IMA12 Matematika 2 - Domácí zápočtový úkol (jaro 2024)
1. Ze 68 studentů chodí pravidelně na oběd nebo na večeři 54 studentů.
53 studentů nechodí na oběd nebo nechodí na večeři. Přitom na oběd
jich chodí o 19 více než na večeři. Kolik studentů chodí na obědy i na
večeře? Kolik jen na večeře?
2. Je dána množina Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Určete výčtem prvků množiny A,
B, jestliže platí:
A − B = A B = {3, 4, 5} ∧ {1, 2} ⊂ A .
Situaci zakreslete pomocí Vennových diagramů.
3. Rozhodněte, který ze vztahů =, =, ⊂ platí vždy pro množiny L, P, jestliže
je dáno:
L = [(A ∪ B) − (B − A)] − (C − A),
P = [A ∪ (B ∩ C)] ∩ (A ∪ B).
Jaké podmínky musí splňovat množiny A, B, C, aby platilo L = P?
Situaci znázorněte množinovými diagramy.
4. Je dána množina Z = {1, 2, 3, 4, 5}. Zapište výčtem prvků množiny A, B,
jestliže platí:
A − B = {1, 3} ∧ A ∩ B = {2, 4}.
Situaci znázorněte množinovým diagramem. Úloha má více řešení.
5. Pomocí symbolů ∅ a • zaznamenejte do množinového diagramu, že pro
množiny A, B, C platí:
A − B = B − A ∧ C ⊂ A B ∧ A = ∅.
Rozhodněte, který z následujících výroků je pravdivý nebo nepravdivý:
1. B = ∅, 2. A ∩ C = ∅, 3. A ∪ B ⊂ B, 4. A C = A, 5. A = ∅.
6. Rozhodněte o vlastnostech binární relace
S = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [a, d], [d, a], [b, c], [c, b]}
v množině M = {a, b, c, d} a všechna svá tvrzení zdůvodněte. Sestrojte
kartézský graf relace S. Uveďte, zda relace S je relací ekvivalence na
množině M. Pokud ano, určete rozklad T množiny M příslušný relaci
ekvivalence S.
7. V množině A = {1, 2, 3} jsou deﬁnovány binární relace:
R1 = {[x, y] ∈ A × A; x > 1 ⇒ x + y = 1},
S = {[2, 2], [3, 2]}.
Zapište výčtem prvků binární relaci R1 a S ◦ R1. Sestrojte uzlový
graf binární relace S v množině A. Zapište, které z vlastností R,
AR, S, AS, T , SO má relace S. Svá tvrzení zdůvodněte.
8. V množině M = {1, 2} je deﬁnována binární relace R2 = {[1, 1], [2, 2]}.
Dokažte, že relace R2 je relací ekvivalence na množině M a zapište
výčtem prvků rozklad T množiny M, který ekvivalence R2 určuje. Rozhodněte
a zdůvodněte, zda je relace R2 uspořádání v množině M. Pokud
ano, určte přestně jeho typ.
9. V množině A = {a, b, c} je dána binární relace R charakteristickou vlast-
ností:
R = {[x, y] ∈ A × A : x = a ⇒ x = y}.
Určete výčtem prvků binární relace R, R , R−1
. Sestrojte kartézský
graf binární relace R. Rozhodněte o vlastnostech relace R a svá tvrzení
zdůvodněte.
10. Jsou dány množiny A = {−2, −1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}.
a) Zapište výčtem prvků binární relaci
R1 = {[x, y] ∈ A × B; y = |x − 2|}
a zakreslete její uzlový graf.
b) Rozhodněte, zda binární relace R1 je zobrazení z množiny A do
množiny B. V případě, že ano, určete jeho typ a zda je prosté.
c) Zapište výčtem prvků binární relaci R2 z množiny A do množiny
B, která není zobrazením. Svá tvrzení zdůvodněte.
11. Jsou dány množiny A = {−2, −1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3}.
a) Zapište výčtem prvků binární relaci
R1 = {[x, y] ∈ A × B; y = |x2
− 1|}
a zakreslete její uzlový graf.
b) Rozhodněte, zda binární relace R1 je zobrazení z množiny A do
množiny B. V případě, že ano, určete jeho typ a zda je prosté.
c) Zapište výčtem prvků dvě permutace P1 a P2 množiny B, z nichž
ani jedna není identické zobrazení, a určete permutace P1 ◦ P2 a
P2 ◦ P1.