko
□        S1 ►  < -E ►  < =
5. cvičení
15. 3. 2022       5 /8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
f f f f f f f
f
x x x x x x x
x
■ 4
sin x
_ ax2-2x+l
= e
In3 (x2 - 1) tg32x
+ 3
= x2
• Vl + x:
(5-2xY arctgl±í
Výsledky:
1. Í4 • sin x • cos x , 2.
5.
2x • b*2'1
■ In 5
6.
2 (x - 1) • ex2-2x+1
x(2+3x2)-VT+^
x
2 + l
7.
3.	6x-ln2	(x2-l)	, 4.	6sin22x
	x:	'—1		cos42x
-	4	, 8.	i	
1(5	-2x)3_		1+x2	
□	►   4 [51 >		=	
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       5 /8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce: q f (x) = xx g f (x) = xlnx f (x) = xsinx
□        S1 ►   < -E ►   < =
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       6 /8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce g f (x) = xx g f (x) = xlnx f (x) =xsinx
Výsledky:
1. [xx-(lnx+l)], 2. [2-In x-x1™-1
, 3. [xsinx • (cosx- lnx+ sio*)'
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       6 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě T = [x0,yo]-
□ f(*) = lg|, T = ^ ?1
ŕ (x) = x • In x, 7 = [e, ?]
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       7 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě T = [x0,y0].
□ f 00 =	3x-l 2x+3'	T =	[2,	?]
B ŕ 00 =	2x2-l x+1 '	T =	= ["	I ? 2' ■
H /f(x) =	8 x2+4'	T =	[2,	?]
□ ŕ 00 =	x • In x	, T	= [e	
Výsledky:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
T — 2, | , tečna: y = ^x +      normála: y = — jfx +
tečna: y = —2x — 2, normála: Y — \x ~\
7 =
_I _i
741
7" = [2, 1] , tečna: y = —\x + 2, normála: y = 2x — 1 T = [e, e], tečna: y = 2x — e, normála: y = — \x + |e
Lukáš Másilko
5. cvičení
< □ ►  < ť3? ►  < -E ►  < -ž ►     -š     •O Q, O
15. 3. 2022       7 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály □ ke kružnici x2 +y2 = 2 v jejím bodě [1, —1] B k parabole y2 = x v jejím bodě [4, —2]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce r(x) = x2 — 4x + 3, která svírá úhel cp = 45° s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce r(x) = x2 — 2x + 3, je-li tečna rovnoběžná s přímkou p:3x — y + 5 = 0.
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       8 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály □ ke kružnici x2 +y2 = 2 v jejím bodě [1, —1]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce f{x) — x úhel cp = 45° s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce f(x) — x rovnoběžná s přímkou p:3x — y + 5 = 0.
Výsledky:
5.1. Tečna: y = x — 2, normála: y = —x
5.2. Tečna: y = —\x — 1, normála: y = 4x — 18
4x + 3, která svírá
2x + 3, je-li tečna
B k parabole y2 = x v jejím bodě [4, —2]
6. T
"5
.2'
|] , tečna: y = x- ^
7. T
— "5 17"
— .2' 4 .
tečna: y = 3x
13 4
Lukáš Másilko
5. cvičení
15. 3. 2022       8 /8