Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
do roku 1918
Obecná a měšťanská škola
In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do
roku 1918. (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 166–208.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400987
Terms of use:
© Mikulčák, Jiří
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents
strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped
with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics
Library http://dml.cz
166
11. OBECNÁ A MĚŠŤANSKÁ ŠKOLA
11.1 Učební plány a osnovy matematiky
Pravidla vyučování na školách obecných byla vydána 14. května 1869.
Mezi vyučovací předměty obecné školy bylo zavedeno počítání spolu s naukou
o formách geometrických; na měšťanské škole byl však zařazen samostatný
předmět geometrie a geometrické kreslení.
Na pravidla navazoval řád školní a vyučovací pro obyčejné školy obecné
a první osnovy matematiky. Osnovy byly však jen rámcové, nebyly ještě
rozděleny podle jednotlivých ročníků. [Zákonník říšský, 1870, č. 105]:
§ 52. Účel vyučování počtům jest: aby žáci nazíráním naučili se znáti čísla
v obecném životě obyčejná [tj. obvyklá] a jejich poměry k sobě, a aby se naučili
hbitě z paměti i písemně rozlušťovati úkoly početní v obecném životě potřebné.
Hbitost mechanická jest ovšem jeden z hlavních úkolů, jejž při vyučování počtům
na zřeteli míti sluší; však přihlíženo buď také k tomu, aby se zároveň rozum
vzdělával.
Na všech stupních vyučovacích buďte žáci v počtech cvičeni tak, aby se
počítání z paměti příhodně spojilo s ciframi.
Na nižších stupních vyučování mají se žáci učiti počítati od 1 až do 100 dle
všech čtyř operací základních čili tvarů početních.
Na středních stupních učení mají žáci cvičiti se ve vyšších číslech, učiti se
znáti soustavu dekadickou a cvičiti se v počítání decimálním.
Na vyšších stupních cvičeni buďte žáci v počítání obyčejnými zlomky, budiž
jim znázorněna domácí i francouzská míra, váha i mince, a budiž při počítání
zřetel obracen k potřebám obecného života.
Dle potřeb a okolností každého místa a dle budoucího povolání svého buďte
žáci zvláště cvičeni v počtech hospodářských, živnostenských nebo v jednoduchých
počtech kupeckých, děvčata pak v počtech týkajících se domácího
hospodářství.
§ 53. Vyučování v kreslení a v nauce o formách geometrických má se za úkol,
aby se oko a ruka cvičily, aby žáci naučili se jistě a jasně formy a míry poznávati
a rozeznávati, aby se cvičili v lineárním zobrazování prostorných poměrů, aby
uměli kresliti věci rovnými plochami a rovnými či křivými čarami ohraněné
a vyobrazovati jednoduché věci podlé skutečnosti. ... Na středních a vyšších
stupních spojeno buď vyučování v kreslení s naukou o formách geometrických
tím způsobem, že se žáci učí nejprve vyobrazovati formy geometrické, jež právě
poznali. Schopnější žáci cvičeni buďte v kreslení jednoduchých ozdob, půdorysů
a plánů (map) ...
Nauce o formách geometrických vyučuje se na středních a vyšších stupních
...; jsouť pak předmětem té nauky: uhly, trouhelníky, čtverhrany a mnohouhelníky,
kruh, elipsa, hranol, jehlanec, válec, kužílek a koule; ku konci vypočítávají
se plochy a tělesa.
167
§ 62. Nižádnému předmětu nemá se vyučovati tak, aby se nevztahoval
k jinému, nébrž veškeré předměty mají se pokládati za jeden celek a mají se
tedy při vyučování vzájemně k sobě vztahovati.
Zařazení geometrie do vyučování mělo zpočátku dvě úskalí. V předchozích
triviálních a hlavních školách (v nižších třídách) nebylo učivo geometrie zařazeno
a učitelé nebyli proto na výuku geometrie připraveni. C. k. ministerium
osvěty a vyučování v nařízení ze dne 12. července 1869 proto povolilo
učitele, kterým se nedostává úplných vědomostí, aby mohli vyučovati předmětu
tomu, prozatím povinnosti této sprostiti; současně je však upozorňuje, aby vyplnivše
soukromou pilností mezery svého vědění, nabyli způsobilosti k vyučování
v tomto nově zavedeném předmětě. [F. Streit, 1872] K sebevzdělání mohly
sloužit metodiky geometrie F. Streita nebo J. F. Kupky. První učebnice geometrie
pro měšťanské školy byly napsány podle vzorů učebnic pro nižší třídy
středních škol; učebnice byly příliš teoretické a učivo 4 let bylo směstnáno do
3 roků; proto se učebnice neosvědčily. Ze zkušeností vyplynuly úpravy, které
upustily od přílišného teoretizování, důkazů, větší důraz se kladl na užití poznatků
v praxi, na psychickou vyspělost žáků.
Až v roce 1874 byly vydány prvé osnovy osmiletých škol měšťanských.
Existence malotřídních škol vedla však k potřebě vydávat samostatné učební
plány a osnovy pro školy s rozdílným počtem tříd, protože bylo nutné učivo
různých ročníků přeskupovat a účelně spojovat, aby bylo možné vyučování
větších skupin žáků různých ročníků v téže učebně. Ministerstvo kultu
a vyučování bylo ve vydávání takových osnov pro jednotřídní, dvojtřídní,
trojtřídní, sedmitřídní a osmitřídní školy neúnavné. Je možné je vidět např.
v Archivu Pedagogického muzea J. A. Komenského v Praze pod čísly 13–73,
13–43, 13–97, 13–18, 13–99 a ve Věstnících vládních u věcech škol obecných
v království českém z let 1874, 1877 a dalších.
Měšťanská škola měla tři třídy připojené k 5. ročníku školy obecné. Měla
poskytovati vzdělání vyšší, nežli se poskytuje školou obecnou, hledíc zejména
ku potřebám průmyslnickým a rolnickým. Škola tato poskytuje též přípravu
k ústavům učitelským a k takovým školám odborným, kteréž nepožadují
přípravy škol středních. [Zákonník říšský, 1870, č. 105]
Pokud možno, mělo vzdělání v 6. až 8. třídě obecné školy dosáhnout úrovně
tří ročníků měšťanské školy, oprávnění k dalšímu studiu však obecná
škola neposkytovala; postačovala nejvýše k vyučení v některých řemeslech
a živnostech.
Osnovy obecných a měšťanských škol byly vždy jen rámcové a často se
po roce 1884 měnily. Okresní školní rady měly povinnost svolat učitele, ředitele
škol i zástupce živnostenských a hospodářských kruhů místa a okresu
a zpracovat návrh učební osnovy. V něm se přihlíželo k tomu, je-li určena pro
chlapce nebo pro dívky a zejména k potřebám místních živností a průmyslu.
To vedlo k úpravám výuky přírodovědných předmětů, k posílení základů
technického kreslení apod. Návrh se pak předkládal ke schválení zemské školní
radě a ministerstvu. Tak měla měšťanská škola vychovávat pro život podle
místních poměrů hospodářských a průmyslových. Úpravy osnov si školy
168
usnadňovaly tím, že přebíraly osnovy jiných škol, které již byly nadřízenými
úřady schváleny.
Ve vývoji osnov matematiky obecné a měšťanské školy se výrazně projevovalo
rozdělení předmětu na aritmetiku a měřictví (geometrii). V některých osnovách
se obě části spojovaly, v jiných bylo geometrické učivo zařazeno do samostatného
předmětu nebo rozděleno do různých předmětů. Podle osnov z roku 1874
bylo Měřictví a rýsování samostatným předmětem na měšťanských školách a na
osmitřídních obecných školách od páté třídy. V roce 1885 byla geometrie opět
připojena k počtům, avšak tzv. měřické tvaroznalství bylo součástí kreslení
již v nižších ročnících obecné školy a žáci v něm poznávali různá geometrická
tělesa i rovinné útvary. V počtech počínaje 6. třídou obecné školy a na školách
měšťanských bylo zařazeno tzv. měřické počítání, tj. výpočty obsahů, povrchů
a objemů, ale také měření pomocí řetězců a prutů v přírodě, půdorysy a nárysy
těles i něco málo z technického kreslení.
Oproti osnovám geometrie vykazují osnovy aritmetiky poměrnou stálost.
Jedinou výraznou změnu osnov aritmetiky si vynutilo zavedení desítkové
soustavy do měr a měnové soustavy od 1. ledna 1872. Do té doby bylo velmi
důležité počítání se zlomky a počítání s desetinnými čísly nebylo nijak závažné.
Po zavedení desítkové soustavy do měr a měny získala naopak rozhodující
význam desetinná čísla a jednotky měr a měny byly jak vhodnou motivací
pro jejich zavedení, tak i při jejich výkladu.
Přehled o počtech hodin matematických předmětů podávají následující
tabulky.
Osmiletá měšťanská a obecná škola
Od roku 1874, resp. 1877
Ročník 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
žáci
Aritmetika 6/2 4 4 4 4 4 4 4
Měřictví a rýsování − − − − 1 3 3 3
Kreslení od ruky − 2/2 2/2 2 2 4 4 6
žákyně
Aritmetika 6/2 4 3 3 3 3 3 3
Měřictví a rýsování − − − − 1 1 1 −
Kreslení od ruky − 2/2 2/2 2 2 3 3 3
Od roku 1898
Ročník 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Počty a nauka
o tvarech měřických 6/2 4 4∗
4∗
4∗
5∗
5∗
5∗
Kreslení − 2/2 2/2 2 2 4∗
4∗
4∗
∗
dívky o 1 hodinu méně
169
Měšťanská škola chlapecká
Od roku 1907
Ročník 6. 7. 8.
Počty s jednoduchým účetnictvím 4 4 4
Měřictví a rýsování 3 3 3
Kreslení 4 4 5
Měšťanská škola dívčí
Od roku 1907
Ročník 6. 7. 8.
Počty s jednoduchým účetnictvím 3 3 3
Měřictví a rýsování 1 1 1
Kreslení 3 3 3
Jako ukázku podrobnějších osnov uveďme:
Vynesení c. k. zemské školní rady z 15. března 1877, č. 115 v příčině učebních
osnov pro české školy obecné a měšťanské (Věstník vládní u věcech šk. ob. Příl.
k č. VII) [Osnovy učebné, 1877]
C. k. zemská školní rada dle článku 63 řádu školního a vyučovacího
a na základě normálních osnov učebných, uveřejněných vynesením ministerstva
duchovních záležitostí a vyučování ze dne 18. května 1874, č. 6549, slyševši
dříve zemskou konferenci učitelskou, ustanovila osnovy učebné pro rozličné
kategorie škol obecných a pro školy měšťanské.
Prohlašujíce tímto dotýčné osnovy učebné, vybízíme zároveň c. k. okresní
školní rady, péči míti o to, aby osnovy ty počátkem budoucího roku školního na
všech školách, jichž se týče, ve skutek byly uvedeny.
Učebná osnova osmitřídní měšťanské školy pro chlapce
Tato učebná osnova platí též pro osmitřídní obecné školy, v nichž se má dle
možnosti docíliti předepsaný účel vyučování.
V samostatných trojtřídních měšťanských školách nechť se učebná osnova 6.,
7. a 8. třídy osmitřídní měšťanské školy zachovává.
1. Skupina žáků
Každé třídě přiměřen jest jeden školní rok.
2. Rozdělení hodin
Ročník 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Aritmetika 6/2 4 4 4 4 4 4 4
Měřictví a rýsování − − − − 1 3 3 3
Kreslení od ruky − 2/2 2/2 2 2 4 4 6
Týdenní počet
vyučovacích hodin 19 21 23 25 26 28 28 29
170
VI. Aritmetika
Ú č e l : Žáci naučte se jistě a hbitě konati elementárné operace početní
s čísly zvláštními a s užitím obvyklých výhod a zkrácenin, jakož i obratně řešiti
počty měšťanského živobytí. Konečně vycvičte se v jednoduchém účetnictví
živnostenském.
První třída
Čtyři základní spůsoby počítání v číselném oboru od 1 do 20 ústně i písemně;
peníze, míry a váhy, pokud se zakládá jejich rozdělení na soustavě desetinné.
Písemná cvičení souhlaste i formou i posloupností s počítáním ústním.
Druhá třída
Čtyři základní spůsoby počítání v číselném oboru od 1 do 100 ústně i písemně.
Peníze, míry a váhy, pokud se zakládá jejich rozdělení na soustavě setinné.
Počátky počtů zlomkových.
Třetí třída
Čtyři základní spůsoby počítání s celistvými čísly i s desetinnými zlomky
v číselném oboru od 1 do 1000 a do tisícin nejen ústně a písemně, nýbrž
i výhradně ústně.
Čtvrtá třída
Čtyři základní spůsoby počítání s celistvými čísly i s desetinnými zlomky.
Počítání s čísly vícejmennými a s obyčejnými zlomky často se vyskytujícími.
Vše nejen ústně a písemně, nýbrž i výhradně ústně.
Pátá třída
Dělitelnost čísel. Proměňování obyčejných zlomků v desetinné a desetinných
v obyčejné. Proměňování vícejmenných čísel v zlomky obyčejné nebo desetinné
a opáčně zlomků v čísla vícejmenná. Čtyři základní spůsoby počítání
s celistvými čísly i se zlomky, s čísly pojmenovanými i bezejmennými. Vše
nejen ústně a písemně, nýbrž i výhradně ústně.
Šestá třída
Opakovací cvičení početní s celistvými čísly, se zlomky desetinnými i obyčejnými,
při čemž užíváno budiž nejobvyklejších výhod početních. Skrácené
násobení a dělení. Vše nejen ústně a písemně, nýbrž i výhradně ústně.
Sedmá třída
Počítání s veličinami sobě protivnými. Rovnice ciferní. Zmocňovati dvěma
a třemi. Jednoduchý počet úrokový, rabattový a lhůtový. Počet spolkový. Vše
nejen ústně a písemně, nýbrž i výhradně ústně.
Osmá třída
Počet řetězový. Počet procentový, a kterak se ho užívá při vypočítávání
cen zboží. Vypočítávati úroky z úroků na jednoduchých příkladech. Redukce
mincí a vypočítávati diskont směnečný. Jednoduché účetnictví živnostenské
v praktických příkladech. Vše nejen ústně a písemně, nýbrž i výhradně ústně.
171
VII. Měřictví a měřické rýsování
Ú č e l : Jistota v poznávání, srovnávání, vypočítávání a vyměřování
prostorových veličin.
Pátá třída
Nauka o měřických útvarech. Počnouce krychlí, nazírají žáci na nejjednodušší
tělesa hranatá, z čehož vyvozuje se známost rozličných ploch, úhlův a čar.
Šestá třída
Nejdůležitější poučky z planimetrie kromě nauky o podobnosti. Úkoly konstrukční
spojité s učením měřickým.
Sedmá třída
Učivo šesté třídy budiž opakováno a naukou o podobnosti rozšířeno. Vypočítávati
plochy. S učením měřickým souvisí úlohy konstrukční. Něco o polohorysech.
Pokud možno, cvičte se žáci u vyměřování pozemků pomocí řetězův
a tyčí.
Osmá třída.
Vypočítávati plošný a tělesný obsah tělesných útvarův, které se vyskytují
v živobytí měšťanském. Kresliti jednoduché předměty stavitelské a strojnické,
k čemuž přičiněna buďte potřebná vysvětlení.
VIII. Kreslení od ruky
Ú č e l : Obratnost u volném pojímání a zobrazování rovinných útvarů
měřických a jejich kombinací. Zobrazovati prostorové útvary měřické podlé
pravidel perspektivy. Obratnost v kreslení podlé ornamentálních předloh a podlé
modelův.
První a druhá třída
Přípravná cvičení společná psaní a kreslení zároveň, aby se žáci dodělali
jakéhosi stupně zručnosti, načež napodobují snadné předměty známé z vyučování
věcného.
Třetí a čtvrtá třída
Žáci se cvičí v kreslení rozličných útvarův zakládajících se na přímce, úhlu,
trojúhelníku a čtyřúhelníku. Těchto útvarův užiješ se ku kreslení obrazcův co
nejjednodušších. Počátkové kreslení podle nápovědy.
Pátá třída
Kreslení snadných ornamentův. Kreslení podlé nápovědy a z paměti.
Šestá třída
Kreslení rovinných útvarův měřických od ruky podlé vzorův, které kreslí
učitel na tabuli, provázeje náčrt svůj vysvětlujícími poznámkami. Počnouc tečkou,
nechť se k výkresům posloupně užije čar přímých a křivých, v rozličném
jich k sobě poměru, dále rozličných úhlů, trojúhelníků, kružnice a elipsy.
Kombinace obrazců přímočarých a křivočarých. Zobrazovati tělesné útvary
podlé drátěných modelův.
172
11.2 Vyučování matematice na obecné a měšťanské škole
Ve druhé polovině 19. století došlo k výrazné změně v množství vydávané
literatury k vyučování počtům. Vedle původní jediné učebnice, závazné pro
všechny školy, začal c. k. školní knihosklad a také soukromá nakladatelství vydávat
i učebnice dalších autorů. Autoři učebnic vydávali k nim i metodické
průvodce (v dnešní terminologii) a vycházely i metodiky počtů, porovnávající
a hodnotící postupy různých autorů učebnic. Množství těchto materiálů
vzrostlo natolik, že v 90. letech jejich počet klesal a v prvním desetiletí 20. století
bylo odvahou napsat metodickou příručku; mnoho postupů se neustále
opakovalo, řada návodů zastarala, chyběly metodiky, které by ohlašovaly nové
směry a proudy, nové ideje a myšlenky. [Revue učebních pomůcek V., 1907]
Z obdobných důvodů není vhodné dodržet postup předchozích kapitol s rozborem
jednotlivých učebnic, metodických materiálů a metod práce. Vyjdeme
z metodických materiálů, uvedeme jejich obecné pokyny a rozebereme, co mají
společného a čím se liší. Pak budeme postupovat podle osnov a oddílů učiva
v jednotlivých ročnících a všimneme si shod a rozdílů v metodických postupech
a zajímavých výkladů v různých učebnicích. Není ani účelné samostatně
zpracovávat obecnou a měšťanskou školu. Jednak se příliš nelišily osnovy
6. až 8. ročníku obecné školy od 1. až 3. ročníku měšťanské školy a řada
učebnic byla výslovně určena pro oba typy škol, jednak se přímo požadovalo,
aby nejvyšší ročníky obecné školy pokud možno dosahovaly úrovně měšťanské
školy. To nebylo obtížné u obecných škol osmitřídních nebo alespoň pětitřídních,
větší obtíže nastávaly tam, kde žáci v málotřídních školách chodili třeba
celých 8 let do jediné třídy. Samostatný článek bude ovšem věnován nepovinnému
jednoročnímu kurzu (JUK) na měšťanské škole, který byl vlastně jejím
pokračováním.
Aritmetika
Historie počtů
Jediný K. Domin ve své Stručné metodice počtů (1908) zahajuje svůj výklad
historií počtů. Všímá si např. historie desetinných čísel, ale hlavní pozornost
věnuje vývoji názorů 19. století. Seznámení čtenářů s názory Pestalozziho
a jeho následovníků (s. 117), podrobné uvedení postupů Hrubého, Hentschla
(s. 118) a Močnika (1876) pak autorovi umožňuje zařadit novější hodnocení
učebnice do jednotlivých směrů, popř. vytknout dílčí využívání různých postupů
při rozšiřování číselných oborů (přirozená čísla do 5, do 10, do 20, do
100).
Formální a materiální účel vzdělání
Obě didaktické kategorie 19. století se odrážejí i v metodikách počtů.
Nejpodrobněji je rozvádí F. Krček v Praxi školy obecné (1889), protože účelem
školy obecné není toliko připravovati pro život praktický, nýbrž také – a to
hlavně – rozvíjeti duševní schopnosti a síly žákův a vzdělávati je a k tomu může
právě vyučování počtům velkou měrou přispívat, děje-li se způsobem pravým.
173
V rozvádění materiální ceny učení početního zdůrazňuje, že i nejprostější
povolání klade nároky na jistý stupeň počtářské zručnosti:
Nejprostější služebná děvečka tak jako nejvyšší úředník finanční, chudý
nádeník tak jako bohatý kupec musejí uměti počítati, nechtí-li upadnouti v životě
do rukou lichevnictva, šejdířství a žíti v mrzké závislosti na jiných. Škole jest
pak vyučovati pro život; proto musí píliti toho, aby žákům jejím dostalo se oné
míry počtářské zručnosti, které vyhledává občanská společnosť na tom, kdo v ní
žije.
Na druhé straně má vyučování počtům ještě větší význam vzhledem k tomu,
že je výborným prostředkem ke vzdělávání ducha. Dobré vyučování počtů
podporuje číselnou paměť a poskytuje množství názorů na číselné poměry,
vztahy, jejich kombinace a závěry, čímž rozvíjí ducha. Fantazii dětí podporuje
sestavování úloh samotnými žáky. Nalézání pravidel indukcí a jejich užívání
v úlohách z praktického života je prostředkem k rozvíjení rozumu. Rozbor
složitější úlohy nutí rozvažovat podmínky, vyloučit nepodstatné věci a vytýčit
číselné vztahy k určení potřebných početních operací; to jsou závažné logické
operace, kterými se rozvíjí přesnost v myšlení, důkladnost v uvažování.
Dobré vyučování vede k dodržování daných postupů a pravidel, k soustředění
pozornosti, k houževnatosti v řešení úloh; tím přispívá vyučování počtům
i k výchově mravní.
Podobně hovoří ve své metodice Vyučování počtům už F. Močnik (1876).
Vyučování počtům má úkol dvojí; má totiž především duševní schopnosti
žáka přirozeným způsobem vzdělávati, cvičiti, síliti a jej k samostatné soudnosti
vésti; za druhé má zjednati žákovi zběhlost, aby počty v obecném životě
přicházející, hbitě a s jistotou dovedl prováděti.
Rozvádí, že provádění výpočtů nesmí být výsledkem bezduchého kopírování
předloh, ale žáci mají z povahy úkolu, z povahy číselných poměrů sami
usuzovati na postupy řešení. Pak nalézá žák uspokojení ze své vlastní síly,
a to je mu pobídkou k dalším snahám a k samostatnosti.
Další autoři zdůrazňují jeden z obou úkolů, jiní podrobněji rozvádějí jejich
jednotu. Horčička a Nešpor (1906) uvádějí, že operace se začaly objasňovat
a zdůvodňovat už v 18. století, vždy však bylo úkolem naučit počítat. To Pestalozzi
povýšil rozvoj myšlení za hlavní úkol a jako doklad citují stoupence
Pestalozziho Th¨urka:
Mně jest dovednost v počítání věcí vedlejší, která ovšem nebude chyběti,
obstará-li se hlavní věc dobře. Hlavní věcí je cvičení v myšlení. Jsou miliony
lidí, kteří nepotřebují počítání, ale není jediného člověka, který by mohl být bez
myšlení.
Uvádějí také, že pro Diesterwega a Hentschela jsou obě stránky rovnocenné:
Žák ať se učí mysle počítati a počítaje mysliti, to je jedno; vedle porozumění
ať získá zručnost, které život žádá; to je druhé.
Horčička a Nešpor (1906) považují oba úkoly za rovnocenné, za jednostrannosti
považují učit se ne pro školu, ale pro život, právě tak jako učit se bez
174
pochopení. Končí názorem, že materiální účel má rozhodovat při volbě učiva,
formální při jeho podávání.
Metoda přirozená
Učebnice 1. poloviny 19. století začínaly numerací, která byla na jedné nebo
dvou stránkách dovedena až k čtení a zápisu milionů, bilionů, trilionů. Jistě
právem byl takový začátek výuky počtů chápán jako nepřiměřený věku žáků
a potřebám praxe. Za nepřiměřené se považovalo počítání s mnohacifernými
čísly, např. u zlomků s několikacifernými jmenovateli, zbytečné bylo počítání
se zrušenými jednotkami měny a měr.
Proti tomu požadují metodici druhé poloviny 19. století využití zkušenosti
žáků: děti učí se počítati ve škole tak, jak by se učily počítati mimo školu samy
(hrou na kupce, pozorováním v krámu, u obchodníka, na trhu). [K. Domin,
1902] Takovému přístupu k učení se říkalo metoda přirozená.
Zkušenost dětí využíval až F. Močnik (1876), když při postupném vytváření
pojmu číslo vycházel z nejrůznějších objektů reality a jejich počtu: člověk má
jednu hlavu, jeden nos, jednu bradu; má dvě oči, uši, ruce, nohy; stůl, židle,
zvířata mají 4 nohy, na ruce je 5 prstů, sedm je dní v týdnu apod. To vše bez
obrázků, jen slovně. Vyšší abstrakci představuje využití teček, čárek, křížků
k vyobrazení čísel a operací s nimi. To však už kritizuje Loutocký (1905),
protože v praxi se žáci nesetkali s počítáním teček, čárek, křížků.
Také Krček (1889) vychází z toho, že číselné představy mají vznikat
z bezprostředních smyslových názorů a operace s čísly na základě činností.
K podpoře názoru využívá opět částí lidského těla, ale také peníze, míry,
předměty ve třídě, předměty donesené (kaštany, kaménky), ale i představy
žáků o věcech mimo učebnu. Jedním z prostředků jsou i počitadla.
Loutocký (1905) kritizuje, že řady učitelů spoléhají jednostranně jen na
kuličky počitadla; dává přednost obrázkům kresleným křídou na tabuli, když
není možné předvést objekty přímo ve třídě. Kritizuje i zavádění [dominových]
skupin teček, kde žák už nepočítá, ale přiřazuje mechanicky obrazci číslici,
např. 5, a už si ani význam čísla 5 nepředstavuje. Obrazec je Loutockému
zbytečnou náhražkou arabských číslic, takže místo umělého obrazce je už lepší
užít rovnou číslici 5. Až u čísel větších než 10 ztrácí smysl jejich znázorňování,
pak teprve má smysl počítadlo. Jeho počitadlo má na zadní stěně čoček jejich
očíslování, takže třeba po výpočtu 8 + 7 = 15 otočí žák poslední čočku a může
si zkontrolovat výsledek.
Luňáček využívá své úpravy počítadla, kde nad kuličkami je další drát, na
který se umísťují hranolky délky 2, 3, 4, 5 kuliček. Každé číslo chápe jako část
pětky nebo desítky: 6 = 5 + 1 = 10 − 4, 7 = 5 + 2 = 10 − 3 atd., a tedy
znázorňuje např. 7 .......
To kritizuje Kozák (1906), znázorňuje čísla skupinami teček a vidí v nich
snadnější pochopení vztahu 5 + 2 = 7 – : · :: . To přijímá i Domin (1908),
zdůrazňuje, že žák nemusí tečky odpočítávat, pamatuje si tvar, a obrázek : · ::
navozuje i operaci. Domin shrnuje různé názory na číselné obrazce, které roku
1843 zavedl B¨ohme.
175
Počítání v obrazcích důsledně zavádí G. A. Lindner (1875). Některé obrazce
lze přijmout:
: · = : + · : + · = : ·
3 = 2 + 1 2 + 1 = 3
jiné jsou méně vhodné:
: · − · = :
3 − 1 = 2
Zcela nenázorné je např.
¨·
· = 3 ¨·
· = ¨·
1 ve 3 = 3 3 : 1 = 3
K. Domin (1908) uvádí i počitadla v úpravě různých učitelů a zdůrazňuje, že
každé je vhodné k něčemu jinému. Ke znázorňovadlům počítá i modely peněz
a diagramy.
Počítání prosté a užité
Počítání prosté a užité, u některých autorů čisté a užité, jsou kategorie,
kterými se rozlišují provádění početních operací s danými čísly a řešení úloh,
při kterém se výkony potřebné k jejich řešení odvozují rozumovým uvažováním.
K tomu je podle F. Močnika (1876) zapotřebí:
1. známosť poměrů věcných v úkolu tom obsažených;
2. schopnost, aby se z poměrů v úkolu vyznačených odvodily výkony,
kterými z čísel daných vyjde číslo hledané;
3. zběhlost v počítání prostém, k provedení za potřebné uznaných výkonů
s čísly danými dostatečná ...
Protož musí po počítání prostém na témž stupni pokročilosti následovati
i počítání užité; jedno musí s druhým v souměrném vývinu a nepřetržené
spojitosti zůstávati.
Horčička a Nešpor (1906) vidí tento problém i ve vztahu k praxi. Počítání
užité staví počty do služeb praktického života. V praxi se počítání s čísly
bezejmennými nevyskytuje, ale ve škole toto počítání obrací zřetel na jádro
počtu a šetří čas. Např. K. Domin (1908) připomíná v této souvislosti učení se
násobilce. Loutocký (1903) vychází z úloh a z nich přechází k počítání s čísly
nepojmenovanými.
Na řešení úloh z praxe mají autoři v podstatě shodné názory. Mají to
být úlohy vyskytující se v praxi, podle Domina (1908) mají být alespoň
pravděpodobné, určitě zadané, logicky a jazykově správně formulované, konkrétní,
přiměřené věku žáků, podle Horčičky a Nešpora (1906) pravdivé
(s užívanými měrami a cenami), z různých oborů a vyučovacích předmětů,
nepříliš složité, s menšími čísly. Ale věcné vztahy se musejí žákům nejprve
vysvětlit. [F. Močnik, 1896]
176
Při řešení úloh je potřeba postup rozumově zdůvodnit a ihned nacvičit
řešením dalších úloh, nesprávné je řešení pomocí sdělených mechanických
pravidel. [K. Domin, 1908]
I Krček (1889) zavrhuje mechanické řešení podle návodu bez pochopení
podstaty. Horčička s Nešporem (1906) zdůrazňují, že zmechanizování postupu
je možné až jako výsledek porozumění a následného cviku. Totéž [Krček, 1889].
Už F. Močnik (1876) požaduje řešit úlohy metodou, které dnes říkáme
analytická. Uvádí otázky, které vedou k rozluštění úkolu: Co má nalezeno
býti? Co prvé věděti třeba, než se to nalézti může? Jest to v úkolu již dáno?
Jakým způsobem se v tom, co v úkolu zadáno jest, najde, co hledati třeba?
Také K. Domin (1908) vychází z analytické metody; po nacvičení řeší žák další
obdobné úlohy už synteticky.
Úlohy je možné řešit různými postupy, s různými obraty. Autoři však
zdůrazňují, že je potřeba začínat postupy vždy použitelnými. [Horčička-Nešpor,
1906] Teprve po ovládnutí základního postupu je možné seznámit žáky
s různými výhodami a obraty; podporují myšlení více než stereotypní opakování
předvedeného postupu, ale nesmějí se přehánět, aby žák nenabyl dojmu, že
smyslem řešení je hledat různé možné postupy a finty. [Krček, 1889]
Před řešením je vhodné odhadovat výsledek, po řešení provádět zkoušku
výsledku, ale ne přepočítáním. Výsledky mohou být i neukončená desetinná
čísla, jsou v praxi častější než výsledky v přirozených číslech a vedou
k zaokrouhlování čísel. [Horčička-Nešpor, 1906]
Ve škole druhé poloviny 19. století se kladl velký důraz na užití výpočtů
v praxi; zejména v nejvyšších třídách se úlohy členily podle námětů. V učebnici
Krause a Habernala [Močnik 6, 1909] jsou úlohy z oblasti naše obydlí, náš oděv,
naše osvětlování a topení, užitek spoření, účetnictví v domácnosti; pole, louka,
les (setí, obdělávání, výnos); chov dobytka (krmení, mlékařství, stelivo, mrva);
účetnictví; záležitosti obecní, zemské, státní. Vždy je potřeba vysvětlit věcné
vztahy.
Na prvním stupni školy je závažným problémem počítání zpaměti a písemné.
K němu se vyjadřují všichni autoři.
Podle Močnika (1876) je podstatou matematiky rozumové posouzení daného
problému, určení vztahů a postupu řešení. Výpočet je pak možné provést s čísly
bez zápisu číslicemi, tj. zpaměti, nebo se zápisem čísel číslicemi; zápis usnadní
zapamatování a provedení výkonů. Odtud vyplývá rozlišení počítání zpaměti
a písemného. Obojí je nutné cvičit. V běžném životě se více uplatní počítání
zpaměti, které je i rychlejší, ale teprve práce se zapsanými čísly vede k vládě
nad čísly i nad jich vzájemnou spojitostí.
Krček (1889, str. 116) zdůrazňuje, že jak počítání zpaměti, tak písemné jsou
výkony duševní; především je důležité usoudit, proč a jaký početní výkon se má
provádět. Pak je možné počítat zpaměti nebo písemně; obojí se má probírat ve
vzájemném spojení, ale počítání ústnímu náleží zvláštní zřetel. Naproti tomu
písemné počítání může usnadňovat práci žákům, kteří mají potíže v počítání
zpaměti.
177
Přitom v první třídě nejde ještě o písemné výpočty. Po názorném uvedení
situace se úloha počítá ústně a teprve dodatečně se operace zapisuje matematickými
symboly; pod obrázky tří jablíček červených a dvou žlutých se nejprve
napíší čísla 3, 2 a doplňují se symboly 3+2 = 5 a jejich čtení. Totéž se opakuje
s jiným počtem jablek, s jinými objekty, na závěr se čtou zápisy sčítání čísel
(bez pojmenování objektů). [Loutocký, 1905]
Pro Horčičku a Nešpora (1906) je počítání zpaměti potřebné v běžném životě,
je i výbornou gymnastikou duševní. Při malých číslech je rychlejší, posiluje
číselnou paměť, vyžaduje rychlé rozhodování. Písemné počítání je výhodné při
počítání s většími čísly a ve složitějších úkolech. Umožňuje kontrolu učitelem
nebo spolužáky, zaměstnává všechny žáky. Musí se však odvodit z počítání
pamětního.
Podle K. Domina (1908, str. 28) je vhodné určit potřebný početní výkon
v řešení úlohy s většími čísly řešením obdobné úlohy s malými čísly zpaměti;
zpaměti je též vhodné odhadovat přibližný výsledek výpočtem se zaokrouhlenými
čísly; i v jedné úloze je vhodné část vypočítat zpaměti a část písemně
podle vhodnosti. Je tedy nesprávné oddělovat počítání zpaměti a písemné.
Pod vlivem pedagogiky prosazují se i v metodikách matematiky didaktické
zásady. Velmi obšírně se rozvádí názornost, o které jsme hovořili v souvislosti
s přirozenou metodou vyučování počtům.
Z dalších didaktických zásad uvádějí Horčička a Nešpor (1906) trvalost
osvojení získané porozuměním a soustavným opakováním, přiměřené tempo
probírání učiva (ani kvapné, ani loudavé), vzbuzení zájmu a samostatnosti
žáků. Požadují také, aby se podporovalo vyjadřování dětí, které ukazuje po-
chopení.
Také K. Domin (1908) vyzdvihuje jednotu správného myšlení a vyjadřování.
Trvalosti vědomostí a dovedností se podle K. Domina (1908) dosáhne rozumovým
zdůvodněním, nácvikem základních prvků učiva, jednotou ústního
a písemného počítání. K. Domin (1908) požaduje vyučování za součinnosti
žáků, kterou vyvolávají otázky učitele, na které žáci odpovídají, a genetický
postup, vycházející z několika příkladů.
Kozák (1906) zdůrazňuje potřebu samostatné práce žáků; písemné řešení
úkolů zaměstnává všechny žáky; dobří žáci je zvládnou sami, učitel má možnost
pomáhat slabším.
K. Domin (1908) považuje za nezbytné, aby žáci i učitel měli učebnici; pro
učitele doporučuje navíc metodický návod, aby metodické pokyny nezatěžovaly
učebnici.
K procvičení písemného počítání se mají zadávat domácí úkoly; jejich
vypracování je nutné kontrolovat a opravovat. [F. Močnik, 1876]
Domácí úkoly vyžaduje také Kozák (1906), i když je někteří učitelé považují
za přetěžování žáků; vhodné obrázky situací v učebnici mají však budit zájem
žáků. Domácí úkoly, které žáci dovedou splnit bez pomoci dospělých, přispívají
k jejich zručnosti a k samostatnosti; vždy je však nutná kontrola (raději žádné
než bez ní). [Horčička a Nešpor, 1906]
178
11.3 Metodika vyučování aritmetice
1. Rozšiřování číselných oborů
Je přirozené, že první číselný obor, s nímž se žáci seznamují, je obor
přirozených čísel, kterým se v učebnicích této doby říká čísla celá. Avšak
seznamování žáků s tímto oborem se ve druhé polovině 19. století metodicky
zcela změnilo.
Už jsme uvedli, že učebnice až do roku 1871 na prvních dvou stránkách
vysvětlily čtení a psaní čísel až do trilionů. Přechod na metodu přirozenou
rozložil probírání číselného oboru do tří až čtyř let. V prvním ročníku se probírala
čísla, jejich zápis a čtení do 10, maximálně do 20, druhou třídu považovali
autoři za vhodnou k rozšíření oboru do 100, třetí třídu do 1000 a až ve čtvrtém
ročníku poznávali žáci libovolně velká přirozená čísla s výslovným využíváním
desítkové soustavy. (Do některého z ročníků byly zařazeny i římské číslice.)
Domin (1908) rozdělil probírání přirozených čísel a jejich užití do tří stupňů.
V prvním stupni, v 1. a 2. ročníku, se probírají čísla do 100; ve středním
stupni, ve 3. až 5. ročníku, poznají žáci neomezený číselný obor; v horním
stupni (6. až 8.) mají převahu počty občanského života a obsahy a objemy.
V roce 1876 vešla v Rakousku v platnost metrická soustava měr a měny.
Viz např. [J. Bečvář, 1998], [J. Neruda, 1875]. Až do té doby měly ve
výuce dominantní postavení kladné zlomky a probírání desetinných čísel bylo
záležitostí okrajovou, protože desetinná čísla se v denní praxi neužívala.
Po zavedení metrické soustavy se zjednodušilo proměňování jednotek měr
a měny, číselné hodnoty nových měr odpovídaly vyšším jednotkám číselné
soustavy, počítání s desetinnými čísly se stalo středem počítání ve vyšších
ročnících obecné školy a na škole měšťanské.
Počítání s obyčejnými zlomky pozbylo mnoho ze svého dřívějšího praktického
významu, vypustit je však nebylo možné. [A. Genau, 1907] S jednoduchými
zlomky se žáci seznamovali v souvislosti s dělením přirozených čísel. Úloha
rozdělit 15 m látky na 5 dílů vedla na výpočet 1/5 z 15. Obdobně poznávali
žáci 1/2, 1/3, 1/4 atd. Teprve po probrání kladných přirozených a desetinných
čísel a dělitelnosti seznámili se žáci s kladnými zlomky a s operacemi s nimi
podrobně.
Záporná čísla celá či racionální se v osmileté obecné školy neuváděla, bývala
zařazena v některých učebnicích pro měšťanské školy, zejména v těch, které
byly určeny i pro střední školy.
2. Přirozená čísla
A. Rozšiřování přirozených čísel, sčítání a odčítání
Prvopočáteční vyučování počtům v 1. ročníku obecné školy se významně
liší podle autorů učebnic, kteří v nich uplatňovali své zkušenosti s vlastním
vyučováním. Rozdíly se projevují např. v tom, kdy autoři považují za vhodné
179
začít zapisovat čísla, zapisovat početní výkony s nimi, spojovat probírání
jednotlivých čísel s početními výkony.
Močnik se přimlouvá za to, aby se v prvním ročníku probrala čísla do 20.
V tomto oboru je možné probrat sčítání jednociferných čísel a druhá desítka
je vhodnou propedeutikou pro desítkovou soustavu, uplatněnou ve druhém
ročníku. V 1. ročníku není podle Močnika dost času k pochopení a procvičení
oboru do 100 (např. i násobilky).
V oboru čísel do 10 dává Močnik (1876) přednost metodě monografické
(kupící), při které postupné probírání jednociferných čísel se ihned spojuje se
všemi početními výkony, především se sčítáním a odčítáním. Např. v obraze tří
teček se jedna tečka oddělí od zbývajících čarou, a to je příležitost k vysvětlení,
že 3 = 2 + 1 nebo 3 = 1 + 2, 3 − 1 = 2, 3 − 2 = 1. Nakreslení čárky jednou,
dvakrát, třikrát vede k výkladu, že 3 × 1 = 3. Postupné odebírání proutků ze
tří proutků vede k vysvětlení, že 1 proutek ve 3 proutcích je obsažen třikrát.
Rozdělení tří kuliček třem žákům má objasnit, že 1/3 ze 3 je 1. Pomocí zlomků
se vyjadřuje dělení dvěma až devíti.
Močnik sám uznal, že je tato metoda málo vhodná a v přepracovaných
vydáních učebnice probíral do 5 jen sčítání a odčítání a teprve při probírání
čísel od 5 do 10 užíval kupící metodu.
Jednoduché slovní úlohy, které jsou podkladem k provádění početních výkonů
s jednocifernými čísly, zadává Močnik (1876) jen ústně, vyslovuje je jen jednou,
aby žáky přinutil k soustavné pozornosti. Žáci mají odpovídat opakováním
úlohy celou větou (což napomáhá správnému mluvení), jindy jen uváděním
výsledku (které má za cíl cvičit hbitost a rychlost). Po pochopení výkonu s čísly
počítáním zpaměti následuje zápis provedení operace číslicemi. V učebnici
nejsou proto z počátku žádné slovní úlohy, jen písemně zapsané úkoly na
provádění operací; to je zvláště vhodné k následné samostatné práci žáků
v málotřídní škole.
Petřík (1889) v 16 půlhodinách počítá jen slovně, bez zápisu čísel. K ořechu
na stole přidává jeden ořech z kapsy a říká, že jeden ořech a jeden ořech jsou
dva ořechy. Podobně s jinými předměty a s obrázky na tabuli a až na závěr
druhé půlhodiny několikrát opakuje jedna a jedna jsou dvě. Obdobně ubírání
ořechů, dvakrát jedna slepice jsou dvě slepice aj. Až v 15. půlhodině zapisuje
číslici 2 a v 17. půlhodině: Říkali jsme jedna a jedna jsou dvě; to zapíšeme
takto: 1 + 1 = 2.
J. Loutocký (1905) nejprve učí počítat předměty, které má žák před sebou,
na obrázcích na tabuli. Operace navozuje činnostmi, které vyjadřuje popisem
činnosti, např. přikreslováním či škrtáním předmětů bez matematických symbolů
(v tom kritizuje Močnika). Až po ústním počítání následuje zápis operací
matematickými symboly: pod obrázky 3 jablek červených a 2 žlutých se nejprve
napíší čísla 3, 2 a doplní se symboly +, = a uvede se čtení 3 + 2 = 5. Totéž se
opakuje s jiným počtem jablek, s jiným ovocem, a až na závěr se čtou zápisy
součtu čísel bez vztahu ke konkrétním objektům.
J. Kozák (1906) probírá čísla a operace do 10 v tomto sledu: Názorné uvedení
číslic do 5. Psaní číslic do 5. Sčítání do 5 ústně a se zápisem (a s obrázky).
180
Dočítání do 5. Odčítání do 5. Zápis obou operací. Sčítání a odčítání postupně
do 6, 7, 8, 9, 10. Násobení do 10. Měření jednou, dvěma, třemi atd. Dělení na
poloviny třetiny, čtvrtiny, ... čísel dělitelných těmito čísly. K číslu 5 nebo 10:
4 + 3 = 4 + 1 + 2, 5 + 2 = 7; 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13.
Hbitost získají žáci opakováním postupu, ne biflováním spojů jako u Močnika.
Násobení začíná až po probrání čísla 10. Nakreslená 4 jablka jsou pro žáky
4 jablka, ne 2 × 2 jablka. Smysl má teprve 2 × 5 jablek. Násobitele píše Kozák
(1903) na první místo, až ve 3. ročníku (1906) pořadí obrací. Měření se motivuje
odebíráním: Kolikrát můžeme ze 6 koulí odebrat 2 koule? Měření probírá beze
zbytků, které zatím zatěžují; zato vynikne souvislost měření s násobením.
Příklady z praxe zadává učitel v průběhu roku ústně; až na konci roku si je
mohou žáci číst a řešit sami.
V učebnici F. Petrmichla z počátku 20. století je každému číslu od 1 do 5
věnována samostatná stránka plná obrázků končící např. 5 kroužky, 5 tečkami,
5 čárkami a číslicí 5. Pak následuje sčítání a odčítání nejprve na obrázcích
a potom i se zápisy operace. V odčítání čísel do 10 v podstatě mnoho nechybí
do množinových diagramů ve sledu těchto obrázků a zápisů:
• • • • • • 6 + . = 9 9 − 3 =
• • • 3 + . = 9 9 − 6 =
• • • • • • • • •
Bohatě ilustrovaná je učebnice A. Matolína z roku 1911. V oboru do 10
je sčítání a odčítání znázorňováno obrázky psů, jablek, ořechů, třešní, prstů,
hřebíků, čápů, hrušek, hřibů, per, kuželek aj.
V přechodu sčítání a odčítání přes desítku se autoři shodují. Už v učebnici
F. Močnika z roku 1876 se výpočet prováděl rozkladem sčítance s doplněním
na desítku a přičtením zbytku k desítce. Např. u Močnika (1876):
8 + 5 = 11 − 4 =
8 + 2 = 10 11 − 1 = 10
10 + 3 = 13 10 − 3 = 7
8 + 5 = 13 11 − 4 = 7
Obdobně postupují další autoři. F. Močnik (1876) navíc upozorňuje na to,
že rozklad a postupné přičítání a odčítání odpovídá posunování kuliček na
počitadle.
Ve druhém ročníku rozšiřují autoři (i Močnik roku 1876) číselný obor do 100.
Monografická metoda by v tomto případě byla příliš rozvláčná, možných spojů
je pro každé číslo mnoho.
181
Sčítání a odčítání jednociferných čísel bez přechodu a s přechodem přes
desítku poznali žáci již v první dvacítce. Nyní tedy nejprve připočítávají
jednotky k jednotkám, desítky k desítkám, desítky k desítkám s jednotkami,
nakonec desítky s jednotkami k desítkám s jednotkami.
Ve čtení čísel brojí Benda (1903) proti čtení pětadvacet, které se doporučovalo
od konce 18. století.
Ve třetím ročníku se počítá v oboru do 1000. Písemné počítání již
výrazně usnadňuje výpočty, vyžaduje ovšem dokonalé zvládnutí počítání
zpaměti. V rozšíření přirozených čísel až do bilionů ve 4. ročníku se neužívá
miliarda. Při tomto rozšiřování přirozených čísel se vysvětluje desítková soustava.
Např. Benda (1903) přitom výslovně rozeznává neměnitelnou hodnotu
podoby a měnitelnou hodnotu místa číslice.
B. Násobení, měření a dělení
Násobení čísel znají žáci od 1. ročníku. Ve druhém ročníku poznávají
násobilku. Močnik (1876) doporučuje probrat nejprve násobky čísla 3 do 30,
pak násobky čísla 4 do 40 atd. po jednotlivých desítkách.
U výkonu opačného k násobení Močnik (1876) přísně rozeznává měření
a dělení: Měřením má nalezeno býti, kolikrát jedno číslo ve druhém obsaženo
jest. Cvičení v měření se probírá v úzké spojitosti s násobilkou. Kolikrát jsou
2 ve 12 obsaženy? – 12 je kolikrát 2? Ode 12 mohou se tedy 2 6krát ujmout,
čili 2 jsou ve 12 6krát obsaženy.
Horčička a Nešpor (1906) vysvětlují měření např. na úloze: V nádržce je
15 hl 48 l vody; kolikrát ji vybereme konví 9 litrovou? Skutečné nabírání je
dlouhé a ve škole nemožné; můžeme však postupně odčítat 9 l od 15 hl 48 l
a nakonec použít měření: Můžeme tolikrát nabrati, kolikrát je 9 l obsaženo
v 15 hl 48 l.
Zpočátku se měření probíralo v rozsahu násobilky, tedy bez zbytku. Ve
slovních úlohách musela být obě čísla v operaci stejnojmenná, výsledek číslo
nepojmenované. V měření 17 m : 3 m = 5 krát se reálný význam zbytku
nezdůrazňoval.
Dělením má jisté číslo na několik rovných dílů rozloženo a velikost jednoho
takového dílu určena býti. [Močnik, 1876] Ve slovním vyjádření se užívají
zlomky polovina, třetina, čtvrtina atd., takže se při dělení 36 čtyřmi dospěje
k výsledku 1/4 ze 36 jest 9.
Slovní úloha na dělení zní např. takto: 4 m sukna stojí 12 zlatých; počem
jest 1 m ? V učebnicích této doby je dělenec číslo pojmenované, dělitel číslo
nepojmenované, podíl je pojmenován jako dělenec. Při dělení se zbytkem píše
Močnik (1876) důsledně 1/4 ze 39 jest 9 3/4 a ve vyšších ročnících i při
písemném dělení.
Měření a dělení rozlišuje Kozák (1906) i ve znameních. Ve 20 jsou 2 desítky,
proto říkáme 10 ve 20 = 2×, ale píšeme 20 : 10 = 2×. V dělení užívá znak ÷,
když píše 20 h ÷ 4 = 5 h.
182
U písemného počítání se stírá rozdíl mezi měřením a dělením, pro obě situace
se užívá společného názvu divise; na rozdíl se má však i nadále dbát v užitých
úlohách při počítání s čísly pojmenovanými. Podrobně se rozebírají úlohy 1 m
sukna stojí 4 zl.; kolik metrů dostanu za 12 zl. [Měření]. 4 m sukna stojí 12 zl.;
počem jest 1 m? [Dělení]. Hovoří se o tom, jak je tomu s pojmenovanými čísly
v dělení, děliteli a podílu a končí se konstatováním, že 4 tý díl ze 12 jest právě
tolik, kolikrát 4 ve 12 obsaženy jsou. Z tohoto úzkého spojení mezi měřením
a dělením vyplývá užití jednotného zápisu a postupu: 12 : 4 = 3 má dvojí
význam: 4 jsou ve 12 obsaženy 3 krát, aneb 4. díl ze 12 jsou 3. [Močnik, 1875]
C. Písemné výpočty
S rozšiřování přirozených čísel je potřebné zavádět i algoritmy písemných
výpočtů. [Močnik, 1876] při písemném sčítání a odčítání zadává nejprve úlohy
bez přechodu do vyššího řádu a až po procvičení se postoupí k operacím
s přechodem do vyššího řádu.
Při násobení se činitelé nejprve píší jako dnes pod sebou [Močnik, 1873],
později k umožnění jednotkových výhod při násobení i vedle sebe; někteří autoři
začínají násobit jednotkami násobitele, takže částečné součiny pak píší doleva:
354 × 26
2124
708
9204
V dělení ještě Početnice z roku 1871 píše dělitele před dělence a zbytek
vyjadřuje zlomkem:
5 | 2468 | 493 3
5
20
46
45
18
15
3
[Močnik 3, 1873] už píše dělitele za dělence, odečtení částečných součinů
nenaznačuje však znamením:
714 : 21 = 34
63
84
84
Teprve ve 4. početnici zavádí i zkrácený zápis bez částečných součinů.
Všechny ukázky dělení jsou beze zbytku. Zkouška se provádí násobením podílu
dělitelem. Mezi příklady a úlohami nalezneme i dělení desetimístného čísla
183
číslem pětimístným, zejména v úlohách s výměrou pozemků v zemích Rakouska
a s údaji z astronomie. [Močnik 4, 1875]
U Bendy (1903) nalezneme i náznak teorie. Uvádí např. záměnu sčítanců
a činitelů, všímá si jednotky a nuly v součinu, uvádí 6 : 6 = 1, 6 : 1 = 6,
zdůvodňuje 0 : 8 = 0, poněvadž 8 × 0 = 0, o 7 : 8 říká, že dělení můžeme jen
naznačit zlomkem 7
8 . Při dělení se zbytkem píše za částečný podíl zlomek
3875 : 6 = 645
5
6
Vyvrcholením písemných výpočtů jsou algoritmy výpočtu druhé mocniny
a odmocniny. [Močnik 5, 1875] však roku 1906 zařazuje i algoritmy výpočtu
třetí mocniny a odmocniny. Totéž [Kneidl, Marhan, 1888].
D. Výhody při výpočtech
Při provádění operací doporučují autoři početnic využívat různé výhody.
Např. Horčička-Nešpor (1906) navrhují místo 29 + 34 počítat 30 + 34 = 64,
64 − 1 = 63. Místo násobení číslem 59 doporučují násobit číslem 60
a jednonásobek odečíst. Už od Močnikových početnic se místo dělení číslem
125 uvádí násobení osmi a dělení tisícem apod. Snad ve všech učebnicích se při
násobení užívá jednotkové výhody, Horčička-Nešpor (1906) uvádějí i násobení
číslem 11. V řadě učebnic se probírá i násobení a dělení na daný počet desetinných
míst. Např. [Močnik 5, 1875].
K nauce o přirozených čísel patří i dělitelnost přirozených čísel. Probírá se
před soustavným probíráním zlomků obvykle v 5. ročníku a v rozsahu i dnes
obvyklém. Probírají se znaky dělitelnosti čísly 2, 3, 4, 5, 6, 9. Na dělitelnosti
číslem 9 se podle Horčičky a Nešpora (1906) zakládá devítková zkouška, která
(prý) neprávem upadla v zapomenutí.
Čísla nesoudělná se nazývají prvočísla vespolek. Složená čísla se rozkládají na
prvočinitele (bez mocnin), určuje se největší společná míra (dělitel) i nejmenší
společný násobek. [Močnik 5, 1876] Podle Bendy (1903) není vyhledávání
největšího společného dělitele důležité.
11.4 Desetinná čísla
Novým učivem čtvrtého ročníku jsou desetinná čísla. [Močnik 4, 1875]
obšírně vysvětluje jejich význam pro praxi po zavedení desítkové soustavy
měr a peněz. Protože se v zápisu desetinných čísel užívá desítkové soustavy,
je vhodné zařadit jejich probírání hned za objasnění desítkové soustavy při
rozšiřování přirozených čísel.
Z nižších ročníků znají žáci jednoduché zlomky, takže [Matolín 2, 1911] může
výklad začínat takto:
Desetina není celek, je to jenom část celku; desetina je zlomek. Desetinu
psali jsme dosud takto: 1
10 ; avšak může se zapsati též takto: 01. Setiny se
vysvětlují na centimetrech z metru, na haléřích z koruny.
184
Místo desetinné čárky se psala desetinná tečka, ale nahoře: 32.
45. V učebnicích
se vysvětluje místní hodnota číslice v zápise čísla, rovnost čísel, která
mají na posledních desetinných místech nuly (926, 9260, 92600, . . . ) a vliv posunutí
desetinné tečky vpravo nebo vlevo, z čehož ihned plyne násobení a dělení
desetinných čísel čísly 10, 100, 1000, ... [Močnik 4, 1875]
Desetinná čísla se násobí jako čísla přirozená (bez ohledu na desetinnou
tečku) a v součinu pak tolik desetinných míst odčísne, kolik jich v obou činitelích
dohromady bylo. [Kozák 4, 1912] zbytečně komplikuje písemné násobení desetinných
čísel tím, že zapisuje desetinnou tečku i tečku za tisíci do částečných
součinů.
847 × 3.600 (3.600 = 36 × 100)
5082
2.541
3.0492 × 100
304.920
Dělení desetinným číslem se převádí na dělení přirozených čísel obvyklým
rozšířením dělence a dělitele. Dělení dvouciferným dělitelem, který je možno
rozložit v součin, se usnadňuje postupným dělením jednocifernými čísly, např.
místo 1904 : 28 se počítá postupně 1904 : 4 = 476, 476 : 7 = 68, tudíž
1904 : 28 = 68. [Kozák 4, 1912]
Teprve při dělení desetinných čísel se podrobněji vysvětluje, co se zbytkem
při neúplném dělení:
Zbude-li při dělení z posledního částečného součinu zbytek, poznačíme jej buď
v závorce (obyčejně při měření) nebo zbytek postupně převádíme na hodnoty
desetinné, kteréž postupně dělíme až do hodnot, které mají ve výpočtu skutečnou
cenu.
Např. částky v korunách se dělí do haléřů, tisíciny v K nelze vyplatiti.
[Kozák 4, 1912]
11.5 Zlomky
I když se zavedením desítkové soustavy do měr a měny ztratily zlomky svůj
význam pro praxi, ze školního vyučování vyřazeny nebyly; zůstaly výtečným
formalným prostředkem vzdělávacím. [Močnik 5, 1876]
Už od prvního ročníku byl výpočet polovin, třetin, čtvrtin, ..., desetin jednou
z úloh na dělení čísel. Řadu operací se zlomky zařazuje Močnik (1875) již
do druhého ročníku. Sčítání, odčítání a násobení polovin a smíšených čísel
s polovinami, pak se třetinami
8
1
3
− 2
1
3
=, 34
1
3
− 26
2
3
=, 14 × 6
2
3
=,
kolikrát jsou 2
3 ve 2, 4, 10, 51
3 , 182
3 obsaženy, kolik minut jsou 1
3 , 2
3 hodiny. Kdosi
prodal 14 tuctů knoflíků, a sice pokaždé 21
3 za 1 zl; mnoho-li utržil celkem.
185
Obdobný obsah mají cvičení a úlohy se čtvrtinami, pětinami, šestinami,
desetinami, setinami. K výuce se užívá zlomkové počitadlo, které má v 1. třídě
tyčku v celku, na druhém drátě shodnou tyčku rozdělenou na poloviny, na
třetím drátě na třetiny atd. Závěr tvoří i desetiny a setiny vysvětlované na
metru, decimetrech a centimetrech.
Počítání s častěji se vyskytujícími zlomky obyčejnými pokračuje ve 4. ročníku
Močnikovy učebnice (1875). Např. od čísla 82 9
20 se má skoro do nuly
postupně odčítat 83
5 .
Po probrání dělitelnosti čísel se ve vyšších ročnících obecné školy a ve
třídách měšťanské školy zahajuje soustavné probírání zlomků. [Močnik 5,
1876] doporučuje všímat si jen zlomků s menšími jmenovateli, protože zlomky
se jmenovateli příliš velikými pražádné praktické ceny nemají.
Při výkladu zlomků se uvádí jak rozdělení celku na díly, tak rozdělení
několika celků na díly: Zlomky jsou vlastně naznačené dělení, přičemž čitatel
je dělencem, jmenovatel dělitelem. [Kozák 4, 1912]
Z vlastností a operací se probírá porovnávání zlomků, rozšiřování a krácení
zlomků, převádění na téhož jmenovatele, čtyři početní výkony se zlomky,
proměna obyčejných zlomků na desetinné a obráceně.
Při sčítání zlomků např. 2
3 , 5
8 , 9
10 se určuje nejmenší společný jmenovatel
tímto schématem:
3, 8, 10
3, 4, 5 | 2
3 × 4 × 5 × 2 = 120
a součet se pak zapisuje např. do schematu
120
2
3 40 80
5
8 15 75
9
10 12 108
2 23
120 263 : 120 = 2
23
Obdobná schemata se používají při odčítání.
[Kozák 5, 1912] zapisuje součet 4/9 + 7/12 + 6/15 + 5/6 se společným
jmenovatelem 180 i takto:
186
180
4/9 80
7/12 105
6/15 72
5/6 150
2 47/180 407 : 180 = 2 47/180
47
Pravidla pro násobení zlomků mají dnes obvyklý tvar, doporučuje se zlomky
předem krátit.
Násobení zlomků provádí Močnik (1875) několika způsoby. Např.
21
2 × 33
5
13
4
počítá změnou smíšených čísel na zlomky nepravé a pak použitím součinu členů
vnějších lomených součinem členů vnitřních
5
2 × 18
5
7
4
=
5 × 18 × 4
2 × 5 × 7
=
36
7
= 5
1
7
,
ale také pomocí schematu řešení vedlé čáry i řešení ob čáru takto:
7 1 3
4 2 1
2 5/
2/ 3 3
5 18
5/ 4/ 2
7 36 51
7
(Čtenáři, nalezneš odtud postup a podstatu řešení?)
Dělení zlomkem se převádí na násobení jeho zvratnou hodnotou (např.
[Horčička-Nešpor, 1906]), avšak Takového mechanického postupu při dělení
nesluší než v ý m i n k o u, aby žáci při počtech nemyšlení si nenavykli;
duch se zajisté daleko více vzdělává, když výkon, jehož při dělení zlomků
třeba, pokaždé dáme obšírně vyložiti a dokonale dokázati, přidržujíc tím žáky
ustavičně k jasnému myšlení a odůvodňování [Močnik, 1876]. Přednost se má
podle Močnika dávat tomuto postupu:
Kolikrát jsou 3
8 v 6
9 obsaženy?
6
9
=
48
72
,
3
8
=
27
72
,
48
72
:
27
72
= 48 : 27 = 1
21
27
= 1
7
9
.
187
Při převodu zlomku na číslo desetinné může vyjít číslo s periodou neboli
občíslím nebo smíšeně periodické s předperiodou. Uvádí se i pravidlo pro
převod takových čísel na zlomek obyčejný:
0, 3636 · · · = 36
99 = 4
11
0, 543434 · · · = 5434−54
9900 − 269
495 [Benda, 1902]
Na vztahy obyčejných a desetinných zlomků se má poukazovat na všech
vhodných místech. [Močnik 5, 1876].
11.6 Rozšiřování aritmetického učiva. (Užití počtů v praxi)
Slovní úlohy
Od počátku výuky se klade velký důraz na využití počtů při řešení problémů,
které přináší život. Ve škole se takovým problémům, které slovy popisují
reálnou situaci a určují úlohu, která se má řešit, říká řešení slovních úloh. Slovní
úlohy stojí obvykle i na počátku výuky, protože motivují výklad. Později jsou
slovní úlohy již vědomou aplikací získaných poznatků na řešení problémů praxe.
Močnik (1876) cílevědomě zařazuje do 3. ročníku počty sousudkové, řešené
úsudkem. Přitom násobením řeší úlohy, při nichž z hodnoty jednotek soudíme
o hodnotě mnohot. Např. Dělník si vydělá za 6 dní 11 zl.; kolik za 42 dní?
Obdobně při dělení.
Úloha, při níž z hodnoty mnohot soudíme hodnotou jednotky o hodnotě
jiných mnohot se řeší dvěma početními výkony (dělením a násobením) a je
to naše trojčlenka řešená přechodem přes jednotku. Takto řešených úloh
zařazuje Močnik do třetího ročníku celkem 227. Zdůrazňuje (5, 1876), že
úlohy (řešené dnes trojčlenkou) se mají na venkovských školách řešit pouze
přechodem přes jednotku, protože vede žáky k porozumění a nutí je přemýšlet
o správnosti kroků. Užití úměry má mít místo jen ve školách, které si kladou
vyšší cíle. I Horčička s Nešporem (1906) považují řešení trojčlenky přechodem
přes jednotku, násobek nebo díl za cenné pro rozvoj myšlení.
Na některé typy úloh z praxe se ve škole vyučovaly různé postupy. Např.
počet řetězový je uplatněn v úloze Za kolik K je 57 kg koření, je-li 320 kg
koření za 480 marek a rovná-li se 100 marek 116 K? Řešení spojením řetězovým
[Horčička-Nešpor, 1907]:
Pravíme Píšeme
Za kolik (x) K je 57 kg koření, x K 57 kg
je-li 320 kg za 480 M, 320 kg 480 M
je-li 100 M za 116 K 100 M 116 K
x =
57 × 480 × 116
100 × 320
x = 9918
188
Počet spolkový, např. o dělení zisku v poměru vložených částek, je dělením
čísla v daném poměru. Úlohy na počet směšovací řešíme dnes rovnicemi.
Čísla vícejmenná
V úlohách z praxe se vyskytují nejrůznější míry, které dříve neměly za
základ desítkovou soustavu. Jednotky měr měly různé měnitele a početnice
učily proto výpočtům s těmito jednotkami, převádění vyšších jednotek na nižší
(resolvování) a obráceně (redukování).
Radikální přechod na desítkovou soustavu měr a měny vedl k výraznému
omezení výpočtů se starými jednotkami i převodů zastaralých jednotek na nově
platné. Avšak některé jednotky přece jen zůstaly a v učebnicích jsou tabulky
s jejich převody. Tak věci sčítanlivé se počítají na kopy (60 kusů), tucty (1/5
kopy = 12 kusů), mandele (1/4 kopy = 15 kusů); 1 balík papíru = 10 rysů,
1 rys = 20 kněh, 1 kniha psacího papíru = 24 archů, 1 kniha tiskacího papíru =
25 archů. [Močnik 2, 1875] Roku 1906 má však už rys 10 kněh, 1 kniha 10 složek,
1 složka 10 archů. Dodnes není desítková soustava obecně zavedena v měření
času (rok, měsíc, týden, den, hodina, minuta, sekunda). K vícejmenným číslům
patří dnes i dříve i míry v desítkové soustavě, nejsou-li zapsány desetinnými
čísly, např. 3 m 2 dm 7 cm. V učebnicích té doby jsou proto zařazeny zvláštní
kapitoly počítání s čísly vícejmennými.
Poměry a úměry
Výklad poměrů a úměr je základem pro zmechanizování řešení úloh trojčlenkou,
která se pak uplatní v počtu procentovém a v úlohách finanční
aritmetiky.
V poměru 12 : 3 = 4 je číslo 12 přední člen, 3 zadní člen a 4 je vykladatel
poměru. Vykladatel poměru udává, kolikrát je druhý člen poměru obsažen
v prvním členu. Při úpravách poměru (krácení a rozšiřování) se nesmí změnit
vykladatel. [Močnik 5, 1876]
Srovnalostí (úměrou) je výraz, v němž jsou znaménkem rovnosti spojeny
dva poměry, které mají téhož vykladatele. Proberou se povolené úpravy
a vlastnosti. Z nich vyplyne řešení úměry, v níž je jeden člen neznámý. Na
příkladech se vysvětluje přímý a nepřímý poměr údajů a zápis údajů do úměry,
kterou je pak třeba řešit. [Močnik 5, 1876]
Výpočet neznámého členu úměry se provádí buď pomocí rovnosti součinu
členů vnitřních se součinem členů vnějších, nebo použitím vykladatele poměru
(hodnoty poměru): x : 10 = 15 : 25.
Druhý poměr 15 : 25 má vykladatele 3/5; následovně musí 3/5 být i vykladatelem
poměru prvního; zadní člen je 10, musí tedy přední člen x = 10×3/5 =
6 býti.
Teoretický význam bez využití v praxi mají různé úpravy úměry. Např.
z úměry 24 : 8 = 18 : 6 vyplyne i úměra (24 + 8) : (24− 8) = (18 + 6) : (18 − 6).
[Močnik, 1875]
V úlohách na trojčlenku s přímou a nepřímou úměrností (podle naší
terminologie) je nutné správně napsat oba poměry v úměře: Jsou-li dva druhy
189
čísel přímo srovnalé, pak jest poměr dvou čísel jednoho druhu roven poměru
k nim patřících čísel druhého poměru v témž pořádku vzatých. [Močnik 5, 1875]
Pozdější autoři ([Horčička-Nešpor, 1906], [Kozák 5, 1912]) používají k vyznačení
přímé a nepřímé úměrnosti v zápisu údajů šipek souhlasně (nesouhlasně)
orientovaných, které usnadňují správný zápis úměry.
Procenta
Procento jako setina základu se vysvětluje již v Početnici pro školy venkovské
(1871), počítá se však jen procentová část, a to přechodem přes jedno procento.
Močnik v 5. početnici (1876) už rozlišuje počet procentový ze sta (3 obvyklé
typy úloh), na sto a ve stu podle toho, je-li dána část odpovídající počtu
procent většímu nebo menšímu než 100 procent.
[Močnik 5, 1876] podrobně probírá jednoduché úrokování za celé roky i jejich
části i výpočet procenta, jistiny nebo času; zjišťuje se hodnota sumy peněz
po jistém času úročení i před jistým časem (odúročení). Zvláště se probere
i složené úrokování (úroky z úroků) s vysvětlením úročitele a s užitím tabulky
úročitelů do 20 let při 2, 2 1/2, 3, 4, 5 procent. [Horčička-Nešpor, 1907] počítají
i počáteční jistinu pomocí tabulek odúročitelů. [Kozák 5, 1912] řeší už i úlohy
o pravidelném spoření a splácení dluhu pomocí tabulek střadatelů a umořitelů.
Úlohy finanční aritmetiky
Nejvyšší ročníky obecné a měšťanské školy suplují v určitém rozsahu i první
ročník dnešních obchodních akademií.
V počtu mincovním se vysvětlují pojmy stříž (váha hrubé slitiny v minci),
zrno (čistá váha ryzího kovu), jakost (poměr zrna ku stříži). [HorčičkaNešpor
3, 1907]
Ve všech učebnicích se přepočítávají různé měny na rakouskou a naopak.
[Močnik 5, 1876] rozlišuje přitom hodnotu jmenovitou (kurz vyhlášený vládou)
a hodnotu kurzovní (proměnnou, lišící se od jmenovité).
Podrobně se vysvětlují směnky, cenné papíry, akcie, dividendy, půjčky
a výpůjčky při nich užívané.
Pro úlohy o obchodování se vysvětlují pojmy brutto, netto, tára, supranetto
(hrubá váha, čistá váha, váha obalu, vývažek na ztráty), diskont, skonto, rabat,
provize, dohodné. Objasňuje se vypracování kalkulace i jednoduché účetnictví
s příklady a ukázkami účtů, faktur a účetních knih.
V opakování se využije všechno probrané učivo v úlohách z hospodaření
v domácnosti, v zemědělství, z nejrůznějších živností, z obchodu. Žáci se
při nich seznamují i s různými daněmi, s poplatky při převodu majetku,
s poštovními poplatky, s pojišťováním nemocenským a úrazovým (srážky
z platu, výše nemocenského v procentech ze mzdy).
[Horčička a Nešpor 3, 1907] zařazují vedle opakovacích úloh z nejrůznějších
oborů praxe výslovně i úlohy z nauk přírodních (fyzika, chemie) a ze zeměpisu.
190
Rozšíření učiva na měšťanské škole
Samostatnou kapitolou na závěr učebnic bývá ve shodě s osnovami měřictví,
obsahující jen výpočty obsahů ploch a objemů těles včetně těles komolých.
Zvláštností je vzorec pro výpočet objemu sudu
V = π ·
d1 + d2
3
· v.
Učebnice pro vyšší třídy škol obecných a třídy měšťanských škol nebývá
členěna podle ročníků, ale všechno jejich učivo je obsaženo v početnici jediné,
obvykle v 5. početnici. Např. Močnikova učebnice z roku 1875 upravená
V. Starým je určena pro nižší třídy škol středních jakož i měšťanských a má
proto 324 stran.
Učebnice Kneidl-Marhan (1888) je určena pro měšťanské školy chlapecké
a jednotlivé sešity jsou určeny jednotlivým třídám. Ve druhém sešitu se na
Réaumurově teploměru vysvětlují čísla kladná (pozitivní) a záporná (negativní),
která se souhrnné nazývají čísla r e l a t i v n í nebo a l g e b r
a i c k á. Naproti tomu čísla přirozené řady číselné zveme čísly a b s o l
u t n í m i. V operacích se uvádí slučování (tj. sčítání a odčítání). Operace
násobení a dělení celých čísel se provádějí podle pravidel uvedených bez
objasňování.
V téže učebnici se rovnice dělí na číselné (8+2 = 10) a s neznámou veličinou
(x + 8 = 15). Zavádějí se názvy pravá a levá strana rovnice, koeficienty, řešit
rovnici. Řešení se provádí ekvivalentními úpravami (bez tohoto názvu), provádí
se zkouška správnosti řešení rovnice dosazením do dané rovnice.
Doplňková literatura
Vedle učebnic vydávala různá nakladatelství také sbírky úloh, které mohli
učitelé využít jako inspiraci nebo přímo při zadávání úloh ve škole.
Změna měny a měr na metrické vedla J. Mazance (1893) k vydání publikace
1000 praktických příkladů početních ze života ... Slovní úlohy pro druhou třídu
obecných škol jsou tříděny podle poznaného číselného oboru do dvou, tří, ...,
deseti a obsahují úlohy na všechny čtyři početní výkony. V oboru do 100 jsou
nejprve užita jen čísla desítková, pak operace v rámci desítky, sestavené úlohy
s přechodem přes desítku a v 5. části počítání se stovkami i s přechodem;
všechny úlohy se řešily zpaměti. Úlohy pro třetí třídu se řeší již písemně.
Podstatně širší je Kuchynkova Sbírka úkolů ku počítání z paměti (1889)
určená i měšťanským a středním školám. V 640 slovních úlohách se užijí nejen
přirozená čísla, ale i zlomky, trojčlenka, procenta, počet spolkový a směšovací
a také početní úkoly z planimetrie a stereometrie. Na to, že se úkoly mají řešit
zpaměti, jsou některé úlohy zřejmě obtížné:
Kdosi prodal 3/8 své zásoby pšenice a později ještě 25 hl téhož obilí. Zbyly
mu potom ještě 4/7 původní zásoby bez 10 hl. Jak velká byla původní zásoba?
Přepočty starých měr a měn na metrické měla zřejmě za úkol příručka, určená
spíše veřejnosti – Počtář rychlý a dobrý. V tabulce je vypočtena cena za 1 až
191
100 kusů pro jednotkovou cenu 1 až 99 krejcarů, jsou zde tabulky úroků od
1 do 100 000 zlatých uložených na 4 až 10 procent za 1 měsíc až do 1 roku.
V tabulkách jsou převody starých měr na nové a naopak. Dozvídáme se, že
např. 1 máz měl nově 1,4141 litru, 1 loket 0,7776 m, 1 palec 2,63 cm, 1 libra
0,5601 kg atd. V tabulkách je také přepočet ceny za starou jednotku na cenu
za novou jednotku. Stojí-li libra –, bude státi kilogram –; stojí-li sáh –, bude
státi metr –.
11.7 Geometrie
Novými zákony školními jest nařízeno, aby na národních školách vyučovalo
se měřictví. Shledal jsem, že nám, národním učitelům, dosud schází vodítko,
dle něhož bychom měřictví prakticky mohli vyučovati. Zvláště starším pp.
učitelům činí předmět tento asi nesnáze, a proto jsem se odhodlal, sestaviti
tuto skromnou práci, kterouž učitelům k laskavému shovívavému posouzení
podávám ...
Těmito slovy uvedl svou učebnici Nauka o měřických tvarech pro školy hlavní
a národní Josef F. Kupka, řídící učitel v Letovicích a t. č. předseda učitelského
spolku v hejtmanství boskovickém. Učebnice byla ministerstvem schválena
17. listopadu 1870, vydána v roce 1871, do tří měsíců byla rozebrána a hned
v roce 1871 vyšlo její druhé vydání. Rychlost druhého vydání svědčí o potřebě
takové učebnice; o ní svědčí i další učebnice jiných autorů, které vycházely
vzápětí. Roku 1872 vydal F. Streit učebnici Měřictví a současně k ní Methodiku
měřictví, během roku 1873 vyšlo Tvarosloví J. Hrdého ve třech vydáních, z roku
1874 je Tvarosloví J. Rojického, M. Benda vydal Měřické rýsování roku 1880 aj.
Zkušenosti s vyučováním geometrii shrnuli autoři metodik, např. F. Močnik,
v Geometrickém tvarosloví z roku 1878, F. Krček v Praxi ve škole obecné z roku
1884 a K. Domin ve Stručné methodice měřictví z roku 1907.
Historie
Jediný K. Domin (1907) si ve své metodice měřictví všímá dějin měřictví
jako vědy a jako učebního předmětu. Začíná zeměměřictvím Egypťanů, astronomií
Babyloňanů, hlavní pozornost věnuje hloubavým Řekům: Thaletovi
z Milétu, který jako první prováděl důkazy, Pythagorovi, Platonovi, Eukleidovi,
Archimedovi, Apolloniovi a dalším. Z dějin vyučování geometrii uvádí náznak
prací Komenského, a pak již se věnuje pracem Pestalozziho, Schmida,
Harnische, Diesterwega. V Rakousku bylo měřictví zařazeno do obecných
a měšťanských škol teprve roku 1869, takže práce o vyučování geometrii psali
Dominovi současníci. Jejich názory poznáme z dalšího výkladu.
Vzdělání formativní a materiální
Vzdělání formativní (formální) a materiální byly kategorie, kterým se nevyhnul
žádný autor metodiky vyučování matematice a v jejím rámci geometrie
v 19. století. Nejpodrobněji rozebírá tyto otázky F. Krček (1884). Podle něj
se ve vyšších školách vyučuje geometrie přísně vědecky, s důrazem na přísnou
důslednost v geometrickém postupu, na správnost důkazů a přesnost závěrů.
192
Tím se dosahuje formálního účelu vzdělavatelského. Avšak v nižších třídách se
uvedené cíle zanedbávají, do popředí se dostává zásada užitečnosti. V tomto
ohledu jsou obě zásady vyučování v protikladu: ve vyšších školách formalný
princip bez praktického užití, v nižších školách materialný princip beze všeho
vzhledu k formalnímu vzdělání. Krček tyto jednostrannosti kritizuje a dospívá
k názoru, že formalný a materialný účel učebný musejí být organicky spojeny
a že vedle jasného poznání geometrických pravd nesmí se nedostávat praktického
využívání toho, co jasně poznáno.
Pedagogické zásady a metody práce
Z názorů na formativní a materiální význam vyučování geometrie vyplývají
i Krčkovy (1889) názory na metody práce. Přednášení definic, pouček a důkazů
je vhodné jen pro žáky s rozumem již vycvičeným, vzdělaným, u začínajících
žáků vede k papouškování bez porozumění. Proto není pro začínající žáky
vhodný postup podle Eukleida; důkazy, jejichž smysl žák nechápe, žáky nudí
a pozbývají chuti k učení. Proti tomu požaduje F. Krček postupné poznávání
útvarů a jejich vlastností názorem, pokusem, zobecňováním objeveného, které
pak končí (nezačíná) poučkou. Hledání poznatků má oporu i v historii vědy,
ta také nezačínala axiomy, ale pozorováním, ze zkušeností vyplynuly poučky.
(Dnes bychom k tomu ovšem dodali, že je časově nezvládnutelné, aby každý
žák si osvojoval matematiku tak, že sám projde jejím historickým vývojem.)
F. Krček však správně zdůrazňuje, že vědecká správnost a elementárnost nejsou
protivy:
Po vědecké správnosti musíme proto, aby se žáci nemusili buď v měšťanské
nebo střední škole mnohému odučovati, čemu se byli v obecné škole ... naučili.
(Přesně tak zdůvodňovali potřebu vědeckosti i učiva didaktici 50. let 20. století,
neopisovali od F. Krčka?)
K. Domin (1907) hovoří o postupu genetickém. Vede žáky otázkami o pozorovaných
vlastnostech útvarů a z nich vyvozuje geometrické poučky. V tom
vidí zásadní rozdíl proti syntetické metodice vědy začínající body, přímkami,
útvary. Ve formování rozumových schopností žáků klade K. Domin geometrii
nad aritmetiku.
Z potřeby vyvozovat vlastnosti pozorováním, činnostmi, vyplývá zdůrazňování
názornosti. I když ji všichni autoři uznávají, liší se v názoru čím začínat.
J. F. Kupka (1871), J. Rojický (1874), F. Močnik (1878) a K. Domin
(1907) začínají prací s reálnými objekty (skříněmi, stoly apod.) nebo alespoň
s tělesy, na nichž pozorují stěny, hrany, vrcholy, úhly, mnohoúhelníky a jejich
vlastnosti, např. rovnoběžnost a kolmost (ale také vodorovnost a svislost) hran,
vzájemnou polohu hran a stěn, na pravidelném čtyřstěnu se zjistí shodnost
trojúhelníků, na komolém jehlanu podobnost trojúhelníků a mnohoúhelníků,
na válci a kuželi poznávají žáci kružnici a kruh.
Teprve pak se podrobněji, např. u F. Kupky (1871) seznamují s úhly, trojúhelníky
a jejich tříděním, se čtyřúhelníky a mnohoúhelníky a s jejich rýsováním
a vlastnostmi. U částí kruhu poznají žáci i kvadrant a sextant, středový
a obvodový úhel, bez podmínek je uvedena vzájemná poloha dvou kružnic,
193
společná část dvou kruhů je čočka, zbytky kruhů jsou lunky. Poznají však
i elipsu s ohnisky, původci, osami, vrcholy a výstředností (rýsování provazem),
ale i ovál a čáru vejčitou.
Výpočty obvodů, obsahů a objemů se provádějí bez důkazů, bez vzorců, jen
na základě slovních příkazů. Podle K. Domina (1907) nemají žáci na měšťanské
a obecné škole měřit a určovat obsahy obdélníků, trojúhelníků (to je úkol
středních škol), ale měřit a počítat obsahy stěn těles; žáky podle K. Domina
nebaví abstraktní výklady o základních prvcích prostoru a roviny. Práce s tělesy
vyžaduje, aby žáci měli modely těles, různá měřidla a znázorňovadla měr (např.
1 čtverečný metr rozdělený na 100 čtverečných decimetrů).
V uvedených učebnicích je obvykle i nadpisy rozvržena geometrie na tvaroznalství,
rýsování a měřictví. Ve tvaroznalství poznávají žáci geometrické
útvary a jejich vlastnosti. V rýsování se žáci učí rýsovat planimetrické útvary
pomocí pravítka a kružítka; K. Domin nazývá řešení úloh geometrickým
sestrojováním metodou konstruktivní. Měřictví zahrnuje měření a výpočty
délek, obvodů, obsahů rovinných útvarů a povrchů a objemů těles.
Naproti dosud uváděným učebnicím začíná F. Streit (1872) přímo základními
útvary roviny, rýsuje útvary, zkoumá jejich vlastnosti; žáci mají např.
narýsovat různé pravoúhlé, tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky, měřit jejich úhly,
sčítat jejich velikosti a nakonec dospět k závěrům, že v pravoúhlém trojúhelníku
jsou úhly mimo pravého úhlu ostré a jejich součet je roven pravému úhlu,
v tupoúhlém trojúhelníku je součet ostrých úhlů menší než 90◦
, součet všech
úhlů v každém trojúhelníku je 180◦
. (Akademik E. Čech v 50. letech 20. století
preferoval tento postup, protože umožňoval, aby žáci mohli ihned rýsovat,
měřit, být činní, nejen pozorovat předváděné modely.)
J. Hrdý (1873) sice začíná pozorováním těles, ale jen proto, aby zavedl pojmy:
Meze tělesa nazýváme plochami, meze plochy nazýváme čarami, meze čar se
jmenují body. Ihned se podrobně zabývá tečkami (body), čarami (přímkami
se začátkovým a koncovým bodem, křivkami, přímolomenými (z několika
přímek-úseček, smíšenými), jejich rýsováním, polohou, vzájemnými vztahy
(Přímka, která stojí na jiné přímce kolmo, nekloní se k ní ani na pravo
ani na levo, slove kolmice aneb kolmá přímka.). Různoběžky jsou sbíhavé
a rozbíhavé, k pravidelným křivkám patří kružnice a elipsa, rozevíráním
kružítka se demonstrují různé úhly. Z obrazců se proberou trojúhelníky (včetně
třídění s vlastnostmi, jen z obrázku) a čtyřúhelníky. Určuje se jejich obměr
a výměr (obvod a obsah) bez vzorců, jen se slovním popisem výpočtu.
Tělesa jsou otevřená (jedna plocha zahrazená není, studně, káď, kotel,
džbán) a dokonale uzavřená (kostka, hranol trojstěnný, čtyřstěnný, podle počtu
pasových ploch (plášť), jehlanec, válec, kužel.) Koule – těleso, které jest
každému předobře známo, omezené jedinou křivou plochou. K měření těles
slouží kostkové míry, výpočty opět bez vzorců, jen podle slovního popisu co
čím násobit.
V obdobném zpracování učebnice zařazuje J. Rojický (1874) rýsování, např.
kolmice k přímce pomocí kružítka, rýsování rovnoběžek pomocí dvou kolmic
k jedné přímce, půlení přímky a rozdělení na 5 stejných dílů, rýsování úhlu
194
(beze slova vysvětlení) a jeho přenesení kružítkem, rýsování trojúhelníků,
čtyřúhelníků, kružnice s vepsanými pravidelnými n-úhelníky, rýsování sítě těles
podle vzoru na tabuli.
Do měřictví patří měření a výpočty délek, ploch, obsahu těles, vše opět
se slovním návodem, bez vzorců (Obsah hranolu tedy vypočteme, násobíme-li
čtverečný obsah půdice výškou (kolmou).), již s metrickými jednotkami (métr,
miriamétr = 10 km, 1 D = 100 m, 1 km = 100 Hm = 1 miriar,
obdobně s krychlovými jednotkami až po 1000 litrů).
Novou kvalitu do zpracování učebnice geometrie přináší M. Benda (1880).
Jeho učebnice začíná přímo základními útvary roviny, ale proti předchozím
učebnicím je mnohem podrobnější, s vyslovováním poznatků matematickými
větami, s uváděním důkazů (alespoň u některých vět). Zpracování odpovídá
spíše učebnicím pro výběrové střední školy než pro 6. postupný ročník v měšťanské
škole a je bližší učebnicím první poloviny 20. století než předchozím učebnicím
druhé poloviny 19. století.
Tak čáry užívá plné, čárkované, čerchované a tečkované. Na přímkách
rozlišuje dva směry sobě protivné. Přímky (=úsečky) sčítá, odčítá, násobí
i dělí pomocí kružítka. V kružnici si všímá sečny a tětivy na ní a uvažuje
závislost délky tětivy na vzdálenosti tětivy od středobodu. Zkoumá i tečnu
kružnice a kružnice soustředné i výstředné s přímkou obojstřednou. Z křivek
probírá M. Benda křivku vejčitou, z oblouků kružnic sestrojenou křivku vlnitou
(hadici), elipsu (konstrukce provazem) a její nahrazení oválem z oblouků
kružnic; zná také křivky spirálné čili závitnice s rovnoběžnými nebo vzdalujícími
se závity. Připomíná také (jen větami, bez obrázků) užití křivek ve
stavebnictví a v architektuře.
U úhlů uvádí učebnice výplněk a doplněk úhlu, úhly vedlejší a vrcholové.
Vysvětluje rozdíl a vztah stupňů úhlových a obloukových. U úhlů souhlasných,
přilehlých a střídavých uvádí vlastnosti, jsou-li tvořeny dvěma rovnoběžkami
proťatými přímkou.
Trojúhelník je část roviny omezená třemi přímkami. Hovoří se o stranách
a úhlech protilehlých a přilehlých, o výškách, které se protínají v jednom bodě,
o součtu vnitřních úhlů trojúhelníku s důkazem pomocí střídavých úhlů u dvou
rovnoběžek.
U mnohoúhelníků se zkoumá symetrie podle osy, počet úhlopříček se
vzorcem, součet vnitřních úhlů rozdělením na trojúhelníky (rovněž se vzorcem).
V konstrukcích se sestrojují shodné trojúhelníky podle tří vět (sss, sus, usu
bez našich značek) a shodné mnohoúhelníky rozložením na shodné trojúhelníky.
Pravítkem a kružítkem se sestrojuje střed úsečky, spouští a vztyčuje se
kolmice k přímce daným bodem, rovnoběžka daným bodem s danou přímkou
(stejnolehlými úhly) aj. Některé konstrukce se využijí i v náznaku topografických
prací (vzdálenost dvou míst, mezi nimiž je překážka aj.)
Kružnice je již obvodem kruhu, probírá se výseč i úseč kruhová, mezikruží,
vlastnosti středových a příslušných úhlů obvodových se dokazují, do kružnice
se vpisují pravidelné mnohoúhelníky (pomocí jejich středových úhlů); uvádějí
se však i přibližné konstrukce pravidelného devítiúhelníka a jedenáctiúhelníka.
195
V učebnici pro sedmý ročník probírá M. Benda poměr úseček a podobnost
trojúhelníků podle tří vět; pomocí podobnosti sestrojuje čtvrtou úměrnou
úsečku, zvětšuje úsečky v daném poměru (i s redukčním úhlem), sestrojuje
příčkové měřítko, jímž řeší úlohu malou čáru na množství rovných dílů rozděliti.
Podobnosti trojúhelníků využívá v topografické úloze i v určení výšky stromu
pomocí jeho stínu.
V metrické geometrii už M. Benda užívá vzorce; obsah obdélníka naznačuje
pokrytím jednotkovými čtverci [cm2
], nepravidelné mnohoúhelníky rozkládá
na trojúhelníky. Obsahy mnohoúhelníků se využijí k určení výměry pozemků
rozdělením kolmicemi k úhlopříčce na trojúhelníky a lichoběžníky. Latí, krokvicí
a olovnicí se určuje průmět délky pozemku do vodorovné roviny.
Pro pravoúhlý trojúhelník se uvede Pythagorova věta slovy i vzorcem,
pomocí Pythagorovy věty se počítají strany a sestrojuje se čtverec, který má
týž obsah jako daný obdélník.
Po výkladu tečny kružnice se sestrojuje tečna v bodě kružnice, z bodu ke
kružnici, rovnoběžná s danou přímkou. Trojúhelníku se vepisuje a opisuje
kružnice.
Dnešní obsah geometrie na základní škole přesahuje výklad kuželoseček.
U elipsy, paraboly a hyperboly se uvádí definice, konstrukce provazem,
konstrukce bodová, základní pojmy a vlastnosti (střed, vrcholy, ohniska,
průvodiče, výstřednost, parametr), u elipsy i sdružené průměry (půlí tětivy
rovnoběžné s druhým průměrem), tečna elipsy i délka elipsy.
3, 08
a2 + b2
2
, 3, 14
a + b
2
; S = 3, 14ab
Ve všech uváděných učebnicích nalezneme řadu nedostatků v chápání pojmů
a v nejednotné terminologii. K. Domin (1909) proto musí ve své metodice
vysvětlovat rozdíl mezi přímkou, paprskem (polopřímkou) a úsečkou; vysvětluje
rozdíl mezi trojbokým hranolem a obecným pětistěnem; kritizuje řadu zastaralých
termínů (některé z nich jsme uvedli v citátech). Zavrhuje výpočet
obsahu obdélníka ve tvaru P = 5 m · 8 m= 40 m2
neboť násobitel má být číslo
nepojmenované; proto žádá buď P = 5 m2
· 8 = 40 m2
nebo P = 5 · 8 = 40,
P = 40 m2
.
Proto pochopíme, proč Jednota českých matematiků a fyziků (viz kap. 18)
věnovala takovou pozornost úpravě a sjednocení terminologie.
11.8 Životopisy
Mikuláš BENDA
∗ 26. října 1843, Prapořiště u Nové Kdyně
1868 Technickým učitelem na reálné škole ve Bosňanech.
1874 Učitelem na měšťanské škole na Smíchově (Praha).
1877 Učitelem na staroměstské měšťanské škole.
Autor učebnice měřictví a aritmetiky.
Biografie: OSN.
196
Václav FRANĚK
∗ 1846, Velká Ves, † 10. března 1916, Zbraslav
Studoval na reálce a na učitelském ústavu.
1872 Učitelem v Rakovníku.
1874 Učitelem učitelského ústavu v Praze. 1886 Ředitelem měšťanské školy na
Vinohradech (Praha).
Autor metodiky měřictví a pedagogických článků.
Biografie: OSN.
Josef KLIKA, jun.
∗ 1857, Praha, † 24. března 1906, Praha
Studoval na reálce v Pardubicích, Kutné Hoře a na učitelském ústavu.
1876 Získal aprobaci pro měšťanské školy.
1875–1878 Studoval na české technice v Praze.
1881 Dopisujícím členem Ústředního spolku jednot učitelských na Moravě.
Diplomovaným členem Comenius Gesellschaft.
Zásluhy o zřízení Stálé výstavy školské v Praze.
Založení Musea Komenského.
1892 Výstava Komenského.
1897 Ředitelem měšťanské školy na Novém Městě Pražském.
Autor prácí z metodiky počtů a měřictví.
Biografie: OSN.
Martin KUCHYNKA
∗ 13. listopadu 1843, Nemělkov, † 30. května 1925, Praha
Studoval na reálce v Plzni, na pražské technice.
Suplujícím profesorem na České reálce v Praze.
Profesorem na reálce v Hradci Králové.
1875 Profesorem učitelského ústavu v Praze.
Autor řady učebnic a článků o vyučování měřictví a o počítání zpaměti.
Biografie: OSN.
Josef František KUPKA
∗ 24. ledna 1833, Dubicko
Studoval v Uničově a Olomouci.
1853 Učitelem (Dubicko, Bouzov, Loštice, Hodonín), nadučitelem (Letovice).
Předsedou spolku učitelů, zástupcem učitelstva v okresní školní radě.
Autor učebnice Nauka o měřických tvarech.
Biografie: OSN.
197
Michael MARHAN
∗ 1851, Podolí u Mělníka, † 1928
Studoval na učitelském ústavu v Praze.
Učitelem na obecných školách (Slabce, Vinařice, Mělník).
1875 Učitelem obecné školy v Karlíně (Praha).
1880–1894 Vydával Početnice pro obecné školy (s A. Mojžíšem, J. Nagelem
a F. Kneidlem).
1893 Řídícím učitelem obecné chlapecké školy v Karlíně (Praha).
1904 Ředitelem tamtéž.
1909 Redigoval Besedy mládeže.
Biografie: OSN.
Josef A. MAZANEC
∗ 16. prosince 1838, Dlažďov u Klatov
Studoval na gymnáziu v Českých Budějovicích.
Učitelem na různých místech.
1867 Učitelem na Smíchově (Praha).
Autorem publikace Tisíc příkladů početních ze života pro obecné školy.
Biografie: OSN.
Jan ROJICKÝ (vlastním jménem Jan Václav POKLOP)
∗ 1839, Velká Turná, † 1917, Praha
Studoval v Rojicích, Písku, Praze a Českých Budějovicích.
1860 Získal vysvědčení o učitelské způsobilosti.
1861 Podučitelem v Cetkovině.
1862–1864 Působil ve Vodňanech.
1867 Učitelem při obecných školách pražských, správce obecné školy.
1865 Posluchačem pražské techniky.
Autor učebnic a pomůcek pro obecné školy (z různých předmětů, z matematiky).
S V. Kryšpínem založil pedagogický časopis Česká škola.
Biografie: OSN.
František STREIT
∗ 1836, Heřmaň u Chotěboře, † 1912
Studoval na učitelském ústavu v Praze.
Učitelem obecných škol v Humpolci, na Smíchově, v Lomnici nad Popelkou.
1873 Ředitelem měšťanské školy v Lomnici nad Popelkou.
1883 Školním inspektorem.
Autor učebnice měřictví.
Biografie: OSN.
198
11.9 Prameny
A. Dokumenty
A.1 Školské zákony
ČELAKOVSKÝ J.: Zákony a nařízení u věcech obecného školství v ten čas
platné v království českém. E. Grégr, Praha, 1878, 684 stran, 1886, 927 stran
[podrobný rejstřík, NK 54 G 964, SPKK I-16126].
KRÁL J.: Sbírka říšských zákonů školských. Praha, Alois Wiesner, 1894.
I. díl, 639 stran + 82 stran rejstříků. II. díl, 641–1158 + 103 stran rejstříků.
2. opravené vydání, Praha, 1905, 946 stran [Chronologický přepis zákonů od
roku 1868. Školy obecné, měšťanské a učitelské ústavy.].
NAŘÍZENÍ ministerstva věcí duchovních a vyučování ze dne 29. měsíce září
1905, č. 17, jímžto se vydává definitivní řád školní a vyučovací pro školy obecné
a měšťanské.
NEJD˚ULEŽITĚJŠÍ zákony o školství obecném spolu s učebními osnovami pro
Království České. Praha, c. k. školní knihosklad, 1907 [učební plán osmitřídní
obecné školy s českým jazykem vyučovacím z r. 1898].
PŘÍRUČNÍ kniha říšských zemských zákonů, nařízení a předpisů v záležitostech
školství obecného na Moravě. C. k. zemská školní rada Brno, 1883 [NK 54 E
3297].
VĚSTNÍK vládní u věcech škol obecných v Království Českém, ročník 1874,
část VIII. C. k. školní knihosklad pro Čechy, 1874, 123–225 [plány a osnovy
pro měšťanské a obecné školy z 18. 5. 1874, zvlášť pro žáky, zvlášť pro žákyně].
VĚSTNÍK vládní u věcech škol obecných v Království českém, ročník 1877.
Příloha k částce VII. C. k. školní knihosklad pro Čechy, 1877, 80 stran.
VĚSTNÍK vládní u věcech škol obecných v Království českém, ročník 1885.
Zvláštní příloha. C. k. sklad školních knih, Praha, 1886, 69 stran.
ZÁKONÍK říšský pro království a země v radě říšské zastoupené. C. k. tiskárna
dvorská a státní, Vídeň, 1870; dále 1872, 1883, 1884, 1886, 1911 [český překlad
zákoníku: NK 54 B 238].
A.2 Osnovy
OSNOVY učebné pro české školy obecné a měšťanské v Čechách podlé vynesení
c. kr. zemské školní rady ze dne 15. března 1877. Jindřich Mercy, Praha, 1877,
147 stran [SPKK I-5107, NK 54 G 744/č.55-60].
NORMÁLNÍ osnova učebná pro měšťanské školy chlapecké. Praha, c. k. školní
knihosklad, 1908 [Výnos z 15. 7. 1907. Pro dívky: Verordnungsblatt f¨ur den
Dienstbereich des K.-k. Ministerium f¨ur Kultus und Unterricht, Wien, 1907,
380 stran] [SPKK VI-778].
UČEBNÁ osnova měšťanské školy pro dívky na Hrádku v Praze [rukopis z roku
1884, APM JAK 13-36].
199
UČEBNÁ osnova obecných škol osmitřídních s českým jazykem vyučovacím
v království českém z 23. 2. 1898, č. 40. 220, c. k. školní knihosklad, Praha,
1898 [APM JAK 13-99].
UČEBNÁ osnova obecných škol osmitřídních s českým jazykem vyučovacím
v království českém z 10. února 1915 [Archiv PM JAK 13-43].
A.3 Učebnice základních škol
BENDA M.: Arithmetika pro měšťanské školy dívčí. 1. stup., 2. stup.
A. Storch, Praha, 1898, 74+69 stran.
BENDA M.: Početnice pro měšťanské školy dívčí, I., II., III. 2. vydání:
A. Storch, Praha, 1909, 96+83+94 stran.
BENDA M.: Arithmetika pro měšťanské školy chlapecké. Ed. Beaufort, Praha.
1. stup., 1895, 99 stran, 2. stup., 1895, 100 stran, 3. stup., 1895, 120 stran.
BENDA M.: Měřictví a rýsování pro první třídu škol měšťanských. 3. vydání:
F. Borový, Praha, 1889, 86 stran.
BENDA M.: Měřictví a rýsování pro šestou třídu škol měšťanských. Slavík
a Borový, Praha, 1880, 78 stran, 112 obrázků.
BENDA M.: Měřictví a rýsování pro sedmou třídu škol měšťanských. Slavík
a Borový, Praha, 1881, 78 stran, 82 obrázků, 2 tabulky.
BENDA M.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké. I., II., III., H¨ofer
a Klouček, Praha, 1903, 1904, 1905.
BENDA M.: Základové měřictví pro měšťanské školy dívčí. V. Neubert, Praha,
2. vydání: 1896, 145 stran, 113 obrázků.
BENDA M., HUTTERER R.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy. H¨ofer
a Klouček, Praha, I. (pro 1. třídu měšťanských škol chlapeckých), 8. vydání:
1909, 61 stran, 10. vydání: 1921, 56 stran, 11. vydání: 1922, 56 stran, II. (pro
2. třídu měšťanských škol chlapeckých), 6. vydání: 1903, 68 stran, 9. vydání:
1922, 67 stran, III. (pro 3. třídu měšťanských škol chlapeckých), 8. vydání:
1922, 79 stran.
BUZEK K.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy chlapecké. Díl I., II., III.,
Unie, Praha, 1910, 73+70+74 stran. Další vydání až do roku 1934.
BUZEK K.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy. Čtvrtý díl. Pro
jednoroční kursy připojené k měšťanským školám. Unie, Praha, 3. vydání:
1934, 103 stran.
BUZEK K.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy chlapecké. Unie, Praha,
1926, 195 stran.
BUZEK K.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké. I., II. , III. Vlastním
nákladem, Komenium, Praha, 1913, 96+104+111 stran. Další vydání až do
roku 1925, potom další vydání se spoluautorem J. Krůtou až do roku 1946.
BUZEK K.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké. IV. Pro jednoroční kursy
učebné spojené s měšťanskými školami Vlastním nákladem, Komenium, Praha,
1921, 86 stran, 2. vydání: 1924.
200
BUZEK K., KR˚UTA J.: Početnice pro měšťanské školy dívčí. I., II. , III.
Vlastním nákladem, Komenium, Praha, 1913, 86+86+100 stran. Další vydání
až do roku 1926.
FORMÁNEK E.: Měřictví pro měšťanské školy chlapecké I., II., III. I. L. Kober,
Praha, 1902, 1903, 1904.
FORMÁNEK E.: Měřictví pro občanské školy chlapecké I., II., III. I. L. Kober,
Praha, I. díl. 1902, 56 stran, 5. vydání: 1921, II. díl. 1903, 52 stran, 4. vydání:
1921, III. díl. 1903, 73 stran, 4. vydání: 1922.
FORMÁNEK E.: Měřictví pro měšťanské školy. Státní nakladatelství, Praha,
1934, 144 stran.
FORMÁNEK E., VOJTĚCHOVSKÁ H.: Měřictví a rýsování pro I., II., a III.
třídu měšťanských škol dívčích. Komenium, Praha, 1912, 96 stran, 3. vydání:
1920, 8. vydání: 1946, 93 stran.
HORČIČKA J., NEŠPOR J.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké i dívčí.
I., II., III., IV. díl. J. Otto, Praha 1905, 1906; 2. vydání [NK 54 G 3732].
HORČIČKA J., NEŠPOR J.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké i dívčí.
Díl čtvrtý. Pro pokračovací kursy při měšťanských školách chlapeckých.
J. Otto, Praha, 1907, 172 stran.
HORČIČKA J., TEPLÝ S.: Početnice pro školy měšťanské. 6. vydání:
Československá grafická Unie, Praha, 1934, 105 stran.
HRDÝ J.: Tvaroznalství pro školy obecné. 2. vydání: Mikuláš a Knapp, 1872,
52 stran, 3. vydání: F. A. Urbánek, Praha, 1873, 62 stran, 35 obrázků [NK 54
H 28, 54 J 226].
HUTTERER R.: Měřictví a rýsování pro prvou třídu dívčí školy měšťanské.
Unie, Praha, 1910, 44 stran.
HUTTERER R.: Měřictví a rýsování pro druhou třídu dívčí školy měšťanské.
Unie, Praha, 1911, 54 stran.
HUTTERER R.: Měřictví a rýsování pro třetí třídu dívčí školy měšťanské.
Unie, Praha, 1912, 63 stran.
J˚UZL J.: Měřické tvary v ploše a v prostoru pro občanské, hlavní a vyšší dívčí
školy. Vlastním nákladem, Jindřichův Hradec, 1870, 42 stran.
J˚UZL J.: Měřické tvary v rovině a prostoře pro občanské, školy. G. A. Bibus,
Jindřichův Hradec, 1872, 78 stran.
KOZÁK J.: První početnice pro obecné školy vícetřídní. C. k. školní
knihosklad, Praha, 1903, 62 stran. Druhá početnice. 1906, 100 stran.
Třetí početnice. 1909, 87 stran. Čtvrtá početnice pro čtvrtý a pátý ročník
vícetřídních škol. 1912, 126 stran. Pátá početnice pro třídy s 6., 7. a 8.
školním rokem na školách vícetřídních, 1914, 212 stran.
KOZÁK J., ROČEK J.: První početnice pro školy obecné ménětřídní. 1895,
2. vydání: 1914, 39 stran. Druhá početnice pro školy obecné hlavně ménětřídní.
1899, 108 stran. Třetí početnice pro nejvyšší stupně školy obecné, hlavně
ménětřídní. V. Neubert, Smíchov [Praha], 1903, 205 stran.
201
KOZÁK J., ROČEK J.: První početnice pro I. šk. rok na školách obecných,
hlavně ménětřídních. C. k. knihosklad, Praha, 1914, 42 stran. Druhá početnice
1914, 115 stran.
KNEIDL F., MARHAN M.: Početnice pro měšťanské školy dívčí. I.–III.
F. Tempský, Praha, 1888. Další vydání: Unie, Praha.
KNEIDL F., MARHAN M.: Početnice pro měšťanské školy chlapecké. I.–IV.
F. Tempský, Praha, 1886, 1888. Další vydání: Unie, Praha.
KUPKA J. F.: Nauka o měřických tvarech pro školy obecné. 3. opravené
a doplněné vydání. F. A. Urbánek, Praha, 1873, 63 stran.
KUPKA J. F.: Nauka o měřických tvarech pro školy hlavní a národní.
2. opravené a doplněné vydání: B. Stýblo, Praha, 1871, 72 stran [NK 54 F
1277].
LHOTSKÝ A.: Druhá početnice pro školy obecné. E. Šolc, Telč, 1906, 38
stran.
MATOLÍN A.: První/druhá/třetí/čtvrtá početnice pro ménětřídní školy
obecné. Školní knihosklad, později Státní nakladatelství, Praha, 1911 až 1913,
39+100+112+175 stran; další vydání až do poloviny 30. let [první početnice je
pro 1. školní rok, druhá pro 2. školní rok, třetí pro 3., 4. a 5. školní rok, čtvrtá
pro 6., 7. a 8. školní rok].
MATOLÍN A.: Trojdílná početnice pro ménětřídní školy obecné, zvláště
jednotřídní. Školní knihosklad, později Státní nakladatelství, Praha, 1913,
46+143+207 stran; další vydání až do počátku 30. let.
MATOLÍN A.: Početnice pro první/druhou/třetí/čtvrtou/pátou třídu obecných
škol pětitřídních až osmitřídních. Vlastním nákladem, později C. k. školní
knihosklad, později Státní nakladatelství, Praha, 1909 až 1911, 40+76+60+
+64+64 stran; další vydání až do počátku 30. let.
MOČNIK F.: První – pátá početnice pro obecné školy. Vydání první, upravené
podle nové osnovy učební. C. k. knihosklad, Praha, 1875, 1895, 1909.
Přepracovali K. Kraus a M. Habernal.
NÁPRAVNÍK F.: Nauka o geometrických útvarech pro měšťanské dívčí školy.
I., II. F. Tempský, Praha, 1883, 1884; 2. vydání: I., 1891, 48 stran, II. 1894, 54
stran. Další vydání: Unie, Praha, 1901, 1905.
PETRMÍCHL F.: Obrázková početnice maličkých písmem psacím. Obor čísel
od 1 do 10. B. Kočí, Praha, 1904, 39 stran.
PETRMÍCHL F.: Škola počtů. B. Kočí, Ed. Beaufort, Praha, 1902. Díl 1.
Číselný obor od 1 do 10. 2. vydání: 1903, 152 stran, Díl 2. Číselný obor od 1
do 100. 1908, 230 stran.
POČETNICE pro školy venkovské v císařství Rakouském. C. k. školní
kněhosklad, Praha, 1859, 137 stran, 1869, 138 stran, 1871, 141 stran.
ROJICKÝ J.: Tvaroznalství, rýsování a měřictví. Pro 3., 4. a 5. třídu
obecných a občanských škol. Mikuláš a Knapp, Karlín [Praha] 1874, 39 stran,
40 obrázků.
202
SCHUBERT E.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy chlapecké. I., II.,
III. Unie, Praha, 1901, 1902, 58+59+55 stran, 105+87+69 obrázků, 5+0+3
tabulky.
STREIT F.: Měřictví pro žáky obecných škol. I. L. Kober, Praha, 1872, 44
stran [NK 54 F 1274].
SUCHARDA J. R.: Škola počtů, I. díl, prvopočátečné počítání. Číselný obor
1–10. Zemský ústřední spol. jednot učitelských v král. Českém, Rašín, Praha,
1907, 97 stran.
VACEK J.: Měřictví a rýsování pro měšťanské školy chlapecké. I., II., III. C. k.
školní knihosklad, Praha. I. 5. vydání: 1925, 103 stran, 7. vydání: 1935, 104
stran, II. 5. vydání: 1934, 99 stran, III. 4. vydání 1926, 110 stran, 5. vydání:
1936, 102 stran.
VESELÝ A.: Měřictví pro I. a II. třídu měšťanských škol dívčích. Bursík
a Kohout, Praha, 1901.
VESELÝ A.: Měřictví pro měšťanské školy dívčí. A. Wiesner, Praha, 3. vydání:
1912, 120 stran, 4. vydání: 1920, 7. vydání: 1924.
VOŘÍŠEK J.: Měřictví a rýsování pro měšťanské dívčí školy. Na základě
normál. učeb. osnov ze dne 15. července 1907. R. Promberger, Olomouc,
Díl I. a II. 1910, 2. vydání: 1911, 66 stran, Díl III. 1911, 2. vydání: 1921, 34
stran.
A.4 Sbírky úloh
BENEŠ J.: Úkoly ku počítání z paměti na školách obecných. Pro 1.–8. školní
rok. II. přepracované a rozmnožené vydání. Ústř. knih. učit. Rašín, Praha,
1907, 183 stran.
BUJAREK J.: 1000 praktických příkladů početních v oboru prvých dvou
desítek: pomůcka pro učitele. A. Storch, Praha, 1899, 103 stran.
BUZEK K., ČERNÝ V., KR˚UTA J.: Počty v občanském životě. Příruční kniha
pro učitele škol měšťanských, vyšších tříd škol obecných, škol pokračovacích
a ústavů příbuzných. C. k. školní knihosklad, Praha, 1907, 275 stran, 2. vydání:
1914, 253 stran.
ČERNOCH V.: Počtářské praktiky. I. Sčítání i odčítání, násobení a umocňování.
Nákladem vlastním, Uherské Hradiště, 1905, 35 stran [výpočty
z paměti a různými praktikami].
FRÝČEK L.: Počtářství na českých školách měšťanských v úlohách ku potřebě
všech tříd škol měšťanských. K. Šolc, Kutná Hora, 1909, 262 stran.
FRÝČEK L.: Praktický počtář. Příruční kniha pro učitelstvo vyšších stupňů
škol obecných a I. třídy škol měšťanských. I., II. Nákladem vlastním, Plzeň,
1907, 70+67 stran.
HAVELKA J.: Sbírka početních příkladů z paměti. Pro školy měšťanské,
střední a ústavy učitelské. Podle úkolů Kuchynkových upravil a rozmnožil.
3. vydání: Unie, Praha, 1929, 110 stran.
203
HOLÝ F.: Tajůplné tabulky ku cvičení hbitosti počtářské. M. Hofmann,
Velvary, 1911 [magické čtverce].
HRNČÍŘ F.: Užité příklady početní pro první školní rok. Učitelům a kandidátům
učitelství. Bačkovský, Praha, 1896, 64 stran.
H¨UTTEL A.: Sbírka úloh z měřictví pro nižší střední, měšťanské a průmyslové
školy. I. L. Kober, Praha, 2. vydání: 1874, 40 stran.
KLAISNER M.: Denní cvičení početní ve škole obecné a měšťanské. F. A. Urbánek,
Praha, 1881, 37 stran.
KOBZA J.: Sbírka příkladů početních pro střední stupeň škol ménětřídních.
A. Šašek, Velké Meziříčí, 1911, 71 stran [i situace, z nichž mají žáci sami tvořit
úlohy].
KOLAŘÍK A.: Početní tabulky pro školy měšťanské a ústavy příbuzné.
Nákladem vlastním, Jičín, 21 stran. [tabulky finanční aritmetiky, míry, váhy,
kolkové stupnice pro III. třídu měšťanských škol].
KOPECKÝ F., ŠEBESTA J.: Početnice (sbírka úloh) pro školy měšťanské. I.,
II., III. třída. F. A. Urbánek, Praha, 1887, 77+109+92 stran.
KOPEČEK J.: Zajímavé početní vyprávěnky. Opakovací cvičivo pro I. školní
rok. A. Holub, Praha-Žižkov, 1912, 75 stran.
K¨ORBLER J.: Pamětné počítání s výhodami. I. Sbírka úloh pro nejvyšší
stupně obecné školy, II. Sbírka příkladů pro 4. a 5. a 6. školní rok škol
obecných. E. Šolc, Telč, 1910, 78+143 stran.
K¨ORBLER J.: Pamětné počítání v užitých příkladech s počtářskými zábavami.
Dle nových učebních osnov pro 1., 2., 3. a 4. školní rok. A. Šašek, Velké
Meziříčí, 1910, 162 stran.
K¨ORBLER J.: Pamětné počítání. Doplněk. Početní zábavy. A. Šašek, Velké
Meziříčí, 1912, 32 stran.
KRÁTKÝ E. V.: Praktické počtářství v 500 písemných úlohách.
KUCHYNKA M.: Sbírka úkolů ku počítání z paměti. Doplněk k početnicím
pro školy obecné, měšťanské i všeliké střední. Vlastním nákladem, Praha, 1889,
109 stran.
MAZANEC J.: 1000 praktických příkladů početních ze života, pro II. a III. třídu
obecných škol, se zvláštním zřetelem k metrickým měrám a vahám. Theodor
Mourek, Praha, 1873, 86 stran.
MAZÁNEK J.: Praktické úkoly z počtů na základě metrických měr a váh.
Vlastním nákladem, Brno, 1872, 13 stran; F. Vaněk, Kroměříž, 1873, 19 stran.
MARHAN M., MOJŽÍŠ A.: Praktické příklady a zábavy počtářské ku počítání
z paměti na středním a vyšším stupni školy obecné. M. Marhan, Praha, 1880,
14 stran, I. L. Kober, Praha, 1880, 37 stran.
MARHAN M., NAGEL J.: Početnice pro školy obecné. Úkoly k pamětnému
i písemnému počítání v jednotřídních nedílných školách. F. Tempský, Praha
a Vídeň, 1894.
204
MARHAN M., NAGEL J.: Početnice pro školy obecné. Úkoly k pamětnému
i písemnému počítání v trojtřídních školách obecných. F. Tempský, Praha,
1898.
MARHAN M., NAGEL J.: Úkoly ku pamětnému i písemnému počítání
v trojtřídních školách obecných. F. Tempský, Praha a Vídeň, 1897.
MARHAN M., NAGEL J.: Úkoly ku pamětnému i písemnému počítání
v jednotřídních nedílných školách obecných. I. Počítání s čísly do 20,
II. Počítání s čísly od 1 do 1000. Unie, Praha, 1894, 62+66 stran.
MINUSKUL J. U.: Počtářské praktiky, hříčky a šprýmy k poučení i zábavě pro
každého. E. Šolc, Telč, 1907, 119 stran.
SOUKUP J.: Počtářství postupné v praktických příkladech, obsahujících i nové
míry a váhy metrické. Pro veškery třídy obecných škol. F. K. Urbánek, Praha,
1873, 184 stran.
TICHÝ J.: Úlohy k počítání z hlavy spojené s počítáním písemným. Vlastním
nákladem, Praha, 1868, 55 stran.
TOPINKA K. J., ČERNÝ V.: Počty na obecné škole v příkladech, jakožto
doplněk ku všem početnicím pro školy obecné. Ku potřebě pro všechny
kategorie obecných škol. A. Wiesner, Praha, 1898, 181 stran.
VLK J.: Oříšky a hádanky. Milé mládeži naší ku šlechtění srdce a bystření
rozumu. Vlastním nákladem, Praha, 1888, 100 stran.
A.5 Metodiky základní školy
BARBORKA A.: Měřické tvaroznalství v rovině i prostoru. Pro I. třídu reálek
a realných gymnasií, jakož i pro školy průmyslové F. & V. Hoblík, Pardubice,
1881, 60 stran.
DOMIN K.: Stručná metodika počtů. C. k. školní knihosklad, Praha, 1908,
126 stran, 2. vydání: 1910, 126 stran, 3. vydání: 1922, 152 stran, 4. vydání:
1924, 152 stran, 5. vydání: 1928, 138 stran, 7. vydání: 1935, 160 stran.
DOMIN K.: Stručná metodika měřictví. C. k. školní knihosklad, Praha, 1907,
74 stran, 2. vydání: 1912, 75 stran, 3. vydání: 1923, 88 stran.
FRANĚK V., KUCHYNKA M.: Návod ku vyučování měřickému tvaroznalství
ve škole obecné se zvláštním nástinem prvopočátečného učení ve třídě elementarné.
Nákladem vlastním, Praha, 1881, 107 stran, 2. vydání: F. Řivnáč,
Praha, 1889, 128 stran, 3. vydání: F. A. Urbánek, Praha, 1904, 133 stran.
GENAU A.: Všeobecná i zvláštní methodika počtů. Vzdělal A. Schuster.
E. Šolc, Telč, 1908, 168 stran, 21 obrázků.
HERGL W.: Nazírání a kreslení měřických tvarů v první a druhé třídě
národních škol. Po česku vyložil J. V. S. Rohlíček a Sievers, Praha, 1871,
60 stran.
HORČIČKA J., NEŠPOR J.: Methodika počtův. Návod k vyučování počtům
na škole měšťanské a na vyšších stupních školy obecné. Se zřetelem ke druhému
zlepšenému vydání své „Početnice pro školy měšťanské chlapecké i dívčí .
205
Díl I., J. Otto, Praha, 1906, XVI+124 stran [NK 54 E 3099], Díl II., J. Otto,
Praha, 1907, 121 stran, Díl III., J. Otto, Praha, 1907, 257 stran.
KLIKA J.: Navedení, jak užívati železného ruského počitadla. F. A. Urbánek,
Praha, 1876, 16 stran, 15 obrázků.
KLIKA J.: O měřickém tvaroznalství ve škole obecné. Z hovorů pražských
učitelů podáno. F. A. Urbánek, Praha, 1881, 33 stran.
KOLÁŘ E.: Vyučování měřictví na škole obecné, spojeno s kreslením bez
stigem. Sadovský, Brno, 1894, 108 stran.
K¨ORBLER J., ŠÍN F.: Praktická škola počtů. Dle nových učebných osnov pro
5. až 8. šk. rok. Díl I. Pamětné počítání. Doplněk. Početní zábavy, Díl II.
Písemné počítání. A. Šašek, Velké Meziříčí, 1913, 1914, 429+432 stran.
KORČÁK B.: Podrobné plány učiva pro jednotřídní nerozdělené školy dle
čítanek Jursových a početnic Kozák-Ročkových. F. Boháček, Jevíčko, 1907,
118 stran. Sešit 1. až 4.
KOZÁK J.: Návod k první početnici pro obecné školy vícetřídní. C. k. školní
knihosklad, Praha, 1906, 64 stran, 2. vydání: Státní nakladatelství, Praha,
1924, 54 stran.
KOZÁK J., ROČEK J.: Stručný výklad 1. početnice pro školy obecné
ménětřídní. Neubert, Smíchov [Praha], 1899.
KRČEK F.: Praxe ve škole nároní. Návod k vedení spořádané školní kázně
a k vyučování methodickému pro učitele školy národní a kdož jimi chtí býti. Na
základě díla seminárního ředitele dra C. Kehra. Druhé, propracované vydání:
K. Winkler, Brno, 1883, viii+260 stran.
KRČEK F.: Praxe ve škole obecné. Návod k vedení spořádané školní kázně
a k vyučování methodickému pro učitele školy obecné a kdož jimi chtí býti. Na
základě díla seminárního ředitele dra C. Kehra. Druhé propracované vydání:
K. Winkler, Brno, 1889, viii+262 stran.
KUNZ A.: Počty na I. stupni obecných a měšťanských škol. Nákladem
vlastním, Velké Meziříčí, 1882, 26 stran.
KUPKA J. F.: Nauka o měřických tvarech pro školy obecné. F. A. Urbánek,
Praha, 3. vydání: 1873, 63 stran, 4. vydání: 1879, 60 stran.
KUPKA J. F.: Nauka o měřických tvarech pro školy hlavní a národní. 2. vydání:
B. Stýblo, Praha, 1871, 72 stran.
LAVTAR L.: Praktická početnice s methodickým výkladem pro 1. třídu.
Sestavil J. O. Bartoň. O. Sadovský, Ivančice, 1889, 66 stran, další vydání:
1894, 98 stran.
LHOTSKÝ A.: Vyučování ve třídě elementární. J. F. Kubeš, Třebíč, 1887.
Díl I. Methodické propracování učiva z vyučování názorného, 1885, 186 stran,
2. vydání: 1888, 196 stran, 4. vydání: 1898, 190 stran, Díl II. Methodické
propracování učiva ze čtení a psaní, 1886, 241 stran, 2. vydání: 1891, 242 stran,
Dílo III. Methodické propracování učiva početního. Prvopočátečné vyučování
zpěvu a tělocviku, 1887, 128 stran, 2. vydání: 1892, 149 stran.
206
LHOTSKÝ A.: Obor číselný od 10 do 100. Methodicky zpracoval. E. Šolc,
Telč, 1894, 2. vydání: 1906, 96 stran.
LIBÍČEK J.: Pokus methody přirozené a historické v prvopočátečním vyučování
počtům a 1. početnice na základě této methody sestavená. Napajedla,
1900.
LOUTOCKÝ J.: Počítání v oboru sta. Příspěvek k reformě početních
metod [Dle číselných řad]. Příspěvek k reformě početních method. Vlastním
nákladem, Želechovice, 1909, 63 stran.
LOUTOCKÝ J.: Počty maličkých. Příspěvek k reformě počtů elementárních.
Vlastním nákladem, Želechovice, Litovel, 1903, 65 stran, 2. vydání: 1903,
92 stran, 3. rozšířené a přepracované vydání: Zemský ústřední spolek Jednot
učitelských v království Českém, J. Rašín, Praha, 1909, 95 stran, 4. vydání:
1920, 99 stran.
MARTÍNEK F.: Řešení úkolů obsažených v pátých početnicích Močnikových
pro obecné školy o 1–5 třídách. J. F. Kubeš, Třebíč, 1887, 120 stran.
MOČNIK F.: Geometrické tvaroznalství pro školy obecné. Návod pro učitele
k vyučování geometrickému. Tempský, Praha, 1878.
MOČNIK F.: Návod ke třetí početnici pro obecné školy. V c. k. školním
knihoskladě, Vídeň, 1872.
MOČNIK F.: Vyučování počtům ve škole obecné. Návod pro učitele k početnicím
pro školy obecné. C. k. školní knihosklad, Praha, 1876.
PETRMICHL F. E.: Škola počtů. Číselný obor od 1 do 10. Díl 1. F. Widimský,
Plzeň, 1902, 140 stran, 2. vydání: 1903, 152 stran. Díl 2. B. Kočí, Beaufort,
Praha, 1903, 230 stran.
POČTÁŘ rychlý a dobrý. Příruční knížka velmi potřebná při kupování
a prodávání. Vypočteno jest tu od 1–100 kusů od 1 do 99 kr. a přidány
tabulky úrokové – též přehledné tabulky nových měr a vah. 1882, 159 stran,
3. vydání: A. Hynek, Praha, 175 stran, 6. vydání: 1925, 158 stran.
PETŘÍK F.: Podrobné navedení jak vyučovati počtům v prvé třídě škol
obecných. Ku prospěchu a za pomůcku učitelům třídy prvé. Praha, F. A. Urbánek,
1889, 80 stran.
PTÁČEK V.: Některé poznámky k vyučování a studiu geometrickému. Pedagogické
rozhledy 1898.
RŮŽIČKA J.: Počtářství v posledních ročnících školy obecné pro učitele a kandidáty
učitelství. A. Wiesner, Praha, 1885, 199 stran.
SCHUBERT E.: Methodika měřického tvarosloví pro školy měšťanské a vyšší
třídy obecných škol. Sadovský, Ivančice, 1894, 134 stran.
SCHUBERT E.: Methodika měřického tvaroznalství pro školy obecné a první
třídu školy měšťanské. I., II. A. Šašek, Velké Meziříčí, 1910, 68+35 stran.
SCHUBERT E.: Methodika počítání pro vyšší třídy školy obecné a pro školy
měšťanské. A. Šašek, Velké Meziříčí, 1912, 240 stran.
207
SCHUSTER A.: Počty ve školách obecných. Methodická učebnice pro učitele
a kandidáty učitelství. Dějiny počtářství. Dle spisu Genauova. E. Šolc, Telč,
1906, 88 stran.
STREIT F.: Methodika měřického tvaroznalství. K užitku učitelův a čekatelův
učitelství na školách obecných. I. L. Kober, Praha, 1872, 99 stran, 76 obrázků
[NK 54 E 939].
SUCHARDA J. R.: Škola počtů. Zemský ústřední spolek Jednot učitelských,
Rašín, Praha. I. Prvopočáteční počítání. Číselný obor 1–10, 1907, 97 stran,
II. Počítání do 20 a do 100, 1908, 165 stran, III. Počítání do 1000 a do setin.
Počítání do 10000 a do tisícin, 1908, 182 stran.
ŠPLÍCHAL B.: Vyučování počtům ve škole obecné. Methodický návod pro
učitele. Dle Dr. Frant. rytíře Močnika upraveno. Třída první až pátá (i třídy
vyšší). A. Storch, Praha, 1888 až 1889, 56+39+55+53+96 stran.
TICHÝ J.: Počítání v první třídě národních škol. Ed. Grégr, Praha, 1865, 191
stran.
TICHÝ J.: Počítání v druhé třídě obecných škol. Oddíl I. Zimní běh. Oddíl II.
Letní běh. Vlastním nákladem, Praha, 1866, 92+80 stran.
VACEK A.: Počítání v paměti ve škole obecné na středním a vyšším stupni.
F. A. Urbánek, Praha, 1885, 76 stran.
VLK J.: Prvopočátečné vyučování počtům. Část I.: Praktické pojednání
o číslech 1–9, Část II. Praktické pojednání o číslech desítkových. F. Urbánek,
Praha, 1873, 1874, 122+136 stran.
VOLF J.: Rádce pro rýsování. Příručka pro žáky škol měšťanských, reálných,
průmyslových, pokračovacích živnostenských a 6., 7. a 8. tříd škol obecných.
Vlastním nákladem, Praha, 1913, 24 stran.
A.6 Německé metodiky doporučované v českých metodikách
B¨OHME A.: Anleitung zum Unterricht im Rechnen. Ein methodisches Handbuch
f¨ur Lehrer, Seminaristen und Praeparanden. 10. vydání: S. W. F. Miller,
Berlin, 1899.
DIESTERWEG A.: Elementare Geometrie f¨ur gehobene Volksschulen, Seminariem,
niedere Gewerbs- und Handwerksschulen. 3. vydání: Berlin, 1874.
GRUBE A. V.: Leitfaden f¨ur das Rechnen in der Elementarschule nach
den Grunds¨atzen einer heuristischen Metode. Ein methodischer Beitrag zum
erziehenden Unterricht. 5. vydání, T. F. Emslin, Berlin, 1873.
HENTSCHEL E.: Hundert Rechenaufgaben, elementarisch gel¨ost. E. Merseburger,
Leipzig, 1868.
KASELITZ F.: Die Geometrie in der B¨urgerschule. I. Geometrische Formenlehre.
Betrachtung geometrischer K¨orper als Vorbereitung zum geometrischen
Unterricht. II. Die Elemente der ebenen und k¨orperlichen Geometrie. Stubenreich,
Berlin.
208
KEHR C.: Praktische Geometrie f¨ur Volks- und Fortbildungsschulen, Sowie
f¨ur Seminarvorbereitugsanstalten. In anschaulicher Darstellung, entwickelnder
Lehrform und praktischer Andwedbarkeit. Thiemann, Rotha, 1873.
LINDNER G. A.: Das Rechnen in Bildern. Erl¨auternder Text zu den zehn
zugeh¨origen Tafeln. A. Pichlers Witwe & Sohn, Wien, 1874, 17 stran, 2. vydání:
1890.
NASKE A.: Geometrische Formenlehre f¨ur M¨adchenb¨urgerschulen und vierbis
siebenclassige Volksschulen sowie f¨ur Lehrer an ein- bis vierclassigen Volksschulen
I., II., III. C. Winkler, Brno, 1882, 4+26+4+46+4+59 stran, 40+93+53
obrázků.
STRENG K.: Praktische Anbildung zur Behandlung des Rechenunterrichtes in
der Volksschule. I., II. 1896, 1897.
STUBBA A.: Anweisung f¨ur den Rechenunterricht in Stadtschulen, Preparanden-Anstallten
und Schullehrer-Seminarien. Mit Ber¨ucksichtigung seiner Aufgaben
zum Kopf- und Zifferrechnen bearbeitet. 4. vydání: 2 díly, E. Kummer,
Leipzig.
B. Literatura
BEČVÁŘ J.: Metrické míry a váhy. Učitel matematiky 6(1997/98), 120–121
[úvod k následujícímu článku J. Nerudy].
FAIMONOVÁ A.: Dějiny školství rakouského se zvláštním zřetelem na školství
české. E. Šolc, Telč, 1909. Díl 1. Od nejstarších dob až po r. 1848, 148 stran.
Díl 2. Po roce 1848. 224 stran, 2. vydání: 1912 [Na stranách 191 až 204
jsou citace českých prací z pedagogiky let 1402 až 1906. Pozornost věnována
především politickému zákulisí školských reforem. Protikatolická autorka.].
HAVELKA E.: Protestantské školství v Čechách a na Moravě. Dědictví
Komenského, Praha, 1910, 396 stran [Dějiny protestantských škol obecných
(a učitelského ústavu v Čáslavi) po vydání tolerančního patentu Josefem II.
roku 1781. Historie škol v jednotlivých obcích, učitelé, jejich příjmy, školní
budovy, boje o evangelické školy s katolickými vrchnostmi aj.].
NERUDA J.: Nové míry. Učitel matematiky 6(1997/98), 122–128.
STRNAD E.: Didaktika školy národní v 19. století. Díl 1., Díl 2. Období
liberalismu. SPN, Praha, 1975, 1978, 253+267 stran.
ŠAFRÁNEK J.: Vývoj soustavy obecného školství v království Českém od
roku 1761–1895. Příspěvek k dějinám českého vyučování. F. Kytka, Praha,
1897, viii+304 stran [NK 54 D 1624, 54 F 28584].