ROZVOJ KOMBINAČNÍHO MYŠLENÍ
VARIACE A KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM NA ZŠ


ZADÁNÍ
•Navrhněte soubor matematických úloh, které mohou řešit žáci ZŠ bez znalostí vzorců. Jakými
metodami mohou žáci řešit tyto úlohy?
•Řešte nejdříve jednodušší verze úloh tak, aby bylo možno úlohy řešit intuitivně

RVP ZV
•Cílové zaměření vzdělávací oblasti:
•Rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné
argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů
•
•NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY
•Očekávané výstupy:
•M-5-4-01 řeší jednoduché praktické slovní úlohy a problémy, jejichž řešení je do značné míry
nezávislé na obvyklých postupech a algoritmech školské matematiky
•
•M-9-4-01 užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení
předkládaných nebo zkoumaných situací
•M-9-4-02 řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z
různých tematických a vzdělávacích oblastí

VARIACE S OPAKOVÁNÍM
•Z nějaké množiny objektů vybíráme určitý počet prvků a záleží nám na pořadí, v jakém tyto prvky
vybíráme
•Prvky se mohou opakovat
•
•Způsoby řešení úloh na ZŠ
•Vypsání všech možných kombinací
•Problém – Nelze použít při velkém množství možností
•Výpočet

PŘÍKLAD 1
•Vytvořte všechny možné dvoučlenné variace s opakováním z prvků a, b, c.
•
•Vypsání možností: (a, a), (a, b), (a, c)
•     (b, b), (b, a), (b, c) => 9
•     (c, c), (c, a), (c, b)
•Výpočet: _ _
•   3 ∙ 3 = 32 = 9
•
•Odpověď: Dvoučlenných variací s opakováním ze 3 prvků lze vytvořit 9.

PŘÍKLAD 2
•Bezpečností sejf je zabezpečen dvoumístným kódem. Na sejfu je k dispozici 5 číslic (1, 2, 3, 4,
5), ze kterých můžeme bezpečnostní kód poskládat. Určete všechny možné kombinace čísel, které
musíme vyzkoušet, abychom se do sejfu dostali.
•Vypsání možností:
•
• => 25
•
•
•
•Výpočet: _ _
• 5 ∙ 5 = 52 = 25
•Odpověď: Počet všech možných kombinací je 25.

PŘÍKLAD 3
•Kolik různých slov dokážeme vytvořit z písmen anglické abecedy (a, b, c, …, x, y, z, je jich 26),
pokud má mít slovo 6 znaků?
•Vypsání možností: aaaaaa aaaaab aaaaba aaabaa …
•
•Výpočet: _ _ _ _ _ _
• 26 ∙ 26 ∙ 26 ∙ 26 ∙ 26 ∙ 26 = 266 = 308 915 776
•
•Odpověď: Z anglické abecedy je možné vytvořit celkem 308 915 776 slov se 6 znaky.

PŘÍKLAD 4
•Hoďme třemi kostkami - bílou, modrou, žlutou.
•a) Kolik různých výsledků můžeme dostat?
•b) Kolika způsoby může padnout součet 13?
•
•a) Vypsání možností: 111 112 121 211… b) Vypsání možností:
•    Výpočet: _ _ _ -> 6 6 6 -> 6 ∙ 6 ∙ 6 = 63= 216
•
•
•
• => 21
•Odpověď: Můžeme dostat 216 různých výsledků a možností, jak může padnout součet 13 je 21.

KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM
•Z množiny prvků vybíráme určitý počet prvků a nezáleží nám na pořadí, v jakém tyto prvky vybíráme
•Prvky se mohou opakovat
•
•Způsoby řešení úloh na ZŠ
•Vypsání všech možných kombinací
•Problém – nelze použít u velkého počtu možností

PŘÍKLAD 1
•Vytvořte všechny možné dvoučlenné kombinace s opakováním z prvků a, b, c.
•
•Vypsání možností: (a, a), (a, b), (a, c),
•     (b, b), (b, c), => 6
•     (c, c)
•
•Odpověď: Dvouprvkových kombinací s opakováním z prvků a, b, c lze vytvořit 6.

PŘÍKLAD 2
•Kolik různých částek můžeme zaplatit třemi mincemi, máme-li v peněžence koruny, dvoukoruny a
pětikoruny a z toho každý druh alespoň po pěti kusech?
•
•Vypsání možností:
• => 10
•
•
•Odpověď: Můžeme zaplatit 10 různých částek.

PŘÍKLAD 3
•V sáčku je mnoho červených, modrých a žlutých kuliček. Kolik různých možností máme, chceme-li si
vybrat 3 z nich?
•Vypsání možností:
• => 10
•
•
•Odpověď: Máme 10 různých možností, jak vybrat 3 kuličky.

PŘÍKLAD 4
•Petrova maminka upekla 3 druhy koláčů - makové, ořechové, tvarohové. Od každého 5 kusů. Určete,
kolika způsoby si Petr může vybrat 4 koláče.
•Vypsání možností: MMMM
•      MMMO, MMOO, MOOO
•      MMMT, MMTT, MTTT
•      OOOO, OOOT, OOTT, OTTT => 15
•      TTTT
•      MMTO, TTMO, OOTM
•Odpověď: Petr si může vybrat 4 koláče 15 způsoby.

ZDROJE
•Klatovský, J., Výuka kombinatoriky na 2. stupni základní školy. Dostupné z:
https://is.muni.cz/th/n8zog/diplomka_-_verze_2.pdf?fbclid=IwAR3OSbKLjcM9Qxl2nWed1XaitMtTSOnBAuug0J0
Ot6QCHdM1Yf1bf6tynZA
•Matematika.cz. Variace s opakováním. Dostupné z: https://matematika.cz/variace-opakovani
•Matematika.cz. Kombinace s opakováním. Dostupné z: https://matematika.cz/kombinace-opakovani
•Národní ústav pro vzdělávání. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Dostupné z:
file:///C:/Users/S%C3%A1ra/Downloads/RVP%20ZV%202021%20zmeny-1.pdf
•Stančíková, M., Kombinatorika – Webová učebnice pro žáky středních škol. Dostupné z:
https://is.muni.cz/th/ycgxr/web/pages/07-kombinace_s.html
•