^ ^ ^ Fyzikální praktikum 2
PED
Úloha č. 7: Stanovení modulu pružnosti v tahu z průhybu
statickou metodou
Ukol:
1. Určete Younguv model pružnosti v tahu
(a) statickou metodou z průhybu tyče
(b) z příčných kmitů tyče
Jestliže na vodorovnou tyč zhotovenou z homogenního materiálu stáleho průřezu S a podepřenou na dvou rovnoběžných hranách (viz obr. 1) vzdálených od sebe o délku l, působí uprostřed osamělá síla F, prohne se tyč uprostřed o délku y (ve směru působící síly), pro jejiž velikost platí
V = - 1
y    48-EJ w
v tomto vztahu J značí kvadratický moment průřezu (moment setrvačnosti průřezu) měřené tyče a E značí modul pružnosti v tahu použitého materiálu.
Ze vztahu (1) lze hodnotu modulu pružnosti v tahu vypočítat a dostaneme
Obrázek 1: Průhyb tyče zatížené silou
• F
E = - (2
48-yj V '
Měřený vzorek (obdélníkového, kruhového nebo jiného plošného průřezu) spočívá ve vodorovné poloze na dvou podporách jejichž vzájemná vzdálenost je l. Přibližně uprostřed vzorku je zavěšena miska, na kterou ukládáme závaží, kterými vzorek zatěžujeme. Příslušný průhyb měříme indikátorovými hodinkami, jejichž pohyblivá část se dotýká měřeného vzorku.
1
ů
F
Obrázek 2: Schéma měřícího zařízení
Na začátku měření si zjitíme několikrát opakovaným měřením vzdálenost l obou podpor a hlavní rozměry příčného průřezu vzorku (jde-li o obdélník, jsou to délky jeho stran z\ a z2, u kruhového průřezu jeho průměr d apod). Tyto rozměry je nutno měřit velmi přesně - např. několikrát opakovaným měřením mikrometrickým šroubem, nebo alespoň kontaktním měřítkem. Těžiště měření spočívá ve zjištění souvislostí mezi velikostí působící síly F a vzniklým průhybem y, tj. v nalezení funkce
Tuto souvislost zjistíme při postupném zatěžování vzorku silami F\, F2,..., Fk (zvětšováním závaží na misce) a změřením příslušných průhybů y±, 7/2> • • • > Vk- Potom opět postupně zmenšujeme sílu F, takže při působení stejně velkých zatížení Fk, ■ ■ ■, F2, F± zjistíme průhyby yk,..., 2/2, yi- Pro každou hodnotu Fi{i = 1,2,... ,k) určíme příslušný průměrný průhyb yi podle rovnice
Závislost yl = f{F\) vyneseme do grafu a zjistíme, zdali je lineární v celém rozsahu prováděných měření. Pro další zpracování bereme však v úvahu pouze ty výsledky, které přísluší lineární části (oblasti platnosti Hookeova zákona). Výsledky zpracujeme způsobem popsaným v předešlém odstavci. Předpokládáme-li, že závislost má lineární průběh.
y = f (F)
(3)
(4)
1,4 —1
0
0
2
4
8
10
12
zatížení f/n
2
y = a + bF (5)
pak hodnotu konstanty a & b zjistíme z lineární interpolace naměřených hodnot. Porovnáním s rovnicí 1 plyne, že
"=48^ <6> takže pro hledanou hodnotu modulu pružnosti v tahu E dostáváme
ŕ
E = —- (7)
48 -Jb V '
Jde-li o vzorek s obdélníkovým průřezem o stranách z\ a z2, pak
(8,
j de-li o vhzorek s kruhovým průřezem d, pak
Modul pružnosti
Modul pružnosti v tahu (tlaku) E je měrná veličina tuhosti pevné látky v tahu nebo tlaku, určená jako konstanta úměrnosti normálového napětí an a poměrného prodloužení e v Hookově zákoně pro tah a tlak
E = -f (10)
Podle této definice udává modul pružnosti v tahu E myšlené normálové napětí, které by při neomezené platnosti Hookeova zákona způsobilo poměrné prodloužení e = 1, tj. na dvojnásobek počáteční délky
Modul pružnosti ve smyku o je měrná veličina tuhosti pevné látky při smykovém namáhání, definovaná jako konstanta úměrnosti tečného napětí r a poměrného zkosení 7 v Hookeově zákoně pro smyk
G = - (11)
7
Podle této definice udává modul pružnosti ve smyku o myšlené tečné napětí, jímž by při neomezené platnosti Hookeova zákona vzniklo poměrné zkosení 7 = tana = 1, tedy pod úhlem a = 45°. Hlavní jednotkou modulu pružnosti v tahu i modulu pružnosti ve smyku ./V • m~2.
Metody stanovení modulu pružnosti v tahu
Modul pružnosti v tahu (tlaku) je v principu možno měřit mnoha různými metodami. Ovšem každá z níže uvedených metod je vhodná pro jiné typy vzorků. Přímá metoda, vycházející z definičního vztahu (10) je především vhodná k měření modulu pružnosti dlouhých tenkých vzorků (např. drátů, vláken, dlouhých tenkých tyčí apod.) u kterých lze dosáhnout poměrně velkého prodloužení. Stanovení modulu pružnosti z průhybu nebo z příčných kmitů se užívá hlavně u silnějších tyčí, především kovových,
3
u kterých není možné užít přímé metody. U velmi silných tyčí, u kterých nelze užít předešlých metod, dále u křehkých materiálů apod. se zpravidla určuje modul pružnosti z rychlosti šíření podélného mechanického vlnění.
• Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou
Namáháme-li zkoumané těleso tahem, deformuje se. V jistých mezích (po mez úměrnosti) je deformace tělesa e přímo úměrná deformačnímu napětí o
e = ±a (12) Deformací e se v tomto případě rozumí relativné délkové prodloužení
e = T (13) V tomto vztahu E značí modul pružnosti v tahu materiálu, ze kterého je vetknutá tyč zhotovena,
Redukovanou hmotnost mr nelze přímo měřit a proto ji ze vztahu (17) vyloučíme následujícím způsobem: Na volný konec tyče připevníme pomocné těleso známe hmostnoti mp tak, aby jeho těžiště připadalo na volný konec tyče. Doba kmitu se v důsledku změřené hmotnosti prodlouží na Ti, pro níž platí
„ / P(mr + m„)
Ti = 2ir\     V pJ (14
V     3-EJ V '
Obě rovnice (17) a (14) umocníme a výsledky vzájemně odečteme. Jednoduchou úpravou pak obdržíme pro hledanou hodnotu modulu pružnosti v tahu E výraz
J_L
Obrázek 3: Příčné kmyty jednostranně vetknuté tyče
Stanovením jednotlivých parametrů na pravé straně rovnice (15) lze modul pružnosti v tahu vypočítat.
4
• Stanovení modulu pružnosti v tahu z příčných kmitů tyče
Úpravou vztahu pro kruhovou frekvenci uj mechanického lineárního oscilátoru
u} =
(16)
ve kterém m značí hmotnost kmitajícího tělesa a c značí poddajnost použité pružiny (tvořící pružnou vazbu), plyne pro dobu kmitu T volného konce jednostranně vetknuté tyče vztah
• mr značí redukovanou hmotnost volné části vetknuté tyče (hmotnost tyče redukovaná na její volný konec),
• l značí celkovou délku tyče od místa vetknutí až k jejímu volnému konci a
• J značí kvadratický moment průřezu (moment setrvačnosti průřezu). Jde-li o tyč obdélníkového průřezu (jako na obr. 3) pak J vypočítáme podle vztahu (8), jde-li o tyč kruhového průřezu, vypočítáme J podle vztahu (9).
Orientační postup
• Změříme délku, šířku tloušťku tyče metrem a mikrometrem. Měření opakujeme 10-krát.
• Tyč položíme na lavici a postupně se zatěžuje, měříme průhyb ůchylkoměrem. Měříme při zatěžování i odlehčování.
• Spočítáme průměr pro hodnoty se stejným zatížením a odlehčením.
• Vyneseme do grafu (závislost na zatížení ...) a použijeme metodu lineární regrese na zjištění směrnice grafu.
5