MA0012 Matematická analýza 3 — jaro 2023
Zadaní pro kolokvium
Podmínky a pokyny ke zpracovaní
(1) Každý student si vybere a samostatně zpracuje sadu libovolných příkladů z uvedeného
seznamu tak, aby bylo dosaženo splnění podmínky absolvování. Je nutné
vybírat příklady různých typů.
(2) Podmínkou úspěšného absolvování je správné vyřešení alespoň 40% všech příkladů
na seznamu.
(3) Zpracované zadání student na kolokviu vyučujícímu ve stručnosti okomentuje.
(4) Termíny kolokvia a podmínky účasti viz pokyny:
https://is.muni.cz/auth/el/ped/jaro2023/MA0012/Kolokvium/pokyny.pdf
1. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
−
2y
x
= −x2
y2
2. Vyřešte počáteční úlohu
y′
= e−x−y
,
y(0) = e − 1
3. Nalezněte obecný integrál diferenciální rovnice
y′
+ xy = x3
y3
4. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
= ex−y
5. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
−
ln(ln x)
x ln(x)
y = 0
6. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+
3
2
x2
y
= 0
7. Určete řešeni diferenciální rovnice
y′
+ xy = x3
y3
vyhovující podmínce y(1) = 0.
8. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
− x(y2
− 4) = 0
9. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+ xy = −
1
2
xy2
1
2
10. Vyřešte počáteční úlohu
y′
− xy = −
x
4
,
y(0) = 1
11. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+ xy = −
x
2
12. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+
y
x2 + 1
=
2
3x2 + 3
13. Vyřešte diferenciální rovnici
2y′′
+ 5y′
+ 3y = −25e3x
14. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 6y′
+ 9y = 2e3x
15. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 6y′
+ 9y = 9x3
− 81x2
16. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 6y′
+ 9y = 2e−3x
17. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 6y′
+ 9y = 2e3x
18. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 8y = e2x
(2 sin 2x − cos 2x)
19. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 8y = e3x
(2 sin x − cos x)
20. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 5y = (16 − 12x)e−x
21. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 2y′
+ 5y = − sin 2x
22. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 3y = (−3 sin x + 4 cos x)ex
23. Vyřešte počáteční úlohu
y′
= 22x−y
,
y
1
2
= 0
Nápověda: Využijte počáteční podmínku a vylučte konstantu ihned po integraci.
3
24. Vyřešte diferenciální rovnici
(1 + ex
) y′
= ex
y
25. Ověřte řešitelnost počáteční úlohy
xy′
+ y(1 + ln y) = 0,
y (1) = 0
26. Vyřešte diferenciální rovnici
−x2
y′
+ y ln y = 0
27. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 16y = x + ex
28. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 16y = x + ex
29. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 9y = sin x + 1
30. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 4y = ex
+
1
2
31. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
− 4y′
+ 4y = e2x
+ e−x
32. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+ 4y = −1
33. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+
ex − 1
ex + 1
y = 0
34. Vyřešte uvedenou diferenciální rovnici a určete její řešení splňující dodatečnou
podmínku y(1) = − ln 2:
xy′
= xe
y
x + y
35. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
+
e−x + 1
e−x − 1
y = 0
36. Vyřešte počáteční úlohu
y′
+
e−x
e−x − 1
y = 0,
y(1) = 1
37. Vyřešte počáteční úlohu
y′
+
2
x
y = 0,
y(1) = 1
4
38. Vyřešte počáteční úlohu
y′
+ 2y = −2,
y(1) = −1
39. Vyřešte počáteční úlohu
y′
+ 3y = −1,
y(0) = 0
40. Vyřešte počáteční úlohu y(0) = 0 pro diferenciální rovnici
y′
= (x − y)2
+ 1
41. Nalezněte obecný integrál diferenciální rovnice
x2
+ xyy′
= −2xy
42. Vyřešte počáteční úlohu
y′
= y − 2y2
,
y(0) = 0
43. Vyřešte počáteční úlohu
y′
= y − 3y2
,
y(0) = 1
44. Vyřešte diferenciální rovnici
x2
y′
= −3
√
y
45. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
= −64y + x 1 + ln
1
e
46. Vyřešte diferenciální rovnici
y′
=
y2 − x2
2xy
47. Vyřešte diferenciální rovnici
y′′
+ 36y = −
1
2
48. Vyřešte počáteční úlohu y(0) = −1 pro diferenciální rovnici
y′
= (x − y)2
+ 1