Domácí úkol 1
Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 1". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem.
Příklad 1: Vypočítejte limitu posloupnosti:
5-(n + l)! lim -;-r;-;-rr
n^oo 3 • (n + 1)! + 2 • (n - 1)!
Řešení:
5-(n + l)! 5 • (n + 1) -n ■ (n - 1)!
lim -;---;-rr   =1 lim
>oo 3 • (n + 1)1 + 2 • (n - 1)! n^oo 3 • (n + 1) • n ■ (n - 1)! + 2 • (n - 1)
5 • (n + 1) • n ■ (n — 1)!
hm
lim
n—>cx
lim
oo (n - 1)! • [3- (n + 1) - n+ 2] 5 • (n + 1) • n
oo 3- (n + 1) - n+ 2
5n2 + 5n 5
3n2 + 3n + 2 3
Poznámky k výpočtu: 1. krok (=i): úprava obou faktoriálú (n + 1)! tak, aby vyjádřeny se stejným podvýrazem (n — 1)! jako sčítanec ve jmenovateli vpravo; 2. krok (=2): vytknutí podvýrazu (n — 1)! v čitateli i jmenovateli zlomku; 3. krok (=3): krácení výrazu (n — 1)!; 4. krok (=4): Roznásobení závorek a následný výpočet limity (nahoře i dole jsou polynomy stejného stupně, tudíž výsledkem je podíl vedoucích koeficientů).
Příklad 2: Vypočítejte limitu posloupnosti:
lim
n—>oo \ n
Nápověda: limn^oo (l +       = e. Řešeni:
lim^oo =1 lim^oo (l - |)n =w
Substituce: — | = |, z čehož n = —3k, tedy
—3k        (,. 1 ^       1 \ k
3
3
=(*) lim^oo (l + |)     =2 ^linife^oo (l + I) J    =3 e
Poznámky k výpočtu: 1. krok (=1): vydělení polynomů v čitateli a jmenovateli; 2. krok (=2): úprava zápisu exponentu a limitní přechod k vnitřní funkci (l + |) ; 3. krok (=3): využití nápovědy a stanovení výsledku limity.
Příklad 3: Určete všechny hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupnosti
an = (-l)n • cos
Řešeni: Nejprve si spočítáme několik prvních členů, abychom si udělali představu o možných podposloupnostech.
cti a2 a3
a5 a6
-l)1-cos (f) =
-l)2-cos (f) -l)3-cos (f) -l)4-cos (f) -l)5 - cos (yy) -l)6 • cos (yy)
-| (kosinus z úhlu f v 1. kvadrantu je kladný)
— \ (kosinus z úhlu y v2. kvadrantu je záporný) 1 (kosinus z úhlu 7r je —1)
— \ (kosinus z úhlu y v3. kvadrantu je záporný)
— \ (kosinus z úhlu yy ve 4. kvadrantu je kladný) 1 (kosinus z úhlu 2% je 1)
Podposloupnosti:
1. n = 6k + 1, A; G No: lim^oo an = lim^00(—1)"'"1" • cos — linifc^oo cos (y + 2/c7r) = — cos (y) = — |, tedy — | G iJ(
\6fc+l
2. n = 6k + 2, A; G N0: lim
limfc^00(-l)6fc+2 • cos
linifc^oo COS (yy + 2Äľ7r)
cos
1
3. n = 6A; + 3, A; G No: limn^oo an = lim^^—l)6fc+3 . cos — linifc^oo cos (yy + 2Äľ7r) = — cos (7r) = 1, tedy 1 G H(an)
4. n = 6k + 4, ke N0: limn^oo an = limfc^oo(-l)
limfc^oo COS (yy + 2/C7r) = COS (yy) :
6fc+4
COS
1
5. n = 6A; + 5, A; G Nq: lim
1n—>oo
COS
- linifc^oo cos (4y + 2A;7r) = 6. n = 6k + 6, A; G N0: lim^oo an
= limfc^00(-l)6fc+5 • cos
(¥) = -í
= limfc^00(-l)
6fc+6
COS
'(6fc	fl)-7T
	3
l"n) •	
''(6fc	+ 2)-7T
	3
''(6fc	+3)-7T
	3
''(6fc	+4)-7T
	3
' (6fc	+ 5)-7T
	3
'(6fc	+6)-7T
— lim^oo cos (yy + 2A;7r) = — cos (27r) = 1. Závěr: H(an) = { — |, 1} , lim inf an = — |, lim sup an = 1.
Příklad 4: Vypočítejte limitu funkce pomocí běžných úprav, nikoliv L'Hospitalovým pravidlem.
lim
x
7x+12
xT-z x2 + 2x - 3
Řešeni: po dosazení —3 do limitního výrazu vyjde neurčitý výraz [jj]. Oba polynomy v čitateli a jmenovateli však lze rozložit na součin kořenových činitelů (pomocí Vietových vztahů či diskriminantu):
lim
x
7x + 12
lim
(x + 3)-(x + 4)
lim
x + 4
*->-3 x2 + 2x-3     *->-3 (rr - 1) • (x + 3) x
1
"I
2
Příklad 5: Vypočítejte první derivaci funkce:
y = y xy/x + \nx
Řešeni: První sčítanec je složená funkce, druhý pak můžeme zderivovat dle vzorečků. Složenou funkci však lze pro účely derivování také výrazně zjednodušit:
i- - -
y = y x y/x + hix = ^x • i^j 2 + \nx = (^x^   + \nx = x1 + \nx
Derivování je tedy snadné. Následnou úpravu provádíme, abychom se zbavili odmocniny ve jmenovateli 1. zlomku:
.    3    _i     1        3      v7^    1     3v^ 1 y = - ■ x 4-|— =-— . —_ -|— =--1—
4 x     4 • \ x   \ r3    x       Ax x
'x°
Poslední (výsledný) výraz je již možné spatřit v nabízených variantách řešení. Příklad 6: Napište rovnici tečny v bodě T [0; ?] ke grafu funkce y = sin(x)+3. Řešeni:
1. Spočítejme nejdříve y-ovou souřadnici tečného bodu: Ty = y(0) = sin(0) + 3 = 3, z toho T[0,3].
2. Nyní zderivujeme funkci y: y' = cos(rr).
3. Směrnici k tečny y = kx + q získáme dosazením do derivace y' takto: k = y'(Tx) = y'(0) = coS(0) = l.
4. Tečna má tedy tvar y = x+q. Parametr q spočítáme dosazením tečného bodu T[0, 3]: 3 = 1 + q, z čehož q = 2. Tečna má tedy rovnici y = x + 2.
3