Vydavatelství Univerzity Palackého J. Kuben OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE v Olomouc 1995 Předmluva Tato skripta jsou určena zejména pro posluchače inženýrského studia, lze je však použít i v jiných typech studia, kde se přednáší tato látka v obdobném rozsahu. Skripta obsahují standardní partie teorie obyčejných diferenciálních rovnic, které tvoří nezbytnou část matematického vzdělání inženýra. Hlavní pozornost je věnována tzv. elementárním metodám řešení, tj. praktickým výpočetním algoritmům. Text si ale rovněž všímá přesného zavádění pojmů a správné formulace základních teoretických výsledků o těchto rovnicích. Důkazy nejsou vzhledem k rozsahu skript v naprosté většině prováděny. Na ukázku jsou uvedeny některé z nesčetných aplikací diferenciálních rovnic. V určitých částech text mírně přesahuje běžný kurs a aspoň pro orientaci se zmiňuje o dalších oblastech, kterými se zabývá vlastní teorie diferenciálních rovnic. Sem patří zvláště závěrečný oddíl, věnovaný rovnicím s nespojitou pravou stranou. Vzhledem k tomu bude možné skripta využít i pro eventuální přednášky vybraných partií z obyčejných diferenciálních rovnic v doktorandském studiu. Pro hlubší zájemce o teorii obyčejných diferenciálních rovnic uvádím následující orientační (a velmi stručný) přehled doporučené literatury: Mezi poměrně přístupné práce patří [17, 18, 20, 29]. Práce [21, 22] obsahují pěkný a přesný výklad tzv. elementárních metod včetně důkazů. Hlubokým zájemcům lze pak doporučit [5, 6, 14]. Jde však o velice náročné texty (zvláště [6] a [14]), které jsou určeny profesionálním matematikům s potřebným předběžným vzděláním. Ve všech uvedených pracích lze nalézt další literaturu o obyčejných diferenciálních rovnicích, která je nesmírně rozsáhlá. Předkládaná skripta byla vysázena pomocí počítače PC užitím systému LSTgX. Obrázky ve druhém vydání byly nakresleny převážně pomocí programu METfiFONT. I když tvorba zdrojového souboru je časově poměrně náročná, vzhled textuje odměnou za vynaloženou námahu. Autor doufá, že podoba skript usnadní čtenáři studium a ten ocení nejen vzhled skript ale snad i jejich obsah. Na závěr bych chtěl poděkovat doc. RNDr. Zdeňku Šmardovi, CSc. z FE VUT Brno a RNDr. Vladimíru Vetchému, CSc. z katedry matematiky VA Brno i za pečlivé pročtení prvního vydání skript a řadu připomínek, které zlepšily text a odstranily mnohé chyby a nepřesnosti. Ve druhém vydání byly navíc provedeny menší vzhledové úprav}- a opraveny některé překlepy, nepřesnosti a chyby v zadáních příkladů a výsledcích. Brno, 15. 4. 1995 Jaromír Kuběn ii Obsah Předmluva i Obsah iii Seznam obrázků v 1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 1.1 Úvod.................................. 1 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu ......... 2 1.2.1 Základní pojmy........................ 2 1.2.2 Existence a jednoznačnost řešení.............. 6 Cvičení ................................ 9 1.3 Elementární metody řešení ..................... 10 1.3.1 Rovnice se separovanými proměnnými........... 11 1.3.2 Homogenní rovnice...................... 15 1.3.3 Rovnice tvaru y' — fíax + by -f c) ............. 16 1.3.4 Rovnice tvaru y' = f(2xZtkJĽk<±\.............. 18 1.3.5 Lineární rovnice ....................... 21 1.3.6 Bernoulliova rovnice..................... 25 1.3.7 Exaktní rovnice a integrační faktor............. 27 Cvičení ................................ 34 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu................ 36 Cvičení ................................ 44 2 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 47 2.1 Kvalitativní teorie .......................... 47 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu .................... 50 2.2.1 Úvodní poznámky...................... 50 2.2.2 Vlastnosti lineárních rovnic................. 54 2.2.3 Homogenní rovnice...................... 55 2.2.4 Snížení řádu lineární rovnice ................ 57 2.2.5 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty....... 58 iii 2.2.6 Nehomogenní rovnice, variace konstant .......... 62 2.2.7 Metoda neurčitých koeficientů................ 65 2.2.8 Eulerova rovnice....................... 72 Cvičeni ................................ 74 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů. ................ 76 3 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 82 3.1 Kvalitativní teorie.......................... 82 3.2 Lineární systémy........................... 86 3.2.1 Homogenní systém}-..................... 88 3.2.2 Nehomogenní systémy.................... 90 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty............ 93 3.3.1 Eliminační metoda...................... 94 3.3.2 Užití normálního systému vektorů............. 98 3.3.3 Výpočet exponenciály matice................ 103 3.3.4 Metoda neurčitých koeficientů................ 108 Cvičení ................................ 112 3.4 Lineární systémy s nespojitými koeficienty............. 115 3.5 Ukázky aplikací systémů diferenciálních rovnic .......... 121 Literatura 124 Rejstřík 126 iv Seznam obrázků 1.1 Lineární element diferenciální rovnice................ 3 1.2 Směrové pole rovnice y' = x2 -f- y2 ................. 5 1.3 Eulerův polygon ........................... 5 1.4 Řešení rovnice y' — 2y'\y\...................... 7 1.5 Nejednoznačnost řešení........................ 7 1.6 Řešení rovnice y1 = —2xy ...................... 13 1.7 Obecné řešení rovnice y' = -\AlJl.................. 14 1.8 Obecné řešení rovnice x -r y -i- xy' = 0............... 17 1.9 Obecné řešení rovnice y' — 2y -i- x.................. 26 1.10 Příklady oblastí............................ 28 1.11 Elektricky obvod........................... 43 2.1 Počáteční úloha pro rovnici druhého řádu............. 49 2.2 Kmity pružiny ............................ '8 2.3 Matematické kyvadlo......................... ''8 2.4 Elektrický obvod........................... "79 2.5 Průběh řešení lineárního oscilátoru................. 81 3.1 Po částech spojitá funkce ...................... 11' 3.2 Řešení počáteční úlohy y" - y = sgnx. y(») — 0. í/(tt) = 1 . . . 120 o.3 Mechanická soustava......................... 121 3.4 Elektrický obvod........................... 123 v 1 Kapitola 1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1.1 Úvod Obyčejnými diferenciálními rovnicemi1 rozumíme rovnice, v nichž se vyskytují neznámé funkce jedné proměnné, a to včetně svých derivací (alespoň nějaké derivace neznámé funkce se musí v rovnici vyskytnout: jinak by šlo o tzv. funkcionální rovnice). Úkolem je tyto funkce určit. Uvedeme několik příkladů takových rovnic. i- y' = y Řešením je zřejmě např. funkce y = ex ale rovněž jakákoliv funkce tvaru y — cex, kde c € R je libovolná konstanta. 2. y" = -y Řešením jsou například funkce y — skůr. y — cosx ale též funkce tvaru y — ci cosx + c2sinx. kde ci. c2 £ R jsou libovolné konstanty. 3. 2y'y2 - {y'f - e3r = 0 Řešením je např. funkce y = ex. 4- y"y2 + y' + y2 sin x — cos x — 0 Řešením je např. funkce y — sin x. Již z předchozích příkladů je vidět obrovskou různorodost těchto rovnic. Obyčejné diferenciální rovnice třídíme podle jejich řádu, což je nejvyšší derivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje. Ted}' rovnice z 1. a 3. příkladu jsou prvního řádu. rovnice z 2. a 4. příkladu jsou druhého řádu. 1Diferenciální rovnice, v nichž neznámé funkce mají více proměnných, se nazývají parciální. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Řešením obyčejné diferenciální rovnice rozumíme funkci, která vyhovuje dané rovnici na nějakém intervalu. Z 1. a 2. příkladu je vidět, že takových řešení může být více, dokonce nekonečně mnoho. Jedno konkrétní řešení nazýváme partikulární řešení. Podaří-li se nám najít univerzální vzorec, ve kterém jsou zahrnuta všechna partikulární řešení, mluvíme o obecném řešení. Podrobněji, obecné řešení bude vzorec obsahující jednu nebo více libovolných konstant, jejichž konkrétními volbami dostaneme všechna možná partikulární řešení dané rovnice. Počet konstant odpovídá v podstatě řádu rovnice. Lze např. ukázat, že y = cex, c G i?, je obecné řešení výše uvedené rovnice y' = y. Obyčejné diferenciální rovnice mají rozsáhlé aplikace. Některé si uvedeme v průběhu dalšího výkladu. S mnohými se setkáte v řadě dalších předmětů, jako mechanika, fyzika, pružnost, pevnost, základ}' elektrotechniky, předměty specializace atd. Bez nadsázky lze říci. že diferenciální rovnice patří k jedné z nejvýznamnějších oblastí, co se týká aplikací matematiky. S vývojem jejich teorie je spjata řada jmen významných matematiků minulosti i současnosti, včetně československých matematiků. Jelikož není naším úkolem dělat historický přehled, omezíme se na to. že v dalším výkladu uvedeme na vhodných místech aspoň jména se základními faktografickými údaji těch matematiků, kteří jsou spjati s počátky teorie obyčejných diferenciálních rovnic. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 1.2.1 Základní pojmy Nechť F(x,y. z) je funkce tří proměnných, která je definovaná na otevřené množině Q C i?3. Pak rovnice F(x.y.y') = 0 (1.1) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu v implicitním tvaru s neznámou Definice 1.1 Nechť h(x) je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak h(x) se nazývá řešení rovnice (1.1) na J. jestliže h[x) má derivaci, pro každé x E J je (.r, h(x). h'(x)) G fi a platí F[x.h{x). Iříx)] = 0. x 6 J. Při vyšetřování vlastností obyčejných diferenciálních rovnic je důležitý případ, kdy lze z rovnice (1.1) osamostatnit y', tj. získat tzv. explicitní tvar obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu y' = fU-y)- (1-2) kde f(x, y) je funkce dvou proměnných definovaná na otevřené množině O C R?. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 3 Osamostatnění y' není někdy jednoznačné. Pak rovnici v implicitním tvaru odpovídá (lokálně) více rovnic v explicitním tvaru. Napr. rovnice y — x = 0 je ekvivalentní dvěma rovnicím y = x. y = -x. Xe vždy je prakticky (tj. pomocí elementárních funkcí) možné rovnici (1.1) rozřešit vzhledem k y'. Jako obecný nástroj zde slouží věta o implicitní funkci —viz např. [7]. Y dalším budeme předpokládat, že rovnice má tvar (1.2). Jestliže y{x) je řešení rovnice (1.2). které v bodě :c0 má hodnotu y0. tj. y(x0) = yfJ (říkáme, že řešení prochází bodem (x0. y0) ). pak musí platit í/íxo) = f[x0. y{x0)} = f(x0. y0). Jestliže tedy řešení prochází bodem (x0.y0). jsme schopni říci. i když nemáme vzorec y(x). jaká je směrnice tečny (tj. derivace) k y {x) v bodě (x0.y0). Je to totiž právě číslo f(x0.y0). Z toho důvodu zavádíme následující pojmy. Obr. 1.1: Lineární element diferenciální rovnice Definice 1.2 Trojice čísel íxc. yQ, f(x0. y0 i). (xc. y„) € Cl. se nazývá lineární element diferenciální rovnice (1.2). Množina všech lineárních elementů dané diferenciální rovnice tvoří její směrové pole. Každý lineární element můžeme znázornit jako vázaný vektor (šipku) umístěný do bodu (x0.y0), přičemž přímka určená tímto vektorem má směrnici f(x0, V o) ~ viz obr. 1.1. kdo tgv~ = f(x0.y0). Tento vázaný vektor lze předem zkonstruovat v každém bodě (x0,y0) £ Cl. Funkce y{x) je pak řešením rovnice (1.2) právě tehdy, když má následující vlastnost: 4 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu V každém bodě, kterým y(x) prochází, je příslušný vázaný vektor tečný ke grafu funkce y(x). Tuto vlastnost lze využít k vytvoření představy, jak asi řešení dané rovnice vypadá. Sestrojíme hustou síť bodů a v nich nakreslíme lineární elementy. Ty nám ukazují, jak asi řešení probíhají. Příklad 1.1 Sestrojte směrové pole rovnice y' = x2 + y2 a načrtněte tvar řešení. Řešení: Určíme množiny bodů. které odpovídají stejným hodnotám směrnice k. Ty získáme řešením rovnice x2 + y2 = k. Zřejmě musí být k > 0. Pro k = 0 dostaneme jediný bod (0.0). v němž je tečna vodorovná, tj. je to osa x. Pro k = 1 dostaneme body na kružnici x2 + y2 = 1. v nichž tečny svírají s osou x úhel are tg 1 = f • Pro k — 2 dostaneme body na kružnici x2 + y2 = 2. v nichž tečny svírají s osou x úhel arctg2 = 1.1071. Pro k = -j dostaneme body na kružnici x2 + y2 = |. v nichž tečny svírají s osou x úhel aretg | = 0,.4636 atd. Situace je znázorněna na obr. 1.2. v němž jsou rovněž načrtnuta tři řešení. Podrobněji je možné zjistit, že každé řešení je rostoucí a je definované pouze na ohraničeném otevřeném intervalu, v jehož krajních bodech má nevlastní limity. Na závěr se ještě stručně zmíníme o tzv. Eulerových2 polygonech. Nechť je x0 < X\ < ■ ■ ■ < xn, n > 1. Pokusíme se přibližně najít řešení y(x) na intervalu (x0,xn). přičemž předpokládáme, že y(xo) = y0. Sestrojíme přímku, která prochází bodem (xo,yo) a má směrnici f(xQ.yo). Ta protne přímku x = x± v bodě (xi,yi). Nyní sestrojíme přímku, která prochází bodem (xixyi) a má směrnici fi^iiVi)- Ta protne přímku x — xo v bodě (xo. y2) atd. Lomená čára určená body (.tor yo). (xi, yi)... ., (xn. yn) se nazývá Eulerův polygon. Situace je zachycena na obr. 1.3. V teorii diferenciálních rovnic jsou důležité následující tři otázky: — zda má daná rovnice vůbec nějaké řešení. — pokud nějaké řešení má. kolik je jich celkem. — jak lze řešení nalézt. Odpověď na tyto otázky bude částečně zodpovězena v následujících odstavcích. 2Leonard Euler (1707- 1783) (čti ojler) — švýcarský matematik, fyzik, mechanik a astronom. Působil převážně v Petrohradě. Jeden z nejvétších matematiků všech dob. Napsal kolem 850 prací (včetně mnoho dílný'cli monografií). Ovlivnil všechny základní matematické disciplíny . Od r. 1766 byl slepý- (diktoval svým žákům). Obr. 1.3: Eulerův polygon 6 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1.2.2 Existence a jednoznačnost řešení Již z úvodních příkladů na str. 1 je zřejmé, že zcela běžné rovnice mají nekonečně mnoho řešení. Klást si proto otázku, zda řešení je jediné, není rozumné. Jednoznačnost je třeba chápat jiným způsobem a to tak, že na řešení budeme mít ještě další požadavky. Rovněž je třeba zpřesnit vlastnost mít řešení. Definice 1.3 Nechť (xq. ijq) G Í7. Pak úloha najít řešení y(x) diferenciální rovnice (1.2), které je derivované na nějakém intervalu I obsahujícím bod xq a které splňuje tzv. počáteční podmínku y(x0) — y0, se nazývá Cauchyova3 počáteční úloha. Bude nás zajímat, za jakých podmínek bude mít počáteční úloha řešení a kdy bude toto řešení jediné. Věta 1.1 (Existenční) Nechť fix, y) je spojitá na otevřené množině íl. Pak pro každé (xQ.yo) G fž má úloha y = fix. y). y(x0) = yo (1.3) alespoň jedno řešení. Spojitost tedy zaručuje, že každým bodem prochází alespoň jedno řešení, definované na nějakém (obecně dostatečně krátkém) intervalu.Nezajímá nás zatím, jak moc lze tento interval ..natáhnout". Toto řešení však nemusí být jediné, jak ukazuje následující příklad. Příklad 1.2 Uvažujme rovnici y' = 2y\y\. Ověřte, že tato rovnice má (mimo jiná) řešení y = 0 a řešení tvaru ( (x - c)2, x > c. y° = \ o. x c je y'c = 2(x — c) = 2y7(.r — c)2 = Tedy počáteční úloha y' = 2y/\y\. yiO) = 0 f fx — c)'2, x > c. má nekonečne mnoho řešení, a to u e 0 a i)c = < „ ~~ " . c > Q — J J- ] 0. x < c. ~ viz obr. 1.4. 3Augustin Louis Cauchy (li89-1851) (čti koši) — vynikající francouzský matematik. Napsal přes 700 prací. Položil základy soudobé matematiky, především analýzy. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 7 y x2 (x- l)2 (x - 2,5)2 {x - 4)2 (x - c)2 Obr. 1.4: Řešení rovnice y' = 2y/jií/J Je zřejmé, že pokud prochází daným bodem (x0,yo) více různých řešení, která se „rozvětvují" v daném bodě, mají všechna tato řešení v bodě (xo,yo) společnou tečnu — viz obr. 1.5. Nezajímá nás, zda se řešení rozvětvuje někde „dál". To vystihuje následující definice. Definice 1.4 Řekneme, že počáteční problém (1.3) má jediné řešení, jestliže pro každá dvě jeho řešení y\{x), y-z{x) existuje vhodné číslo S > 0 takové, že pro x e (xQ - S,xQ + $) je yi(x) = 2/2(2)- > V 2/0 /-—• y O Xo X Obr. 1.5: Nejednoznačnost řešení 8 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Tedy v dostatečně malém okolí bodu xq se musí řešení shodovat. Existuje řada podmínek, které zaručují jednoznačnost. Xejznámější je tzv. Lipschitzovcŕ podmínka (lokální): Existují konstanta A' > 0 a okolí O bodu (xq.ijq). O C Q. takové, že pro každé dva body (x. ř/i) E O, {x. y 2) E O je Aby byla tato podmínka splněna, stačí, aby existovala ohraničená (v okolí bodu (xQ.y0) ) parciální derivace . což je splněno např. pokud je tato derivace spojitá. Tedy platí: Věta 1.2 (O existenci a jednoznačnosti) Xechť flx.y) je spojitá na otevřené množině Q. C R2 a v každém bodě je splněna Lipschitzova podmínka. Pak pro libovolný bod (xQ.yo) G Q má úloha (1.3) právě jedno řešení. Důkaz: Nebudeme provádět všechny detaily, ale pouze naznačíme myšlenku konstrukce řešení. Ta totiž muže sloužit jako základ numerických metod založených na tzv. Banachově0 celé o pevném bodu. Zintegrujeme-li rovnici (1.3) na intervalu {xq.x). dostaneme Naopak lze ukázat, že libovolné řešení předchozí integrální rovnice je řešení úlohy (1.3). Řešení integrální rovnice je možné získat tzv. metodou postupných aproximací. Položme yo(x) = y o pro x E {x q - ô. x o + <5). kde ô > Oje dostatečně malé číslo. Dále definujme: 4Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903) (čti lipšic) — významný německý matematik. Zabýval se diferenciálními rovnicemi, teorií čísel, vícerozměrnou geometrií a dalšími oblastmi. Pracoval rovněž v hydrodynamice a analytické mechanice. 5Stefan Banach (1892-1945) — vynikající polský matematik. Jeden ze zakladatelů funkcionální analýzy. Patří k nejvýznamnčjším matematikům tohoto století. f(x.yd) - f(x.y2)\ < K\yl - y2\. a po úpravě obdržíme, že řešení vyhovuje integrální rovnici 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 9 yn+i(z) Ho + / f[s. yn{s)} ds. 1 %0 Lze dokázat, že posloupnost funkcí { 0. Rovnice 6Marius Sophus Lie (1842-1899) (čti li; — norský matematik. Zabýval se teorií grup a diferenciální geometrií. Zavedl tzv. Lieovy grupy a jejich invarianty. Tento pojem je velmi významný v mnoha odvětvích soudobé matematik}- a teoretické fyziky. 1.3 Elementární metody řešení 11 y' — x2 + y2, která je zde vyšetřována, je speciálním případem tzv. Riccatiho' rovnice. Z výsledků, které o ní dokázal J. Liouville8. vyplývá, že v našem případě ji nelze řešit ve třídě elementárních funkcí — viz [29]. Dalším důsledkem je význam numerických metod. V praxi se nelze spokojit s tím, že řešení nelze získat explicitně, a nezbývá pak. než získat řešení přibližně. S problematikou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic se setkáte v přednáškách z numerické matematiky — viz např. [8. 9. 19, 25]. V následujícím přehledu jsou všechny rovnice až na jednu uvedeny ve tvaru y' = f(x,y). Je tedy třeba konkrétní rovnici na tento tvar upravit a pak zvažovat, zda je některého z uvedených typů. Tato fáze dělá studentům nej větší potíže. Je třeba procházet uvedené typy jeden po druhém, nejlépe zhruba v uvedeném pořadí, a porovnávat, zda jde o daný typ. Je možné, že konkrétní rovnice spadá současně do více typů. Pak dáme přednost tomu. který má jednodušší postup řešení. Rovněž je třeba upozornit, že následující výklad není vždy absolutně přesný a je především zaměřen na formalismus řešení uvedených typů rovnic. 1.3.1 Rovnice se separovanými proměnnými Obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu nazýváme rovnice se 'separovanými proměnnými, jestliže má tvar y' = f(x)g(y). (1.4) Předpokládejme, že f a g jsou spojité funkce na nějakých otevřených intervalech a 9(y) 7^ 0- P&k lze ukázat, že je zaručena existence a jednoznačnost řešení a že každé řešení dostaneme následujícím postupem: Dosadíme í/' = £ a dostaneme dx Odseparujeme proměnné, tj. převedeme napr. vše s y na levou stranu a vše s x na pravou stranu. Vyjde g(y) I[) Získanou rovnost zintegrujeme. Dostaneme dy . f(x)dx. "Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) (čti rikati) — italský matematik a mechanik. Zabýval se integrálními a diferenciálními rovnicemi mechanik)". Jeden z vícečlenné rodiny italských matematiků stejného příjmení. 8Joseph Liouville (1809-1882) (čti liuvil) — významný francouzský matematik. Zasáhl io téměř všech oblastí tehdejší matematiky. 12 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádn Nechť G{jj) je primitivní funkce k —~ a F(x) je primitivní funkce k f (x). Pak obecné řešení má tvar G(y) = F(x) + c. kde c G i? je integrační konstanta. Přesné zdůvodnění uvedeného postupu je založeno na substituci v neurčitém integrálu a větě o implicitní funkci — viz [20. str. 8j. Řešení tedy dostaneme v implicitním tvaru a ne vždy se nám podaří osamostatnit neznámou funkci y(x). Dále. si všimněme, že jestliže g(y0) = 0 pro nějaké y0 e R. je y (x) = yo konstantní řešení rovnice f 1.4). neboť na levé straně je y'(x) = (yo)' = 0 a na pravé straně -je f(x)g[y(x)} — f{x)g(yo) = 0' Poznamenejme, že toto řešení někdy může být singulární — viz např. [20. str. 9]. Poznámka 1.1 Je na čase. abychom se zmínili obecně o řešení počátečního problému (1.3). Jediný způsob, který se naučíme, bude ten. že nejprve najdeme obecné řešení. To bude u rovnic 1. řádu obsahovat jednu neznámou konstantu. Tu určíme tak. že do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku. Postup bude ilustrován v následujícím příkladu. Příklad 1.3 Řešte počáteční problém y' — -2xy. y(0) — 2. Řešení: Jde o rovnici typu (1.4). kde fix) = -2a\ g(y) = y. Nejprve budeme muset najít obecné řešení. Protože v našem případě je g(y) = y = 0 právě pro y = 0. je jedním řešením y = 0. Pro y ^ 0 postupně dostaneme dl dx = —2xy dy li fdy J v ln jy\ — —x2 + K = -2xdx = -2 Ixdx a po odlogaritmování Číslo eh reprezentuje kladnou konstantu. Snadno se ověří, že označímc-li eA = C a připustíme-li. že C e Ä je libovolná (i nula a záporná), lze vynechat absolutní hodnotu. Ted}' obecné řešeni bude mít tvar y = Ce~x\ CeR. Všimněte si. že v tomto vzorci je zahrnuto i řešení y = 0. 1.3 Elementární metody řešení 13 V = 2e" Obr. 1.6: Řešení rovnice y' = —2xy Nyní najdeme řešení počátečního problému. Dosazením podmínky y(0) = 2 do obecného řešení dostaneme 2 Tedy hledané partikulární řešení je y = 2e~x~. Situace je znázorněna na obr. 1.6. Příklad 1.4 Najděte obecné řešení rovnice y' = 2\/\y\ — viz přík. 1.2 na str. 6. Řešení: Jde opět o rovnici tvaru (1.4). kde f(x) = 1. g(y) — 2^/\y\. Přitom g(y) je definovaná pro každé y £ R a ŕ/(y) = 2y/jy] = 0 právě tehdy, když \y\ = 0, tj. když y — 0. Proto y = 0 je řešení. Pro y ^ 0 je dy = dx ~ cly 2\/íí/ 1 f cly V 12/1 2a/ I .y I = / a.r :i.5) Vypočteme nejprve integrál na levé straně. Pro y > 0 je: 1 /' dy \v\ (y) 2 % = 9 — ví/ = v |y| 14 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu A Obr. 1./: Obecné řešení rovnice y' = 2\/|yj Pro y < 0 je (použijeme substituci): Tento výsledek můžeme zapsat jediným vzorcem y/[yf sgny. Nyní z (1.5) dostaneme V\y. s§ny = r +c- Protože pro y ^ 0 je y7 y| > 0. musí mít .t + c stejné znaménko jako y, V horní polorovině y > 0 tedy dostaneme V^ = x + c. .r > -c. => y = (.r + c)2, x > -c, a podobně v dolní polorovině y < 0 dostaneme —yf^y — x — c. .r < -c. y = — (x + c)2, x < -c. Řešení je tedy tvořeno částmi parabol — viz obr. 1.7. Přitom y = 0 je singulární řešení, jak již bylo dříve zjištěno v příkladu 1.2. 1.3 Elementární metody řešení 15 Poznámka 1.2 Rovnice, které se nějakou úpravou dají převést na rovnice tvaru (1.4), se nazývají separovcitelné. Většina dalších rovnic bude právě tohoto typu. 1.3.2 Homogenní rovnice Definice 1.6 Funkce g{x. y) definovaná na R~ xR+ se nazývá homogenní (řádu nula), jestliže pro každé t > 0 platí g(tx.ty) = gix.y). Je-li g(x,y) homogenní, pak volbou t — ^ dostaneme g(x. y) = g(~x. j/y) = g(l,~). Označíme-li f [z) = g(l.z). docházíme k závěru, že každou homogenní funkci lze napsat ve tvaru /(f )• kde / je vhodná funkce. Rovnici (1.2) nazýváme homogenní, jestliže její pravá strana je homogenní, tj. niá-li (po úpravě) tvar i/ = /(f). (1.6) Tato rovnice se pak řeší zavedením nové neznáme funkce u(x) substitucí u(x) = ^^i. Odtud máme y(x) = xu(x) a tedy y'(x) = uíx) + xu!(x). Po dosazení vyjde (u píšeme bez argumentu x) u 4- xiľ = /( u) a po úpravě dostaneme , /(») - v-u = —-. X což je diferenciální rovnice sc separovanými proměnnými, kterou už umíme řešit. Po vyřešení této rovnice se musíme vrátit k původní neznámé y{x). Poznámka 1.3 Z postupu je zřejmé, že musí být x ^ 0. Často se stává, že tato podmínka vznikne až uměle během úprav a po návratu k původní proměnné opět zmizí, takže řešení existují i pro ar — 0. Zda tomu tak skutečně je. je třeba vždy konkrétně ověřit. Příklad 1.5 Najděte obecné řešení rovnice x + y + x y' = 0. Řešení: Nejprve osamostatníme y , x + y y =-- x To je homogenní rovnice, kde f {u) y' = u 4- xu'. Vyjde i/ + x u' = — 1 — u Dostaneme x ■ —1 — u. Zavedeme substituci y = xu. , _ 2u - 1 16 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu což je rovnice se separovanými proměnnými. Při označení v! = — obdržíme postupně dx du dx 2u + 1 d u 2 u + 1 dx --. 2u + 1/0, x a po integraci du J 2u + 1 Vypočteme substitucí integrál vlevo: 2u + 1 = í 2du = dt rdx du J 2u + 1 Tedv du — Tjdt - /— = -ln ř = - In 2« + 1 . 2 I t 2 11 2 1 1 ln \2u -r 1! = - ln íxl + Inc. Po odlogaritmování dostaneme V|2-u + l. = Osamostatněním u vyjde postupně (přeznačíme c2 = K) \2u + ii c .r2 1, I\ A' - xl Nyní dosadíme y = xu a přeznačíme y = Z,. Vyjde Ä" - x-y — x- y 2x2 Ä" — x' L . x ~ x " 2' 2x (1.7) Vyloučili jsme případ 2u + 1 = 0. Rovnice (1.7) má konstantní řešení u — —\ a tedy původní rovnice má řešení y = xu — x(—5) = —f, což je zahrnuto v předchozím vzorci pro L = 0. Obecné řešení má tedy tvar y=-~-. x é 0. L e R. x 2 Výsledek je znázorněn na obr. 1.8. 1.3.3 Rovnice tvaru y' = f(ax + by + c) Jde o rovnice tvaru y' = /(a.r + í>y + c). (1.8) kde a. b. c G R. ab 0. Tyto rovnice nemají speciální název. Řešíme je jednoduchou substitucí u(x) = ax -f by(x) + c. 1.3 Elementární metody řešení 17 Obr. 1.8: Obecné řešení rovnice x + y + xy' = 0 Pro derivaci vyjde u'(x) = a + by'(x) => y Po dosazení vyjde u1 — n = f (n) u' — a b a po osamostatnení u' má rovnice tvar u' = bf{v) + a. což je rovnice se separovanými proměnnými. Po jejím vyřešení se musíme vrátit k původní proměnné. Příklad 1.6 Najděte obecné řešení rovnice y x + y-2 Řešení: Zřejmě jde o rovnici typu (1.8), kde f (z) = \. a = 6=1, c = —2. Zavedeme substituci u = x + y — 2. tj. u' = 1 -f- y'. odkud máme y' = u' — 1. Po dosazení vyjde u'-l=- u' = —-. u ^ 0. (1.9) u u 18 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Tato rovnice má separované proměnné, tj. postupně dostáváme du 1 4- u dx u udu 1 + u dx, u + lyĹQ, a po integraci udu 1 + u Je J 1 + u Tedv d u — 'u + l-l 1 + u = dx. 1 du = 1(1--) du = u — ln |1 + u! J " 1 + u u — ln ! 1 + u j — x + C a po návratu k původní neznáme dostáváme x + y — 2 — ln: 1 — x + y — 21 = x + C. Označíme-li C + 2 = K. vyjde y — K = hi \x — y — 1[ a po odlogaritmování a přeznačení e~h = L máme eyL = x + y ~ 1. Vyloučili jsme případ «-1 = 0. Rovnice (1.9) má řešení u — —1 a tedy pro původní neznámou dostáváme x + y-2 = -l y = l- x. což je, jak se snadno přesvědčíme, rovněž řešení, které je zahrnuto v předchozím vzorci pro L = 0. Obecné řešení (v implicitním tvaru) je tedy Ley = x + y-l. LeR. 1.3.4 Rovnice tvaru y' = fí^x+b^+^) Jde o rovnici tvaru , aur -r biy + ci y = / ——rr—;—)■ CloX + t>2y + C-2 kde ai. b,, c; E H. i — 1. 2. Budeme předpokládat, že (1.10) 0 9 b--> 1.3 Elementární metody řešení 19 Pokud je totiž tento determinant roven nule. je možné rovnici převést na tvar (1.8). Vskutku. Pak je totiž jeden (nechť je to např. první) řádek násobkem druhého a tedy existuje vhodné k E R tak. že ciix + biy + ci _ k(a.2X + boy) + c\ a,2X + b2y + co 0 2-r + boy + C2 a rovnici lze řešit substitucí z(x) ~ ciox + boy{x). Pokud je determinant nenulový, provedeme posunutí souřadnic x = t -j- rn. y{x) = u(ť) -r n. tak, aby pravá strana rovnice (1.10) mela tvar /(°'|TJ^)j). Mění se tedy nezávisle proměnná x i závisle proměnná y. Po dosazení za x a y do čitatele a jmenovatele pravé strany (1-10) dostaneme vzhledem k žádanému tvaru, že má platit a,i(t + m) + b-i{u + n) + c,- = ci[t + 6;U. i = 1. 2. ciym + h\n + Ci — 0. m + bon + c-2 = 0. Tato soustava má právě jedno řešení, protože matice soustavy má hodnost 2. tj. je regulární. Označme dále z dy . du 11 ~ ďx' U ~ ciť' Podle věty o derivaci složené funkce platí , dy cly dt _ d(u + n) d(x - rn) . _ V _ dx _ dl ďx ~ dl- dx ~ U ~ Po dosazení přejde rovnice (1.10) x rovnici . _ ÍClii + byll\ U ~ \a2t + bou)' což je homogenní diferenciální rovnice. Příklad 1.7 Najděte obecné řešení rovnice xy' + 2yy' — 6 + 3;r + 3y — 3y' — 0. Řešení: Osamostatníme nejprve y'. Vyjde y{x + 2y - 3) = 6 - 3x - 3y 20 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu a tedy , 6 — 3x — 3y V = x + 2y - 3 + 0. x + 2y-3 Jde o rovnici typu (1.10). kde aL = —3. b± = —3, ci = 6. a2 (1.11) - 1, 6 Ol = —3, tedy -3 1 —3 0. Vyřešíme soustavu —3m — 3n + 6 = 0, ■m + 2n - 3 = 0. Dostaneme ??; = n — 1. Označme r = ŕ + 1. y = u + i a po dosazení do (1.11) a úprave obdržíme homogenní rovnici . _ -3ŕ-3u _ -3-3f " ~ ť + 2u ~ l-27 Položíme u (ť) = tv(t). Pak ů = v + ŕ ŕ a dostáváme -3 - 3 r r + t v = -. 1 + 2v ^ 0. 1 + 2 r Po osamostatnění v vyjde rovnice se separovanými proměnnými _ 1 2c'2 -f- 4ľ -f 3 l + 2r Nyní položíme v = j^. odseparujeme neznáme a integrujeme. Dostaneme dv _ 1 2ť2 +4i- + 3 li ~ ~t 1 + 2r 1 + 2-ľ 2v'- 4c + 3 dv 'dt Integrál na levé straně je z racionální ryze lomené funkce, která má ve jmenovateli kvadratický troj člen s komplexními kořeny. Je to tedy parciální zlomek, který je nutné před integrací upravit — viz [33]. 2v + 1 i(4r + 4) - 1 1 4r + 4 1 1 2v2 + iv + 3 2 v2 4r + 3 2 2c2 + áv + 3 'v + D První zlomek vede na logaritmus, druhý na arkustangens. Celkově vyjde 1 ln |2r2 + 4r + 3| - - V2 arctg = - In |ťl + ln C. 2 2 /i V 2 1.3 Elementární metody řešení 21 Nyní musíme dosadit původní proměnné, tj. t = x — 1. v — j = ^TJde 1 In 2 , y — 1 n 2 y — 1 I 1 /-+ 11 — 2 2--- + 4--- + 3--= arctg \/2-J--= -ln x - 1 + lnC X — 1 / x — 1 a/0 - ,T - 1 Po úpravě a ocllogaritmování vyjde při označení C 2 = 7v 2y2 4- 3x2 + 4xy - 10r - Sy + 9 = Ke^2 aľCt" což je „obecné" řešení rovnice (1.11) v implicitním tvaru. Všimněte si. že tento vzorec nedává řešení procházející body tvaru (1. y). Rovněž uvažovaná podmínka x + 2y -3^0 vznikla až během úprav a v původní rovnici není. Chybějící řešení by bylo možné získat řešením rovnice dx x — 2 y — 3 dy 6 — 3.r — 3y v níž je zaměněn význam x a y. tj. x = x[y). 1.3.5 Lineární rovnice Jde o velmi jednoduchou rovnici tvaru !j' = a(x)y-oíx). (1.12) Vlastností této rovnice si všimneme mnohem podrobněji, než jsme to dělali u předchozích typů. Bude to proto, že tato rovnice má řadu důležitých vlastností, které budou analogicky platit u lineárních rovnic vyšších řádů a u lineárních systémů, se kterými se setkáme později. Věta 1.3 Nechť funkce o.(.r) a b{x) jsou spojité na intervalu I. Necht: x q G I a ya G R jsou libovolná čísla. Pak počáteční problém }/ = a(x)y + b{x). y(xQ) = y0 má právě jedno řešení a to existuje na celém intervalu I. Důkaz: Rovnice (1.12) je speciálním případem rovnice (1.2). kde volíme f (x. y) = a{x)y + b(x). Protože |£ = o (.r) je spojitá funkce na I x R. má podle věty 1.2 počáteční problém právě jedno řešení. Lze ukázat, že toto řešení je možné prodloužit na celý interval I. Definice 1.7 Rovnice (1.12) se nazývá homogenní, jestliže b(x) = 0 na I. V opačném případě se nazývá nehomogénni. Poznámka 1.4 Nezaměňujte homogenní lineární rovnici s rovnicí homogenní ve smyslu (1.6). Jde o dva zcela odlišné pojmy. V dalším budeme předpokládat, že a(xj a b{x) jsou spojité, a všimneme si postupně vlastností řešení homogenní a nehomogenní rovnice. 22 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Homogenní rovnice Všimněme si. že rovnice y = ci(x)y (1.13) má vždy tzv. triviální řešení y = 0. Z předchozí věty plyne, že jestliže y(xo) = 0, pak díky jednoznačnosti je nutně y[x) = 0 pro každé x G i". Tedy netriviální řešení nikdy neprotíná osu x a vzhledem ke spojitosti je buď celé nad nebo celé pod osou x. Další důležitá vlastnost je obsahem následující věty. Věta 1.4 Nechť yi(x). y2Íx) jsou řešení rovnice (1.13) a c e R. Pak také yi{x) + yo{x) a cyi{x) jsou řešení rovnice (1.13). Důkaz: Je y[ — a{x)y\. y i, — oAyx)ij2- a tedy Tedy yi -r yo i cy\ splňují (1.13). Obsah předchozí věty lze shrnout tak. že součet dvou řešení a násobek řešení číslem jsou opět řešení. Tento fakt znamená, že množina řešení rovnice (1.13) tvoří vektorový prostor. Z jednoznačnosti řešení počátečního problému pro rovnici (1.13) snadno plyne, že tento prostor má dimenzi 1. Platí tedy Věta 1.5 Nechť ijo(x) je netriviální řešení rovnice (1.13). Pak obecné řešení této rovnice má tvar Řešení rovnice (1.13) lze najít velmi snadno. Jde totiž o rovnici se separovanými proměnnými. Tedy (yi + y2)' = l/i -r y'2 = a(x)yi - a(x)y2 = a(x)(yí + y2) a (q/i)' = cy[ = ca{x)yi = a(x)(cyi). y(x) = cy0(x). ceR. Dále lni a(x) dx -{- In c a po odlogaritmování vyjde y — ce JaU) ax 1.3 Elementární metody řešení 23 Nehomogenní rovnice Věta 1.6 Nechť yi(x) je řešení rovnice y' = a(x)y + bi(x) a y2(x) je řešení rovnice y' — a(x)y + b2(x). x E I. a C\. c2 G R. Pak funkce Ciy\(x) + c2y2{x) je řešením rovnice y' = a(x)y + c1b1(x) 4- c2b2{x). Důkaz: Tvrzení je bezprostředním zobecněním věty 1.4 a i jeho důkaz je zcela analogický. Výsledek obsažený v předchozí větě se nazývá princip superpozice. Věta 1.7 Nechť y o (x) je netriviální partikulární řešení rovnice (1.13) a y i (x) je partikulární řešení rovnice (1.12). Pak obecné řešení rovnice (1.12) má tvar y = Ľyo(x-) + y\{x). c E R. Důkaz: Z principu superpozice lehce plyne volbou b\(x) = b{x). b2(x) — 0, Ci = 1, c2 = c, že cyo(x) + yi(x) je řešení rovnice (1.12). Je-li naopak y(x) nějaké řešení rovnice (1.12). pak ý(x) — yi{x) je řešení rovnice (1.13). To plyne opět z principu superpozice volbou b\(x) = b2(x) = b{x), ci = 1. c2 — —1. Tedy podle vety 1.5 existuje c tak. že ý(x) — iji(x) — cyo(x), tj. ý(x) = cyc(x) + yi(x). Protože ý(x) bylo libovolné, dává uvedený vzorec skutečně obecné řešení. Z předchozí věty vyplývá důležitý princip. Označme OŘHLDR ........ obecné řešení homogenní lineární dif. rovnice PŘHLDR ........ partikulární řešení homogenní lineární dif. rovnice OŘNLDR ........ obecné řešení nehomogenní lineární dif. rovnice PŘNLDR ........ partikulární řešení nehomogenní lineární dif. rovnice Pak OŘNLDR=OŘHLDR+PŘ>iLDR Co se týká praktického řešení, vyplývá z předchozího vztahu, že stačí najít obecné řešení homogenní rovnice, což již umíme, neboť jde o rovnici se separovanými proměnnými, a partikulární řešení nehomogenní rovnice, což zatím neumíme. K řešení druhé úloh}' poslouží následující metoda. 24 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Variace konstanty Je to postup sloužící k nalezení partikulárního řešení rovnice (1.12). Je třeba již mít obecné řešení cyo(x) homogenní rovnice (1.13). Pokusíme se nahradit konstantu c vhodnou funkcí k[x) (odtud název variace konstanty) a najít řešení ve tvaru y = k(x)y0{x). Vypočteme y' — k'UA>i0(x) + k(x)y'0(x) a po dosazení do (1.12) dostaneme k'{x)y0{x) + k{x)y'0(x) = a{x)k(x)y0(x) + bíx). Protože y'Q(x) = a(.r)y0(.r) (je to totiž řešení (1.13)). musí platit k'(x)y0(x) = b(x). Jelikož ijo(x) ^ 0. máme , b(x) k pri .vo U) a po integraci kU)= í^dx. J yoU'j Zjistili jsme tedy. že takovou funkci k (x) lze vždy najít. Postup nalezení obecného řešení demonstrujeme na následujícím příkladu. Není rozumné pokoušet se pamatovat si výsledný vztah pro k(x). Ten vždy odvodíme pro konkrétní rovnici. Příklad 1.8 Najděte obecné řešení rovnice y' = 2y + x. Řešení: Jde o lineární rovnici s a(.r) — 2. b{x) — x. I. Vyřešíme homogenní rovnici U = 2y. Jde o rovnici se separovanými proměnnými, tedy tedy In = 2x — lnc a po odlogaritmování dostáváme obecné řešení homogenní rovnice 1.3 Elementární metody řešení 25 II. Najdeme partikulární řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y = k(x)e2x. Je y' = k'(x)e2x + 2k(x)e2x. Dosadíme a dostaneme k'(x)e2x + 2k(x)e2x = 2k(x)e2x + x a odtud po osamostatnění k'(.r) k'(x) = .re"2x. Metodou per partes vypočítáme k(x) x xe~2x dx 1 ?/ = x v' = e ď = 1 = ~-e + - / e dx = 2 d Integrační konstantu jsme volili nulovou. Tedy partikulární řešení nehomogenní rovnice má tvar y = k [x) e' -e " -e-2x) e2x = ----4f J 6 2 4' Obecné řešení nehomogenní rovnice je pak 2, _ £ _ 1 4' Průběh řešení je znázorněn na obrázku 1.9. 1.3.6 Bernoulliova9 rovnice Jde o rovnici tvaru y' = a (x j y + Ď (.r) y". (1.14) kde r G i?. Zajímavé jsou případy, kdy r + 1 (jinak by šlo o homogenní lineární rovnici) a r ^ 0 (jinak by šlo o nehomogenní lineární rovnici). Existuje více metod řešení. Ukážeme si způsob, který připomíná variaci konstant. Přitom předpokládáme, že a(x) a b(x) jsou spojité na nějakém intervalu I. Nechť cyo(x) je obecné řešení homogenní lineární rovnice y' = (i(x)y. Pak řešení rovnice (1.14) budeme hledat ve tvaru U = k(x)yQ(x). kde k(x) je vhodná funkce. Po zderivování a dosazení vyjde k'(x)yo{x) + k(x)y'0(x) = a[x)k(x)y0(x) -r b(x)kr(x)yo(x), 9Johann Bernoulli (1667-1748) (čti bernuli) —významný švýcarský matematik. Pracoval v matematické analýze, teorii diferenciálních rovnic, teorii čísel, variačním počtu, mechanice atd. Jeden z rozsáhlé rodiny významných matematiků téhož jména (přes 10 osob). 26 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu ti. po úpravě k'(x) = b(x)kr(x)yr0-\x)i což je rovnice se separovanými proměnnými pro A'(ar), kterou již umíme vyřešit. Všimněte si. že pro r > 0 má rovnice řešení y = 0. Příklad 1.9 Najděte obecné řešení rovnice y' = -y — xJy, y > 0, x ^ 0. Řešení: Jde o rovnici (1.14). kde a(x) — ^. b(x) = x. r = |. Najdeme nejprve obecné řešení rovnice / 4 y = -y- x Dostaneme — = -y ľ(^y=4:ľ— =v. ln|y| = 41n jx| + lne dx x J V J x a po odlogaritmování y = cx4. Řešení naší rovnice tedy budeme hledat ve tvaru • y = k(x)x4. 1.3 Elementární metody řešení 27 Po dosazení dostaneme (proměnnou x u k vynecháváme) k'x4 - ikx3 = -kx4 + xVkx1. x x Řešením této rovnice vyjde dk \^k ľ dk ľ dx dx x J \fk J x ' Tedy ki 2 -11 = kí \x\-f c =s> k {x) = (in ^/\x\ + L\ , 2 V kde L = f. Obecné řešení má tedy tvar y = x4 (hi \/íäľj + L)2. L G R. Dále je řešením funkce y = 0. 1.3.7 Exaktní rovnice a integrační faktor Rovnice, kterými jsme se dosud zabývali, měly tvar (1.2). Někdy se ovšem zadávají diferenciální rovnice i v jiné podobě — pomocí diferenciálů. Tvar takové rovnice je P(x, y) dx + Q(x. y) dy = 0, (1.15) kde P(x,y) a Q(x,y) jsou nějaké funkce. Pro Q(x,y) # 0 je možné rovnici převést na tvar dy = P(x. y) dx~ Q(x.y)' což je rovnice typu (1.2) pro neznámou funkci y(x). a pro P(x,y) ^ 0 je možné ji převést na tvar dx = Q(x.y) dy P(x.y) ' což je opět rovnice typu (1.2), ale pro neznámou funkci x(y). Případ, kdy P i Q jsou současně v nějakém bodě nulové, nebudeme uvažovat. Vlastnosti těchto rovnic úzce souvisejí s autonomními rovinnými systémy diferenciálních rovnic prvního řádu — viz [14, str. 52]. My si všimneme pouze speciálního případu rovnice (1.15). 28 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu jednoduše souvislá oblast oblast, která není jednoduše souvislá Obr. 1.10: Příklady oblastí Definice 1.8 Rovnice (1.15) sc nazývá exaktní, jestliže výraz na levé straně je totálním diferenciálem, tj. jestliže existuje funkce Fíx.y) tak, že dF(.r. y) = P(x. y) d x -r Q (r. y) dy. Funkce F {x. y) se pak nazývá kmenová. Je otázkou, jak se ověří, že nějaký výraz představuje totální diferenciál. Odpověď na tuto důležitou otázku, která rovněž souvisí s nezávislostí křivkového integrálu na integrační cestě, je obsažena v následující větě. Věta 1.8 Nechť P(x.y) a O(x.y) jsou spojité v jednoduše souvislé oblasti Q a mají zde spojité parciální derivace ďPi'ý''1 a g<^,'y). Pak následující výroky jsou ekvívalen tni: i) Výraz P(x. y) dx + Q(x. y) dy je totální diferenciál. n) Mátí = (x.y)go. u y u x ' Poznámka 1.5 Oblastí O rozumíme otevřenou souvislou množinu O. tj. otevřenou množinu, jejíž libovolné dva body lze spojit křivkou ležící celou v Q. Oblast O se nazývá jednoduše souvislá, jestliže s každou jednoduchou uzavřenou křivkou C ležící v Cl leží v Q i vnitřek křivky C. Tedy nepřesně řečeno souvislost otevřené množiny znamená, že je „z jednoho kusu", a jednoduše souvislá oblast „nemá otvory" — viz obr. 1.10. L: exaktní rovnice je možné napsat snadno vzorec obecného řešení. Věta 1.9 Nechť rovnice (1.15) je exaktní a F{x. y) je příslušná kmenová funkce. Pak výraz F(x. y) = c. c E R je obecným řešením této rovnice v implicitním tvaru. 1.3 Elementární metody řešení 29 Podmínka ii) z věty 1.8 nám dává efektivní kritérium, jak poznat, že rovnice (1.15) je exaktní. Abychom však mohli použít větu 1.9. je třeba si říci, jak najdeme příslušnou kmenovou funkci. Výsledek nebudeme formulovat do věty, ale popíšeme odpovídající postup. Protože ; ĺ y , dFíx.y) , dF(x.y) db {x. y) = —--dx +---dy ox oy musí platit dF(x. y) = P(x. y) dx - Q{x. y) dy. äF(x.y) s dF(x.y) ~ Fix-JJ). -r- = Q{x. y) dx " Ô y resp. ve stručnější symbolice Fx = R Fy = Q. (1.16) Integrací těchto rovnic lze F najít. Zvolíme libovolnou z těchto rovnic, např. první. Dostáváme Fx = P Fix. y) = jPíx. y) dx - C{y). Přitom integrál [P(x. y) dx chápeme jako závislý na parametru y. Dále je třeba si uvědomit, že integrační ..konstanta" C nemusí být obecně číslo, ale funkce závislá na druhé proměnné, tj. v našem případě na y ( zkoušku správnosti totiž děláme parciálním derivováním podle x. při němž sebesložitější funkce závislá jen na y se derivuje na nulu). Zbývá určit funkci C(y). To uděláme dosazením do zbývající, tj. v našem případě do druhé rovnice v (1.16). Uvědomme si při tom. že fP(x.y) dx již bude nějaká konkrétní funkce. Dostaneme d{JP(x.y)dx + C(y)) dJP{^y)dx --7,-- = Q{x. y) ——-r-+ C (y = Q(x. y). dy d y Ve vzniklé rovnici se musí vyrušit neznáma, která není proměnnou funkce C\ tj. v našem případě x. Pokud se tak nestane, jsou dvě možnosti — buď jsme udělali početní chybu nebo jsme zapomněli ověřit, zda rovnice (1.15) je skutečně exaktní (všimněte si, že část postupu až po toto místo lze udělat s libovolnou rovnicí tvaru (1.15), ne jen exaktní: že postup k ničemu nevede, bohužel zjistíme až v tomto okamžiku). Tedy pro neznámou funkci C{y) dostane obyčejnou diferenciální rovnici se separovanými proměnnými (obsahující dokonce jen nezávisle proměnnou y) r,( , n( ^ djP{x.y)dx C (y) = Q(x. ij)-- dy Postup ukážeme na příkladu. 30 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.10 Najděte obecné řešení rovnice 1 + 2,) + 1)^ = 0. Řešení": Zřejmě musí být y ^ 0. Tím nám z celé roviny zůstanou dvě otevřené poloroviny y > 0 a y < 0. které jsou očividně jednoduše souvislé; rovnici uvažujeme v každé polorovině zvlášť . Ověříme nyní. zda jde o exaktní rovnici. Máme P(x.y) = - + 2x =!> Py = -\. y * y Q(-r.y) = - 1 =^> Qx = -^2- Protože Py = Qx. je rovnice exaktní. Nyní určíme kmenovou funkci F(x,y). Musí platit: !'. r„: i • 'I; . y r (1.17) rý = ---l Z první rovnice dostaneme postupně F(x. y)= j Q + 2.r) r/.r = ^ + x2 + C(y). Tedy z dílčího výsledku vychází Fv = -~^C'(y) y- a po dosazení do druhé rovnice v (1.17) dostáváme -f- + C'(y) = -^-l =* C'(y) = -1 C(y) = - ídy = -y, y2 ' y J kde v posledním integrálu jsme volili nulovou integrační konstantu. Celkově je _.. . x o F(.r. y) = —h x- - y y a obecné řešení naší rovnice má tvar —- x - y = c. c. e R. y 1.3 Elementární metody řešení 31 Integrační faktor Všimněme si rovnice Zde x d x + y dy = 0. P = x, Q = y Py = 0. = 0 Py - Qx a jde tedy o exaktní rovnici. Vynásobíme-li tuto rovnici x. dostaneme rovnici x2 dx -f xy dy — 0. Nyní je P = x2, Q = x y Py = 0. Q.r = y =4- Py # Q.T a rovnice již není exaktní. Obě rovnice jsou z našeho hlediska zcela rovnocenně (pro x ^ 0), avšak zatímco jedna je exaktní, druhá není. Příklad ukazuje, že vlastnost „být exaktní" je nesmírně citlivá a dá se snadno porušit např. pouhým vynásobením nějakou funkcí. Současně ovšem vzniká opačná otázka: Nebylo by možné rovnici, která není exaktní, vynásobit nějakou funkcí tak. aby nová rovnice již byla exaktní? Funkce, která má tuto vlastnost, se nazývá integrační faktor. Pokusme se zjistit, jak by takový integrační faktor Mix, y) měl vypadat. Uvažujme rovnici (1.15). která není exaktní, tj. Py # Qx. Chceme najít funkci M(x,y) tak, aby rovnice P(x. y)M(x, y) dx + Q(x. y)M[x. y) dy = 0 byla exaktní. Za předpokladu existence potřebných derivací dostáváme, že musí platit dP(x.y)Míx.y) = 8Q{x. y)M(x. y) Oy dx což po provedení derivací a vynechání argumentů x a y dává dP , r B AI 8Q , r dAI — M + P—- = -±M + Q — . (1.18! oy oy dx dx To je tzv. parciální lineární diferenciální rovnice prvního řádu pro neznámou funkci M(x.y). Z teorie těchto rovnic vyplývá, že za předpokladů spojitosti P, Q, Py a Qx a podmínky jP| -f \Q\ > 0 existuje (alespoň lokálně) její řešení — viz např. [14. str. 280] nebo [17. str. 239]. Bohužel řešení této rovnice je v podstatě ekvivalentní řešení rovnice (1.15). Obecně tedy integrační faktor efektivně nedokážeme najít. V některých speciálních případech to však lze. jak si nyní ukážeme. 32 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Předpokládejme, že integrační faktor M(x.y) závisí jen na jedné proměnné. Uvažujme nejprve případ M = M (x). Pak = 0 a z rovnice (1.18) vyjde po úpravě tj-dx dy dx M Q (1.19) Protože levá strana této rovnice závisí jen na x. je možné najít integrační faktor závislý jen na x v případě, že Py je funkcí pouze x. Pak je (1.19) rovnicí se separovanými proměnnými pro neznámou funkci M{x). Podobně když M = M (y) a tedy ^j- = 0. vyjde z (1.18) analogicky d M do dP fy - (L20) což vyžaduje, aby výraz ®xpPy byl funkcí pouze y. Pak je (1.20) rovnicí se separovanými proměnnými pro neznámou funkci M(y). Další speciální případy lze nalézt např. v j 15. str. 13i nebo rovněž ve cvičení 9 na str. 35. Příklad 1.11 Najděte obecné řešení rovnice (2xy2 + y) dx — x dy = 0. Řešení: (Máme P = 2xy2 + y. Q = — x a Py = ixy + 1. Qx = -1 => Py + Qx a rovnice tedy není exaktní. Pokusíme se najít integrační faktor. Předpokládejme nejprve, že .1/ = M(x). Pak pravá strana (1.19) má obsahovat jen x. což dává v našem případě Pj ~Qx _ ixy + 2 " Q ~ -x ' Integrační faktor tohoto tvaru tedy nelze nalézt. Nechť nyní M — M(y). Pak pravá strana v (1.20) musí obsahovat jen y, což dává pro naši rovnici Qx - Py = - 2 = -2(2xy + f) = _2 P 2xy2j>-y y(2xy + l) y' Elementární metody řešení 33 n je tedy možné integrační faktor tohoto tvaru najít. Z (1.20) dostáváme W 2 dM 2, ^ = ~y U = -ydy a po integraci j^=-ij*j => lnp/| = -21nUi+lnc. Po odlogaritmování vyjde -V/(l/) = 4- y Zvolme např. c = 1. Pak integrační faktor je -Ví,) = i Po vynásobení zadané rovnice integračním faktorem dostaneme 1\ x 2x + - dx--- dy = 0. y J y Zde P = 2x + 1 . Q = - a tedv ■^v = ~~~2 • Q* = ~ Zp. ^ ^/ = a jde skutečně o exaktní rovnici. Xajdeme kmenovou funkci F(x.y), Pro ni máme Fr = 2x+-. V F = -- v iř' Integrací např. první rovnice vychází F(x, y) = í Í2x + -) dx = x2 + - + C(y). J V ■ y J y Dosadíme-li tento dílčí vvsledek do druhé rovnic e. dostaneme 0-^ + C'(y) = -~ C'(y) = 0. y- y- Po integraci je C{y) = 10 dy = K. K e R. 34 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu V tomto případě tedy C(y) je vlastně přímo konstanta. Yolíme-li např. K — 0, vychází F(x. y) = x2 -\— y a obecné řešení má (implicitní) tvar ,2 x y Poznámka 1.6 Všimněte si. že rovnici z předchozího příkladu je možné upravit na tvar dx x což je Bernoulliova rovnice pro y(x). Cvičení V následujících příkladech najděte obecné řešení daných rovnic: pokud je zadána počáteční podmínka, najděte příslušné partikulární řešení. 1. Rovnice se separovanými proměnnými. &)x + yy' = 0 b)—-x = 0 c) y "i- -vy + xy' — xyy' — O d) y' sin .r = y In y. y (—) = 1 e) 2(1 + e*)yy' = ex. y(0) = 0 f) x y2 -4- .r + yy' - x2yy' = 0 ;) xyy' = 1 - x'2 h) y 1 - y2 - yy'v'l - .x2 = 0 2. Homogenní rovnice. a) y' = - + - b) y;(3.t2 - y2) = 2.Ty y x c) y' = '——^ d) (.ry' - y) arctg - = x, y(l) = 0 .r - y .r 2 o 2 y — 2xy — x e) y' = y2 , -XV \ ■ y(l) = -l f) .ry'- y = v^+^ y^ -h 2;ry — xz 3. Rovnice tvaru y' = f(ax + by + c), si 2x + y — 1 . a) y = i——bJ .y = 3-r - °-y +0 4x + 2y + o 1 c) y' = cosí'.r — y) d) y' = -—. y(l) = 0 x -r 2y 1.3 Elementární metody řešení 35 4. Rovnice tvaru y> = /(Sif±£j±£i). , 2y - x - 5 , 2(y42)2 a) 2/ = ^-—r b) y = ——--T7j 2.x - y 4 4 (x 4 y - 1)^ c)yl = x-2y + i d- ~2x + 3y~7 + Ax-y'-~°yy' +1 v= 5. Lineární rovnice. a) y' 4- 2y = 4x c) x2y' 4 y — 2xy = x2 e) (l + x2)y'-2xy = (l + x2)2 g)xy'--^-=x, 2/(1) = 0 x + 1 6. Bernoulliova rovnice. a) y' + 2xy = 2x3y3 c) 2xyy' — y 2 = x2 b) y' + 2xy = xe z d) x(y' - y) = (l + x2)ex f) xy' + y- e-v = 0, y(0) = 2 h) y' -ytgx = -. .y(0) = 0 b) xy' 4 y = y ln x d) x2y2y' 4 xy3 = 1 7. Exaktní rovnice. a) (2x3 - xy2) dx 4 (2y3 - x2y) dy = 0 b) - ( 2V 2 - 1 ) = 0 c) ey dx +-(xey - 2y) dy = 0 d) (1 + xv/x2 + y2) cřx 4 (v/x2 4- y2 - l)y rfy = 0 8. Integrační faktor. a) (x2 4 y) dx — x dy = 0 b) y(l 4 xy) dx — x dy = 0 c) — dx 4 íy3 — ln x) dy = 0 d) (x cos y — y sin y) c/y 4 (x sin y 4 y cos y) dx = 0 x 9. Najděte podmínky, za nichž má rovnice P(x. y) dx + Q(x. y) rfy = 0 integrační faktor ve tvaru a) M = M (x 4 y) b) M = M(x • y) 10. Různé, a) x2y' 4 3 - 2xy = 0 c) y' = 1 + ž/2 xy(l 4 x2) w, xy - y y b -= tg - x x d) y' = e2x — ex'y 36 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu e) 8y + lOx + oyy' + Ixy' = O g) x3y' = y(y2 + x2) i) (a;2 + y2 + 2x) dx + 2y dy = O Výsledky: l.a) x2 + y2 = C. b) y = Cx. c) hi\xy\ 4 x - y = C, y = O, d) y = 1, e) 2e^2 = e1 + 1. y; 1 + y2 - Cil - x2), g) .r2 - y2 = ln|x| + C, h) a/1 - y2 = arcsinx + C. 2.a) y2 = x2(C 4- In x2), b) y2 - a:2 = Cy3, y = O, c) arctgf = C 4- lnVV24y2. d) y^2 -ŕ y2 = eřarctSř. e) y = -x, f) a-2 = C2 + 2Cy. 3.a) -5a: + 10y 4 7ln lOx 4- 5y + 9| = C. b) -6a; 4- 4y -7 = Ce-2l\ c) .r + cotg ^ = C. y = x. d) (x + 2y + 2)2 = 9e2v. 4.a) (x+y-1)3 - C(x-y + 3). b) e-2 arCtg *=* = C(y + 2). c) x2-xy4-y2 + x-y = C, d) (y-2x-9)2(y-a--3) = C. 5.a) Ce~2x+2x-l. b) e-.r2(C+^-)! c) Car2e*+x2, d) e*(lnjx| + ^) + Cea\ e) (x + C)(l 4 j2), f) ^f±; g) ^(x - 1 4- ln|ar|), h) 6.a) 4r - Ce2*2 H- x2 + §. b) yfl 4- ln x 4 Cx) = 1. c) x2 - y2 = Cx, d) y3 = A + 7.a) x4 _ x2y2 j_ y4 = c_ b) x + arctg ^ = C, c) xe3/ _ y2 = ^ d) |v/;x2 + y2)3+x-iy2 = C. 8.a)x-f = C. b)x2 + f = C, c) £ + ^=C, d) (x sin y + y cos y — sin y)ex = C. 9.a) Výraz ®pZqj musí být funkcí x + y, b) Výraz *;p_~^ musí být funkcí x.y. 10.a) y = Cx2 + K b) sin | = Cx, c) (1 4- x2)(l 4- y2) = Cx2. d) y = Ce~e' - e* - 1. e) (x + y)2(2x 4- y)3 = C, f) y = (i+jXc+inii+xir S) * = Ce~Ů. h) xy = C. i) (x2 + y2)e* = C, j) y = -x 4 tg(x 4 C). 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu Jak jsme se již zmínili v úvodu, diferenciální rovnice mají řadu aplikací. V současnosti to již není jen ve fyzice a technických disciplínách, ale i v biologii, ekologii a chemii a pronikají též do ekonomie a dalších společenských věd. Ukážeme si formou příkladů některé aplikace. Radu dalších lze nalézt a- početné literatuře, z níž uvádíme jako malou ukázku např. [5. 11. 15. 23. 28 . Příklad 1.12 (Rozpad radioaktivního materiálu) Je známo, že rychlost rozpadu rádia je přímo úměrná okamžitému množství rádia. Poloměr rozpadu izotopu rádia 2ff-Ra je 1590 let. tj. počáteční množství se za tuto dobu zmenší na polovinu. Určete, za jak dlouho se počáteční množství sníží o 25%. Řešení: Nechť y[ť) je množství rádia v čase t. Pak pro rychlost rozpadu platí y' = ky- í)y' + -*-T + y2 = o x + i h) yxy~~l dx + xy lnx dy = 0 j)i/' = (* + y)2 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 37 kde k > O je konstanta úměrnosti. Xechť v čase t = 0 je množství rádia rovno Ho- Pak y(0) = yo. .y(1590) = | .ř/0 a máme určit ti tak. aby , , 3 ž/(7i) = - yo- Diferenciální rovnice pro y(t) je homogenní lineární rovnice, tj. rovnice se separovanými proměnnými. Tedy -y- = ky => — — k dt ln I y \ — kt + ln c dx y a po odlogaritmování U - cekt. Z počáteční podmínky v t = 0 určíme 7/o = y(0) = cek'° = c a hledané partikulární řešení je y(ť) = y0eKt. Dosadíme-li do tohoto vztahu t = 1590. dostaneme ^o = y(1590) = yoc1590fc i = e1590\ Logaritmováním dost aneme ln2 ln2 = 1590Á; => k 1590 Konečně pro t\ máme 3 , 3 Odtud vypočteme J ,yo = y(ti) = Uoe":tl =» ^ = eKtl • 3 ln | ln- = A-ri => tl = —± = m0. 4 ^ k Ke snížení o 259í: tedy dojde asi za 660 let. 38 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.13 (Rychlost chemické reakce) Uvažujme dvě chemikálie A a B, které navzájem reagují. Předpokládejme, že při vytváření nového produktu se kombinuje jedna molekula z A s jednou molekulou z B. Určete rychlost chemické reakce, víte-li. že je přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Řešení: Nechť x(t) resp. y (t) je koncentrace (v molekulách na litr) v čase t látky A resp. látky B. Nechť a = ,r(0) > 0. b — y(0) > 0 jsou počáteční koncentrace. Protože se spolu kombinuje po jedné molekule, klesají obě koncentrace touž rychlostí, tj. dx dy ~ďi ~ dl' Úbytek z{t) koncentrace látky A resp. B v čase t je pak dán vztahem :(t) = a - x(t) resp. z (t) = b- y(t). (1.21) Odtud máme d z dx d y dt ~ dt ~ dt ' Výraz ^ nazýváme rychlost reakce. Zadání nám říká. že platí dt J kde k > 0 je konstanta úměrnosti (kterou lze experimentálne určit). Dosadíme-li za x & y z (1.21). dostaneme pro ;ír) diferenciální rovnici z = k [a - z){b - z). -(0) = 0. To je rovnice se separovanými proměnnými, tedy % = kiz - a){z - b)--^-- = k dt dt (z — a)(z - b) a po integraci J [~ — o )(z — b) J Integrál na levé straně je z racionální lomené funkce. Po jednoduchém rozkladu na parciální zlomky vyjde pro a ^ b --%-= [(-é---IIL) ^ = -J_(ln|3-a|-ln|Ä-Ď|). (z-a)(z-b) J \ z-a z-b a - bK 1 Teclv In S---1 = kt + ln c. 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 39 Po odlogaritmování vyjde — = ca~hek[a~b)t. z - b Z počáteční podmínky 2(0) =0 dostaneme °~a-ca-be° -=ca-b => c-^a^^ 0-6 b \b Po dosazení a osamostatnění z postupně máme z~a = -ek(a-b^ => bz-ab = aze^-W - abeHa~bK ek(a — b)i _ ^ z-b b tj- Rychlost reakce je tudíž dz_ _ k(a - b)ek{a-b^{aeki-a-bd - b) - (e^-W - l)ak(a - b)e c — 0 - o a a tedy 1 1 ^ . _ r _ z — a a akt 41 takže z t) = a a2kt akt 4 1 akt + l Pak rychlost reakce je dz 9, l(a/cí + 1) - tak a2k = a k- - dt ' ' (akt + 1)2 fafcř+1)2' 40 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.14 (Smíchávání) Velká nádrž obsahuje 100 hl slané vody, v níž je rozpuštěno 50 kg soli. Do nádrže vtéká rychlostí 6 hi/min slaná voda obsahující 2 kg soli na jeden hl. Směs. která je promícháváním neustále udržována homogenní, vytéká z nádrže rychlostí 4 lil/min. Určete výsledné množství soli v nádrži po uplynutí í min. Řešení: Označme y(ť) množství soli v kg. které je v nádrži v čase t, í > 0. Nádrž obsahuje v čase t zřejmě 100 -f (6 - 4)r hl vody. Koncentrace v tomto okamžiku bude _ííí!_ ks/hl. 100 - 2r • Nechť f o > 0 je pevné a ŕ > ía. Pak během časového intervalu (t0J) přibude v nádrži 6 • 2 ■ (t - to) = ^ 6 • 2ds kg soli a ubude kg soli. Tedy musí platit 100 - 2s y(t) = y(fa) + l2(t-to)--l y(s 100 4- 2-s ds. Když tuto rovnost zderivujeme podle t (s použitím věty o derivování integrálu jako funkce horní meze), dostaneme y'(t) = 12 4 y (7) 100 - 2ř '1.22) což je hledaná diferenciální rovnice. Tuto rovnici nyní vyřešíme. Jde o nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. I. Homogenní rovnice je a po integraci Protože ľ dt 100 -4- 2t dt +y 2t + 100 2dt dt 100 -r 2t ■dy = w = d u = h dii oji y ľ dt 4 dt 100 + 2ŕ 100 - 2t 2 ./ u 2 1 ! In U 00 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 41 vyjde po integraci tj- ln\y\ = -2In 1100 + 2r| +lnc. y f 100 + 2ŕ)2" II. Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru m A'(í) Je 2/'(*) = (100 + 2f)2 ' A''(rJ(100 + 2t)'2 - K(ť) ■ 2(100 + 2ř)2 (100 + 2t)4 Po dosazení do rovnice (1.22) vyjde A'/(í)(100 + 2ť)2 - 4(100 + 2t)K(t) 100 + 2ř) 12- AK(ť) K'(t) (100+ 2ŕ)3 (100 + 2Í)2 = 12, Tedy K{t) = 12 /(100 + 2t)2dt í 100 - 2i 2 c/r dt u d u h d u = 6 u~ d u = 2ii = 2(100 + 2í)3. Partikulární řešení tudíž je 2(100 + 2ťf (100+ 2ŕ)2 takže obecné řešení rovnice (1.22) je 2(100 + 2ř); V it-) (100 + 2i)2 Protože y (Q) = 50, dostaneme pro c rovnici 7-I +2(100-2f). 50 1002 200 c = -150 ■ 100- = -15 • 10°. Množství soli je tedy dáno funkcí y (t) = 2(100 + 2ŕj 15 ■ 10° (100 + 2tf2' 42 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.15 (Složitý úrok) Nechť částka Aq je investována při úrokové míře k% za rok, přičemž úrok je připisován spojitě. Ukažte, že hodnota investic A(t) po t letech je řešením lineární homogenní rovnice clA _ k dt ~ 100 A. A(0) = Ac (1.23) Řešení: Předpokládejme, že úrok je získáván s mírou k% za rok a je připisován n krát za rok. Pak množství An(t). které je součtem úroku a jistiny, je na konci t let dáno vztahem An(t) = AQ 1 Nyní je přirozené definovat n 100 Ar k 1 V 1 +-- n 100 J A(t) = lim An(t). Protože je vyjde lim 1 + - = ea. a G R. A(t) = Ac lim (l + -r^r) =A0(e^o) = A0e™°t. n-+^c ý n 100y J V / To je ale právě řešení počáteční úloh}- (1.23). jak se lze snadno přesvědčit dosazením. Příklad 1.16 (Elektrický obvod) Ideální napěťový zdroj o konstantním napětí U napájí sériovou kombinaci rezistoru o odporu R ohmů a induktoru o in-dukčnosti L henry — viz obr. 1.11. Sestavte a vyřešte diferenciální rovnici pro proud i(t) odebíraný ze zdroje. Řešení: Podle druhého Kirchhoffova zákona je algebraický součet všech napětí v uzavřeném obvodu roven nule. Označme i(t). t > 0, proud v arnpérech, který obvodem prochází. Pak L ~ je napětí na induktoru a Ri je napětí na rezistoru. Tedv di L dt Ri - U = 0. tj. (1.24) kde íq je velikost proudu na počátku. Jde o nehomogenní lineární rovnici prvního řádu. 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 43 U L R Obr. 1.11: Elektrický obvod I. Pro homogenní rovnici máme di _ _R dt ~ L di R , — =--dt i L 7 -T h tj- R Irx j i j — — — t + ln c J-J =-> i^^cc"-1. II. Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru i(t) = Kitje-i*. Po dosazení dostaneme R R U K'{t)e-žť - K(t)e-iťy + yK(ť)e-^ = tj. Odtud L K(t) = j JeTWlt--takže partikulární řešení je fr = 8 fdt = ds dt — ji ds ľ f s , /' s U nt Ř ed8=Ře=ŘeL' i(t) = -e* fe R' Obecné řešení rovnice (1-24) pak je i(t) = ce~ ^ + -. 44 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Z počáteční podmínky dostáváme Průběh proudu je tudíž popsán funkcí HŤ)={Í0-Lř) ^^rď- Příklad 1.17 (Siločáry) Nechť F[x. y) = \P{x. y). Q{.v. y)) je nenulové rovinné silové pole. které je definované na otevřené množině Q. Odvoďte diferenciální rovnici pro siločáry, víte-li. že tečna k siločáře je v každém bodě souhlasně ko-lineární s vektorem síly v tomto bodě. Řešení: Nechť C je siločára, která má parametrické rovnice i-p(t). v(j.)). t 6 J. kde J je interval. Pak její tečný vektor v bodě f.r0..ř/o) = (y (fo). l>'(ío)). to S J. je t(xo. y o) = irito'. - v'ít0)). Vime. že má platit t{xo-i/o) = AF(x0,yo). kde A > 0. Tedv (ř'{t0). v'{t0)) = MP[x0.y0>.O[xQ. y0)). Protože FřO. nejsou P a Q současně nulové. Nechť napr. P(xo.yo) ^ 0. Pak i ŕ'(Jo) *0 a C je v okolí bodu x q grafem funkce proměnné x. tj. y(x). Podle větv o derivaci funkce dane parametricky — viz např. 12. str. 110] —je ,, ^ , _ dy _ y'\trj) _ XQlxrj.yo) _ QUo-.yo) V [X0) ~ oh: = x'[t0) ~ XPixQ.yo^ ~ P(x0.y0)' Odtud dostáváme, že ,y:'.r'' vyhovuje rovnici Ox. y ; dx - P[x. y\ dy - 0. Analogicky se zváží případ Q\Xj. yo 1 = 0. Předchozí rovnice se obvykle zapisuje ve tvaru dx dy P'x.y) Oíx.y)' Cvičení 1. Uvažujme homogenní chemickou reakci, v níž působí jedna látka. Nechť na počátku reakce, tj. pro t = 0. je koncentrace rovna o > 0. Je-li a —x[t.) koncentrace v čase t. je podle "Wilhelmyho zákonu rychlost reakce rovna 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního rádu 45 kde k > O je konstanta úměrnosti. Určete x(t). [x(t) = a(l - e~kt) 2. Uvažujme dvě chemikálie A a B. které navzájem reagují. Předpokládejme, že při vytváření nového produktu se váže jedna molekula z A se dvěma molekulami z B. Určete rychlost chemické reakce, víte-li. že je přímo úměrná součinu okamžité koncentrace látky A a druhé mocniny okamžité koncentrace látky B — viz příklad 1.13. Nápověda: Je & = 2 dff. ' = k (a - z)(b-2z)2. z(0) 0: (2a - 6)2 1 ln b 9- 8(a a — 1 8^2 = 1 1 [2a - b)(b-2z) (2a - 6)2 ' b2 - 2ab kt pro 2« = b kt pro 2a ^ b. 3. Najděte řešení počáteční úlohy Li1 + Ri = U. HO) = ?0. kde L > 0. R > 0. U a ?'o jsou dané konstanty. Je to rovnice pro proud / = i{t) v ampérech \r obvodu obsahujícím incluktor o indukčnosti L (v herny), rezistor o odporu R (v ohmech) a ideální zdroj o napětí U (ve voltech). Necht L. b a io jsou konstanty a R je parametr, kterým se prouc reguluje: tedy i = i(t.R). Dokažte, že lim i(t.R) = /(r,0) ut T 10 pro každé t. 4. Předpokládejme, že radioaktivní izotop stroncia 90Sr se rozpadá exponenciálně podle rovnice y' = —ay. a > 0. Určete konstantu a a čas. za který se sníží množství stroncia ze 1009c na 10c7c. víte-li. že poločas rozpadu je 28.1 roku. i a — ln 2 2s.1 0.025: i = 93.3 roku 5.Velká nádrž obsahuje 100 hl vody. v níž je rozpuštěno 50 kg soli. Do ní přitéká rychlostí 3 hl/min roztok obsahující 2 kg soli v jednom hl. Směs je mícháním udržována homogenní a vytéká stejnou rychlostí z nádrže. Jak mnoho soli je v nádrži po 30 min.? [117, 5 kg] 6. Nádrž obsahuje 50 hl vody. v níž je rozpuštěno 20 kg soli. Do nádrže je přidávána čistá sůl rychlostí 1 kg/min. Směs je udržována homogenní a vytéká z nádrže rychlostí 2 hl/min. Jak mnoho soli je v nádrži po 10 min.? Jaká je v té 46 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu době koncentrace? [19, 7 kg; 0, 66kg/hl] 7. Velká nádrž A obsahuje na počátku 60 hl vody a 40 hl alkoholu. Do nádrže přitéká voda rychlostí 3 hl/min a alkohol rychlostí 1 hl/min. Směs, která je důkladně promíchávaná, teče do druhé nádrže B rychlostí 3 hl/min. Nádrž B obsahovala na počátku 100 hl vody. Směs je v nádrži B mícháním udržovaná homogenní a vytéká z ní rychlostí 2 hl/min. Jak mnoho alkoholu je v každé nádrži po 50 min.? Která nádrž nakonec (tj. pro velká t) obsahuje více alkoholu? [A: 41.9 hl; B: 33,1 hl; B] 47 Kapitola 2 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 2.1 Kvalitativní teorie Doposud jsme se zabývali diferenciálními rovnicemi prvního řádu. Nyní si všimneme i rovnic vyšších řádů. Protože řada pojmů a výsledků bude obdobná jako u rovnic prvního řádu. budeme v této části poněkud stručnější. Nechť n 6 N a F(x, zq.zi.....zn) je funkce n + 2 proměnných definovaná na otevřené množině Í2 C Rn+2. Pak rovnice se nazývá obyčejná diferenciální rovníce n-tého řádu v implicitním tvaru s neznámou y(x). Definice 2.1 Nechť h(x) je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak h(x) se nazývá řešení rovnice (2.1) na J, jestliže h(x) má derivace až do řádu n, pro každé x G J je (x, h(x). h'(x),. . ., /i(n)(aý) G O. a platí Je-li možné z rovnice (2.1) osamostatnit nejvyšší derivaci neznámé, tj. je-li možné ji upravit na tvar kde f(x, zq, zi, ..., Zn-i) je nějaká funkce n+1 proměnných definovaná na otevřené množině O C Rn+1. mluvíme o obyčejné diferenciální rovnicí n-tého řádu v explicitním tvaru. Tento tvar je pro vyšetřování vlastností řešení vhodnější. F(x,y,y',...jy^) = 0 (2.1) F x, h(x).h'(x),h{n\x) = 0. x E J. y {n) = f(xxy,y' (2.2) 48 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Poznámka 2.1 Uvědomte si. žc (2.2) je speciální případ (2.1). kde F(x.z0......z -li- li řevnic prvního řádu bylo velmi užitečným pojmem směrové pole. I u rovnic /Mého řádu by bylo možné udělat analogii. Ta je však v prostoru dimenze /?.+ 1. což při našem elementárním přístupu nemá názorný efekt, a proto se touto otázkou nebudeme zabývat. Naopak důležité-i ioli bude opět hrát počáteční úloha. Definice 2.2 Nechť je dána (n — l:-tice [xo-l/o-Ui.....lln-i) £ Q- Pak úloha najít řešení y(x) rovnice (2.2). které je definované na nějakém intervalu / obsahujícím x o a takové, že se nazývá Cauchyova počni eč ní úloh n. V daném bodě xq tedy předepisujeme hodnotu řešení a jeho derivací až do řádu n — 1 včetně. Např. pro rovnici druhého řádu hledáme řešení y(x) splňující podmínky yixo) = y0. y'(xo) = Ui- kde (.To, yo, yi) je daná trojice čísel. Geometricky je y{xo) = yo zadaná funkční hodnota a y'(xo) = y\ směrnice tečny ke grafu funkce y\x) v bodě ixr.y{xo')] = (xq. í/o)- Požadujeme tedy na rozdíl od rovnic prvního řádu. aby hledané řešeni nejen procházelo daným bodem, ale mělo i předepsanou tečnu — viz obr. 2.1. kde tg a = Pro obecné ;í je vlastně zadán úsek Taylorova rozvoje funkce y(,r) v bodě xq. Pro n = 2 si rovněž ukážeme jednu z možných fyzikálních interpretací. Jestliže y(x) vyjadřuje závislost dráhy y na čase x. pak y'(x) je okamžitá rychlost v čase x a y"(x) je okamžité zrychlení v čase x. Fyzikálně řečeno tedy podmínka y{xo) = ho zadává počáteční polohu a podmínka y'{xo) = ij\ počáteční okamžitou rychlost (vždy v čase x0). S rovnicí (2.3) se v aplikacích setkáváme velice často, neboť jde o matematický zápis druhého Newtonova zákona. Speciálního případu této rovnice si podrobněji všimneme později — viz str. 77. Bude nás opět zajímat, zda počáteční úloha má řešení a zda je toto řešení jediné. Přitom jednoznačnost chápeme analogicky jako u rovnic prvního řádu — viz definice 1.4. Zformulujeme nejprve, co budeme chápat slovy, že funkce f(x, .~0. .... ,s„-i) splňuje v bodě (xqxiiq.....yn-i) € f> lokálně Lipschitzovu podmínku: Ij(j-o) = Uo- li' {Xq) = di y (x0) = y„_1; y =j(x.y.y) (2.3) 2.1 Kvalitativní teorie 49 ) y yo / \ | ! i 1 1 ! o Obr. 2.1: Počáteční úloha pro rovnici druhého řádu Existuje konstanta A" > 0 a okolí O bodu í>0. yo.....yn-\)- O C íl tak, že pro každé dva body (.re- oc- ('i.....fln-i ) G O. (x0,b0,b1.....bn-i) G O platí \f(x0, ac,ai----.an_i)-/(,r0. 60. .....^.-í)! < K(\aG-b0\-\-----,f\ari-i~bn-1\). Přitom okolím bodu (x0.yQ.....yr!-i) rozumíme libovolnou otevřenou kouli v Rn+1 se středem v tomto bodě. Lipschitzova podmínka je napr. splněna. existuj í-li lokálně ohraničen é parciální derivace j£.....5^77 v což je splněno např., jsou-li tyto derivace spojité v íl Věta 2.1 (O existenci a jednoznačnosti) Xechť fíx.ZQ.zi.....~n-i) je spojitá na otevřené množině Q C Rn+1 ■ Pak pro každé ix0. y0. y1.....y„_i) € má počáteční úloha y(n) = />, y, y\ ■ ■ ■ ■ .y(n_1)). y{x0) = yo- y'Uo) = yi-----. y(n~r'(xQ) = yn-u alespoň jedno řešení. Je-li navíc v každém hodě O splněna lokálně Lipschitzova podmínka, je toto řešení jediné. S rovnicí (2.2) se ještě setkáme ve 3. kapitole, kde si všimneme její souvislosti se systémem diferenciálních rovnic. 50 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 2.2.1 Úvodní poznámky Tak jako u rovnic prvního řádu i u rovnic vyšších řádů nás budou především zajímat otázky nalezení (obecného) řešení. Je ovšem přirozené čekat, že potíže spojené s touto úlohou u rovnic prvního řádu — viz str. 10 — se zde ještě zvýší. Zatímco u rovnic prvního řádu jsme byli schopni uvést alespoň některé typy rovnic, které jt- možné řešit pomocí kvadratur, je u rovnic n-tého řádu, kde n > 2, škála podobných rovnic podstatně chudší. Mezi takové rovnice patří např. y(n) = f(x).. (2.4) kde obecné řešení dostaneme n-násobnou integrací, tj. y(,v) = / ■•• fíx)d.T + C1\dx + C2).--)dx + C rc-krát = dl+d2x----dn-ixn-1 f ■■■[[fíx)d^-dx. n-krat Příklad 2.1 Najděte obecné řešení rovnice y'" = sinx. Řešení: Trojnásobnou integrací postupně dostáváme y"(x) = j sin x dx = - cos .r — c\. y' (x) — j{ — cos x -t- ci) dx — — sin x -t- c±x + ci- ľ • x2 y(x) = /(- sin x — c\x — co) dx = cos x + c\— + Cix + c3. Označíme-li d$ = ^. c?2 = co. d-L = C3. má obecné řešení tvar y = di 4- cUx — dzx2 + cos x. Jiným takovým typem je rovnice tvaru í/;n' = /U-.y!'!-lf). Tu substitucí z(x) = y[n~1}(x) převedeme na rovnici prvního řádu z' = fix. z). Pokud tuto rovnici dokážeme vyřešit, dostaneme y(x) ze z{x) pomocí (n — l)-ná-sobné integrace, neboť jde o rovnici typu (2.4). 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 51 Příklad 2.2 Najděte obecné řešení rovnice y" = (y')'2. Řešení: Položíme z(x) = y'{x). Po dosazení dostaneme což je rovnice se separovanými proměnnými. Pro ~ # 0 je dz 9 dz , /' _2 7 /" . Po integraci vyjde -1 ' ' r " x + c' Kromě toho má rovnice řešení z = 0. Pro y(x) máme tedy rovnici 1 jejíž integrací dostaneme y = —-- => y — — ln \x — c -r d. J x + c Dále řešení z = 0 odpovídá y' = 0 =!> í/ = k. k E R. Celkově má tedy naše rovnice řešení y — - ln \x + cj + d, x # -c. kde c. (f e i? a y = k. k e R. Některé další typy rovnic lze nalézt napr. v !10j. V tomto oddíle se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, a to podrobněji, než jsme dosud zkoumali předchozí rovnice (i když většinu tvrzení opět nebudeme dokazovat). Otázkou je. proč zrovna tyto rovnice si zasluhují takovou pozornost. Důvody jsou dva. Jednak je poměrně snadné uvést řadu jejich vlastností. Zkoumat ovšem něco jen proto, že je to celkem snadné, by mohlo být samoúčelné, pokud by příslušné výsledky nebyly k něčemu užitečné. A tomu tak v tomto případě skutečně je. Druhým důvodem totiž je. že lineárními rovnicemi lze přibližně nahradit (aspoň lokálně) nelineární rovnice. Pokusíme se naznačit, v čem tzv. linearizace spočívá. Uvažujme rovnici F(x.y.y'.....yln)) = 0. (2.5) 52 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Příslušnou funkci F(x. zo.zi.....zn) nahradíme při pevném, x Taylorovým rozvojem stupně jedna v okolí nějakého bodu (z/o yi.....yn)\ jde tedy vlastně o náhradu totálním diferenciálem. Platí F(x.zo,Zi,...,zn) = F(x.yo.yi.....ijr,) + dF(x.y0.yi...../yn)+ (2.6) + R(x.ZrJ.Z1....,Zn). kde zbytek R(x. z0. ~i.....zn) je pro (z0.....zn) ..blízké" (y0,.... yn) „malý". Přitom platí , w a dF(x. yo.....yn) , , dF(x. y0.,...yn) dF (x. y o.....yn) = -:---( z0 - ijn) -i-----:----(zn - yn). OZfí ozn Xechť h(x). x G J. je řešení rovnice (2.5). Protože čísla y0----,yn mohou ve (2.6) záviset na x (rozvoj jsme dělali vždy při pevném x). lze v (2.6) volit za střed rozvoje (h(x). h'(x)...../?'"'' (x)). Pak vzhledem k tomu, že h(x) splňuje (2.5). má (2.6) s tímto středem tvar F(x.zo.....zn) = |I (co - hix)) - • •. ^ |^ (-„ - h^(x)) + (2.7) dz0 \ ' ózTl V ' J + R(x.z0.....zn). kde dF dF (x.h(x).h'(x).....h^nHx)) ~r ——-:-:---——. ž = 0.1.....n. CZ; OZi Po dosazení (2.7) do (2.5) dostáváme §-Q(u-H-r)) (Un) ~ tí»Hx)) - R (x. yW) = 0. Připomeňme, že tato rovnice má řešení y = hix). tedy je R[x.h[x).h'(x).....hnČx))=0. x E J. (2.8) Zavedme nyní novou neznámou uix) = ylx) — h(x). Pak ičíx) = y'(x) - tílx).....uin)(x) = y>n)(x) - h{n) (x) a předchozí rovnice nabývá tvar OF , dF , . — u - — u1 H- • • ■ - — u'u - (2.9) dz0 dz1 -dzn - R (x. u + hix). iť - h'(x).....uin) + h{n)(x)J = 0. Tato rovnice má vzhledem k (2.8) řešení u(x) = 0. 2.2 Lineární rovnice v-tého rádu 53 Uvažujme nyní. co by se staio. kdybychom v takto upravené rovnici zanedbali výraz R (x. u -ŕ h(x). a' h'{x).....u'n — h n >x)) . který je pro u(x) ..blízké" nule ..malý". Rovnice 12.9) pak přejde v rovnici OF OF , ŮF ,. —— u ~ —— w-----~—u "■ = 0. (2.10) ti z o O z i oz,- kde ?' = 0.1...../?. jsou konkrétní funkce proměnné x nezávisející na u. Jak dále uvidíme, rovnice (2.10) je pravé zmíněná lineární rovnice. Říkáme, že rovnice (2.10) vznikla 7 rovnice í 2.5 i Inucrlzcci v okolí jejího řešení h(x). Je-li y(x) řešení (2.5). vyjadřuje u[x] odchylku y>x'i od pevného řešení h{x). a tedy rovnice (2.9) je diferenciální rovnicí pro tuto odchylku. Otázkou nyní je. jaký je vztah mezi řešeními rovnic í2.9i a ; 2.10). Lze ukázat. že pokud R (x. u -f h(x). u! — h'(x).....u ' ' — h'ľ:: :.x >j . je ..malé". tj. pokud u je ., blízké" nule. jsou řešení íj.91 a (2.10 i ..přibližně" stejná. Jinými slovy řešení rovnic (2.9) a (2.10). která jsou ..blízká nule", jsou ořibližně stejná. To vyplývá z významné skupiny tzv. ret o spojité závislosti ca počátečních podmínkách a parametrech - viz např. práce 6. str. 93 . 14. str. 224.231 . .18. str. 178b [29, str. 326] a pod. Princip linearizace je velmi významný a v inženýrské praxi často využívaný. Mnohdy je však používán velmi nepřesně, což muže vést k naprosto nesprávným závěrům. Je třeba mít na paměti, že zdaleka ne všechna řešení rovnic (2.9) a (2.10) jsou ..přibližně stejná", ale pouze ta. která jsou ..dostatečně blízká nule". Kardinální otázkou je. co znamená pro konkrétní rovnici být ..dostatečně blízký nule" a být ..přibližně stejný". Dále není obvykle možné uvažovat řešení na příliš dlouhém intervalu — zhruba řečeno, čím delší interval uvažujeme, tím bližší nule musí řešení být. Rozhodně by se každý, kdo chce íinearizaci používat, měl důkladně seznámit s výše zmíněnými větami, aby přesně věděl, co lze od této metody očekávat a co ne. Linearizací lze získat ve speciálnějších případech i podrobnější informace, např. o chování v okolí stacionárních řešení a pod. — viz např. 3. str. 409. [6. str. 144]. [17. str.217]. [29. str. 87" a pod. Celá tato problematika je bohužel mimo rámec těchto skript. Inženýři se mnohdy domnívají, že není nutné studovat nelineární rovnice, protože je stačí linearizovat a řešení lineárních rovnic vzít za přibližné řešení původních nelineárních rovnic. To je naprosto mylná představa. Existují vlastnosti, které se u lineárních rovnic vůbec nevyskyi ují. a je tedy naprosto nemožné posuzovat tyto vlastnosti u nelineárních rovnic na základě jejich linearizací. Stačí připomenout např. otázku nelineárních kmitů. Zatímco autonomní nelineární rovnice druhého řádu může mít jediné periodické řešení, homogenní lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má buď všechna řešení periodická, nebo žádné. Že se takové rovnice v praxi vyskytují, dokazuje např. tzv. vav der 54 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Polova rovnice y" + u(y2- l)y' + y = 0, u e R, popisující kmity elektronického oscilátoru nebo její zobecnění, tzv. Liénardova rovnice y" + f(y)y' + g(y) = 0- která se objevuje v akustice a v poslední době v biologii ve spojitosti s otázkami modelování biologických systémů. Zájemce o vlastnosti těchto rovnic odkazujeme např. na [14, str. 295] nebo [20. str. 86], 2.2.2 Vlastnosti lineárních rovnic Rovnici tvaru brXx)y^(x) + bn^y^Hx) + • • • + b^y'ix) + bQ(x)y = g(x), kde bj(x), i = 0.1,.... n a g(x) jsou funkce, nazýváme lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Budeme předpokládat, že bn(x) # 0. Pak je možné rovnici vydělit tímto koeficientem a při označení a,-(x) = yjx^j- i — 0,1,... ,n — 1. a f(x) — nabude rovnice tvaru v bn (x) l/n) + an-^y^-V + ■■■ + ai(x)y' + a0(x)y = f(x). (2.11) V dalším se budeme zabývat rovnicemi právě tohoto tvaru. Rovnice (2.11) se nazývá homogenní, jestliže f(x) = 0, a nehomogenní v opačném případě. Platí následující výsledek týkající se počáteční úlohy. Věta 2.2 Nechť funkce + • • • + ai(x)y' + a0(x)y. Zobrazení 2z? přiřazující funkci y novou funkci, danou levou stranou rovnice (2.11). budeme nazývat operátor. Pak (2.11) má tvar ^(y) = f(x). Podobně jako v odstavci 1.3.5 se dokáže tzv. princip superpozice. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 55 Věta 2.3 Nechťyi{x) je řešení rovnice Jžf(y) = fi(x) o 1/2(2*) ie řešení rovnice 3f(y) = fi{x) (tedy levé strany obou rovnic jsou stejné). Pak pro libovolná a, P E R je funkce y (x) = ayi(x) -j- 3y2{x) řešením rovnice Sf(y) = af1(x) + 3f2(x). Dále si-všimneme samostatně homogenní a nehomogenní rovnice. Uvidíme, že řada vlastností je analogická jako u rovnic prvního řádu. Důkazy proto vesměs neuvádíme. 2.2.3 Homogenní rovnice Jde o rovnici tvaru y(n] + an-1íx)y(n-1> + ...+ aiUV + a0(x)y = 0. (2.12) Z principu superpozice vyplývá následující významný výsledek. Věta 2.4 Jsou-li yi{x) a y2(x) dvě řešení rovnice (2.12) o c G i?, pak také funkce yi(x) + y2{x) a cy\{x) jsou řešení rovnice (2.12). Tedy řešení rovnice (2.12) tvoří vektorový prostor. Jeho dimenze je n. Poznámka 2.2 Chápeme-li operátor Jzf jako zobrazení z vektorového prostoru funkcí majících spojitou n-tou derivaci na J do vektorového prostoru funkcí spojitých na J, snadno se ověří — viz následující příklad — že jde o lineární operátor. Funkce y(x) je řešením (2.12) právě tehdy, když Jzf(y) = 0. tedy když y(x) je prvkem jádra operátoru Jzř. Předchozí věta pak říká. že defekt Jzř (tj. dimenze jádra) je roven číslu n. Příklad 2.3 Ověřte, že operátor Jzr(y) = y" + ai(x)y' + cio(x)y je lineární. Řešení: Je Jzř(yi+y2) = {yi + y2)" + o.i(x}(yi + y2)' + a0(x)(yi -y2) = y'{ + y2 + cii(x)y[ + +ai {x)y2+a0 (x)yi+a0 (x)y2 = yi+aUj)y[ř-ao[x)y1+y2+a1(x)y!2 + a0(x)y2 = = JŽf(3/1)+Jžf(í/2). Tedy Jšf je aditivní. Dále pro a e R je .Se(ay) = (ay)" + a1{x)(ay)' + a0(x)ay = a(y" + ai(x)ý 4- a0(x)y) = aSf(y). Operátor Jžf je tedy i homogenní, tj. celkově je lineární. V každém vektorovém prostoru konečné dimenze existuje báze. Libovolný prvek tohoto prostoru je pak lineární kombinací prvků této báze. Vybereme tedy n lineárně nezávislých řešení yi(x).....y n (z) rovnice (2.12). Pak každé řešení rovnice (2.12) má tvar y(x) = cryi(x) H-----v cnyn (x). (2.13) 56 Obyčejné diferenciální rovníce vyšších řádů kde ci,.. ., c„ jsou libovolná reálná čísla. Vzorec (2.13) tedy dává obecné řešení rovnice (2.12). Bázi yi(x),.. .. yn(x) nazýváme fundamentální systém rovnice (2.12). Všimneme si nyní toho. jak lze posoudit nezávislost řešení rovnice (2.12). Z ?2-tice řešení vytvoříme determinant W(yu ....yn)= Tento determinant se nazývá Vrohského10 determinant neboli wronskián. Lze ukázat, že wronskián je řešením jisté lineární rovnice prvního řádu. V důsledku toho platí: Věta 2.5 Bud'je W(yi.....yn) = 0 na J. nebo je W(yi, ■ .. ,yn) ^ 0 na J. Tento výsledek dává smysl následujícímu tvrzení. Věta 2.6 Množina n řešení y\.....yn rovnice (2.12) je lineárně nezávislá právě tehdy, když W(yx.....yn) 7= 0 na J. Stačí tedy ověřit pro konkrétní xq £ J. zda je \V[yi(xo)..... yn(xo)] roven nule nebo ne. Xa konkrétní volbě .to nezáleží. Wronskián je totiž buď pořád nulový nebo pořád nenulový. Poznámka 2.3 Předchozí kritérium nezávislosti neplatí obecně pro ?i-tici funkcí, která není řešením nějaké rovnice. Obecně lze tvrdit, že z uvažované podmínky W(yi, • • •, y-n) 0 na J plyne nezávislost funkcí 1/1,..., yn. Opak však obecně neplatí. Pokuste se najít takový příklad. Vzorec (2.13) nám udává obecné řešení rovnice (2.12). Problémem však zůstává, jak najít nějaký fundamentální systém. Ukazuje se opět bohužel, že i když jsou koeficient}' elementárními funkcemi, nemusí existovat fundamentální systém složený z elementárních funkcí. Explicitně najít fundamentální systém lze jen někdy. Xejvýznamnější je případ, kdy koeficienty ciq. .... an_i jsou konstantní; tímto případem se budeme v další části zabývat. O rovnici (2.12) s nekon-stantními koeficient}' existuje velice rozsáhlá literatura. Vynikajících výsledků dosáhl v této oblasti brněnský matematik Borůvka11 a jeho žáci — viz např. [1] a [16].__ 10Jozef Maria Wroňški-Hoene (1776-1853) (čti vroňski-hône) — polský matematik a filosof. Zabýval se základ}' matematik}.' a teorií algebraických a diferenciálních rovnic. ^Otakar Borůvka (1899) — významný český matematik, akademik ČSAV. Pracoval v oblasti projektivní diferenciální geometrie.- teorie grup a od začátku 50. let se zabývá obyčejnými diferenciálními rovnicemi. yi Ví 2/2 (n-l) (n-l) ž/2 (n-l) Vn 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 57 2.2.4 Snížení řádu lineární rovnice Známe-li jedno řešení j/0(.r) rovnice (2.12?. lze snížit její řád. tj. převést ji na rovnici (n — lj-nílio řádu. Předpokládejme, že = 0 pro x € /. kde I C J je interval. Hledejme řešení (2.12) ve tvaru y[x) = y o ) í' ř x) ■ Lze ověřit, že po výpočtu derivací a dosazení clo (2.12) vyjde yo(x)u{n) + 6n_i(.ľ)r.'''"_l1------- bilxiu'- y0 "(x) - a,,_1(.r).?/c" íj*)------- a0{x)yQ{x) u = 0. Přitom 6,-(a*), i = 1.....n — 1. jsou funkce vyjádřené pomocí funkcí yo{x) a ai(x), . . , , an-i(x). Protože výraz v hranaté závorce je nulový, a yo(x) ^ 0. dostáváme pro u rovnici W H--:- II — ...--—U = U. ž/o U" S yo(.r) Nyní můžeme položit ví í x) = ríx). Pro r.,r) pak máme rovnici (/; - l)-ního řádu ľ' í/g u''.1 ' i/o (.r) Obvykle postupujeme tak. že řešení (2.12; hledáme ve tvaru r = 0. (2.14) y [X 1 = jt/o,.i'' / C! X; dx. j Po dosazení se výrazy s integrálem zruší a zůstane přímo rovnice (2.14). Lze ověřit, že je-li ti(x).....ťri_i;,.r) fundamentální systém rovnice (2.14'. je yo{x). yo(x) ji'ľ x) dx.....ydx) jr„_i(.r) dx fundamentální svstém (2.12) — viz 14. str. 103.. „1.4 , Příklad 2.4 Najděte obecné řešení rovnice y — —y'--z y = 0. x > 0. vite-ii. x x- že má řešení ydx) = x~. Řešení: Řešení hledáme ve tvaru y(x) — x1\vdx. Pak y' - 2x / v dx + x-v y" = 2 j v dx - 2xv + 2xv -f .rV 58 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a po dosazení máme tj. po úpravě v' + -i- = 0. x To je lineární homcg.mní rovnice prvního řádu. tj. rovnice se separovanými proměnnými. Tedy dv 5 ^ dv _ 5 ^ _ /Viť í ^ dm dx x c x Iv ' takže c lni;:! = — ólnl.ri — lne ?;f.r) = —. 1 ' x° Volme např. c = —4. Pak v(x) = ^ a druhé řešení rovnice je yi{x) = x dx = -4x ■ x° -4 xz Obecné řešení má tudíž tvar y(x) = ci.r2 -f .r > 0. .r2 Všimněte si. že výsledek platí i pro .r < 0. Poznámka 2.4 i) Zcela analogicky lze postupovat v případě nehomogenní rovnice, známe-li řešení příslušné homogenní rovnice. Nove vzniklá rovnice nižšího řádu je opět nehomogenní. ii) Podobně, známe-li k nezávislých řešení rovnice (2.12). 1 < k < n, lze (2.12) za jistých předpokladů převést na rovnici řádu n — k. Detaily lze nalézt např. v [6. str. 49] nebo [14. str. 348]. 2.2.5 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty Půjde nám o nalezení fundamentálního systému rovnice y{n) + an.iy(n-r> + ■••-*- ary' + a0y = 0, (2.15) kde cii £ R- i = 0.1.....72-1. Vyjdeme z příkladu pro rovnici druhého řádu y" + a1y' + a0y = 0. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 59 Pokusme se najít řešení této rovnice ve tvaru y = e . kde A je vhodné číslo. Vypočteme v' = \eXx y" = X2eXx a po dosazení obdržíme \2eXx 4- OiAe'Xx - ocrAi' = 0. Protože eXx ^ 0, musí A splňovat rovnici A2 -i- ai A -i- a o — 0. To je (algebraická) kvadratická rovnice, kterou umíme snadno vyřešit. Ukazuje se, že i v obecném případě rovnice (2.15) je situace obdobná. K rovnici (2.15) přiřadíme algebraickou rovnici A" + On-iA"-1 ~----- «iA - a0 = 0. (2.16) Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice diferenciální rovnice (2.15). Levou stranou této rovnice je polynom stupně n. Z algebry je známo — viz napr. [13, str. 64] — že tato rovnice má v komplexním oboru právě n kořenů, z nichž některé mohou být stejné (tzv. vícenásobné kořeny). Přitom komplexní kořeny se vyskytují vždy po dvojicích (tzv. komplexně sdružené kořeny), které mají stejnou násobnost. Reálné kořeny mohou ale nemusí existovat, Nyní platí: Nechť A £ R je /c-násobný reálný kořen rovnice (2.16). k > 1. Pak funkce yi(x) = eAX. yoíx) = xeXx.....yk{x) = xK~1eXx jsou řešeními rovnice (2.15). ; Nechť q ± 3i £ C je komplexně sdružená dvojice /i-násobných komplexních kořenů rovnice (2.16). k > 1. a. 3 s R. 3 0. Pak funkce yi(x) = eax cos 3x. ř/3(.r) = xea* cos 3x.....yik-ú-r) = xk~]eClX cos 3x. j y2{x) = eax sin 3x. y^x) = xeaxsm3x.....yrA*) = ■rk~1eax sin 3x \ jsou řešeními rovnice (2.15). Sestrojíme nyní popsaným způsobem ke každému kořenu rovnice (2.16) odpovídající řetězec řešení. Celkem budeme mít (po přečíslování) n řešení rovnice (2.15) yi(-u;.....yníx). Věta 2.7 Množina řešení zkonstruovaná popsaným způsobem tvoří fundamentální systém rovnice (2.15). 60 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Poznámka 2.5 Máme tedy zdánlivě efektivní postup, jak najít potřebný fundamentální systém. Zdánlivost spočívá v tom. že obecně neumíme určit kořeny algebraické rovnice (2.16) stupně n > 5. Přitom pro n — 3 a n = 4 je to velmi komplikované — viz napr. [13. str. 67]. Použití numerických metod je zde problematické — počítat násobné kořeny numericky (tj. i určit jejich násobnost) lze těžko, což nám vadí. Xásobné kořeny totiž často výrazně ovlivňují chování řešení rovnice (2.15). Nyní si na příkladech ukážeme použití vyložené teorie, Příklad 2.5 Najděte obecné řešení rovnice y" + y' — Qy = 0. Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici A2 + A - 6 = 0. Její kořeny jsou A,^-1^1-2^^ =* A, =2. A2 = -3. Oba kořen}- jsou reálné a jednoduché, tedy ke každému přísluší jedno řešení. Proto funkce yi(x)=e2x a y2(x) = e~3x tvorí fundamentální systém. Obecné řešení je pak y[x) = cie"-' — C2é_3'l. Vypočítáme pro zajímavost wronskián. Vyjde Tí7(/i. yo) = " V) V'l = '■ oet SZZ = -3e-' - ■2e-x - -he~x + 0 J~ . y[ y2 i 2c— —oe -~ pro každé x E R. což potvrzuje to. co jsme si o wronskiánu řekli. Příklad 2.6 Najděte obecné řešení rovnice y" - 4y' + 13y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A'2 - 4A - 13 = 0. Její kořeny jsou 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 61 K této dvojici komplexne sdružených kořenů i a = 2. 3 = 3) přísluší řešení j/i (a*) = e2* cos3x a y2(x) = e^x sin3x. Obecné řešení je y{x) = cie'" cos 3 x — c^e"" s in 3x. Příklad 2.7 Najdete obecné řešen: rovnice y'°} — 2 ŕ/"1 — y'" = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je y — 2Ä4 — A3 = 0. Po úpravě je A3(A2 - 2A - 1.. = A31 A - 1 2 = 0. Tato rovnice má trojnásobný kořen a1.2..3 = 0 a dvojnásobný kořen a4.5 = —1. Trojnásobnému kořenu odpovídá trojice řešení yi(x)=e0x = l. y-2Íx) = xe0i' = x. y3[x) = x2e°~ = x2 a dvojnásobnému kořenu odpovídá dvojice řešení lliíx) = e"''. í/síx) = xe~x. Obecné řešení je y (x) = Ci — cox — C3X2 — c'41— 1 + C5xe_a. Příklad 2.8 Najděte obecné řešení rovnice i/l4;' 4- 2y" -f y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A1 - 2A2 -1 = 0. Tu lze upravit na tvar (A2 -f- l)2 = 0. Rovnice A2 + 1 = 0 má komplexní kořeny —i. tedy naše charakteristická rovnice má dvojnásobnou dvojici komplexně sdružených kořenů ±i. Fundamentální systém je tvořen čtveřicí funkcí yi (x) = e0x cos lx = cos x. 1/3 í x 1 — xeUx cos lx = x cos x. y2{x) = eQx sin lx = sin x. y4(x) — xe°'r sin lx = x sin x. a obecné řešení je y{x) — ci cos x — Co sin x 4- c3x cos x — c4x sin X. 62 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Poznámka 2.6 U komplexních kořenů obvykle volíme 3 > 0. To není nutné. Např. v předchozím příkladu by 3 — —1 dalo yi(x) = cos(-x) — cos x a y-2(x) = sin(—x) = — sin a;. Tedy až na přeznačení konstant (co a c.4 by byly opačné.) se nic nestane. Poznámka 2.7 Z předchozího vyplývá, že řešení rovnice (2.15) je lineární kombinací funkcí tvaru xkeax cos 3x resp. xkeax sm3x, kde k je celé nezáporné číslo. Takové funkce se nazývají kvcizipolynomy. K těmto funkcím vždy existuje Laplaceův obraz, který je racionální ryze lomenou funkcí — viz např. [30]. Tyto rovnice lze tedy snadno řešit užitím Laplaceovy transformace. 2.2.6 Nehomogenní rovnice, variace konstant Jde o rovnici tvaru y[n) + a„_i(.r)y(n-l! + ••• + o.0(x)y = f(x). (2.17) Z principu superpozice vyplývá následující věta. jejíž důkaz je obdobný jako u věty 1.7. Věta 2.8 Nechť yi{x).....yr,(.r) je fundamentální systém homogénni rovníce (2.12) a yo(x) je partikulární řešení rovnice (2.17). Pak obecné řešení rovnice (2.17) má tvar yíx) — ciyi(.r) -r----L cnyn(x) - y0{x). Ci.....cn G R. Jinými slovy obecné řešení nehomogenní rovnice je rovno součtu obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Tento princip jsme již použili u lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu — viz str. 23. Připomeňme si jeho symbolickou podobu: OŘXLDR=ORHLDR-t-PŘXLDR Obecné řešení homogenní rovnice umíme f u rovnic s konstantními koeficienty) najít. Ukážeme si nyní postupně dva způsob}-, jak najít partikulární řešení yo(x) nehomogenní rovnice. A" tomto oddíle si všimneme univerzální metody, která je platná i pro rovnice s nekonstantními koeficient}'. Předpokládá ovšem, že známe fundamentální systém příslušné homogenní rovnice (který však u rovnice s nekonstantními koeficient}- neumíme najít). 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 63 Variace konstant Myšlenka metody je obdobná jako u rovnice prvního řádu. tj. v obecném řešení homogenní rovnice se snažíme zaměnit konstanty c\.....c;i vhodnými funkcemi K\(x),. ■ ■ ,Kn(x) a hledat řešení yo(x) nehomogenní rovnice ve tvaru y0(x) = i\i(.r)ř/i(T) - A'2i,r)!/2i.rs-----Knix)yn(x). Odvození si ukážeme pro jednoduchost na rovnici druhého řádu y" — a\{x)y' — ciqíx >/ = f< x •. i2.18) Nechť yi(x) a y2{x) jsou nezávislá řešen: příslušné homogenní rovnice, tj. y'{ + ai(x)y'; - a0í.r = 0. i = 1. 2. í.2.19) Hledejme řešení a-e tvaru yo{x) = A'i(.r)j/i(j) — K2{x)y2{x). Vypočteme první derivaci (pro stručnost nepíšeme argument x). Vyjde y o = K'\yi - Kiy'i - K2'j2 - Aý.y2. Při výpočtu druhé derivace bychom dostali druhé derivace neznámých funkcí. Požadujme proto, aby K[yi - K'2y2 = 0-Že takovou podmínku můžeme splnit. uvidíme níže. Pak máme y0 = hilJx 4 A o ž/a i/o = Aii'i - Aiyx - A2í/2 - A2z/2 ■ Po dosazení do (2.18) a úpravě vyjde K'Wi + K\V'l + K2V2 + + oiÍA'tí/Í - A"2y2) - a0(Ä"iyi 4 A"2y2j = f (x). K{y[ + K'2y'2 + Ki(y" + axy[ - o0yi) - AVř/2 - aii/2 + «0^2) = /(..r). Vezmeme'li v úvahu (2.19). dostaneme A'iyi' - K!,y'2 = f í x). Celkově tedy máme pro derivace neznámých funkcí K[ a K'2 soustavu lineárních rovnic A'íř/i 4- K'2y2 = 0. A'íž/Í 4-A"íy2 = /(")• 64 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Determinant matice soustavy je vronskián ! y'i y'2 který je nenulový, a proto má naše soustava jediné řešení (které můžeme získat např. Cramerovým pravidlem). Z K[ a K'2 dostaneme K\ a /v2 integrací. To ovšem nemusí být možné ve třídě elementárních funkcí. Až na tento problém je však celý algoritmu5 metody variace konstant efektivní. Y obecném případě dostaneme pro K[.....K'n soustavu rovnic K[!Ji + ■■ ■ - K'nyn = 0. : : : (2-20) A1.ř/1 - ■ • • -r Knyn = 0. pro niž platí totéž, co pro předchozí speciální případ rovnice druhého řádu. Příklad 2.9 Najděte obecné řešení rovnice y" — 2y' + y = ^ 0 ^ ■ Řešení: I. Nejprve vyřešíme homogenní rovnici y" - 2.y' + y = 0. Charakteristická rovnice je A2 - 2A + 1 = 0 =? (X - l)2 = 0. Kořen je dvojnásobný \\o — 1- Fundamentální systém tedy je yi(.r) = ex. y2{x) = .rea' a obecné řešení homogenní rovnice je y{x) = ciex + c2xex. II. Použijeme variaci konstant a řešení budeme hledat ve tvaru yo(.r) = Ai(.r)e'r + A'2(.r)a'er. System (2.20) má tvar 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 65 Po vykráčení ex vyjde K[ + K2x = 0. .r2 4- 1 Odečtením rovnic dostaneme a-; ' x' -f- 1 Z první rovnice pak máme K> = -xK' = -x 1 1_ "Il2~ ^^TT~o^Ti Tedy (volíme nulové integrační konstanty j:2-l = í 2x dx = dt , = — / — = — ln Ir == , dt 2 J t 2 1 X d.ľ = ■ = - ln y/x2 + L K2(x) = j J1^ i = arctgx. Partikulární řešení nehomogenní rovnice tudíž je yo(x) = —ex ln \/x2 — 1 — xex arctgx a obecné řešení má pak tvar y(x) = ciex + c2xex - ex ln \/"x2 — 1 — xex arctgx. cx. c2 G R. 2.2.7 Metoda neurčitých koeficientů Tato metoda je použitelná pouze pro rovnice s konstantními koeficient}-. Navíc pravá strana / (x) musí mít speciální tvar. uvedený níže. Vzhledem k tomu. že takové rovnice se v aplikacích velmi často vyskytují a tato metoda je obvykle výrazně rychlejší než variace konstant, dáváme jí u těchto rovnic přednost. Uvažujme rovnici y(n) - an^yin-1] - • • • - oU/ - a0y = f(x). (2.21) jejíž lineární části přísluší charakteristická rovnice Xn + a„_iAn_1 -h----aiX-r a0 = 0. (2.22) Probereme postupně typy pravých stran f(x) od nejednodušších k nej složitějším. 66 Obyčejné diferenciální rovníce vyšších řádů 1. f(x) — Pn(x). kde P71(.r) Je polynom stupně n. Předpokládejme, že číslo 0 je fc-násobným kořenem charakteristické rovnice (2.22). Přitom k = 0 znamená, že tato rovnice nemá kořen 0. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru y0(x) = x*Qn(x). kde Qn(x) je vhodný polynom stupně n s neznámými koeficienty. Příklad 2.10 Najděte obecné řešení rovnice y" — y — x. Řešení: I. Homogenní rovnice je y"-y = o- příslušná charakteristická rovnice je A2 - 1 = 0. Ta má dva jednoduché reálné kořen)- A1.2 = =1. a tudíž obecné řešení homogenní rovnice je y(x) — ci e* — coe~~'r. II. Pravá strana nehomogenní rovnice je polynom P(x) = x stupně n = 1. Tech- Q(x) bude obecný polynom stupně 1. tj. Q(x) = ax + b. Charakteristická rovnice nemá kořen 0. proto k — 0. Tudíž yoú') = x°(ax + b) = ax + b. Odtud y'o = a =^ í/q = 0 a po dosazení vyjde 0 - [ax + b) = x =j> —ax - b = x. Z algebry je známo, že k tomu. aby se dva polynomy rovnaly pro každé x G R, je nutné a stačí, aby měly stejný stupeň a stejné koeficienty u týchž mocnin x. Porovnáváním dostáváme obecně soustavu lineárních rovnic. Y našem případě je to: x° : -b = 0 =^ b = 0. Partikulární řešení je yr>[x) = —x a obecné řešení nehomogenní rovnice je pak y(x) = Ciex — c-2e~J~ - x. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 67 Příklad 2.11 Najděte obecné řešení rovnice y" — y' = x. Řešení: I. Homogenní rovnice je y -y = o. příslušná charakteristická rovnice je A2 - A = 0 =•> AfA — 1) = 0. Ta má dva jednoduché reálné kořeny Ai = 0. X2 — 1 a obecné řešení homogenní rovnice tedy je y(x) — cie'JX — c-ex = c\ — c2ex. II. Analogicky jako v příkladu 2.10 je Q[x) — cix — b. Avšak charakteristická rovnice má jednoduchý kořen 0. proto k — 1. Tedy yo(.r) = x íax — b) = ax~ — bc, Odtud y o ^ 2 a.r - b => y0 = 2a a po dosazení vyjde Porovnáním vyjde x° : 2a - b = 0 =• b = 2a = -1 Partikulární řešení nehomogenní rovnice je y0{x) = x ^-^j: - 1 j = -^x2 - x a její obecné řešení je y\x) = ci- c2e - -.v - x. 2. f(x) = Pn(x)e°LX. kde Pnix) je polynom stupně n & a G R. Předpokládejme, že číslo a je ŕ-násobným kořeněni charakteristické rovnice (2.22): k — 0. nemá-li tento kořen. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru yoix) = xh:Qr \x)ea:c. kde Qn[x) je vhodný polynom stupně n s neznámými koeficienty. 68 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Příklad 2.12 Najděte obecné řešení rovnice y"1 - 2y" = 3e2x. Řešení: I. Homogenní rovnice je U — 2y — 0. příslušná charakteristická rovnice je A3-2A2 = 0 =4- A2(A-2) = 0. Ta má tři reálné kořem- Ai,2 = 0. A3 = 2. Tedy obecné řešení homogenní rovnice je 1 \ 0.r Ox 9x , . 9t y(x) — cie — coxe — c3e = c\ -r c2x + C3e . II. Pravá strana /(x) = 3e2x je typu polynom krát exponenciála; přitom polynom P(x) = 3 je stupně n = 0 a a = 2. Tudíž Q(x) = a (konstanta). Dále číslo 2 je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice, tedy k = 1. Proto ř/e(.rj = x1ae'i;t = axe2'1". Odtud •i/o = ae +2axe ,y0 = 2ae — 2cie-~ — 4oxe = 4cie~ + 4axe => i/é> = 8ae2x 4- 4ae2j - Saxe2x = Í2ae2x + Sa.re2" a po dosazení vyjde 12oe2x + 8axe2x - 2(4ae2x + 4axe2x) = 3e2x => 4ae2x = 3e2x. Protože e2x 7^ 0. dostaneme po krácení, že Partikulární řešení nehomogenní rovnice je . 3 ,r. yoU\) = -xe-'- a její obecné řešení je , •, Or 3 , y(x> = c- — co x — c-it -—xe ' - 4 3. f(x) = Pm(x)e°iX cos )3x + Qn(x)eOĹX sin j3x. kde Pm[x) je polynom stupně ???. Q„(.r) je polynom stupně n a a. 3 £ i?. Předpokládejme, že číslo q -i- J/ je ŕ-násobným kořenem charakteristické rovnice (2.22): k = 0. ncmá-li tento kořen. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru yo(x) = xk ;Rs{x)eax cos 3x 4- Ss(x)eax sin 3x] . kde s = max{m. n} (je-li Pm(.r*í = 0. je .9 = n. je-li Qn(x) = 0. je .9 = m) a Rs(x) a 5s(x) jsou vhodné polynomy stupně .s s neznámými koeficienty. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 69 Poznámka 2.8 i) I když je Pm{x) nebo Qn[x) nulový, tj. pravá strana obsahuje jen kosinus nebo jen sinus, je nutné do řešení zahrnout R3[x) i Ss(x). tj. část s kosinem i sinem. ii) Všimněte si. že typ 3 v sobě zahrnuje pro 5 = 0 typ 2 (cos Ox = 1. sin Ox = 0). Dále typ 2 v sobě pro a = 0 zahrnuje :yp 1 íe'JX = 1). ni) Ve všech typech nesmíme zapomínat na faktor xK: jeho opomenutí způsobí, že při porovnávání koeficientů dostaneme sporný systém lineárních rovnic. iv) Všimněte si. že u této metod)' lze nají: partikulární řešení jako první. tj. i když neznáme obecné řešení homogenní rovnice: zda je číslo a — Ji kořenem charakteristické rovnice, ověříme dosazením. v) Lze dokázat, že dva kvazipolynomy — viz poznámka 2.7 — se rovnají právě tehdy, když obsahují tytéž členy s týmiž koeficienty: jde o zobecnění věty o rovnosti dvou polynomů. Důkaz viz např. 20. str. 38 . A" našem případě tedy budeme porovnávat koeficient;/u cos .r. sin.t. .r cos x. .r sin .r atd. vi) Z předchozích výsledků vyplvvá. že všechna řešení nehomogenní rovnice s konstantními koeficient}' mající na pravé straně kvazipolynom jsou opět kvazipolynomy. Tedy na její řešení lze pouzí: Laplaceovu transformaci — viz poznámka 2.7. Příklad 2.13 Najděte obecné řešení rovnice y" — Ay = e" cos 2x. y 0; = 1. y'iO) = 0. Řešení: I. Homogenní rovnice je :/' — V-/ = 0. její charakteristická rovnice je A2-4 = 0. Její kořeny jsou a1.2 = —2i. Obecné řešení má tvar y{x) = ci V'" ces 2.)- — c-itJ" sin 2x = c: cos 2.r — c2 sin 2x. II. Pravá strana f\x) = e" cos 2.r je třetího typu: přitom Pix) = 1. m = 0. Q (x) = 0. a = 1. .3 = 2. Tudíž s = 0. R\x = a. S\xi = 6. Dále číslo 1 + 2i není kořenem charakteristické rovnice, tedy k = 0. Proto yc(x) = x°[aex cos 2x — bex sin 2x'> = o.ex cos 2x — bex sin 2.r. Odtud y'0 = nex cos 2x - 2qěx sin 2x — bex sin 2x — 2bev cos 2x = = (a 4- 26je* cos 2x - [b - 2a)ex sm2.r. y'á — (a + 2b)ex cos 2.r - 2{a — 26 )e* sin 2x -i- f 6 - 2a)ex sin2x 4- + 2(6 - 2a)ex cos 2x = (46 - 3o ^x cos 2x - (4o — 36)e'r sin 2x 70 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a po dosazení vyjde (46 - 3a)ex cos 2x - (4a + 36)e'r sin 2x-r + 4aex cos 2x + 4bex sin 2x = ex cos 2x, (cl + 46)ex cos 2x + (-4a 4- b)ex sin 2x = ex cos 2x. Porovnáním vyjde: ex cos 2x : « -f 46 = 1. ex sin 2.r : —4a + 6 = 0. Tato soustava má jediné řešení a = 6 = ý=. Partikulární řešení je yo(x) — -^ex cos 2x + -^ex sin 2x 1 / 1 / a obecné řešení nehomogenní rovnice je I 4 y(xl = ci cos 2x -r c-2 sin2x -i—=ea cos 2x -i—=ex sin2x. II 1: Nyní dosadíme počáteční podmínky. Dostaneme íx' - c - 1 - 1 c - 16 "17 17 Dále vypočítáme 1 2 ,i/(x) = -2ci sin 2x ^ 2c2 cos 2x -—-ex cos 2x —~ex sin 2x + 1 / li ---ex sin 2x--—er cos 2x. 17 17 Po dosazení dostaneme , _ 9c 1 8 _ Q _ c_ 9 1 / 1 / 34 Hledané partikulární řešení je , , 16 . 9 . n 1 „ 4 , y; x) = — cos 2x--sin 2x---f cos 2x H--c sin 2x. y" ' 17 34 17 17 Příklad 2.14 Najděte obecné řešení rovnice y'" — 2y" + y' = x2 + sinx. Řešení: I. Homogenní rovnice je í/ - 2.y - y =0. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 71 charakteristická rovnice je A3 + 2A2 + A = 0 =■ AÍA-1)2=0. Její kořeny jsou Ai = 0. A2.3 = —1. Tudíž obecné řešení je y(x) — cie0x — coe~x — czxe~= = c\ — coe~x — csxe~'v. II. K určení partikulárního řešení nehomogenní rovnice použijeme princip superpozice — viz věta 2.3. Položme fiix) = x2. /o(x) = sinx. První část pravé strany fi(x) = x2 je typu 1. kde n = 2. tedy bude Q(x) = ax" + bx + c. Protože charakteristická rovnice má jednoduchý kořen 0. je k = 1. Pak yi(x) = x1 (ax2 — bx — c) = ax* — bx2 — cx. Odtud y[ = 3ax2 + 2bx + c => y'{ = 6ax — 2b => y"' = 6a a po dosazení máme 60 + 12«.r — 46 — 3ax2 — 2b x — c = x2. tj- 3ax2 -r (12a + 2b)x — 6a — 46 -r c = x2. Porovnáním vyj de .r2: 3a = 1 => a = \. x1 x° 12a - 2b = 0 = b = -2. 6a-4&-c = 0 => c = 6. Partikulární řešení je 1 „ í/i(xi = -x' - 2x~ - 6x. Druhá část pravé strany /2(x) = sinx je typu 3. kde P(x) = 0. Q(x) = 1. n = 0, a = 0. 5 = 1. a tedy 5 = 0. Ríx) = a. Síx) = b. Protože číslo 0 — 1; = i není kořenem charakteristické rovnice, je k = 0. Pak i/2 (x) = x° (a cos x — b sin x j = a cos x — b sin x. Odtud yí2 =—asinx+bcosx =4* y'2' = —a cosx—bsinx .yíý = a sinx — 6 cosx a po dosazení vyjde a sin x — 6 cos x — 2a cos x — 2b sin x — a sin x — b cos x = sin x. 72 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů —2a cos.r — 2b sin x — sin a:. Porovnáním vyjde: cos.r: —2a = 0 =>■ a = 0, sin 2' : —26=1 => b=—\. Partikulární řešení je y-ii?) = -- sinx. Partikulární řešení celé naší rovnice je pak yi(x) + yo(x) = -x3 — 2x2 + 6x — - sinx a obecné řešení je y(x) = Ci + coe~x + c^xe~x + -x3 — 2x2 + 6x — - sinx. Poznámka 2.9 Vraťme se k fyzikální interpretaci rovnice y" + aiy' + a2y = f(x). kde f(x) je kvazipolynom. Pokud vyjde k > 0. tj. je třeba zvýšit stupeň uvažovaných polynomů, jde o tzv. rezonanci. Homogenní rovnice popisuje tzv. vlastní kmity soustavy, kdežto nehomogenní rovnice popisuje tzv. nucené kmity soustavy. Prakticky řečeno, o rezonanci jde. pokud pravá strana nehomogenní rovnice je řešením homogenní rovnice. 2.2.8 Eulerova rovnice Jde o lineární rovnici s nekonstantními koeficient}" tvaru ■rV?1) + a^x""1^"-1) + ■ ■ • + aixy' + a0y = f(x), x > 0, (2.23) kde cii. i = 0..... n — 1. jsou reálná čísla. Tuto rovnici lze zavedením nové nezávisle proměnné t vztahem x = eř, tj. t = Inx. převést na lineární rovnici s konstantními koeficienty. Označme y(x) — y(ef) = u(ť). tj. y(x) = ■u(lnx). Pro derivaci dostáváme podle pravidel pro derivování složené funkce ! dy clu dt . 1 ^ cix dt dx x „ _ d2y _ d{ň ■ ±) _ dú 1 ; . /__1_\ _ dů d+ 1 _ 1_ . _ .. 1___1_ . y dx2 dx dx x ^ \ x2 J dt dx x x2 x2 x2 atd. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 73 Např. pro rovnici druhého řádu x2y" + a1xy'~a0y = fix) (2.24) vychází x [ u —r---^ í; ) — Oi.ru--a n u — j (e i. V '7;' y ::: tj- ii -f (oi — l)ú — ač" = /(fT)- (2.25) což je skutečně rovnice s konstantními koeficient}", Tento výsledek platí pro libovolné n. Obecně dostaneme rovnici vin] +&J1_iuir'"1-----bi ii — bo — /! č'j • (2.26) kde ô, G i?. í = 0. 1......n - 1. Je-li Ui(t)..... un(ŕ) fundamentálni systém rovnice (2.26). lze snadno ověřit, že i/i(ln.r). .... uri(lnx) je fundamentálni systém rovnice (2.23). Výpočet vyšších derivací y je pomerné pracný. Je však možné získat charakteristickou rovnici příslušnou ke (2.26) přímo z koeficientu Q; rovnice (2.23). Např. pro rovnici (2.25) je charakteristická rovnice A2 + (d - 1)A - a0 = 0. rj. Ai A - 1; — oiA ~ a0 — 0. Skutečně obecně platí — viz 14. str. 130). že An + 6n_1A'7"1 -t-----6:A - b0 = AíA - 1: • ■ ■ (A - ?? — 1) + -ŕ «n_iA(A — 1) • • • (A - — 2) — ■ • • — ooA(A - 1) — «iA — a0. Použití si ukážeme na příkladu. Příklad 2.15 Najděte obecné řešení rovnice x3y'1' - x2y" + Sxy' - 8y = 0. Řešení: Položme x = é. Po transformaci vznikne lineární homogenní rovnice, jíž přísluší charakteristická rovnice A(A - 1)(A - 2! - AíA - 1} - 3A - 8 = 0. tj- A3 - 2A2 - 4A -8 = 0. Transformovaná rovnice je tedy u —2i; — 4 ú — 8 í./ = 0. Tu jsme však ani nepotřebovali vypisovat. 74 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Charakteristická rovnice má celočíselný kořen Ai — 2 (ten lze najít postupem uvedeným např. v [13. str. 68j). Po vydělení kořenovým činitelem A — 2 dostaneme rovnici A2 4- 4 = 0. která má kořeny a2.3 = ±2i. Transformovaná rovnice má tudíž fundamentální systém ui{t) = e2t. U2Í.O = cos2ř. uz(t) = sin2t, a tedy původní rovnice má fundamentální systém 3/1 (ar) = ui(lnx) = e2lnx = x2. ij2(x) = uoihix) = cos 2 Inx, ijsix) = u3(ln.r) = sin 2 ln .r. Obecné řešení naší rovnice je y(x) = cyr — co cos 2 ln.r — C3 sin 2 ln.r. Poznámka 2.10 Analogicky lze zřejmě postupovat i pro x < 0. pouze se zvolí substituce x = —eŤ. Xe vždy je nutné provádět to prakticky. Xapř. v předchozím příkladu stačí upravit výsledek na tvar yíx) = ci.r2 4- c-2 coslnx2 4- C3 sin ln.r2. který je definovaný pro každé x ý 0- Cvičeni 1. Najděte obecné řešení rovnic vyšších řádů. a) y'" = i b) y'~!=e2* c) xV" = (y")2 d) y'" = \y")3 e) xy'5) =yu' f) (1 4- x2)y" + y1'2 + 1 = 0 2. Najděte obecné řešení následujících rovnic, znáte-li jedno resp. dvě partikulární řešení. 2 , sin.r a) .y H— y — 1/ = 0. i/l 1 ,r ; = - .7." " x , / „ 1A . cos.r b 1 x-y — xy — I x---;/ = 0. yxix) = —— \ 4) ' ' y'x 14 c) 11" 4- - //---// = 0. yi(.r) = x2 x x- d) Axy" — 2y' — y = 0. í/iU") = cos y'.r e) (2x - x2)y" - íx2 - 2)y' -2(1 - xiy = 0. yL(x) = ex f) x3y/;/ - 3x2y" - 6x.y' - 6y = 0. í/px) = x. y2(x) = x2 A* následujících příkladech najděte obecné řešení, a pokud jsou dány počáteční podmínky, i příslušné partikulární řešení. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 75 3. a) y" — 2y' — 3y = O b)y"-4y = 0 c) y" - 6y' + 9y = O d) 3y" - 4y' = 0. y(Oi = 0. y'íOj = -1 e) 2y" + y' - y = 0 f) y" - 2y' - y = 0. y(0) = 2. y'(O') = -1 g) y" - 4y' -f-13y = 0 h) y" - -ky' -r oy = 0. y(-) = -1. y'í~) = 5 i)y"-6y' = 0 j)y" = 0- y(2 t = 3. y'(2) = -1 4. a) y'" + 9y' = 0 bi y 4;: - 13y" - 36y = 0 c) y(4) - 8y" + 16y = 0 d., y'" - 3y" - 3y' - y = 0 e) 64y(8) + 48y'6) Hh 12y!4; - y" = 0 f) y(5> - y' = 0. y(0) = 0. y'(0i = 1. y"iO'- = 0. y'"iO) = 1. y4!í0) = 2 5. Variace konstant e1' 1 a) y" - 2y' + y = — b ■ y" - iy •t 5111" x 1 in n 2 - 2.ľ c i y" + 3y' -f 2y = - d 1 y'" — 2u" - e-1' — 1 xJ 6. Speciální pravé strany a) y" - 6y' + 9y = 2x2 - x - 3 b; y" - 2y' - 2y = 2x c) y" + 4y' - 5y = 1 d} 2y" - 3y' = 5x2 - 2x - 1 e) 2y" + y' - y = 2ex í< y" - y — e-~ g) y" - 4y' + 4y = 3e2x h) y'' - 7y' — 6y = sin x i) y" -j- y = cos x j) y" - 3y' — 2y = sin 2.r — cos 2x k) y" + 4y' + 4 = xe2x l! y" - 4y = e2" sin2x m) y" + y = x sin x n) y" - 3y' — 2y = .r — t~-x — 1 o) y" + y = ó - 3cos2x 4- ex' pi y" - y' = 2/1 - x). yiO) = C. y'i'0.) = 1 q) :;/5> - 3yí4) + 2y"' = 8x - 1 2 r< y'" - 3y' - 2y = sin x - 2 cos x s) y'" -4y" + 3y' = x2+xe-x x; y'" - 2y" - y' = -2xe~2. y<0) = 2. t/b 0) = 1. y". 0) = 0 7. Eulerova ro\'iiice a) x2y" - 9xy' + 21y = 0 b) x2y" - x y' - y = „r c) y" - - + 4 = ~ d) x2y" - 2xí/' - 2y - x - 2x3 = 0 x x- x e) x3y"' + xy' - y = 0 f) .r4y;4; - 6x3y"' - 5x2y" - xy' - y = ín2 x - 4 Fz/s/eŕ/^y: 1. a) xx ln jx| + ci 4- c2x + c3x2. b) ~- - d - c2x - c3x2 - c4x3 - c5x4 -+- c6x5 + +c7xb, c) c-i ,xj -r c2x + c3 - c\{x - C!) in x - ci . d! | %/( c7"- 2x1^ - c-2x - c3. e) ci+c2x + c3x2 + c4x3-rC5X5. f) _JL-u£L£l ln l-ci.r;-c2. 2. ai ci^-co^^. b) ^(ci cos x -r c2 sinxb c) Ci.ť2 - f?-, d) Cl COS \'x — c2 sin v'x. e) Ciřa' -r C2X2. 76 Obyčejné diferenciální rovu :i ra<: f) C1X + C2X2 + C3X3. 3. a) ciex 4c2e~3x. b) ci cos 2x + c2 sin2a;, c) cie3x + c2xe3x. cl) ci+c2e-sx: -| + |e-f-. e) cie_x 4-c2eK f) cie_x 4 c2xe"x; 2e_x+ aľe-x, g) c\e2x cos 3x4c2e2x sin3.r. h) ae~2x cos x—c2e~2:r sinx; e2^~x'(cos x-3 sinx), i) ci + c2e6x.j) ci+c2x: 5 —x. 4. a) ci cos 3x4 c2 sin 3x+ c3. b) c\e2x + c2e~2x + +c3e3x + c4e-3x. c) (ci - c2x)e2x 4- (c3 4- c4x)e~2ir- d) (d + c2x + c3x2)ex, c) (ci 4- c2x + C3X2) co- j 4 (c4 4- c5x — c6x2) sin § 4 C7 4- csxa f) c\ex + c2e~x + 4-C3COSX 4- c4sinx 4- c5: ex 4- cos x - 2. 5. a) c\ex 4- c2xex 4- xexln|x|, b) Ci cos 2.Z + C2 sin 2x —cos 2x ln | sin x \ — (x — é, cotg x) sin 2x. c) cic_x 4-c2e~2a' 4-4- (e"x 4 e"2x) ln(ex + 1). ď) cx ~ c2x -f c3e~2x 4 ln jxj. 6. a) (Cl + c2x)e3x + + fx2 4 ^x + 5=. b) ex{ci cosx — c2sinx) — x — 1. c) ciex + c2e~5x - \, d) ci 4- c2e_S-r — I.T3 - |x2 - ^x. e) cle~x — c2e^ +ex. f) ciex 4- c2e~x — f e~x, g) (ci4-c2x)e2x — |x2e2x. h) ciebx4-c2ex4-^ sinx+^rj cosx. i) ci cosx—c2 sinx+ + é]x sin x. j) ciex 4- c2e2x - i sin 2x - ^ cos 2x. k) (cx + c2x)e"2x + (^- ^)e2x, 1) cie~2x -4 c2e2x - ^e.2x (sin 2x - 2 cos2x). m) fci - cosx 4 (c2 + f) sinx, n) ciex 4 c2e2x — |x 4- f - ^e"2x. o) C\ cos x — c2 sinx 4-5 4- cos 2x 4- ^ex, p) ci 4 c2ex 4 x2: ex 4 x2. q) cx 4 c2x — c3x2 - c4ex - c^e2"' + |x4. r) cie2x 4 +(c2 4 c3x)e~x - I sinx. s i Cl - c2ex 4- c3e3x - ^(Sx2 - 12x 4- 26) 4- |(1 -2x)e2x. t) ci 4- c2e"x 4- c3xe"x - (x - f) e"2x: e"x(x - 41 - | 4- (x 4- f) e"2*. 7. a) ci.xJ4-c2x'. b) f — Ci cosln x' — c2 sinln x'. c) cix 4 c2x ln |x| 4- x ln2 |x|, d) x ln |xj 4 cix 4- c2x2 4- x3. e) cxx — c2x ln ;x! — c3x ln2 jx|. f) cix + c2x Inx 4- + £3 + £4 lna, _ln2Xi 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů Rovnice vyšších řádů mají rozsáhlé aplikace. Připomeňme jen. že se vyskytují v mechanice, teorii pružnosti, teorii elektrických obvodů a mnoha dalších. Na obalu monografie 44: je možné najít následující citát: Fyzikální zákony se nejjednodušeji a nejpřirozeněji formulují ve tvaru diferenciálních rovnic: proto diferenciální rovnice studovali nej větší matematikové a matematičií fyzikové od dob Newtonových. G. BIRKHOFF — G. C. ROTA Při studiu dalších předmětů teoretického základu inženýra i předmětů specializace si sami ověříte, že uvedený citát je pravdivý. Není možné, aby v tomto omezeném textu byly uvedeny všechny možné ukázky aplikací diferenciálních rovnic. Omezíme se pouze na jeden typ rovnice, 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů 77 na který vede řada důležitých úloh. Jde o rovnici lineárního oscilátoru y" + 2ay' + b2y = 0. a > 0. b > 0. (2.27) Je to homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty . Všimneme si nejprve úloh. které vedou na tuto rovnici. 1. Kmity pružiny. Uvažujme pružinu o tuhosti k > 0. na níž je zavěšena kulička o hmotnosti m > 0. Vychýlením z rovnovážné poloh}- začne kulička kmitat. Předpokládejme dále, že na pohyb působí odpor, který je úměrný okamžité rychlosti, Nechť součinitel odporu je c > 0. Označme y{t) výchylku z rovnovážné polohy v čase t — viz obr. 2.2. Předpokládáme-li. že jde o malé kmity, plyne z druhého Newtonova zákona, že . c . k my = -cy - ky y - —y---y = 0\ m m přitom ý je okamžitá rychlost a y je okamžité zrychlení. Označíme-li a = 2m> ^ = \fm' dostáváme pro y(ť) rovnici (2.27). 2. Matematické kyvadlo Uvažujme kuličku o hmotnosti m > 0 zavěšenou na vlákně délky / > 0. jehož hmotnost je zanedbatelná. Vychýlením z rovnovážné polohy začne kulička kmitat (v rovině). Označme ^(r) úhlovou odchylku od rovnovážné polohy v čase t měřenou v radiánech — viz obr. 2.3. Na kuličku působí gravitační síla mg. kde g je gravitační konstanta. Její složka odpovídající směru tečny ke kružnici je —mgsimp. Označíme-li délku oblouku na kružnici odpovídající úhlu ^ jako s. d~ (l") je s = lip, a tedy s = = lip. Z Newtonova zákona pak máme ml p — —mg sin p. Pro malé úhly (|^j < 5°) je sin p = p. Tedy mlp — —mqp => ; t 7 y = 0. í Označíme-li ^/f — b. dostáváme pro p rovnici (2.27), kde a — 0. Kdybychom uvažovali i odpor prostředí, dostali bychom obdobně jako u pružiny rovnici (2.27), kde a > 0. Všimněte si rovněž, že náhrada sine; = p: je vlastně linearizací — viz str. 51. 78 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů ////////////////// k I i y i .J \ \ Obr. 2.2: Kmity pružiny Obr. 2.3: Matematické kvvadlo 3. Elektrický obvod, Uvažujme elektrický obvod, v němž je rezistor o odporu R > 0 ohmů a in-duktor o indukčnosti L > 0 henry. Y čase t — 0 je k obvodu připojen kapacitor o kapacitě C > 0 faradů nabitý na hodnotu u(0) — viz obr. 2.4. Označme i(t) proud v ampérech. který obvodem prochází v čase t. Napětí na indukto-ru, rezistoru a kapacitoru při průchodu proudu i(t) je postupně Li'(t), Ri(t) a -g /0r,i(s) ds + u(0). Z druhého Kirchhoffova zákona dostaneme 1 ŕ L ť (t) + Ri(t) -p - / i{s) ds + u(0) = 0 a po derivaci a úpravě Li" + Äí' C ./; R .1 1 Označíme-li a = 6 = 7/^- dostaneme pro í rovnici (2.27) Všimneme si nyní podrobněji rovnice (2.27). Ta popisuje tzv. vlastní kmity lineárního oscilátoru. Charakteristická rovnice je A2 + 2aX + b'2 = 0. 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů 79 u[ty L t = O c: R Obr. 2.4: Elektrický obvod I. Jestliže a = 0. je A2 + b2 = 0 a obecné řešení má tvar Ai.2 = 0 = v'0 - 4d- ±ib y(x) = ci cos bx — c-2 sin 6,r. Jde o tzv. harmonický lineárni oscilátor. Vzorec obecného řešení je s ohledem na aplikace obvykle vhodnější upravit na jiný tvar. Je-li y(x) netriviální řešení, je c\ + c\ > 0 (aspoň jeden koeficient je nenulový), a tedy lze psát c2 + ci Cl \/Cl + C2 cos bx Co Ct - CÔ sin bx V4 Zvolme -nyní úhel ^ tak. aby sm. Cl C 9 COS " CT "I- C? /v.2 V °i cf — cs Takový úhel vždy existuje. Označme ještě .4 = \/c2 + e2, > 0. Pak y(x) = .4(sin ^ cos bx — cos ^ sin bx) = A sm(bx + ^). Pro A — 0 obsahuje tento vzorec i triviální řešení. Číslo .4 se nazývá amplituda a úhel (f fáze. Tato rovnice popisuje harmonické kmity. Jde o neílumené kmity. II. Je-li a2 >b2.}e Ai. -2a ± V4a2 - 4b2 = -a = V a2 - b2. což jsou reálné různé kořeny. Obecné řešení je y(x) = cie^1 a2-b2)x (-a-v'a2-62)a 80 Obyčejné diferenciální rovníce vyšších řádů Jde o neperiodické kmity, které nazýváme silně tlumené. III. Je-li o2 = b2. je -2a ± v/0 a1.2 = -7)-= _a- což je dvojnásobný reálný kořen. Obecné řešení je y(x) = (Cl + c2x)e-ax. Jde o neperiodické kmit}-, které se nazývají kriticky tlumené. IV. Je-li o2 < b2, je i- Ai.2 = —a zt i\/b2 — a2. což je dvojice komplexně sdružených kořenů. Oznaěíme-li \/b2 — a2 = tu > 0, je obecné řešení tvaru y(x) = C\e~ax cos-xx + c2e~ax shi-jx. Analogicky jako u harmonického oscilátoru lze tento výsledek upravit na tvar y(x) = Ae-ax sin^.r + .4 > 0. Jde o periodické kmit}', který se nazývají slabě tlumené (ovšem sama funkce Ae~ax sin(^'x + v?) není pro a ^ 0 periodická!). Průběh řešení je znázorněn na obrázku 2.5. Poznámka 2.11 Podobně vyšetřování nehomogenní rovnice tvaru y" + 2ay' + b2y = f(x) vede na tzv. nucené kmity, o nichž jsme se zmínili v poznámce 2.9 v souvislosti s rezonancí. Zde ovšem výsledek podstatně závisí na konkrétním tvaru budícího ..členu" f(x).