MA0004 Matematická analýza 1, 9. seminář 12. 4. 2022 Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 1 /8 Náplň cvičení Q Přibližné vyjádření funkce • Diferenciál • Taylorův polynom Literatura a použité zdroje o Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552 • Ústav matematiky, FSI VUT Brno. MATEMATIKA online -Matematika I. Dostupné z: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-I/ sc-5-sr-l-a-4/default.aspx Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 2 /8 Diferencia Diferencia Věta 26: Funkce ŕ má v bodě xq diferenciál (je diferencovatelná v xq) právě tehdy, když existuje vlastní derivace /^(xq). Přitom platí df(x0)(h) = ŕ'(x0) • h. Píšeme též d f {x) = f'{x)dx. Pro dostatečně malé h platí: f (x) = f (x0) + ff(x0) • (x - x0) pro x x0. Poznámka: • Proměnnou h = dx = x — xo nazýváme přírůstek proměnné x. • Diferenciál funkce f v bodě xq zapisujeme výrazem df(xo)(h). 9 Pomocí diferenciálu lze aproximovat hodnotu funkce f (x) v bodě x blízkém bodu xq, pro který snadno spočítáme funkční hodnotu ^(xo) i hodnotu 1. derivace /^(xq). Čím větší hodnotu má přírůstek h — dx — x — xq, tím méně přesná bude aprogima^e. ^ k 4 ^ k ^ ^Q Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 3 /8 Geometrický význam diferenciálu Obr. ě.7: Diferenciál jo plínistík fmikce na tcCnfi. • Modrá úsečka je přírůstek dx = x — xq proměnné x. o Červená úsečka dy je "přírůstek na tečně" t k funkci f v bodě xq, tj. o kolik větší/menší je hodnota t(x) v porovnání s t(xo) = ^(xo). • Obě úsečky svírají pravý úhel v pravoúhlém trojúhelníku. Uhel a naproti červené úsečce je stejný jako úhel, který tečna svírá s osou x. Tangens úhlu a je směrnicí tečny t. Platí pro něj tga = • Pro dy platí: dy — tga - dx — f'(xo) • dx (rovnice pro diferenciál). Délka červené úsečky vyjadřuje diferenciál funkce f v bodě xq. Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 4 /8 Diferenciál - příklady Příklad 1: Pomocí diferenciálu určitě přibližnou hodnotu následujících výrazů. a) sin 29° b) c) log 11 d) arctg 1,1 e) ^70 f) cos 151° g) 21,003 h) In 1,1 Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 5 /8 Diferenciál - příklady Příklad 1: Pomocí diferenciálu určitě přibližnou hodnotu následujících výrazů. a) sin 29° b) c) log 11 d) arctg 1,1 e) ^70 f) cos 151° g) 21,003 h) In 1,1 Výsledky: a) 0,484885; b) 8,9445; c) 1,0434294; d) 0,83539; e) 4,125; f) -0,874752; g) 2,004; h) 0,1 Lukáš Másilko 9. cvičeni 12. 4. 2022 5 /8 Taylorův polynom Taylorova věta Věta 27: Nechť má funkce f v okolí bodu xq vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n £ N U {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec: f(xo) f(x) = f{xo) + ^^(x-Xo) + ^^{x-XoY + - ■ •+ n, (x-x0)" + Rn{x\ číslo ležící mezi xq a x. Poznámka: 9 Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom. 9 Pokud v Taylorově větě položíme xq = 0, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův polynom. Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 6 /8 Taylorův polynom - příklady Příklad 2: Napište Taylorův (či Maclaurinův) polynom 3. řádu v bodě xo pro funkci f(x). a b c e f f(x f(x f(x f(x f(x f(x = i>x* = 1 = ex, x0 = 1 = sin x, xo = 0 = cosx, xo = 0 = e 2 , x0 = 0 = ex • sin x, xq = 0 Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 7 /8 Taylorův polynom - příklady Příklad 2: Napište Taylorův (či Maclaurinův) polynom 3. řádu v bodě xo pro funkci f(x). a b c e f f(x f(x f(x f(x f(x f(x = i>x* = 1 = ex, x0 = 1 = sin x, xo = 0 = cosx, xo = 0 = e 2 , x0 = 0 = ex • sin x, xq = 0 Výsledky: a) l-(x-l) + (x-l)2-(x-l)3 b) e + e(x-l) + f(x-l)2 + f(x- c) x- Í d) l"í e) l-Ý f) x + x2 + ^ 1): Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 7 /8 Taylorův polynom - příklady Příklad 3: Přibližně vyjádřete hodnotu následujících výrazů pomocí Taylorova polynomu 3. řádu, přičemž bod xq vhodně zvolte tak, aby byl výsledek aproximace co nejpřesnější. a) f(x) = cos 62° b) f(x) = sin 44° c) f(x) = ^8,02 d) f(x) 1 = e4 e) f(x) = 21,003 f) f(x) = In 1,1 S jakou chybou jste vyjádřili výsledek? Porovnejte výsledky vašich výpočtů s pomocí kalkulačky. Lukáš Másilko 9. cvičení 12. 4. 2022 8 /8