Geometrie 3
Obsah
Start 1
Úvodní přehled............................... 1
Motivační příklad.............................. 5
Rozšíření 11
Projektivní rozšíření........... ................. 11
Homogenní souřadnice........................... 14
Příklady................................... 15
Základní věta 21
Úvodní příklad............................... 21
Mezishrnutí a masáž............................ 25
Základní věta a důkaz........................... 28
Důsledek o dvojpoměrech......................... 30
Poznámky a závěry 33
K určenosti................................. 33
K pevným bodům............................. 37
K osám a středům............................. 41
K neprostým zobrazením ......................... 45
Poslední aktualizace 10. dubna 2021
https://is.muni.cz/auth/el/ped/jaro2021/MA0013/index.qwarp
b o P u f\'r[ gr
p ô c / r -i x/,
\
\
\
\
|>0 C* O (j M
5 V) o*Öh^-CU.
\
<4>
"td
.O
o.
"V
(f = (As  (y {oo}
S o Ce r \
>0o
y
•=   r o í s t r -e. *> c.
Os/. Gs
\j t [c + o r
1/ 4 (t. -ťrou-
vy /n , „ g-
A f (" a/ AJ { g£ö/i6tsi'F
T V p I  c (c g      A F. POJ/*7V
V~ o  ^  v\  o   k> e.  ~l   l/v o
s.
i ; p o <"
y*
i'c /<
p o ti eT ľ" *j
i      íl h i       ~ ' ' /-
-í" -c 2- í  5 f-o
T 7 P i' c U G     P üo(/ e d f
t
y~ ( c
Typf'cfce   rote . rou/^Y
0      w 7.       a.   (-t. (*x O C ~6r °--*
•      o (q 5>     i\,  J o (3j'-i
T T P /'c /c e PROi/f^ŕV
• 1/ 7-du(      i* o s é
* o l j't. w^,y      rois/nobei-ftoc^-e-frLsL j    é 1 m jp> I-e. x
o 4 * podf>roshvcr%
p ä. o j fKr/V/^/ c £ o i e r p* ť f
ZI7
J?
pitch) <^
^^i /ne
rt O T ľ \s* cTas ir   P Fl'i'(C C /Q P    —    o p* \co <s+ f
Ht J/VO í f I-ILíIT r v> ■ • 1   f—)  [ riO
K
I
T
i
-
x ^ -
P'
* u ír:
1 * — n
/
J0 h £.    yo i r £
^ Z.    4 c    ^ *vj / j0 Ir- ť Ic <j
i -
f
Q 3/z. I 1   ] *
G
/T.
4^
J E Ď /l/O L/
C iro-í s*r^r"* ion j ^7/4 Tí   C( j
F - H • G
L < *
9^
i-—;
3^ 0	
O 3/2.	1
C ô 1 G
i—)
A/
Fl
30,
H
3/^ 0 O 3/z.	5" -1
Ö ©	
L<1 -t-
'o J/J	6 r*
	1
\
/i
H • G
1 —
P U A T" f
f £ is as£  b o p y (r—)   c h/4- a. ^ fcrfpťsrrcfcf  u£ k r ° p- y
P\     * /PS.
;TffJA/OLfHto S T~
3/t. x-l-M ^
f/v *n
- 1 O
JAK     A/ tr e C* sT As f
' 7
^  - (j '    r—\   /u ' tr  1 /uv^ f—) c War- ^ t U^r t)(r    ^   4- ť c -e^
LA S TaS
s
"öj^ u   h <■ Icon £ cru^"^ ^
	f
O 3/2.	-1
Ú ô	1
^     c. ^- .    c   ŕ r% (
11^ o
o     0 0
0 0
d
o
-o o
k0 = JUJL-
C o*-i 2_ ^
Q
i^Tpŕ- ŕ/i t        t i
»     v- -í. y -e <-v ( p
f- o
A A/A L o 6 ľc ty
r
O 4 -.1 o
i
O      (O ^
J «■
OL
/2_ fc- A   L As 4     f << s ^ ^ t
f ■ • -   o ľ s
s> A p öl, i''d. Ľ HLĽ     c? Ů*t   c -e. ^ /    J \^
•s r -e
A c U o "v
ť" J7
D <- í
J
r- c
ŕ 5 ři
r-1
•   s o u s -f-a. (✓ä.   ^ 4- J   ^ *-   A'C Tri- i'i//^'£,/u|    r~-e u -c ^y
0r==) oua* (*=-?)b) ^ o      ( - ■ ■ sJ^is^tzJjy^ii----J)
e, k -t- o <-
y-L o
oo
a    i< a -v ^ j i' ľ  k*,   -h c       (j'i>    P o b
p tl^í? rtA. j ^ e.    2 V G ^ íc
f> r i'M ej 6*n>-e. pÉ'ť^lk.y
f> r l' d &j ton 4.    [^6"^ rop. Y
•    o v <t v
v~ <^ 1 1k o \s si x* ^ &
a.
r
l/l/
f VY\ & ry    ix e    \s e. Lc~t o ir o \s <t pros "ŕ č> ^ f t^1—
o <\. f> •   S vy\ e. <re\ v   }T) CL A lr 9 u ( V) 6
\
ß oÁ    \S    P .
frfw (c ca. i/ <^
A (
<^ p ros f<? ^
/c + 7
-)  o ä f> .  is-ťlc-Gipz&Cpir. 1/1 U 1 \s rmdirotsi'lne
V c-
i/
—=>
J
z.- m
«(3:1:1 ) = O r    "z-) *
*—7
S 1
f/l / /C 6 A/)   —   "j j\ c/ ^-e n c    f * 4 p r >
(ľ
íf * C i / o, 3 Ľ* ri       i i
74 *
(o
C"
c -i
o  -' 1
i; °)
f/
<y í í
X1 - -4
4 Ä f í |i,oJ g - f i j ° í O
«r- -  -^G ^ í 1 ( - 1 , 1 ) ^ ^   f X ~ *-f£ /íé  / j£ e í/2, }
- { C*, í ■■ "i
- {Qi-V, n-t-j |... }
i. -t-
* 2- - 1 - -L y-, _
Hol oG- 5 o fp. .   (no^-ť ^
-.J
= /O
'S
X ^ -4 Je ^   -   ^ o _
JCn - X -v,
1 - 1  = Z.
/7 o "L *S ° S
^ '      f J.     f I /
J
ISl   c )
ŕ      <,  ■£ C </vi et
X1
As
>r<l ~ 0 /A XT,   -   >V (T"
-z. o oj
VC i	o		
<x	1	0	
	c	1	
<«,	1	1	/
m - * t, ■=. o
n ~
v ■■
C ?- ■
í -L -■ f *
1
h)   - (n
í/
y,       t íc +i * -t- 'vw
L =
C i , « í */x J
ASL.
kí-- ( »I ^1,^0
x 3 -      -f i/x i- -f- l/i
od ľ  X,, - Z-j. + K
T
pot-e t   A/t"2-A^i Toc/híC 3 - 2-  = 1
V t- ä/y  ^   ÍAsy V\ p 0 ( 0  l/u <?<
• ■   \s   i~ c\u i s ( o    4-1
^ Cv.    fičení {i    (<<r [(^
(ľ
= r -i, o aj / ^
Híí   ©O'     í   0   f P-. (^O^-ť y)
x C i, o, 1
v.
" «vi -e «t °     i' £ £
* -  f r: Z k - 1
od -
f - C n -t) -í fc -t * 5 /t.
ca)   k r - i -i      r\ ú     ý ■-) l j o(
(loj   k ^ -"L ■—> -  fe o r>
J
r
r jr__    ±J^J2   JZÍ— 1
U- T t    6 i ŕ- . ^/
r R- i k cad - f
r I c
k
b = ( o ' O :  O r  4 ) i
Dt(i: 1:  r i)  T,        - H <*+^   oHÁ-' A. ^ oM) / d ; ^ e ffcj
r - C •« ^ ")
p = o
r o i/ io f t o (/ {,
ÖA. "z- t£? j   b - 11 t
p «7      o c c    para í^v^
	
	
0 -	
	
	o  (o   ^» Ji,       ^ v ,
b řw\
✓Wv, -C   ( í' C
P - e ^
-J  & = H v/
p&^i 4, e- ^    *    c «m.
■t-AI
<<   "=• ^
^ ^ ^ -f/1
p* •€ s p ..    U.oov.«.o^j^. b»ß^^
*■ I c
-=- o
O - fa. -t í>) = O
p. f « .-7 :  Ö,   0 )
e t/ ( ŕt $ f" U f
Al
—>   d - Z, b = ŕ /* k
t r «~ n S T v r       t*, c
L,
\s    \r o t- e ' *7 -e
C TYß.
j° h í. d p I S e.
								
		c		D				
					C	D'		
				—í'				
	o	~r						
								
C o,o 1    > C 0 < °3
J b ^    "t- *»
r /v- o y ť
"v1     ^ (*<t>0
r i, n t—) f r r*)
,/ e    t/   c « «T. o •••
-   ~t tr &     t bod
/"7* TI'C t~ I .
>7*« TI   <L( f
spr.aVa'a   ľ a/t& turner* ce /i/řr/cf
		
/l	3	0
°j	1	0
0/	0.5	1
1	' 3	0
0	1	0
0	10.5/	1
Ofi
v
i
0.5
ŕ
- - A/ E (/ c - k o ei   1 , s o t~ t- a. oti* e   o<± (p
K  r v.
t *~ o 7. 5 ( r *r\ a.
po?    y 1 p i-i p
•		i	/
r	/	/	/
i	i	i	/
-	■		■
^0
<? 6 i^ú^     Poe /I r K- 1/
= í 1 o
7
1
0
3 l
0
o
0   0.5 1
*7
■z.
ruts-^-/| '-----■—-j>*
ľ
- u ť /vf/tMi^ Fee-
x,'			
	-L, i.	t- < X.	7,
r
oSTfiČH^   <?    P o -Las*      je y
J?
^ V í   - ^
o'
/> <. v h « to
• ■ ■    í Íl   ŕ~ ,  ľ c (c irO ir<j   v~oi,s~(iŕ4.i*c    >n *t "ť ŕ' C
o
s t i^e D
J
© 6
, )
pô*v//x»^A7^Y   fc.   U/1 c>a/£> 5r/'   —   3   I. ^   /i/5"St*(Ti' /
P
O   - (0:0: 1 ) f—->  f o ; o : 1 ) . o '
U   -   f 1 : 0 •• O )   I-)  ( 1      o   ;  o j   _  y i
l/   -  ( o • • 1 • o ) f—)   f t    2. ■• 1 )  '   V 1
Ľ1     V' O1
			6i>	
—		&	U	
		<0	i,	
II
•     \ o   ^ IS     \ JL   1^. I        kS <LL^  o       J £ & A/ 0 ť       fir C A/
2 \
t- -
7/
/	úu	GL	0
	e	IL	0
v	<o	í	c
Ci'a/'   fLĽ? U A/C C t
ť      ■> /, ' '
5 v     - / ^ * e 1 * 4 t*,-e. ^
1
o
3 0 1 0
0   0.5 1
1
4- o iTi^.       o/L i'
J
^41
dl'
^+1
(P -* <r
f
f i; A7 co J G"    r •     rAř^- ©
6 6C a/6" 1
i
I
p : ■—^ k/
■ o y ■
isys 4,   KCL •'
i :   f —> (P
J
*n A S A 1 iL-
l/v/
1
í-
->
l
4: v ~' v >
v
£7>
rol S i h     "i i
p : ■—^ K/
)- /
1/
í/
l/" l' KJ (SO Á </\  ( p
[SI o o to
5-
*7
/ f* k- *   8ÍJEItrii/ii/|    f :	(P	
^    1«. c ko (/^	V-	
		
		u z A & w \ s-)   /^ 0 *    F ■  l/v/ —*  H/ '
• 5 >•>-> e"<~     "1}"     * - -   r o -v ca <^ / 'Vn -t.   ořfc^f        ( u (' 1,    ft * T • j
• S ^r> c r-      "y/j,"      ' ■  "    k « t,     im /r Isn *    pro    A 1= ( *//f f    ( ť /' Z    /7/9- $^2   U ■ J
-----> Ia^
1 i
(P -» <f
f
D Ô /< A 1
I* »OiVc A- c €
■ j     * V^-   o Ut?    V*- Ď/2-0V//VY   ^ ^ (p    y <_    a/a Ď i1- 0 \/ ľas A     /Yl<Í (P '
O K
o^^. o^'- <p\r^ j t f- p^ou^^v^a.
4r JL
/<- O   "U   ^    f {F A/ f
ex.    -6-0    j* e.    u r c~   n. o    L iV^ /i-" ft-    i ^     f~ •' —*
/
JAl<  TO  J S   S    D Ľ O J řo /"7 £>• Ý   T —
c
0< f- i vy i * c e.	—> (AB CD) - AC : BC	—>                      A- 8 eo
Věta (Pappova)		
P/v středovém promítání se zachovávají dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.		
■\ H ŕ		
\ \		
\ ^		
/'"'/   \ \		\ k
		
		/V          c!<\ p\
V ' (<0 Co=		cti
8c
1 =
/4 c
?
Osová afinita vs. osová kolineace:
^x--/
€—  cLk \s i r Z-c. let ■  S o uv\$ [ os ŕ j
J —* OO
► XX II /\'/\ II... směr, XX nA'An... střed,
► (X'XX0) = (A'AA0) = ... modul,     (X'XX0S) = {A'AA0S) = ... modul.
JA l<  TO  J £   S     O \s OJ ŕo /T £>• ^   T —
(Aß CD)
/ac >ad
BC BD
C- (K.    t     d - <K_ f C - a.) , ta{ - It)
c-i>       d-b C c -f) . ŕ*í-*J
—)> Ab
4- b
D—S oo
1 f
-í -1
1 * p -í
TT
v 1
1
D -=(<■ t ) -
c-1       /c3 d"
--d
^   f 1 •  oj ^
ŕ4 6 CD] =
ir" m. ai ty i* C ŕ	
1 c  Ä 1	
	
c0
kra* f k*   HoS^° G (= a/a/l
cv.   Obe? ŕ<T tirF /
ja /< t* o r č ô y j g ^ renť o ^ oj f* o i g> fr* ?
^ y o   sÍjEkn'i/Mi   í '■ (P	—?    '     \ t p f o y		2 pí<é/r-'
•f     1«. okoi/Ä, l/Ä. Ul			
t		1	
f j**,  ř a o j r r		v	
0 «-» 'f    I í   " \
D \y  \<. A t       (   $ "V\ l Ir-^ JJs J
•»    1 a'ic L .   V/ eV/4     P ft. oj .   C 6 O^l .     ■=.)      f    j í.     is <r c*. ^ o     Ľ i       Č /V P- >° ŕ V")    p" •'
.     !f£)       -Kt) (::>i   !   \tf ■ /::f ^-jjj, _  , v (a m c' b' \ —____—----~~ ' * 6 c " )
j a k r o j e s  b (m<n 1 ?•
			—y   f"   m i- ~l c"			
f r c    8 1 J E l^r ( i/ V ,    $ '■ CP				p r» j'-		
		c í			-  D i/o j p o/-? ŕ/2, y	
		é	JC   u. r c -e. </v o			■ u u1
						( A < '<~l 1, J
	£=)           2, <-		Í^U-v CC                  (      fii  1 i--v_			
•  0 r d. ía en. "		y	f     (/ 1  T- »t			
•  0 r est h <h. "			" •                   0 -> M Ä. U T, *L J *■ í^v Finish f			
			r   t o d y      xs (P			' L/ >
(p
u
F : —> {J ^
v- c-     ^ o
ja ic to jf s   u £ce a/o s r i' 1r
P Ä o s T e ^	© £         e    í-t.  ŕ "l-			n   . . .	
b)    P P- Q J 9	y          1/ r c e. o k r i t/^/     • -	- - .     -f-   h «- u ř 'c		o c( %     \y     o b -e. c v\ e.' ^	P o ŕ o t. -e j
-n. - t, ix 3 •
5 «iI^aIkoi/	S"	K Á. h e		
PAojrŕ p/a.	o	j g /<• r ľ	ŕ	
v.				h v
			^    .   .    U       " Á 0 S	.      -                  ,                  /- // / •fr«. t -ec. ^ ^      o  b ^ c h í          p o ( o t 4. 1
* 7
3       n ÍX u-v«. J t tr Ji T, ť-\ £        b   b ít <p
f      lo » cl y   j    2.      n l C t\ Z     'L" A. ^ W £     3     1     / í
/> r- / >-v> c £.
ť l/or       M M     <\.    X t ^ / ^ ' j" -t   jtS o U C t B ^7
jai< to j e s  b \j ulai*e i ť
U ť*/ b ň ď^si      F1 >-       -z? (aJ '   " r      ^ °    0 * ir<t ^ e ""^   6 ^ ^6 j
š 4 GL
"f outer"
^ b t dej v ''Aeft-oíechc " f> o i -j     «$ou c e T " .
B 1 €
4 M> fii
6 ŕ—> ô
/
C e-j c' O (-3 D*
<7
	«1	9-
		K
c	f	i
a		3-
í		K
c	f	a
a		*-
í		K
c	f	t
a		3-
í	f	K
c	í	i
7.   l^T.   ä fVl
e
i. ^
1
A -	ŕ	o	: o :	O t—
8 -	C	t		1) t
C ~	c		-   ~l- -	1) ,
0 '	(	"2.	« 1	: «)
		i	1 a	3-
F	*—		i	
		\		f -v'
( !> ; 1 -1 ) í "r
9-
^í. -í A.!
O k
'3^
= c
T -   4   )  5    Ď ŕ J
i
c___^—
ô t? fíA/ř ."
led? \s A /i/,
A L. G r 8 fl A
j <■ U. o i~   cÁ i' uvi e M a -ß-    -^1     n ä^S o b n 6 J "£     (ío        h€< /) *     /vu -ť 1 u i' C H f     ~==L)>       A í P 0 J t 0 B aJ   ľ- Im y' l<-o e^-c K, ^ c )
( {c * in p I -t < í^, f f> o   el u oj i c l c ^ )
■=    fot/cťAs/fObc-^T    ^ j\ C k   ch-*-\r ■  c i S <. \   u <=■ • yi a <± o b ^ o $ -f ( (d)
Kŕ
j a k to j e ^   pgi/////^/ softy*** -
•  p p *> j e k- ť i i"* t l * * » )
i___ ft
¥     /y^   -    $ u f) f        —^       /4 í-pO/f    j t~ D £ as"    p -e. is (a cy     b e JL     j (_   u ľ ~l   c )
c<4 c t
C t o n € Tí2- ( et
0   /t- Fí A/y i
*_v-
o     o i
í
— tr
S--5»    J? - -?
«-3 *
k C
(Oj)• fil) - (i
1
t   p o 1 aJ
* ' A      6 L/
z'
j Ak to j E s   9BvA/*fsi(% eobY7:
•  F o Q o B f €
K *■
<_v-
0       0 1
* 5 p ,   s H o P A/ ^
\
4
fe - 7
ô tJ   (o "v.r t. <_ V
-   -   -      V J! T- "l ""=0      3 t   -  + ^    y     3 ^  = -  U-      -   - .
•e u n <-j
iŕ c\    p  O oL
JAK- To jer osa Mi' j * raeb^r **•    —   p^r^u* d
^0
\J   r U'
							
1 /	2.	C					v
							
/   1 1							
			-T>				s t i^e d
							-5
o r
1     3 0
F = ( o ío
G<a O S "f 3
0  0.5 1
«     Citar-   jo«      n o ">~     ^    -t   f F - } s )   -       - ^)  .-;     ko^e.^.    ^ = 7
>1
j fir ^ to je s  r i'n  5 r       en ^
ŕ o v
/ [" b '    b « «4    /\       (Vi r' «wo     <? S v>       ^vH   ^ ' /(.
6 '       U.    0 y  I ľ ^ (ť
b *>b
-J 5
y- <
p r I  <-v\ Ict^
i    5 1 - S —>    o (d r * 1- c\^a
/14    5    o s o u
~~)   s -=- s T-K e o i
(j (' ISLtK u     p r ° ut, ť íc      «-   O   &     p -C <^ ts\ ^   lo o cK.     M c H/u<ö     ö 5 u
j a K- ro jer osAŕ^i j * raebV 1r
■- p 12^f'L A D
je- t4 n
F =
i
o
3 O 1 O
O   0.5 1
c*.
14 /vi i *r\ <-    4r •    i:      k. y    S P ° c-  í T fit
*■ -u
6=->
5- *'
6=9
A*t ( '\'\-      ^ O
- 2_
1*1 \	*0	
	i'1	
		
		
-c 4-	•   * *	•=-<£>      p k
/'1	*1	
'V		0
	*0	
í--' '-' \l i
ř t (A S "f-*- U «V.     ('hfl « )
6=-)
J<4K- to j 4T osa/41 I fraeb^r  06€cas(s X
■
Věta
Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ'prochází jedním bodem <=^> průsečíky přímek XY aX'Y',YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce.
Desarguesova věta a její trojrozměrná interpretace.
Dusí.
? r ° }
€ l~ d. Jt H £ I C (^t\.     £  l    j  <   U   ť t \J l/T. (
y -t    p -e ^ HtfĽ"
JA K-	vo jer os Asi ť / f raeb*r «setvt 1	—   a/ o ľ e	
• - ■ z			
	h< f* - l> C j* L -é   visy S P & oj e t Tf'</As ' f ; (P —? P		
			p (a. £ í :
li)	-jľ     mí^   /V/90) 05c     6=9    j1   mcS   S T l^lz D .		
(r)	C MA D ) 0 s A j   r*<ýf-   S T & 6 b    j a~     (> l<. ^   f> r*-'"*  je. d	\a a~ j   h     b o	% a. d    úl -
ma wa\<-   0 ľ k Al ^ *'
( 1 )      6  Ti C  f-     "   *=9 " ,/
x    ^   c  /i/aj o $4       --.     v t U ^ <  in <\. U ir o u i n
3
^/4- o o s e
srn* c o <?>   as# o o s €
~t h -c <Á
jak.   to  Je  S   at e P |L o s r y'ai í*  Iq6 ŕ< ^
- P K  \  [C L A ľ)
S T fr efto(/(:   p p o /n/ Ť/t /ľ/
jak to Je s  as g p íl o $ t y'/**? t  t o e d . T- —
f3 n f ic LAD
o
O í
-r o
o 0
ř o
0      0 (ô
\
Vo /
V
0 O
T<-^   D F P. O 8 0 (i    J1   —   <PV   í 5 } /
■é—    ^ 7~ß. ff/)   f       vůl ( ir<*i u i \/
r-e 5
^ ^öo/(V^ /( p  pro cU< S
JAK.   TO   Je   S   AT e P JL o s T y'a! f °   Z o € ft .  X    -    e> 6 e c a/ e"
»
F
I I
(P -» <ř
•        /VFP-id      n ('/i f   i/í po ko j'iV^   v   ofcoc^.   s h<\ c t~ -e c
z'