Zobrazení z množiny do množiny, typy zobrazení
Nechť R je relace z množiny A do množiny B splňující vlastnosti: Ke každému
prvku a A existuje nejvýše jeden prvek b B takový, že [a, b]  R. Tato relace
se nazývá zobrazení z množiny A do množiny B. Značíme R: A → B.
Nechť R je zobrazení z množiny A do množiny B.
 Jestliže [a,b]R, pak prvek aA nazýváme vzorem prvku b B v zobrazení
R; prvek b  B nazýváme obrazem prvku a  A v zobrazení R.
 Množina O1(R) = {a  A: existuje b  B takové, že [a,b]  R} se nazývá
definiční obor zobrazení R. Platí O1(R)  A.
 Množina O2(R) = {b B: existuje a A takové, že [a,b] R} se nazývá obor
hodnot zobrazení R. Platí O2(R)  B.
Rozlišujeme následující typy zobrazení R:
 I) Je–li O1(R) = A  O2(R)  B  O2(R) ≠ B, nazývá se R zobrazení
množiny A do množiny B.
 II) Je–li O1(R)  A  O1(R) ≠ A  O2(R) = B, nazývá se R zobrazení z
množiny A na množinu B.
 III) Je–li O1(R) = A  O2(R) = B, nazývá se R zobrazení množiny A na
množinu B.
 IV) Je–li O1(R) A  O1(R) ≠ A  O2(R)  B  O2(R) ≠ B, nazývá se R
zobrazení z množiny A do množiny B.
Zobrazení Z z množiny A do množiny B se nazývá prosté zobrazení
právě tehdy, když relace Z−1
je zobrazení z množiny B do množiny A.
Uzlový graf prostého zobrazení Z z množiny A do množiny B je
charakteristický tím, že do každého bodu, který znázorňuje prvek y  B,
směřuje nejvýše jedna šipka. Můžeme tedy říci, že platí následující věta:
Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté právě tehdy, když pro každé
y  B platí, že je obrazem nejvýše jednoho prvku x  A v zobrazení Z.
V praxi používáme pro rozlišení prostého zobrazení následující tvrzení:
Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté právě tehdy, když každé dva
různé vzory mají různé obrazy.
Př. 1: Jsou dány množiny A = {a, b, c} a B = {u, v}. Nechť R1, R2, R3, R4 jsou
binární relace z množiny A do množiny B definované takto:
a) R1 = {[a, v], [b, v], [c, u]}, b) R2 = {[a, u], [b, v]},
c) R3 = {[a, v], [b, v], [c, v]}, d) R4 = {[a, u], [b, u]}.
Rozhodněte, zda tyto relace jsou zobrazení z množiny A do množiny B. Pokud
ano, určete typ zobrazení.
a) R1 je zobrazení množiny A na množinu B, není prosté.
b) R2 je prosté zobrazení z množiny A na množinu B.
c) R3 je zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.
d) R4 je zobrazení z množiny A do množiny B, není prosté.
Př. 2: Jsou dány množiny A = {x, y, z}, B = {a, b}. Rozhodněte, zda dané relace
z množiny A do množiny B jsou zobrazení z A do B.
a) R1 = {[x,a], [y,b], [z,a], [z,b]},
b) R2 = {[x,a], [z,b]},
c) R3 = {[x,a], [y,a], [z,a]}.
R1 není zobrazení.
R2 je prosté zobrazení z množiny A na množinu B.
R3 je zobrazení celé množiny A na množinu B, není prosté (nemůže být).
Př. 3: Jsou dány množiny A = {x, y, a, c}, B = {c, x, b, z}.
a) Rozhodněte, o jaký typ zadaných zobrazení se jedná.
R = {[x, z], [c, c], [y, c]}, S = {[x, z], [y, z], [a, z], [c, x]}.
b) Zapište výčtem prvků jednu binární relaci z množiny A do množiny B,
která není zobrazením.
c) Zapište výčtem prvků
1) jedno zobrazení R1 z množiny A do množiny B,
2) jedno zobrazení R2 množiny A do množiny B,
3) jedno zobrazení R3 množiny A na množinu B,
4) jedno zobrazení R4 z množiny A na množinu B.
Řešení: a) R je zobrazení z množiny A do množiny B, není prosté.
S je zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.
b) T = {[x, z], [x, b], [a, z], [c, x]}.
c) R1 = {[x, z]}, je prosté.
R2 = {[x, z], [y, z], [a, z], [c, z]}, není prosté.
R3 = {[x, c], [y, b], [a, z], [c, x]}, je prosté.
R4 neexistuje.
Prosté zobrazení množiny A na množinu B nazýváme bijektivní zobrazení nebo
také vzájemně jednoznačné zobrazení.
Př. 4: Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. Rozhodněte, o jaký
typ zobrazení se jedná a zda je toto zobrazení prosté:
a) R1 = {[1,a], [2,c], [3,d]},
b) R2 = {[1,a], [2,c], [3,d], [4,a]},
c) R3 = {[2,a], [1,c], [3,b], [4,d]}. Vzájemně jednoznačné zobrazení.
a) Prosté zobrazení z množiny A do množiny B.
b) Zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.
c) Prosté zobrazení množiny A na množinu B.
Permutací konečné množiny A nazýváme každé prosté zobrazení množiny A na
množinu A (vzájemně jednoznačné zobrazení).
Př. 5: Zapište všechny permutace tříprvkové množiny A = {1, 2, 3}.
a = (
1 2 3
1 2 3
) , b = (
1 2 3
1 3 2
) , c = (
1 2 3
2 1 3
) ,
d = (
1 2 3
2 3 1
) , e = (
1 2 3
3 1 2
) , f = (
1 2 3
3 2 1
) .
Definice: Nechť R je zobrazení z množiny M do množiny N a S je zobrazení
z množiny N do množiny K. Pak relace R ○ S je zobrazení a nazývá se složené
zobrazení ze zobrazení R a S.
Př. 6: Jsou dána zobrazení R, S v množině A = {1, 2, 3, 4} takto:
R = {[1, 3], [4, 2], [2, 3], [3, 1]},
S = {[1, 1], [4, 2], [2, 1], [3, 4]}.
Určete složené relace R ○ S, S ○ R.
Řešení: R ○ S = {[1, 4], [4, 1], [2, 4], [3, 1]},
S ○ R = {[1, 3], [4, 3], [2, 3], [3, 2]}. Vidíme, že R ○ S  S ○ R.
Složení dvou zobrazení je vždy zobrazení, složení dvou permutací je permutace.
Př. 7: Složte permutace b ○ c, f ○ d, e ○ b z předchozího příkladu.
b ○ c = (
1 2 3
2 3 1
) = d , f ○ d = (
1 2 3
1 3 2
) = b, e ○ b = (
1 2 3
2 1 3
) = c.
Povšimněte si, že platí e ○ d = d ○ e = (
1 2 3
1 2 3
), což je identická permutace.
Obě permutace d, e jsou navzájem inverzní.
Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté
zobrazení množiny A na množinu B. Značíme A ~ B.
Př. 8: Jsou dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y}, C = {1, 2, 3}. Rozhodněte,
které množiny jsou ekvivalentní.
Ř: Množiny A, B nejsou ekvivalentní (neexistuje prosté zobrazení množiny A na
množinu B). Množiny A, C jsou ekvivalentní (existuje prosté zobrazení množiny
A na množinu C, například R = {[a,3],[b,1],[c,2]}), tj. A ~ C.
Množina M je vlastní podmnožinou množiny N právě tehdy, když M je
podmnožinou N a současně M ≠ N.
Řekneme, že množina A je konečná právě tehdy, když žádná vlastní podmnožina
množiny A není ekvivalentní s množinou A.
Řekneme, že množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna
vlastní podmnožina množiny B, která je ekvivalentní s množinou B.
Př. 9: Uvažujme množinu ℕ všech přirozených čísel a množinu S všech
kladných sudých čísel. Zjistěte, zda jsou ekvivalentní.
Řešení: Připomeneme, že ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…}, S = {2, 4, 6, 8 , 10,…}.
Uvažujme relaci R = {[x,y] ϵ ℕ  S; y = 2x}.
Relace R je prosté zobrazení množiny ℕ na množinu S, neboť
ke každému x ϵ ℕ existuje právě jedno y ϵ S takové, že [x,y] ϵ R,
ke každému y ϵ S existuje právě jedno x ϵ ℕ takové, že [x,y] ϵ R.
Tedy ℕ ~ S.
Množina ℕ všech přirozených čísel je nekonečná, neboť je ekvivalentní s
množinou S všech kladných sudých čísel, přičemž S je vlastní podmnožinou
množiny ℕ.
Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak platí: A ~ B  , tedy dvě
konečné množiny jsou ekvivalentní, právě když mají stejný počet prvků.
Př. 10: Jsou dány množiny M =  4,3,2,1 a N =  dcba ,,, .
a) Definujte výčtem prvků relaci R z množiny M do N, která není zobrazením.
b) Definujte relaci Z, která je zobrazením z množiny N do M a určete jeho typ.
c) Zapište výčtem prvků relaci R•Z a rozhodněte, zda je tato relace zobrazením.
Pokud ano, určete, zda je prosté.
d) Zapište dvě různé bijekce množiny N na množinu M.
e) Na množině N definujte dvě různé permutace P1, P2 a určete permutace P1•P2
a P2•P1.
Řešení: a) R = {[2, b], [2, c], [3, a]}.
b) Z1 = {[c, 4]}. Prosté zobrazení z N do M.
Z2 = {[a, 4], [b, 4], [c, 1], [d, 1]}. Zobrazení celé N do M, není prosté.
c) R•Z1 = {[2, 4]}. Prosté zobrazení z M do M.
R•Z2 = {[2, 4], [2, 1], [3, 4]}. Není zobrazení.
d) B1 ={[a, 4], [b, 3], [c, 2], [d, 1]}, B2 ={[a, 2], [b, 4], [c, 3], [d, 1]}. Platí A  B.
e) P1 = {[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]}, P2 = {[a, c], [b, d], [c, b], [d, a]}.
Jinak zapsáno P1 = (
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
𝑐 𝑑
𝑑 𝑎
) , P2 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑐 𝑑
𝑏 𝑎
).
P1 • P2 = (
𝑎 𝑏
𝑑 𝑏
𝑐 𝑑
𝑎 𝑐
) , P2 • P1 = (
𝑎 𝑏
𝑑 𝑎
𝑐 𝑑
𝑐 𝑏
).
Př. 11: Je dána množina M =  3,2,1 . V množině M jsou dány relace R, T, U, V
takto:
R =   5;,  yxyxMMyx ,
T =   12;,  xyxMMyx ,
U =   13;,  xyxMMyx ,
V =       2,3,1,2,3,1 .
a) Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou některé z relací R, T, U, V zobrazení
v množině M. Pokud ano, určete přesně jejich typ. Je některá z těchto relací
permutací na množině M?
b) Zapište relace R-1
, V-1
, V•V, U•V, R•U, R•(V•U). Je některá z těchto
relací zobrazením v množině M? Pokud ano, určete přesně typ.
Řešení: a) R = {[2, 3], [3, 2], [1, 1], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.
T = {[1, 1], [1, 2], [1, 3], [3, 1], [3, 2], [3, 3], [2, 3]}. Není zobrazení.
U = {[1, 2], [2, 3]}. Prosté zobrazení z M do M.
V = {[1, 3], [2, 1], [3, 2]}. Permutace množiny M.
b) R-1
= {[3, 2], [2, 3], [1, 1], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.
V-1
= {[3, 1], [1, 2], [2, 3]}. Permutace množiny M.
V•V = {[1, 2], [2, 3], [3, 1]}. Permutace množiny M.
U•V = {[1, 1], [2, 2]}. Prosté zobrazení z M do M.
R•U = {[3, 3], [1, 2], [2, 3]}. Zobrazení celé M do M, není prosté.
V•U = {[2, 2], [3, 3]}. Prosté zobrazení z M do M.
R•(V•U) = {[2, 3], [3, 2], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.