Konstrukční geometrie Poslední aktualizace: 13. května 2023, Vojtěch Žádník https://is.muni.cz/el/1441/jaro2023/MA0007/ Cíle ► připomenout, zorganizovat a rozšířit stávající poznatky ► něco udělat, udělané vysvětlit, ... Proces ^ zapamatovat a zopakovat ► pochopit a použít ► rozlišovat a vysvětlovat ► přetvářet a vytvářet Kulisy ► geometrie Přehled celkový ► jaro 2023: konstrukční geometrie („syntetická") — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2023 a jaro 2024: počítací geometrie („analytická") — soustavy rovnic, matice, determinanty Přehled aktuální ► klasická konstrukční geometrie: Základy, dotykové úlohy ► geometrická zobrazení: shodná, podobná, afinní, projektivní a pár dalších ► poznámky k zobrazování prostoru do roviny Materiály ► IS: osnova, přednáška, odkazy, staré písemky1 Zakončení ► úlohy —> písemka —> ústní zkouška Soutěž ► o nejpovedenější konstrukci/výkres/aplikaci použitelnou ve výuce 1https://is .mimi . cz/auth/el/ped/jaro2023/MA0007/index.qwarp Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts Základy úvod 5 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,2 ovšem s Hilbertovými upřesněními.3 Základní pojmy: Základní vztahy/relace: ► incidence, uspořádání, rovnoběžnost, shodnost, spojitost Základní definice: ► např. úhel, pravý úhel, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnost přímek,... Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... 2kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady 3kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) Úvod 6 (I) Každé dva různé body spojuje (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně Lze vytvořit jiným bodem s libovolným daným středem procházející libovolným (IV) Všechny pravé úhly jsou (V) přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně tyto dvě přímky (dostatečně prodlouženy) setkají menší než dva pravé, se na té strane, kde jsou úhly menší dvou pravých. a+/3<2R g a h se protínají ^https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate < S1 ► < -E ► < E ► E O Q, O Eukleidovy všeobecné axiómy Úvod 7 ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. Dnes čteme jako: ► k = lam = I ► k = / a m = n ► apod.5 k = m. k + m = I + n. 5https://mathcs.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/bookl/cun html^ Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... Typický axióm uspořádání je např.: ► Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je zbylými dvěma. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem. ► Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". ... jde zejména o upřesnění představy eukleidovské přímky jakožto „reálné' přímky!6 6viz konstrukci tělesa reálných čísel (algebra) a problém sestrojitelných veličin (s. 27)r Co na postulátu (V) nezávisí Úvod 9 ► Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. ► Věta o vnějším úhlu trojúhelníku.7 ► Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek8 (odtud rovnoběžky). a — y h II 9 7Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořádání (viz s. 11). 8Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku (viz s. 12). Co na postulátu (V) závisí úvod 10 ► Věta o střídavých úhlech9 (odtud rovnoběžky). h\\g Věta o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku A a = y 10 Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich obsazích.11 Pythagorova věta (a téměř vše co následuje)... 9Nepřímo: a ±y ==> a + J3 ž y + J3 ==> 2R ž y + p\ odtud podle (V) plyne, že se přímky h, g protínají, tedy nejsou rovnoběžné (viz s. 13). 10Pnmo pomocí věty o střídavých úhlech (viz s. 14). 11 Podrobněji od s. 16... Detail k větě o vnějším úhlu v trojúhelníku 12 Úvod 11 16 BOOK L PROP. XVI. THEOR. F a ßde of a trim- it produced, t/ie external *»st* ( ) « greater than either of the internal remote angles A - A, Make Draw In and -------(pr- io.)- and produce it until ■ ; draw 1 . and (conft, pr, is), .*. = pr.+•). In like manner it can be fhown, that if ——■■■ produced, ^Jjjjjj^ C ' A. which is rz is a Q. E. D. 2http: //www. math, ubc. ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-16. html □ gi >OQ.O Detail k větě o existenci rovnoběžky 28 BOOK I. PROP. XXVII. THEOR. are parallel. IF a Jlraight lint trig two other jlraight lines, (■■■■■■...... and ■■—.........) makes •wkh them the alternate angles ( ) equal, theft tvso firaight lines If be not parallel to they (hall meet when produced. If it be pofllble, let thofc lines be not parallel, but meet when produced ; then the external angle is greater than 1^^^. (pr. 16), but they are alio equal (hyp.), which is abfurd : in the fame manner it may be (liown that they cannot meet on the other fide; they are parallel. Q. E. D. 3http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-28.html □ Detail k větě o střídavých úhlech Úvod 13 BOOKI. PROP. XXIX. THEOR. STRAIGHT ihu { ...... ) failing on tiao parallel jlraight ), makes the alternate angles equal to one another; and aijb (lie external equal to the internal and oppofte angle on the fame fide ; and the two internal angles on the fame jide together equal to two right angles. and be ■ ■ -, ■ aking ' — ^fe^ ' Therefore ■■— [] (pr. 27.) and there- fore two ftnight lines which interfett are parallel to the fame Anight line, which i& impoifible (ax. 12). Hence the alternate angles are not unequal, that is, they are equal: ~ 1 ^ (pr. 15); = ^J^- the external angle equal to the rial and oppofite on the fame fide: if be added to both, then + m (pr. 13)- Tirat is to fay, the two internal angles at the fame Jide of the cutting line are equal to two right angles. Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-30.htmlizi < & i = >oo,o Detail k větě o součtu úhlů v trojúhelníku Úvod 14 BOOK L PROP. XXXII. THEOil. Si F any jide ( — oj a triangl? dated, the i-i thefum of the interna zppfitt angles [ J^gfá, and _ and the three internal ant every triangle taken togeth equal to ťw body G,A,C leží na , a ta je Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. podle zákl. věty o obsazích: obsah Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL Obdobně to funguje na druhé straně...17 Obsahy 17 a znovu = obsah = obsah = obsah 17 https://www.geogebra.org/m/apubVUSe □ Detail k větě o obsazích rovnoběžníků18 Obsahy 18 36 book i. rnor. xxxv. theor. A R A LL E LO G R A M S m the jame buje, and between the Jame parallels, are {in urea) equal. On account of the parallels, and Bur, pr- 34-) (pr. 8.) and \ =1 ^y^^^ minus — Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-36.html □ Detail k větě o složených rovnoběžnících Obsahy 19 4+ BOOK I. PROP. XLIII. THEOR. HE complements and the parallelograms which sire about the diagonal of a parallelogram are equal. and (pr- 34-) (Pr- 34-) (ax. 3.) Q. E. D. 19 http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-44.htmln < ffl 1 >OQ,o Kvadratura mnohoúhelníku Obsahy 20 Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.20 Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názorným rozstříháním. Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah z nichž lze složit ten druhý. jeden lze rozstříhat na části, Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním 20http://ggbtu.be/mkripDpYd Mezishrnutí — takto Mezishrnutí — takto ! (pokračování na s. 50) 22 1- PATRO 5 V r FR. r a/ Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts Geometrická algebra ... geometrické konstrukce vs. algebraická vyjádření. Trocha algebry 24 Obrázek 4.11: \£] II.6: Pokud je C střed úsečky AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo oa B, potom platí [AD- Blj+CB2 = \COH Poznámky Při značení |>A8| =: b a \DB\ =: x lze předchozí tvrzení psát jako neboli x + bx + — = b 2+X Uvedené úpravy známe jako tzv. Tyto úpravy jsou prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice (s. 29). Míříme k charakterizaci sestrojitelných veličin (s. 27)... Zlatý řez Trocha algebry 25 Definice Bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu, pokud poměr celé úsečky k delší části řezu je stejný jako poměr delší části ke kratší, tzn. pokud BA : AH = AH : HB, nebo AB : BH = BH : HA. Konstrukce (Eukleidova) (i) AC je kolmice k AB, přičemž AC = AB, (ii) E = středAC, (iii) F leží na polopřímce CA tak, že EF = EB, (iv) H leží na úsečce AB tak, že AH = AF => AH je delší částí zlatého řezu úsečky AB. s N \ H \ ,- 8 < -E ► E O Q, O Důkaz a něco navíc Trocha algebry 26 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 24) a z Pythagorovy věty (s. 17): CF-FA+AE2 = neboli CF- FA = AB2, Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako neboli AH : BH = AB : AH. □ >6 s v H \ -1* H- : X 0 b : x = x : (b - x) neboli 5(5 - x) = xl Důkaz a něco navíc Trocha algebry 26 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 24) a z Pythagorovy věty (s. 17): CF-FA+AE2 = neboli CF- FA = AB2, Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako neboli AH : BH = AB : AH. □ Počítání Při označení |>A8| =: b a |>A/-/| =: x definice zlatého řezu zní: b : x = x : (b - x) neboli b(b - x) = x2 neboli Postupně sestrojené veličiny jsou: \AE\ = \EC\ = \EB\ = \AF\ = \AH\ = x = Skutečně, x = je kořenem kvadratické rovnice s v H \ -1* H-^ Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 27 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků, ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. f s I I " I + = V ( ) Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 27 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků, ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem vyjádřit pomocí konečného počtu jej lze 1 + - V" ( ) Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 28 Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> jej lze vyjádřit pomocí konečného počtu 1 + - v ( ) Důkaz. Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava rovnic. Eliminací jedné proměnné dostaneme rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... , nebo Kořen(y) lib. pomocí právě uvedených operací! rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů □ Poznámka (víz s. 24) Trocha algebry 29 Algebraické vyjádření kořenů kvadratické rovnice xd + bx + c = 0 se dělá takto: x^ + bx + l-l = (^-\ -c neboli [x+j^\ = {^\ -c, což po odmocnění a úpravě vede k dobře známému vzorečku Slavné problémy starověku Trocha algebry 30 (a) zdvojení krychle ^ x = ^2a, (b) rozvinutí kružnice ^ x = 2nr, (c) kvadratura kruhu ^ x = ^r, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ...... (s. 53) Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.21 Z předchozího (a trochu následujícího) víme, že problémy (a), (b) a (c) řešitelné, problémy (d) a (e) řešitelné. 21 r. 1767, resp. 1882 Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Trocha algebry 31 Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Příklad: Mascheroniovská a steinerovské konstrukce inverzního bodu A' k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Věta Konstrukce je proveditelná eukleidovsky je proveditelná mascheroniovsky I je proveditelná steinerovsky Konstrukce neusis Trocha algebry 32 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) Příklad: Archimedova trisekce úhlu s označeným pravítkem Poznámka Takto lze sestrojit (reálné) kořeny libovolné rovnice, tedy vyřešit problémy (a), (d) a některé další (e) na s. 30. 22 22 http://en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction 33 Konstrukce elipsy pomocí neusis udělátka. Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts Kosinová věta Jako důsledek (a zobecnění) Věta Kosinová věta (s. 17) představujeme: V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: BC2 = BA2-\-AC2 + BC2 = BA2 + AC2 - Důkaz. Plyne z (zde pro trojúh. BDC a BDA) a pár úprav: BC2 = BD2 + DC2 = BD2 + (DA + AC)2 = = (BD2 + DA2) + AC2 + = BA + AC^ + □ Poznámka Při obvyklém značení a = \BC\, b = \AC\, c = |AB| a a = |z8AC| můžeme obě části předchozí věty psát současně jako Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts O kružnicích O kružnicích 37 Jako důsledky věty větu o středovém a obvodovém úhlu, spec. případ — Thaletovu větu, větu o úsekovém úhlu, apod. (s. 10) uvádíme .23 \1 23https://ggbm.at/MtseAe67 < ► < E ► < E ► E O Q, O O středovém a obvodovém úhl U O kružnicích 38 Pro kružnici se středem E a úseč BC je úhel BEC středový (ozn. jj) a úhel BAC obvodový (ozn. a): Věta Středový úhel k dané úseči je dvakrát větší než lib. úhel obvodový (ji = 2a). Proto jsou obvodové úhly k téže úseči všechny stejné. Důkaz. ► Trojúhelník ABE je rovnoramenný => úhly u základny jsou ► Věta o součtu úhlů v trojúhelníku ABE => vnější úhel Ze stejných důvodů platí také , odkud plyne // = 2a. (Podobně se zdůvodní i ostatní varianty...) □ S1 □ O úsekovém úhlu Pro kružnici, úseč BC a tečnu BF je úhel CBF úsekový (ozn. ip)\ Věta Úsekový úhel k dané úseči je stejný jako úheí obvodový (a = (p). O kružnicích 39 Důkaz. ► Věta o obvodovém úhlu => úhel BAC je Vezměme A' tak, aby A'B byl průměrem kružnice (lA'BC ozn.fí). Věta o tečně => Thaletova věta => úhel u C je Věta o součtu úhlů v trojúhelníku AřBC Celkem tedy a = y. □ O mocnosti Sečna jdoucí bodem D protíná kružnici v bodech C a A Věta Pro libovolnou sečnu platí, že součin DC ■ DA je DC • DA = O kružnicích 40 Důkaz 1 (pro D vně kružnice). Lze zdůvodnit několikerým užitím DFE, CFE)24 a pár úpravami: (pro trojúhelníky DBE, = DE2 - EB2 = DE2 - EC2 = {DF2 + FE2) - {EF2 + FC2) = = DF2 - FC2 = {DF + FC) • (DF - FC) = DA ■ DC. 24 kde E = střed kružnice a F = pata kolmice na AC □ -írnP^ •<_► •<_► _ O Q, O O mocnosti Sečna jdoucí bodem D protíná kružnici v bodech C a A Věta Pro libovolnou sečnu platí, že součin DC • DA je O kružnicích 41 DCi • DAi Důkaz 2 (univerzální), Alternativně pomocí trojúhelníků: Věta o obvodových úhlech => vyznačené úhly u vrcholů C Navíc úhly u vrcholu D jsou stejné => trojúhelníky Ci DA2 a 02 0^ jsou Tedy , což je ekviv. DCi • DA^ = □ O mocnosti O kružnicích 42 Pro bod D vně kružnice (a B bod dotyku tečny) platí DC-DA = DB2 = DE2 - EB' Definice Mocnost bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo m := DE2 - ř. < [51 ► < E ► < E ► E O Q, O O mocnosti O kružnicích 42 Pro bod D vně kružnice (a B bod dotyku tečny) platí DC-DA = DB2 = DE2 - EB2. Definice Mocnost bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo m := DE2 - r2. Chordála je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma daným kružnicím. o 7 Věta Chordála dvou nesoustředných kružnic je jejich středů25 , která je na spojnici 25 Vyplývá z definice a Pythagorovy věty. -írnP^ •<_► •<_► _ O Q, O itek O kružnicích 43 Kotoulením kružnice uvnitř kružnice s otáčivý na přímočarý. poloměrem se převádí pohyb Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts Pravidelný pětiúhelník Pravidelný pětiúhelník a další Pravidelný = všechny strany a všechny úhly navzájem shodné. Postřehy (1) Souměrnost podle osy jdoucí E => AD BC a BE CD => BCDF\e (2) Obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné => trojúhelník ABD je D, tzv. z a úhly u základny jsou úhlu u vrcholu atý trojúhelník. (3) Trojúhelníky ADE a EAF jsou oba vrcholu A => jsou a mají společný úhel u Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další 46 Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí poměr ramene a základny je zlatý trojúhelník je zlatý. = AB, BL = AK a ukázat 6 = 2a: K = zla K = BL => AB \ BL = BL \ BK neboli BL = tečna, * /ALB = A/ $ fí = a + ô. £_v^ z_ai_/i_i\ i\s * KL = BL = AK. Celkem tedy /3 = a + č = 2a. Zlatý trojúhelník Pravidelný pětiúhelník a další Věta V rovnoramenném trojúhelníku platí poměr ramene a základny je zlatý trojúhelník je zlatý. Důkaz. Poměr stran je určen poměrem úhlů a naopak. Stačí předp. AK = delší část zlatého řezu AB, AL = AB, BL = AK a ukázatp = 2a: K = zlatý řez a AK = BL => AB : BL = BL : BK neboli Toto je => BL = tečna. Úsekový iBLK obvodový iLAK * lALB = aABL je :> J3 = a + ô. iLKB je vnějším úhlem v aAKL * lLKB = Odtud plyne, že aBLK je ^ KL = BL = AK. ► Proto také trojúhelník AKL je Celkem tedy p = a + 6 = 2a. a = f5. □ Zlatý řez přímo Pravidelný pětiúhelník a další 47 Zlatý řez lze v pravidelném 5-úhelníku objevit rovnou Věta Úhlopříčky pravidelného 5-úhelníku se protínají v poměrech zlatého řezu...26 Důkaz. ► Trojúhelníky ADE a EAF jsou rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A - => JSOU Odpovídající si strany jsou úměrné Současně však platí * AD : DE = EA: AF. , tedy AD : DF= DF : FA □ 26 jejichž delší části jsou shodné se stranami 5-úhelníku. < -E ► -E O Q, O Výpočet a něco navíc Středový úhel v pravidelném n-úhelníku je an = 360°/n. Velikost strany pravidelného n-úhelníku veps. do kružnice s poloměrem r je (podle ) cos a Pravidelný pětiúhelník a další Pro n = 10 je or10 = 36°, pro n = 5 je a5 = 72 Ale to jsou právě úhly ve Odtud a (podle -o _ a10 _ VŠ-1 ) cos 72° = ^ = Po dosazení dostáváme Zkratka a něco navíc Pravidelný pětiúhelník a další Na obr. je konstrukce zlatého řezu úsečky AB a zlatý trojúhelník ABL Věta Strana pravidelného 5-úhelníku vepsaného do kružnice je přeponou pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsnami jsou strany pravidelného 6-úhelníku, resp. 10-úhelníku vepsaného do téže kružnice. a6 = r. ( -x C 4\ a5 = r 0-2V5. Pod = ľ 1 + VŠ-1Y Zkratka a něco navíc Pravidelný pětiúhelník a další Na obr. je konstrukce zlatého řezu úsečky AB a zlatý trojúhelník ABL Věta Strana pravidelného 5-úhelníku vepsaného do kružnice je přeponou pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsnami jsou strany pravidelného 6-úhelníku, resp. 10-úhelníku vepsaného do téže kružnice. Důkaz. Z předchozího víme, že a6 = r, a10 = ^(VŠ- 1), a5 = f- V10-2V5. Podle v trojúhelníku ABJ platí \BJ\ = r i ( 1 + Vš- \\ ■ = ^ >/l0 - 2 VŠ = a5. □ Mezishrnutí (navazuje na s. 22, pokračování na s. 70) 50 Další pravidelné mnohoúhelníky pravidelný pětiúhelníkadaiší 51 Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20,... Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15,... 'j" Ulili UU|J. b U Ul I III I IC, f I í-» k I k = b, j LwV^IJf U I I I I I I I ' W',V" I_I KU. 271 = 9)! < □ rS ► 1 i = 1 -T)c\(y Další pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další 51 Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20,... Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15,... Věta Pokud lze sestrojit pravidelný k-úhelník a I-úhelník, potom lze sestrojit také pravidelný n-úhelník, kde n = k a I27 Důkaz. Bez újmy můžeme předp. k, I nesoudělné. Kombinacemi odp. středových úhlů umíme: k I k I k, I nesoudělné => al + bk = , pro nějaká celá čísla a, b, , tedy umíme středový úhel úhelníku. □ 27Pozor: n.s.n. nelze obecně nahradit součinem (viz např. 3-3 = 9)! Detail pro k = 3 a / = 5 Pravidelný pětiúhelník a další 52 144 book iv. prop. xvi. prop. and be the fides of an equilateral pentagon inscribed in the given circle, and . the fide of an inscribed equi- lateral triangle. The arc fubtended by 1 — and —^— The arc fab tended by "I of the whole circumference. of the whole circumference. Their difference = T'r ...... ^ T>r difference of the arc iubtended by Lbe whole circumference. I lence if ftraight lines equal to —■——■ be placed in the circle (B. 4. pr. 1), an equilateral and equiangular quin-dcc.igon will he thus inferibed in the circle. Q. E. D- O wfcriie an equilateral and equiangular quindecagen in a given circle. 28 http: //www. math. ubc. ca/~cass/Euclid/book4/images/bookIV-Eproptí>. html- Další sestrojitelné mnohoúhelníky Pravidelný pětiúhelník a další 53 Z předchozího tušíme, že pravidelný mnohoúhelník je sestrojitelný: Věta (Gaussova-Wantzelova) Pravidelný n-úhelník lze sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> n je součinem libovolné mocniny 2 a navzájem různých Fermatových prvočísel. Fermatovo prvočíslo je prvočíslo tvaru Fk = 22 + 1 K dnešnímu dni29 je známo pouze pět Fermatových prvočísel: F0 = 3, F-\ = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Tedy: lze 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 nelze 7 9 11 13 14 18 19 21 22 = Pravidelný 17-Úhelník Pravidelný pětiúhelníkadalší 54 Délku strany pravidelného 17-úhelníku vepsaného do kružnice s poloměrem r lze vyjádřit jako 30. března 1796, viz https: //en. wikipedia. org/wiki/Heptadecagon t3 Užitek Pravidelný pětiúhelník a další 55 Konečně umíme rozeznat přesné konstrukce od přibližných... Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts □ rS1 Úměrnosti Teorie podobnosti 57 Teorie podobnosti (kniha VI) je založena na pojmu úměrnosti, tedy rovnosti poměrů veličin (kniha V): Definice Veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, a : b = c : d, pokud pro každá čísla m, n platí na m b <^^> nc md. Poznámky pro moderního čtenáře Veličiny a, b, c, d jsou reálná čísla, čísla m, n jsou čísla celá. Předchozí definici můžeme vyslovit taky takto:31 Reálná čísla r (= |) a s (= §) jsou si rovna, pokud pro každé racionální číslo q (= ^) platí 31 Tady by se nám měla vybavovat konstrukce reálných čísel z racionálních pomocí tzv. Dedekindových rezu. Základní tvrzení o poměrech obsahů Teorie podobnosti Věta Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je poměr délek jejich základen. G B C obsah ACB : obsah ACD CB : CD Důkaz. Plyne přímo ze základní věty (s. 57)... trojúhelníků (s. 18) a z definice □ Poznámka Odtud máme vzoreček pro výpočet obsahu trojúhelníku: S=^-a-v, kde S = obsah trojúhelníku, a = velikost strany, v = velikost výšky na stranu a. Detail k větě o poměrech obsahů32 Teorie podobnosti 59 2i2 book ti. prop. i. theor. RIANGLES and parallelograms having the fame altitude are to one another as their bqfti, ^ and ft Let the triangles have a common vertex, and their bales . and — in the fame j'lraight line. Produce ———— boch ways, take fuccelTively on "™" produced lines equal to it; and on —— produced lines succeflively equal to it; and draw lints from the common vertex Co their extremities. The triangles ^W M thus formed are all equal to one another, lince their bales are equal. (B. t, pr. 38.) 4k and its bafc are refpectively equi- 1 mulciplc5 of II and the bale book fl prop. i. theor. In like manner and its bafe are refpec tivcly equimultiples of ft and the bafc J It [fm or 6 times J C = or 3 n at 5 times then m or 6 times — Q = or 3 n or 5 times— , m and n fland for every multiple taken as in the fifth definition of the Fifth Book. Although wc have only lliown that this property cxifts when m equal 6, and n equal 5, yet it is evident that the property holds good for every multiple value that may be given to m, and to n. a (B. 5. def. 5.) Parallelograms having the fame altitude arc the doubles of ihe triangles, on their bafes, and are proportional to them (Part f), and hence their doubles, the parallelograms, are as their bafes. (B. 5. pr. 15.) Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVI-Epropl5html - Základní tvrzení o poměrech ramen Věta Přímka je Teorie podobnosti 60 s jednou stranou trojúhelníku <^^> protíná zbylé dvě strany SD' : SD\ ISE' : SE <=> D'E' Důkaz. Podle předchozí věty víme, že DE SD' : SD obsah SD'E : obsah SDE, SP : SEfl obsah SED : obsah SED. Jmenovatelé na pravé straně jsou společný a trojúhelníky SD'E a SE'D mají Tedy (s. 18): SD' : SDI ISE' : SE <^ obsah DDT I I obsah EEf D <^ D'E' DE. Podobné trojúhelníky Teorie podobnosti 61 Definice Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. Tedy: trojúhelníky jsou podobné, pokud (při obvyklém značení) a = ď, (3 = (3\ y = y\ b : c = b' : c\ C : a = ď : a', a : b = a' : b'. Druhou sadu rovností obvykle přepisujeme takto a' : a = b' : b = c' : c = < S1 ► < -E ► < E ► -E O Q, O Teorie podobnosti Ekvivalence v definici podobnosti Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 61) jsou Věta Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou úměrné. a = a', p = p'', y = y' <^^> b : C = b' : c', C : a = ď : ar, a : b = a' : b' Důkaz. Implikace je důsledkem předchozí věty (s. 60)... uvažme pomocný trojúhelník ABD, který má shodné vnitřní Pro implikaci úhly s trojúhelníkem A'B'C'\ ► strany u shodných úhlů jsou mají společnou stranu, tedy trojúhelníky ABD a ABC jsou a současně trojúhelníky ABD a ABC □ Detail k implikaci »33 Teorie podobnosti 63 220 book vi. prop. v. theor. F ttvo triangles have their fides proportional ( : ■) and (- :: —— : ^——) they are equiangular, and the equal angles are j'ubtetided by the homtk-gous fides. From the extremities of ■, draw and JkJk , making (B. l.pr. ij) and confequently ^ — (B. !. pr. jí), and lince the triangles are equiangular, (B. 6. pr. 4); but (hyp-); and confequently (Ii. 5. pr. 9). Iti the lik'-' manner it may be mown that book vi. prop. v. theor. 221 Therefore, (he two triangles having a common bafe _ and their fides equal, have alfc equal angles op- pOtfite to equal fides, i. e. ▲ = and f \ = ^ (B. 1. Pr. S). and eafon — JmL ; for the iame ^ = A, and k confequently Jn* = (B. I. 32); and therefore the triangles are equiangular, and it is evident that the homologous fides fubtend the equal angles. Q. E. D. 33http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVI-Eprop55html Poznámky Teorie podobnosti 64 Implikaci „=>" v předchozí větě se přezdívá věta UU. Mnoho předchozích úvah lze nahradit úspornějším argumentem s podobnými trojúhelníky, viz např.: ► Věta o mocnosti bodu ke kružnicí (s. 41). ► Věta o zlatém řezu v pravidelném pětiúhelníku (s. 47). ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce (s. 17): Důkaz. Trojúhelníky ADC a ACB mají po dvou shodné vnitřní úhly => jsou podobné => AC : AD = AB : AC => Ostatní vztahy lze zdůvodnit podobně... □ O obsazích podobných útvarů Teorie podobnosti 65 Věta Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr odpovídajících stran. A A. B G C E Je-li koeficient podobnosti = k, potom poměr obsahů Poznámky k důkazu Snadné pro k e Z, resp. k e | |. Problematické pro k e Q — možné přístupy: ► limitní přechod, ► vzoreček, ► "elementární" trik.34 34https: //www.math.ubc. ca/~cass/Euclid/book6/images/bookVÍ3-propá9 .htmi -O Zobecnění Pythagorovy věty Teorie podobnosti Věta Pokud jsou mnohoúhelníky nad stranami pravoúhlého trojúhelníku potom obsah mnohoúhelníku nad přeponou je odvěsnami. obsahů těch nad Důkaz. Plyne z předchozího tvrzení (s. 65) a z Pythagorovy věty (s. 17). □ O obsazích kruhů Teorie podobnosti 67 U křivočarých útvarů se Věta Poměr obsahů kruhů je stejný jako poměr úvahám nevyhneme. 35 jejich průměrů Idea důkazu. Každý kruh lze Každé dva kruhy jsou aproximovat mnohoúhelníky, a pokud jsou aproximovány analogicky, jsou odpovídající mnohoúhelníky taky Poměrům obsahů takových mnohoúhelníků rozumíme (s. 65). Poznámka Při obvyklém značení můžeme předchozí tvrzení psát jako □ Si : S2 = r\ : rf neboli SA : rf = S2 : r| 35... v klasickém pojetí pomocí tzv. Eudoxovy metody. O obsahu a obvodu kruhu Věta (Archimedova) Obsah kruhu pravoúhlého trojúhelníku, jehož jedna odvěsna je shodná s poloměrem, druhá s obvodem kruhu. Poznámky Jinými slovy: S = \r -o, kde r = poloměr kružnice a o = její obvod. To spolu s rovností na s. 67 dává S = \r -o — r2. Tzn. stejná konstanta vystupuje ve vyjádření jak obsahu, tak obvodu! Při tradičním značení: 36 https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle#Archimedes's_pfbof = Poznámky ke kvadratuře Libovolný mnohoúhelník kvadráturovat (s. 20), kruh (s. 30). Některé křivočaré útvary však kvadraturovat Hippokratés: Vyznačené půlměsíce nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku mají jako tento trojúhelník. Archimédés: Obsah parabolické úseče je (což jsou opsaného rovnoběžníku) trojúhelníku PQq Q MGZishrnutí (navazuje na s. 50, pokračování na s. 76) Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts O objemech rovnoběžnostěnů (a hranolů) Trocha stereometrie 72 K tvrzením o rovnoběžnících (s. 16, s. 58, s. 65) máme tyto 3D analogie: ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají ► Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je poměr obsahů jejich základen. ► Poměr objemů podobných rovnoběžnostěnů je stejný jako poměr odpovídajících stran. O objemech jehlanů Trocha stereometrie K tvrzením o trojúhelnících uvádíme na ukázku jednu 3D analogii s naprosto neanalogickým důkazem: Věta Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je základen. poměr obsahů jejich Idea důkazu. Každý jehlan lze konečným počtem hranolů. Např. můžeme v obou jehlanech použít hranoly se stejnými výškami. Poměrům objemů takových hranolů rozumíme (s. 72)... □ Poznámky Trocha stereometrie 74 Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieriho princip.37 Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou Teprve odtud máme vzorečky V = S-v, \ 4 \ // \ \ / f v A AS kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. i II II v ' LwJ i i y 1 i I i 1 jiijfiiii v y \jt \tA i iii y l jř I o I 'Ař^ /i ll^A\ /OHI r v i i°i yz-N o r\ k"o kí/"\ I i°i |38 i V| ' r 37 38 http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle Poznámky Trocha stereometrie 74 Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieňho princip 37 Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou Teprve odtud máme vzorečky \ 4 \ // \ \ / f v A AS V = S'V, kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Pozor Ani v případě jehlanů se stejnými základnami a stejnými výškami (tedy se stejnými objemy) úvahy v předchozím důkazu nahradit stříháním a přeskupováním částí jako u rovnoběžnostěnů, resp. hranolů!38 Tzn. 3D analogie Wallaceovy-Bolyaiovy-Gerwienovy věty (s. 20) obecně 37http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle 38https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_third_problemn 4 _pi 1 = O válcích, kuželích, koulích Trocha stereometrie 75 S podobnými úvahami jako na s. 73 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že Poměr objemů válců se stejnou výškou je podstav, poměr objemů koulí je stejný jako poměr poměr obsahů jejich jejich průměrů, objem kužele je roven apod. objemu jemu opsaného válce, Obiei wen j_j 39, O válcích, kuželích, koulích Trocha stereometrie 75 S podobnými úvahami jako na s. 73 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že Poměr objemů válců se stejnou výškou je podstav, poměr objemů koulí je stejný jako poměr poměr obsahů jejich jejich průměrů, objem kužele je roven apod. objemu jemu opsaného válce, Tyto poznatky doplňuje pozoruhodná Věta (Archimedova) Objem koule je roven objemu jemu opsaného válce.39 39 viz např. opět https://cs.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%C5%ABv_práicip □ - Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 23 Kosinová věta 34 O kružnicích 36 Pravidelný pětiúhelník a další 44 Teorie podobnosti 56 Trocha stereometrie 71 Pravidelné mnohostěny 77 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 ~7 r\rr\\ts Platónská tělesa Pravidelné mnohostěny 78 = pravidelné konvexní mnohostěny = konvexní mnohostěny, které mají stejný počet stěn kolem každého vrcholu a jejichž stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky40 Věta Platónských těles je právě pět druhů: čtyřstěn i> krychle osmistěn (H) fy) -6 (83) dvanáctistěn y-20, h-30, s~/2 025) dvacetistěn v-t2,h-30,s~20 (203) 40. => mají všechny stěnové úhly shodné, lze je vepsat do koule atd. http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid □ _pi Důkaz Pravidelné mnohostěny 79 (1) Platónských těles pět druhů: součet úhlů kolem každého vrcholu musí být ostře menší než plný úhel: pro každou z pěti možností je třeba „složit" odpovídající těleso: ► čtyřstěn {3,3}, krychle {4,3}, osmistěn {3,4} jsou snadné, ► pro rozbor dvacetistěnu {3,5} a dvanáctistěnu {5,3} budeme potřebovat větu o pravidelném 5-, 6- a 10-úhelníku vepsaném do téže kružnice (s. 49)... A vertex needs at least 3 faces, and an angle defect. A 0C angle defect will fill the Euclidean plane with a regular tiling. By Descartes' theorem, the number of vertices is 720°/de7iect. (2) Platónských těles pět druhů: Pravidelný dvacetistěn poprvé Pravidelné mnohostěny 80 Bubínek: QL = QR = strana vepsaného Q-úhelníku, LE = strana vepsaného LEQ = ■úhelníku, trojúhelník. Proto podle s. 49: EQ = strana vepsaného 6-úhelníku = poloměr kružnice. EQ = VE, tedy EVWQ je čtverec. Pravidelný dvacetistěn podruhé Čepičky: ' ' trojúhelník, Pravidelné mnohostěny 81 QWZ = QZ = QR = strana vepsaného [^-úhelníku, QW = strana vepsaného | |-úhelníku. Proto podle s. 49: ► WZ = strana vepsaného 10-úhelníku = delší část zlatého řezu poloměru kružnice. WZ = delší část zlatého řezu úsečky WQ. Pravidelný dvacetistěn potřetí Pravidelný dvacetistěn je vepsán do koule. Řez dvacetistěnu a řez viz konstrukci na s. 25 Pravidelný dvanáctistěn stručně Pravidelné mnohostěny 83 Nad každou stěnou krychle uvažme vrcholy U, V, W podle obr... ... a postupně se zdůvodní, že: ► body UBCWV leží v jedné rovině, ► pětiúhelník UBCWV je pravidelný, ► vzdálenost středu krychle je od všech vrcholů stejná. y A RU= RP = delší část úsečky PN. □ s = Užitek Pravidelné mnohostěny 84 Shrnutí4^ (navazuje na s. 76) 85 https://is.muni.cz/el/ped/jaro2023/MA0007/um/prednaska/zakladSi.pdf - = >0^O Základy 4 Dotykové úlohy 86 Úvod 86 Základní úlohy 89 Zobecnění 94 Obecná Apollóniova úloha 97 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Dotykové úlohy Úvod 87 = úlohy s body, přímkami, kružnicemi a jejich dotykem. Definice Přímka a kružnice, resp. dvě kružnice se dotýkají, pokud mají právě jeden společný bod. Věta Přímka se dotýká kružnice v bodě C Kružnice se dotýkají v bodě A je kolmá k průměru FC. spojnice jejich středů prochází bodem A 43 43Důkazy zpravidla nepřímo, viz např. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/booklII/propIIIlĚhtml - Dotyk vs. orientovaný dotyk Úvod 88 Často je výhodné (občas nutné) rozlišovat orientace: ► cyklus = orientovaná kružnice, ► paprsek = orientovaná přímka, ► orientovaný dotyk = dotyk ve shodě s orientacemi. Základy 4 Dotykové úlohy 86 Úvod 86 Základní úlohy 89 Zobecnění 94 Obecná Apollóniova úloha 97 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Základní úlohy s tečnami Tečna z bodu ke kružnici: (a) pomoci Základní úlohy 90 (b) pomoci ... redukováno na předchozí případ. □ e Základní úlohy s kružnicemi základníúiohy 91 Kružnice opsaná trojúhelníku, kružnice vepsaná mezi tři přímky: pomocí Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 92 Kružnice procházející dvěma body a dotýkající se přímky, resp. kružnice: např. pomocí Základní úlohy s kružnicemi Základní úlohy 93 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou přímek: (a) pomocí 45 (b) pomocí 45... redukováno na předchozí případ (s. 92). < ► < -E ► < E ► E O Q, O Základy 4 Dotykové úlohy 86 Úvod 86 Základní úlohy 89 Zobecnění 94 Obecná Apollóniova úloha 97 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Mírné zobecnění Zobecnění 95 Kružnice dotýkající se kružnice a dvou přímek: ť II L (a) pomocí 46 (b) pomocí 46... redukováno na předchozí případ (s. 93). (Další zobecnění) Zobecnění 96 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou kružnic: Pomocí lze ukázat, že platí SKSA = SP-SQ'. Tím je bod K jednoznačně určen, umíme jej sestrojit, 47 47 a tím redukováno na předchozí případ (s. 92). -oo Obecná (neorientovaná) úloha má až 8 řešení; se zvolenými orientacemi dostáváme řešení po •3 & €fc •© «2 •6 POZnálTlky Obecná Apollóniova úloha 99 Zajímavá historie, mnoho rozličných řešení a řada aplikací...48 Viz např. van Roomenovo řešení, Newtonovu reformulaci a problém trilaterace... Středy všech cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří 48 http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius i □ i < _pi 1 = 1 >o^O Náš přístup Obecná Apollóniova úloha 1 00 Z předchozích ukázek je patrné, že budeme protěžovat užití geometrických transformací k zjednodušení problému: ► souměrnosti, ► stejnolehlost, ► dilatace, ► kruhová inverze, ► apod. Podrobnosti k jednotlivým transformacím od s. 103... Ukázka typického použití na s. 115... Poznámka Obecná Apollóniova úloha 101 Specifická zadání nabízejí mnohá (a specifická) řešení: Poznámka Specifická zadání nabízejí mnohá (a specifická) řešení: Obecná Apollóniova úloha 101 např. pomocí mocnosti, stejnolehlosti, dilatace, souměrnosti, výpočtu, kruhové inverze Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Dilatace jakožto příklad problémového zobrazení Dilatace 103 Dilataci jsme poprvé potkali při konstrukci společných tečen ke dvěma kružnicím (s. 90): Popis dilatace jakožto geometrického zobrazení je ošidný: nemá smysl mluvit o obrazu bodu jako takovém ( měli jsme vždy bod na orientované kružnici, resp. přímce, není podstatná ona kružnice, resp. přímka, ale 50 orientovaný dotyk nejsnáze znázorníme tečným (vázaným) vektorem. 50Na rozdíl od všech ostatních zobrazeních v tomto kurzu! Dilatace jakožto příklad kontaktního zobrazení Dilatace 104 Co to je? Orientované kontaktní zobrazení v rovině Čím je určena? Nenulovým reálným číslem p. Jak je určena? Obraz lib. zastoupeného vektorem v je reprezentován vektorem v', který je posunut o vzdálenost p kolmo k v, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci... Jaké má vlastnosti? Orientované kontaktní zobrazení K čemu to je dobré? Zachovává orientovaný dotyk křivek (viz s. 90, 95, 116, ...) Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 < S1 ► < E ► < E ► E O Q, O Kruhová inverze Kruhová inverze 1 06 51 Co to je? Transformace roviny vyjma Čím je určena? Kružnicí se středem O a poloměrem r.52 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A ž O leží na polopřímce OA, a to tak, že \OA\\OAř\ = ŕ neboli \OA'\ = \OA\ Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s kružnicí pevných bodů, základní konformní transformace v rovině, nepřímá, 51 tzv. střed kruhové inverze 52tzv. řídící kružnice Vlastnosti Zřejmé: Kruhová inverze 1 07 (a) Kruhová inverze je involutivní transformace. (b) Všechny body na řídící kružnici jsou pevné. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice, se zobrazuje dovnitř, a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze je pevná; přitom jediné pevné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a lim X = X^co resp. lim X' Nezřejmé: (e) Kružnice procházející středem O se zobrazuje na středem O), a naopak. (f) Kružnice kolmá ke l~ se zobrazuje (neprocházející Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do neprocházející O. (h) Kruhová inverze je konformní, tzn. zobrazení. Vlastnosti Kruhová inverze 1 08 (e) Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. Důkaz. Předp. extrémní dvojici A i-> A', kde OA _l i a OA' = průměr y Ozn. B e i a B' e y průsečíky s lib. přímkou jdoucí O. Dokážeme, že B a B' jsou inverzního vzhledem ke l~: ► Thaletova věta = * úhel OB'A' je > trojúhelníky OAB a OvVB' jsou neboli OB' -OB = OA' OA Body A a A' jsou inverzní vzhledem ke l~, takže B a B' taky: OB' • OB = OA' ■ OA = □ Vlastnosti Kruhová inverze 1 09 (f) Kružnice kolmá ke V se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke ľ. Důkaz. Kružnice y protíná řídící kružnici ľ kolmo53 <^^> poloměr OP je ke kružnici y <^^> pro libovolnou sečnu jdoucí bodem O platí 54 OA ■ OAf = <^^> body A aAř jsou vzhledem ke l~. □ 53tzn. tečny ve společném bodě P jsou kolmé 54podle věty o bodu ke kružnici (s. 41) < ► < E ► < E ► E O Q, O Vlastnosti Kruhová inverze 110 (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. Důkaz. Uvažme kružnici ŕ, která je soustředná s ľ a protíná kružnici y kolmo. Ukážeme, že složení kruhových inverzí Ť a ľ je :55 ► Ozn. A i-> A' kruhovou inverzi vzhledem ke ľ a A i-> Ä kruhovou inverzi vzhledem ke Ť, tedy OAOA = a O A ■ OAf = ► Odtud po úpravě OA' : OA = = konst. neboli O A' = konst • OA. □ 55... zbytek je jasný: z předchozího (s. 109) a vlastností stejnolehlosti (s. 132) plyne, že obrazem y vzhledem ke r je kružnice. Pozor Kruhová inverze 111 Při stejnolehlosti ľ o r : A i-> Af se střed y na střed yf Při kruhové inverzi V : A i-> A' se střed y na střed y' (Viz též obraz středu y vzhledem ke kruhové inverzi f...) Vlastnosti Kruhová inverze 112 (h) Kruhová inverze je konformní zobrazení.56 Důkaz. ► Odchylka dvou křivek v jejich společném bodě P = odchylka jejich m , které Místo dvou obecných křivek můžeme uvažovat lib. dvě prochází bodem P a mají přímky m a i jako tečny. Místo obecných dvou kružnic můžeme uvažovat kružnice y\ ay2, které jsou k řídící kružnici l~! Avšak kružnice y\ a y2 se zobrazují P je bod P' kružnic a odchylka v bodě P je (s. 109), obrazem bodu jako odchylka v bodě Pf □ 56 úhlojevné, tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Poznámky Kruhová inverze Každé podobné zobrazení je konformní. Dalším známým nepodobným konformním zobrazením je např. stereografická projekce (sféry bez jednoho bodu do roviny): Kruhovou inverzi lze vyjádřit pomocí stereografické projekce a souměrnosti sféry podle roviny rovníku... Konformní zobrazení Kruhová inverze a obecná konformní zobrazení: ► nezachovávávají vzdálenosti ani poměry vzdáleností, ► nezobrazují přímky na přímky, ► nezachovávávají obsahy, resp. objemy, ► ale zachovávávají odchylky protínajících se křivek, ► jsou prostá (injektivní). Orientovaná Apollóniova úloha: ra=27 rb = -6 rc= 10.8 d = 0 Sestrojit cykly, které se dotýkají tří daných cyklů 57http://ggbtu.be/mrFsNSnbN Užitek (1) vhodná d = -10.8 «- .. .tím je úloha redukována na případ s bodem místo kružnice, .. □ rS1 Užitek (2) vhodná ... kružnice procházející bodem C se zobrazují do přímek (s. 108), ... Užitek (3) 118 dvou kružnic: ... což je jedna ze základních úloh (s. 90), ... Užitek 119 Užitek (5) zpět: 120 Hlavní větev geometrických zobrazení 121 Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 < S1 ► < E ► < E ► E O Q, O Osová souměrnost Shodná zobrazení 1 23 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o.58 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na kolmici k ose, a to tak, že kde X0 = průsečík XXf s osou o. Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s přímkou pevných bodů, základní shodnost v rovině, nepřímá transformace, ... tzv. osa Obecná shodná zobrazení Shodná zobrazení 1 24 Definice Shodné zobrazení (a) zachovává vzdálenosti, tzn. pro libovolné body A,B a jejich obrazy A', Bř platí Další vlastnosti (b) zachovává kolineárnost bodů, (c) zachovává odchylky přímek, (d) zachovává obsahy, resp. objemy, (e) je prosté (injektivní). Shodnosti v rovině Shodná zobrazení 1 25 Shodnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj. tří bodů v obecné poloze). Věta Každá shodnost v rovině je složením nejvýše osových souměrností. -°3 no\/ to o by -> Af ... do i-> B' ... d( Shodnosti v rovině Shodná zobrazení 1 25 Shodnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj. tří bodů v obecné poloze). Věta Každá shodnost v rovině je složením nejvýše osových souměrností. -°3 Důkaz. Postupně vkládáme osy tak, aby ► /IhA'... dořešíme obrazy B i-> B<\ a C i-> Ci, ► B^ i-> B' ... dořešíme obraz d i-> C2, atd. □ proto je osová souměrnost základní shodností v rovině. < ► < E ► < E ► E O Q, O Klasifikace v rovině Shodná zobrazení 1 26 Odtud klasifikace shodností v rovině: (a (b (c (d (e (f identita = složení dvou os. soum. takových, že | |o2, posunutí = složení dvou os. soum. takových, že o^ 02. otáčení = složení dvou os. soum. takových, že o^ a o2 jsou středová souměrnost = složení dvou os. soum. takových, že o^ osová souměrnost = jedna os. soum., posunutá souměrnost = složení os. soum. 02, Poznámky Shodnost s přímkou pevných bodů je právě osová souměrnost (e). Shodnosti (a)-(d) jsou přímé (zachovávají orientaci), shodnosti (e)-(f) jsou nepřímé (mění orientaci). Pojmenování (f) je odvozeno z možného rozkladu na osovou souměrnost a posunutí: Symetrické vzory Odtud klasifikace symetrických vzorů, viz např. frízových vzorů 59 ^ ^ ^. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ J tapetových vzorů 60 atp. http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Stejnolehlost aneb škálování Podobná zobrazení 129 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Bodem S a nenulovým reálným číslem k.61 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží přímce SX, a to tak, že Jaké má vlastnosti? Transformace se pevným bodem, základní podobnost, v rovině přímá transformace, ... tzv. střed a koeficient = poměr škálování Speciální a mezní případy Podobná zobrazení 130 Spec. pro koeficient |k| = 1 dostáváme shodnosti: , pokud k = 1, , pokud k = -1. Pokud bychom připustili k = 0, dostaneme velmi degenerovaný případ: -írJnP^ •<_► •<_► _ O Q, O Základní vlastnosti a skládání stejnolehlostí Podobná zobrazení 131 Základní poznatek známe ze s. 60! Zejména, každá stejnolehlost je ► podobné zobrazení, které ► každou přímku zobrazuje na přímku s ní rovnoběžnou. Zobrazení s těmito vlastnostmi není mnoho, jmenovitě tři: Věta Složení dvou stejnolehlostí se středy S<\, resp. S2 a koeficienty k*, resp. k2 je: , právě když k< • k2 = 1 a Si = S2, , právě když k< • k2 = 1 a Si ^ S2,62 , právě když kA-k2±\ 63 -> 62..., přičemž vektor posunutí je násobkem vektoru S^ S2 63... pokud Si ž S2, potom střed výsledné stejnolehlosti leží na přímce S<\ S2 ť Stejnolehlý obraz kružnice Podobná zobrazení 132 Stejnolehlým obrazem kružnice je kružnice, X' Kl [ S1 i 1 Á í X" k2 každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, ... a to I I způsobem. Mongeova věta Podobná zobrazení 133 Odtud (pro zajímavost) Mongeova věta:64 Věta Mezi šesti středy stejnolehlostí tří kružnic jsou trojice. Důkaz. Plyne z věty o skládání stejnolehlostí (s. 131)... □ 64 uplatnění např. při řešení obecné Apollóniovy úlohy 1 O o, O Obecná podobná zobrazení Podobná zobrazení 134 Definice Podobné zobrazení (a) zachová poměry vzdáleností, tzn. pro libovolné body A,B a jejich obrazy A\Bf platí kde k = kladná konstanta, tzv. koeficient podobnosti. Další vlastnosti (b) zachovává kolineárnost bodů, (c) zachovává odchylky přímek, (d) obsahy se mění krát, resp. objemy se mění -krát, (e) je prosté (injektivní). Poznámky Podobná zobrazení 135 Podobnost v rovině je dána obrazem trojúhelníku (tj. tri bodů v obecné poloze) Každé shodné zobrazení je podobné (s koeficientem k = 1). Každé podobné zobrazení je složením nějaké proto je stejnolehlost základní podobností. Užitek Podobná zobrazení 136 Pantograf65 http://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph □ r_p - = >OQ,o Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Osová afinita aneb škálování v jednom směru Afinní zobrazení 138 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o, směrem s a nenulovým reálným číslem m.66 Jak je určena? Obraz X' lib. bodu X leží na přímce se směrem s, a to tak, že kde X0 = průsečík XXf s osou o. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní afinní transformace v rovině, přímá/nepřímá podle znaménka m, ... tzv. osa, směr škálování a modul = poměr škálování v daném směruc Speciální a mezní případy Afinní zobrazení 1 39 Speciálními, resp. mezními případy osové afinity jsou osová souměrnost, pokud šikmá souměrnost, pokud elace aneb naklonění, pokud Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerovaný (neinjektivní) případ: do přímky o ve směru s. Základní vlastnosti Afinní zobrazení 140 Osová afinita zachovává: (a) kolineárnost bodů, (b) poměry vzdáleností trojic kolineárních bodů, (c) rovnoběžnost přímek. 'X, y a' 6ÍK Důkaz. Variace na □ □ i_p Další vlastnosti Afinní zobrazení 141 Osová afinita s osou o, směrem s a modulem m: (d) zobrazuje přímku p do sebe, právě když nebo (e) je přímá, resp. nepřímá, právě když m , resp. m (f) je involutivní, právě když m = (g) obsahy se mění I I-krát. •<_► •<_► _ o o, o Obecná afinní zobrazení Afinní zobrazení 1 42 Definice Obecné afinní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a)-(c) z předchozí strany. Bijektivní afinní zobrazení se nazývá afinita. Afinita, která zachovává obsahy (resp. objemy), se nazývá ekviafinita (viz šikmou souměrnost nebo elaci). Poznámka Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) A Ve skutečnosti (v jistých případech) vlastnost (a) (b) a (c)... 67 67 ... viz základní větu afinní geometrie (příští semestr) Afinity v rovině Afinní zobrazení 1 43 Analogicky k tvrzení na s. 125 máme: Věta Každá afinita v rovině je složením nejvýše osových afinit. Důkaz. Myšlenka důkazu je , volnost v realizaci □ proto je osová afinita základní afinitou v rovině. Příklad Stejnolehlost jako složení dvou osových afinit: O určenosti afinního zobrazení Afinní zobrazení 1 44 Afinní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy různých bodů... Afinní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy poloze... bodů v obecné Věta Prosté afinní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy bodů v obecné poloze. Důkaz. Induktivní a konstruktivní — pomocí 68 a přenášeni □ 68https://ggbm.at/yWcCaQeA Shrnutí a poznámky Afinní zobrazení 1 45 Každé podobné zobrazení je afinní. Každé shodné zobrazení je ekviafinní. Podobné a ekviafinní zobrazení je 3-rozměrnou analogií osové afinity je afinita s 3-rozměrnou analogií rovnoběžného promítání do přímky je rovnoběžné promítání do Obecné afinní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► zachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► být prosté (injektivní). Užitek Afinní zobrazení 1 46 Afinní obraz pravidelného šestibokého hranolu a jeho řez rovinou KLM... http://ggbtu.be/mkvJL3iqr □ S - = *)c\(y Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Poslední zobecnění Projektivní rozšíření 1 48 Poslední příspěvky do sbírky základních zobrazení (s. 121): Od posunutí ke stejnolehlosti to je stejné... ... jako od osové afinity k osové kolineaci... ... nebo jako od rovnoběžného promítání ke středovému... Jak to funguje? Projektivní rozšíření Posunutí vs. stejnolehlost: — ■A- / A ' ŕs' / -V / \ / \ / \ ' \ A _.\ -■ŕ " \ \ y A* \ X'X II A' A XX' = A A' = smer, . vektor posunutí, SX' _ s/v_ ŠX ŠA X'XnA'A n... střed, = ... koef. stejnolehlosti, „Posunutí = stejnolehlost se středem v Jak to asi funguje? Osová afinita vs. osová kolineace: Projektivní rozšíření 1 50 y a * X'X II A'A xx0 X'X0 /\M0 . smer, ... modul, X'X n A'A n ... střed, ???? = 9??? = ... modul,70 ,Osová afinita = osová kolineace se středem v 70kde ???? je nějak určeno body A, A', A0 a S. Jak to asi funguje? Rovnoběžné vs. středové promítání: Projektivní rozšíření 151 ► A'A || B'S || ... směr, A'A nB'Bn... střed, ► 4^1 = M = ... zákl. invariant, ???? = ???? = ... zákl. invariant,71 B'C BC „Rovnoběžné promítání = středové promítání se středem v kde ???? je nějak určeno body A, B, C a D. Dělicí poměr a dvojpoměr Projektivní rozšíření 1 52 Definice Dělicí poměr trojice kolineárních bodů (A, B, C) je reálné číslo d takové, že platí —> —> AC = d-BC; značíme a zapisujeme takto: d = (AB C) = AC BC Dvojpoměr čtveřice kolineárních bodů (A, B, C, D) je poměr dělicích poměrů (AB C) : (AB D); značíme a zapisujeme takto: (AB CD) = AC AD BC BD Poznámky Vzhledem k tomu, že lim (AB D) = d—>oo , platí lim (AB CD) = d—>oo < -E ► E O Q, O Známe Projektivní rozšíření 1 53 Věta Při rovnoběžném promítání se zachovávají poměry trojic kolineárních bodů 72 / a.) Důkaz. (a) Spec. případ plyne z (b) Obecný případ plyne z (a) a v rovnoběžnících. trojúhelníků AA'C a BB'C (s. 60). protilehlých stran □ 72 pokud se různé body zobrazí na různé body. Nově Projektivní rozšíření 1 54 Věta (Pappova) Při středovém promítání se zachovávají dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.73 (TO Důkaz. (a) Spec. případ (C = C a SD' || p) plyne z a vztahu (AB C) = (AB CD^) (s. 152). (b) Obecný případ plyne z (a) a trojúhelníků (s. 60) trojúhelníků. □ 73 pokud se různé body zobrazí na různé body. 1 O Q, O Detaily k důkazu Pappovy věty (a) Projektivní rozšíření 1 55 Z modré, resp. oranžové podobnosti plyne AC ŠD' Po dělení AC BC resp. BC ŠD' tudíž (ABC) = (AřBř CřDř). Levá strana je však totéž, co (AB CD^), tedy (AB CDoo) = (A B C D ). >oq,o Detaily k důkazu Pappovy věty (b) Projektivní rozšíření 1 56 -1 c", Doplníme rovnoběžky s přímkou SD jdoucí bodem C, resp. C. Z (a) plyne (A< B^ C) = , resp. {A2B2 C) = Ze žluté podobnosti plyne , a tedy (AB CD) = (AfBf CD'). Pozor! Projektivní rozšíření 1 57 Obecná afinní zobrazení fungují v rovině, resp. prostoru, Při osové kolineaci či středovém promítání některé body obraz, jiné vzor; resp. jsou „ to jsou tzv. Oběžníky, horizont apod. Pro větší pohodlí si náš eukleidovský prostor Eukleidovský prostor rozšířený o „body v nekonečnu" je tzv. projektivní prostor. Původní body jmenujeme vlastní, ty nové pak nevlastní. Projektivní rozšíření Projektivní rozšíření 1 58 Přesněji, body rozšířeného prostoru (A) ztotožňujeme s přímkami (a,) procházejícími nějakým externím bodem (S): 4, — ---> —\ Vlastní body odpovídají s původním (nerozšířeným) prostorem , nevlastní body Tedy: Projektivní rozšíření eukleidovské přímky má Projektivní rozšíření eukleidovské roviny má ► Každé dvě přímky v projektivní rovině se ► Atd. nevlastní bod, nevlastních bodů. □ s 5 -T)<\(y Uspořádání Projektivní rozšíření 1 59 Projektivní přímka je Projektivní přímka projektivní rovinu na dvě nesouvislé části 74 Uspořádání bodů na projektivní přímce valného smyslu: H--+- C E D Eukleidovská vs. projektivní přímka 74 Vzpomeňte na diskuzi kolem věty o vnějším úhlu v trojúhelníku (s. 11^ Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 OSOVá kolineaCe pOřádně (VÍZ S. 150) Projektivní zobrazení 161 Co to je? Transformace projektivní roviny. Čím je určena? Přímkou o, bodem S a nenulovým reálným číslem m.75 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na přímce SA, a to tak, že kde A0 = průsečík AAf s osou o. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou pevných bodů, základní projektivní transformace v rovině, ... tzv. osa, střed a modul Speciální a mezní případy projektivní zobrazení 162 Speciálními, resp. mezními případy osové kolineace jsou: ► osová afinita, pokud S je ► stejnolehlost, pokud o je ► posunutí, pokud S i o jsou Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerované (neinjektivní) případy: ► středové promítání do přímky o z bodu S. ► rovnoběžné promítání do přímky o, pokud S je Základní vlastnosti (víz s. uo) Projektivní zobrazení 1 63 Osová kolineace zachovává: (a) kolineárnost bodů, (b) dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů. x* Důkaz. Plyne z definice a z □ Další vlastnosti (viz s. 141) Osová kolineace s osou o, středem S a modulem m: (d) zobrazuje přímku p do sebe, právě když nebo (e) je involutivní, právě když m = Poznámky (f) I smysl (globálně) řešit zdaje přímé/nepřímé, (g) smysl (globálně) řešit změny obsahů. Obecná projektivní zobrazení (víz s. 142) Projektivní zobrazení 165 Definice Obecné projektivní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a) a (b) z předchozí strany. Bijektivní projektivní zobrazení se nazývá projektivita nebo kolineace. Poznámky Základní vlastnosti (a) a (b) nejsou zcela nezávislé Ve skutečnosti (v jistých případech) vlastnost (a) (b). 76 ... viz základní větu projektivní geometrie a její důsledky (za rok)! Projektivity V rovině (rýmuje se s. 143) Projektivní zobrazení 1 66 Analogicky k předchozím případům máme: Věta Každá kolineace v (projektivní) rovině je složením nejvýše osových kolineací. Důkaz. Myšlenka důkazu je , volnost v realizaci □ ... také proto je osová kolineace základní kolineací v rovině. určenosti projektivního zobrazení (doplňuješ. 144) Projektivní zobraze Projektivní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy různých bodů, tedy např. obrazy různých vlastních bodů a úběžníkem. Projektivní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy bodů v „dostatečně obecné" poloze, nebo obrazy vlastních bodů v obecné poloze a odpovídajími úběžníky O určenosti projektivního zobrazení (doplňuješ. 144) Projektivní zobrazení 1 67 Projektivní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), ► tj. obrazy různých bodů, tedy např. obrazy různých vlastních bodů a úběžníkem. Projektivní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy bodů v „dostatečně obecné" poloze, nebo obrazy vlastních bodů v obecné poloze a odpovídajími úběžníky Věta Prosté projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy vlastních bodů v obecné poloze a odpovídajícími úběžníky Důkaz. Induktivní a konstruktivní — pomocí 77 a přenášeni □ 77 https://ggbm.at/yWcCaQeA < ► < E ► < E ► E O Q, O ShrnUtí a pOZnámky (VÍZ S. 145) Projektivní zobrazení 168 Každé afinní zobrazení je projektivní. Projektivní zobrazení, které zobrazuje (ne)vlastní body na (ne)vlastní, je 3-rozměrnou analogií osové kolineace je kolineace s 3-rozměrnou analogií středového promítání do přímky je středové promítání do Obecné projektivní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává dvojpoměry vzdáleností čtveřic kolin. bodů, ► nezachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► nezachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► být prosté (injektivní). Žitek (viz s. 146) Projektivní zobrazení 1 69 Projektivní obraz pravidelného šestibokého hranolu a jeho stín... https://www.geogebra.org/rn/sbeyg5zy □ _pi - = >OQ,o Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení Dilatace a kontaktní zobrazení Kruhová inverze a konformní zobrazení Souměrnosti a shodná zobrazení Stejnolehlost a podobná zobrazení Osová afinita a afinní zobrazení Poslední zobecnění a projektivní rozšíření Osová kolineace a projektivní zobrazení Shrnutí a přehledy 102 102 105 122 128 137 147 160 170 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Osa vs. střed Shrnutí a přehledy 171 Vše, co jsme kdy jmenovali základní transformací v rovině, mělo k79 osu = přímku střed = takový bod, že každá jím jdoucí přímka je Osa nebo střed mohou být jak vlastní, tak nevlastní (s. 162). Z Desarguesovy věty (s. 172) vyplývá, že projektivní transformace v rovině má osu má střed! 79https://ggbm.at/az7e9qsC < ► < E ► < E ► E O Q, O Desarguesova věta Shrnutí a přehledy 1 72 Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ' prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXrYr,YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. Desarguesova věta... Desarguesova věta Shrnutí a přehledy 1 72 Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a Xf Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YYř, ZZř prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXřYř,YZa Y'Zř, XZ a X'Zř leží na jedné přímce. ...a její trojrozměrná interpretace. Elementární zdůvodnění problematické; jiný přístup (a zobecnění) za rok... Přehled základních transformací v rovině Shrnutí a přehledy 1 73 střed S osa o S e o modul druh vlastní vlastní ne 0 (středové promítání do přímky) ano 1 projektivní elace ne -1 harmonická souměrnost ne jinak osová kolineace nevlastní vlastní ne 0 (rovnoběžné promítání do přímky) ano 1 elace ne -1 šikmá, resp. osová souměrnost ne jinak osová afinita vlastní nevlastní ne 0 (promítání do bodu) ne 1 identita ne -1 středová souměrnost ne jinak stejnolehlost nevlastní nevlastní ano 1 posunutí Transformace je involutivní <^^> modul = (Degenerované případy <^^> modul = Pro afinní transformace: přímá <^^> modul , nepřímá <^^> modul Přehled typů zobrazení a jejich vlastností Shrnutí a přehledy 1 74 kolin. vzdál. děl. porn. dvojpom. rovnob. obs. odch. projektivní + — — + — — — afinní + — + + + — — ekviafinní + — + + + + — podobná + — + + + — + shodná + + + + + + + konformní — — — — — — + Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je Afinní zobrazení, které zachovává poměry vzdáleností jakýchkoli (tedy i nekolineárních) trojic bodů, je Konformní zobrazení, které je projektivní, je Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je Hierarchie zobrazení (víz s. 121) Shrnutí a přehledy 175 V.«) »a- c- '<-x ^ k riA k o i/o.' i'^"u p ^0 j t L x iv "» i „Sou' t'h'nUcf- ř , / rovno L * -vh In 0^ - ■ i / " -f <; 1^ » iA w. a. 0 $ o v <\ *> ° ť N> O <, U. iri "t I . rn»S Užitek Shrnutí a přehledy 176 Mnoho základních zobrazení můžeme (resp. znázorňování původně stereometrických problémů ) pozorovat při Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Podle způsobu promítání dělíme na: ► středové, ► rovnoběžné, ► exotické. Podle způsobu provedení dělíme na: ► volné,81 ► vázané,82 ► vychytané,83 ► analytické,84 ► exotické85. ... takto jsme to dělali dosud, za chvíli, za chvíli, takto budeme dělat příští rok, pro zajímavost... Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Volně 178 Vázaně 182 Analyticky 186 Exoticky 189 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Umíme: středové a rovnoběžné promítání (viz s. 165 a 142) Volně 179 Středové promítání (projekce) je modelové projektivní zobrazení: (i) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (ii) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.86 Nevlastní body mohou mít vlastní obrazy (tzv. úběžníky) a naopak. Rovnoběžné promítání je středové promítání s nevlastním středem. Rovnoběžné promítání je afinní zobrazení, navíc tedy (iii) zachovává rovnoběžnost přímek, (iv) zachovává obyčejné poměry trojic kolineárních bodů.87 ... kdykoli to dává smysl (pokud se různé body zobrazí na různé) ... kdykoli to dává smysl... Umíme: volné promítání (viz s. 167 a 144) Volné středové/rovnoběžné promítání je určeno několika málo body a obecnými vlastnostmi projektivních/afinních zobrazení (i)-(iv): Věta „Nepříliš degenerované" (a) afinní, (b) projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy (a) bodů v obecné poloze, (b) bodů v obecné poloze a odpovídajícími Oběžníky Základní konstrukce jsou: (a) (b) a přenášeni a přenášeni Poznámka V předpokladu věty tušíme jistý zádrhel: Jak sestrojit obraz bodu v „souřadné rovině", která se zobrazuje do přímky Volný průmět pravidelného dvanáctistěnu ... pomocí vepsané krychle (podle s. 83): Základy 4 Dotykové úlohy 86 Geometrická zobrazení 102 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 177 Volně 178 Vázaně 182 Analyticky 186 Exoticky 189 Závěrečné shrnutí 195 Zdroje 201 Nově: vázané promítání vázaně 183 Vázané promítání je určeno přesným vymezením průmětny a středu, resp. směru promítání vzhledem k zobrazovanému objektu. Pro zadání si pomáháme s pomocnými sdruženými průměty (nárys, půdorys): Na rozdíl od předchozí metody odpadají jakékoli omezující předpoklady! Základní konstrukční dovednosti jsou: přímky a roviny, odměřování a přenášení < ► < -E ► < E ► E O Q, O Vázaný průmět kvádru88 ... do speciálně zvolené průmětny p: i i - f 0 0 t ^ (6x0 - : 0 : 6x2 : 6x3 - 5^); tj. íx°) í6 -1 0 0] M ^1 0 0 0 0 x2 0 0 6 0 x2