Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
do roku 1918
Matematika na pražské univerzitě
In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do
roku 1918. (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 25–32.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400978
Terms of use:
© Mikulčák, Jiří
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents
strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped
with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics
Library http://dml.cz
25
3. MATEMATIKA NA PRAŽSKÉ UNIVERZITĚ
3.1 Univerzitní studium
To, co se nepodařilo uskutečnit Václavovi II., úspěšně provedl český král
a římský císař Karel IV. Roku 1348 založil v Praze univerzitu, první vysokou
školu ve střední Evropě na východ od Rýna a na sever od Alp. Podle znění
zakládající listiny ji založil v Praze proto, aby obyvatelé království českého,
jemu nejmilejšího, se nemuseli v cizině doprošovati vzdělání, ale aby doma
nalezli stůl vzdělání prostřený. Podle tehdejších zvyků pozval ovšem na novou
univerzitu i Mistry a žáky z ciziny.
Po jednom až dvou letech studia na artistické (filozofické) fakultě a po
přísných zkouškách získával student titul bakalář; studenti dosažením této
úrovně studium většinou končili a odcházeli vyučovat na městské školy nebo
působili jako písaři v městských správách a jiných úřadech.
Některým bakalářům povolil rektor přednášet i na univerzitě, ti se nazývali
licenciáty, nemohli však hlasovat na poradách Mistrů.
Po dalších dvou letech a dalších zkouškách se absolvent artistické fakulty
stával Mistrem (magistrem). Mohl přednášet na univerzitě, ale právoplatným
členem fakulty se stával teprve po dvou až pěti letech.
Bakaláři mohli dále pokračovat ve studiu na vyšších fakultách a po zkouškách
získávali titul doktor (na fakultě právnické a lékařské) nebo Mistr, magistr (na
fakultě teologické). Jistě si uvedené tituly spojíte s nezbedným bakalářem
Janem Píčkou (historická osobnost) Zikmunda Wintra, s Mistrem Janem
Husem či s doktorem Tadeášem Hájkem z Hájku.
3.2 Studium matematiky
Úroveň vyučování matematice na pražské univerzitě byla podle svědectví
mistrů, kteří přišli z ciziny a měli možnost srovnávat, vyšší než na univerzitě
pařížské. [H. Hankel, 1874]
K dosažení titulu bakalář musel student v Praze poslouchat přednášky ze
dvou knih Jana de Sacrobosco (Angličan z Halifaxu, studoval v Oxfordu, působil
v Paříži): Algoritmus neboli aritmetika byla pro snazší zapamatování
pravidel psána ve verších (samozřejmě latinsky) a obsahovala numeraci (indickou),
sčítání, odčítání, půlení, zdvojování, násobení, dělení, součet členů
aritmetické posloupnosti, vypočet druhé a třetí odmocniny a pak výklad
o provádění početních výkonů na linách pomocí kaménků. Přednáška trvala
3 týdny a platilo se za ni 1/2 pražského groše. Tractatus de sphaera seu sphaera
materialis pojednával o kouli (střed, osa, póly, tvar Země a vesmíru), o částech
koule, o východu a západu hvězd, o rozdílnosti dnů a nocí, ale i o kružnicích
a drahách oběžnic. Vysvětloval i zatmění Slunce a Měsíce (3 týdny za 1 groš).
Požadavky na titul mistr byly ovšem vyšší. Uchazeč musel poslouchat
šest knih Eukleidových Základů obsahujících planimetrii (asi v rozsahu dnešní
26
základní školy – 1/2 roku za 8 grošů), dílo neznámého autora Sphaera
theorica o vlastnostech nebeských těles a jejich pohybech, dílo Angličana Jana
de Peckano Perspectiva communis o působení slunečních paprsků, o záření
svítících a osvětlených těles, o zrcadlech rovných i dutých a o užití dutých
zrcadel k zapalování hořlavých látek, o původu duhy, o lomu světla.
Řada poznatků z matematiky byla obsažena ve studiu astronomie: v Ptolemaiově
Almagestu byla z matematiky obsažena sférická trigonometrie včetně
tabulek velikosti tětiv středových úhlů od 0◦
do 180◦
po 30 minutách
(trigonometrie celotětivná – 1 rok za 24 grošů, tj. 1 zlatý); Computus cyrometricalis
učil, jak se pomocí ruky a prstů určují kalendářní údaje a pohyblivé
církevní svátky. Podle knih různých autorů se přednášela Theoria planetarum
(6 týdnů za 2 groše). [J. Šedivý a kol., 1988]
Dokladem o vysoké úrovni absolventů pražské univerzity na konci 14. století
je dílo Mistra Jana Šindela (1375–1450), astronoma, o kterém sám papež
napsal, že je považován za hlavní ozdobu věku našeho. [F. Palacký, 1829] Astronomické
tabulky Jana Šindela o 150 let později vysoko ocenil Tycho Brahe,
dodnes obdivujeme staroměstský orloj, který ukazuje řadu astronomických jevů
a který navrhl Jan Šindel roku 1405. (Orloj zhotovil pražský hodinář Mikuláš
z Kadaně, dokončil jej roku 1410 a za dílo dostal dům na Starém Městě.)
Pro srovnání s uvedenou úrovní matematiky na pražské univerzitě uveďme,
že na pařížské univerzitě se ještě v roce 1452 vyhlašovalo, že nebude připuštěn
k licenciátu nikdo, kdo neslyšel několik matematických knih; i v roce 1536 je
v předmluvě k překladu Eukleidových Základů do francouzštiny uvedeno, že
se nemůže stát magistrem, kdo neposlouchal Eukleida. Na jiných univerzitách
(Lipsko 1409, K¨oln 1389) byla situace podobná a dlouho se neměnila. Např.
v Lipsku se v roce 1437/38 přednášky z Eukleida vůbec nekonaly, i když
mezi požadavky ke zkouškám byla znalost Eukleida zařazena; ještě v prvních
desetiletích 16. století se v Lipsku konaly pouze ty přednášky jako v Praze na
konci 14. století. [H. Hankel, 1874]
Prvním nám dnes známým spisem matematického charakteru, podepsaným
českým autorem, je rukopis Jana z Březnice Computus clericorum z roku 1393.
Řeší se v něm problémy církevního kalendáře pomocí astronomických znalostí
a počtářských praktik. [I. F¨uzéková-Vrchotková, 1981]
Pro potřebu studentů na Karlově univerzitě vznikla i učebnice, kterou kolem
roku 1400 napsal M. Křišťan z Prachatic a nazval Algorismus prosaycus, tedy
v próze, v protikladu k Sacroboscově knize ve verších. Věta veden láskou
k maličkým, snažil jsem se stručně sepsati základy umění početního naznačuje,
že práce byla možná určena už žákům partikulárních škol, a teprve v případě
nedostatečné přípravy i studentům artistické fakulty univerzity [J. Šedivý a kol.,
1987]. Práce obsahuje tzv. sedm způsobů aritmetiky: numeraci římskými
i arabskými číslicemi, sčítání, odčítání, zdvojnásobování, půlení, násobení,
dělení a výpočet druhé a třetí odmocniny. Křišťan z Prachatic vysvětluje
dále zlomky, výpočet součtu konečné aritmetické a geometrické posloupnosti.
K usnadnění výpočtů jsou v práci i čtvercová tabulka malé a trojúhelníková
tabulka velké násobilky až do 20 × 20 a tabulka druhých a třetích mocnin
přirozených čísel menších než 10.
27
3.3 Výpočty s přirozenými čísly
Po celý středověk se v Evropě k zápisům čísel užívaly římské číslice
(v Čechách jim říkali české). Tyto číslice nebyly vhodné pro provádění
písemných výpočtů; výpočty se proto prováděly na tzv. linách pomocí kaménků
a teprve jejich výsledek se zaznamenal římskými číslicemi.
K počítání na linách se na podložku načrtly 4 rovnoběžné, vodorovné, stejně
vzdálené úsečky. Nejnižší úsečka sloužila k záznamu 1 až 4 jednotek položením
1 až 4 početních značek, kaménků apod. 5 jednotek se znázornilo jedním
kaménkem položeným mezi první a druhou linku. Na druhé lince se obdobně
zaznamenaly 1 až 4 desítky, na třetí lince 1 až 4 stovky, na čtvrté (označené
obvykle ležatým křížkem) 1 až 4 tisíce a popř. vyšší jednotky na dalších
linkách. Na obr. 3 je na linách znázorněno číslo MMDCCCXLVI, tj. 2 846.
(Označení hodnot na linách a mezi nimi se nepsalo, připsali jsme je jen pro
větší názornost.)
×
Obr. 3
Sčítání se provádělo tak, že se ke značkám, které znázorňovaly prvního
sčítance, přidaly značky znázorňující druhého, popř. dalšího sčítance; když
pak na některé lince byly více než čtyři značky, položila se místo každých pěti
jednotek jedna značka mezi jednotky a desítky, místo dvou značek na místě
pětek se položila jedna značka na linu desítek atd. ve vyšších řádech. Odčítalo
se ubíráním značek. Snadné bylo tzv. zdvojování, tj. násobení dvěma; na každé
linii i mezi nimi se počet značek položil ještě jednou a výsledek se upravil tak
jako u sčítání.
Když pak bylo zapotřebí násobit číslo n např. devatenácti, vypočetla se
postupným zdvojnásobováním čísla 2n, 4n, 8n a 16n a vypočetlo se číslo
16n + 2n + n. (Takový postup výpočtu nás jako tzv. vlašskou praktiku učili
ještě ve 30. letech našeho století v primě na gymnáziu.)2
Počítání na linách bylo výhodné i při výpočtech s jednotkami mincí, které
měly nejrůznější měnitele. Stačilo si pak pamatovat, jakou jednotku značí
jednotlivé liny a kolik jednotek nižšího řádu tvoří jednotku vyšší. Proto se
počítání na linách udrželo i tehdy, když se od 15. století začalo běžně používat
2 Tento postup má svůj původ v egyptské aritmetice. Viz J. Bečvář, M. Bečvářová,
H. Vymazalová: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. Edice Dějiny matematiky,
sv. 23, Prometheus, Praha, 2003, 371 stran.
28
k zápisu čísel a výpočtů číslic indicko-arabských; u nás se jim říkalo číslice
latinské, protože se přebíraly od italských kupců; výpočtům se pak říkalo
počítání na cifrách.
Písemné výpočty s indicko-arabskými číslicemi po jejich zavedení v Evropě do
jisté míry kopírovaly počítání na linách; jejich hlavním rysem bylo počítání od
nejvyšších řádů. Pak ovšem bylo nutné již zapsané číslice často měnit. Indové
při počítání v prachu lehce číslice smazali a nahradili jinými; při počítání na
papíře nebo na tabulce bylo nutné nepotřebné číslice škrtnout a nadepsat číslice
jiné.
Sčítání 2 837 + 3 524 + 1 722 = 8 083 mělo pak tento tvar:
8 8
6/07/3
2837
3524
1722
Odčítání 8 946 − 6 983 = 1 963 vypadalo takto:
19
2/0/63
8946
6983
Násobení 324 · 53 = 17 172 bylo zapsáno takto:
7
716/
6/2/0/2
15/0/53
3244
32
Nejprve se násobí pěti číslo 324 počínaje sty a částečný součin se píše nad
324. Pak se 324 opíše o jeden řád vpravo a násobí se číslem 3; součin se opět
píše nad posunuté číslo 324 a připočítává se k předchozímu částečnému součinu.
U Křišťana z Prachatic nalezneme i poznámku o šachovnicovém způsobu
násobení, kterého užívali již Indové; např. předchozí součin by měl tento tvar:
Obr. 4
29
Nejprve se v šikmých pásech sčítají jednotky, desítky, sta, ... , a pak se ve
směru šipky čte výsledek.
Dělení 17 172 : 53 = 324 vypadalo takto:
1/2/
2/2/1/
1/7/1/7/2/ / 324
5/3/3/3/
5/3/
Podrobnější výklad i další způsoby viz [F. Balada, 1959], [J. Bečvář a kol.,
2001].
Obr. 5 Druhy aritmetiky:
Pythagoras počítá na linách,
Bo¨etius indicko-arabskými číslicemi (na cifrách)
30
3.4 Životopisy
KŘIŠŤAN z Prachatic
∗ asi 1367, Prachatice, † 4. 9. 1439, Praha
1368 Bakalářem.
1389 Mistrem, studium lékařství.
1392 Profesorem svobodných umění na pražské univerzitě, přednášel matematiku
a astronomii
1405, 1412, 1423, 1427, 1432/33, 1434, 1437 rektorem univerzity
Český husitský bohoslovec, matematik, hvězdář, botanik a lékař, zprvu
horlivý stoupenec učení Husova, později konzervativní odpůrce důsledných
představitelů husitského revolučního hnutí. Napsal latinský Herbář a české
lékařské knihy, latinský Algoritmus prosaycus (kolem roku 1600) – učebnici
matematiky
Biografie: OSN, [Křišťan, 1999].
Jan Ondřejův, ŠINDEL
∗ kolem r. 1370, Hradec Králové, † asi r. 1443
1395 Mistr svobodných umění na pražské univerzitě, licenciát na filozofické
fakultě
1406 rektor školy u sv. Mikuláše v Praze
učitel matematiky a astronomie na gymnáziu ve Vídni
1405 navrhl staroměstský orloj
1410 rektor univerzity v Praze
Vynikající astronom; jeho Tabulae astronomicae, které se však nedochovaly,
chválil i Tycho Brahe; papež ho označoval za ozdobu století. Karlově koleji
věnoval 200 rukopisných knih. V pamětích kapituly Vyšehradské se uvádí ještě
roku 1448.
Biografie: [I. Depman, 1973], [J. Smolík, 1862], RSN, OSN, MSN.
3.5 Literatura
BALADA F.: Z dějin elementární matematiky. SPN, Praha, 1959, 239 stran.
BEČVÁŘ J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě. Edice Dějiny matematiky,
sv. 19, Prometheus, Praha, 2001, 445 stran.
DĚJINY UNIVERZITY KARLOVY I.–IV. Univerzita Karlova, Karolinum,
Praha, 1995 až 1998, 322+285+390+671 stran.
DEPMAN I.: Besedy o matematice, SPN, Praha, 1957, 124 stran.
DEPMAN I.: Svět čísel (vyprávění o matematice). SPN, Praha, 1973, 84 stran
[přeložil J. Folta], slovensky: Bratislava, 1973.
F¨UZÉKOVÁ-VRCHOTKOVÁ I.: České praktické početnice z 16. a počátku
17. století. MFF UK, Praha, 1981, 84 stran [strojopis diplomové práce].
31
HADRAVOVÁ A.: Jan Šindel a jeho traktát „Pravidla pro výpočet zatmění
Slunce a Měsíce . In Astronomie ve středověké vzdělanosti, VCDV, Praha,
2003, 53–69.
HANKEL H.: Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter.
B. G. Teubner, Leipzig, 1874, 410 stran.
HLAVÁČEK J.: Jeden dokument k vztahu univerzity a pražských měst v druhé
polovině 14. století. In Acta Universitatis Car. Historia UC II/1, 1961, 89–96.
HORSKÝ Z.: Pražský orloj. Panorama, Praha, 1988, 160 stran.
KAVKA F. a kol.: Stručné dějiny University Karlovy. Universita Karlova,
Praha, 1964, 347 stran.
KŘIŠŤAN Z PRACHATIC: Cristanni de Prachaticz Algorismus prosaycus.
Základy aritmetiky. OIKOYMENH, Praha, 1999, lxxiii+187 stran [edice
a překlad Z. Silagiová].
MONUMENTA historica universitate Pragensi. Tomus 1.–3. Pragae, J. N. Gerzabek,
Pragae, 1830–1832, J. Spurny, 1834 [NK 4 C 63, Ed D 14].
NOVÁK J.: Křišťan z Prachatic a matematika v jeho době. Rozhledy MF
38(1959/60), 186–188, 235–237, 272–275.
PALACKÝ F.: O pranostikách a kalendářích českých zvlásstě v XVI. stoletj.
Časopis českého musea 1829, 33–64.
PETRÁŇ J.: Nástin dějin Filozofické fakulty Univerzity Karlovy. Univerzita
Karlova, Praha, 1983, 406 stran.
SMOLÍK J.: Mathematikové v Čechách od založení university Pražské až do
počátku tohoto století. Živa 12(1864), 13–27, 140–171, 193–225, 308–341. Též
J. Renn, Praha, 1864.
ŠEDIVÝ J. a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360–
1860. SPN, Praha, 1987, 264 stran [skriptum MFF UK].
ŠTEMBERKOVÁ M.: Universitas Carolina Pragensis. Univerzita Karlova,
Praha, 1998, 141 stran.
TOMEK W. W.: Geschichte der Prager Universit¨at. Hofbuchdruckerei von
Gottlieb Haase S¨ohne, Prag, 1849, 377 stran [NK 4 C 1103, 4 D 454, 4 D 455,
4 C 58, 4 D 133].
TOMEK W. W.: Děje University pražské. Nowočeská bibliothéka wydáwaná
nákladem Českého Museum, č. XII, W kommissí u Řiwnáče, Praha, 1849,
320 stran.
VETTER Q.: Finden sich in B¨ohmen noch Spuren der alten mediatio und
duplatio. Cahiers Scientifiques No 1, Cluj 1. Mars 1930. Cluj Institutul de
Arte Grafice ”Ardealul” 1930.
VETTER Q.: Šest století matematického a astronomického učení na Karlově
universitě. Věstník KČSN 1952, Praha 1954, XIV.
VETTER Q.: Stručný přehled vývoje matematiky v českých zemích od založení
university do katastrofy bělohorské. MvŠ 7(1957), 343–357.
32
VOJTÍŠEK V.: Universita Karlova v Praze 1348–1948. Čtyři dokumenty z doby
počátků. Melantrich, Praha, 1948, 20 stran, obrazové přílohy [NK 54 A
2075].
WINTER Z.: Děje vysokých škol pražských od secesí cizích národů po dobu
bitvy bělohorské (1409–1622). ČAVU, Praha, 1897, vii+231 stran.
WINTER Z.: O životě na vysokých školách pražských knihy dvoje. Kulturní
obraz XV. a XVI. století. Novočeská bibliothéka, č. XXXII., Nákladem Matice
české a jubilejního fondu Král. české společnosti náuk Praha, 1899, xiii+615
stran.
WYDRA S.: Historia matheseos in Bohemia et Moravia cultae. Reg. Schola
norm. Pragae, 1778, 100 stran [NK 45 B 22, 65 D 2530].