Adobe Systems
1
Aritmetika 2 – jaro 2023
1. prezentace – definice, věty, důkazy
Mgr. Helena Durnová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková, Ph.D.
Mgr. Jan Wossala, Ph.D.

Adobe Systems
2
Intuitivně: co jsou a k čemu jsou
matematické definice a věty?
-Stručně řečeno, definice jsou k tomu, abychom nemuseli vždy znovu složitě vysvětlovat, co máme na
mysli, když řekneme … třeba prvočíslo.
-Definice se dají přirovnat k učení se slovíček v cizím jazyce: nemá smysl se dohadovat, zda se
ostrov anglicky řekne isle nebo ne, musíme se to naučit.
-
-Naopak věty vyjadřují vztahy mezi definovanými objekty. Jsou to tvrzení, přesněji pravdivá
tvrzení, o matematických objektech.
-Hrajeme-li podle stejných pravidel, v matematice se nehádáme, spíše ten, kdo dříve pochopí,
vysvětluje druhému, co objevil, co vidí, a ten druhý ještě ne.
-Např. rovnost vrcholových úhlů; jednoznačnost rozkladu na prvočísla, …
-

Adobe Systems
3
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické definice?
-
-
-
Definice nám pomůže ujasnit si, že hovoříme skutečně o tomtéž.
Na rozdíl od definic používaných v humanitních vědách (např. definice pojmu nadané dítě, začínající
učitel, …), kde zpravidla uvedeme různé definice a pak se postavíme na něčí stranu nebo na základě
uvedeného řekneme, co to znamená pro nás, v matematice slouží definice k domluvě; o definici se v
matematickém textu nediskutuje, nýbrž se přijímá
Obsah obrázku text Popis se vygeneroval automaticky.

Adobe Systems
4
Jaké chyby děláme v definicích?
Příliš široká definice – zahrnuje i objekty, které nechceme
Např. Čtverec je rovinný objekt, který má čtyři strany.
(zkuste vymyslet další příliš široké definice čtverce)
Příliš úzká definice – nezahrnuje všechny objekty, které chceme
Např. Kružnice je množina bodů, které mají od středu vzdálenost 5 cm.

Adobe Systems
5
Jaké další chyby děláme v definicích?
Nadbytečná definice – obsahuje více slov téhož významu (pleonasmus)
Např. Čtverec je čtyřúhelník, který má čtyři strany a tyto strany jsou stejně dlouhé.
Definice kruhem – odkazuje na pojem, který má být vysvětlen
Např. Prvočíslo je přirozené číslo, které není složené.
(nelze: číslo složené jsme definovali jako "ne-prvočíslo")

Adobe Systems
6
Obsah a rozsah pojmu
̶Obsah pojmu:
̶Soubor všech vlastností, které jsou pro daný pojem charakteristické
Př: vlastnosti prvočísla, soudělných čísel, ...
̶Rozsah pojmu:
̶Soubor všech prvků, které mají charakteristické vlastnosti uvedené v definici daného pojmu
Př: prvočísla jsou 2, 3, 5, 7, atd., ale ne 1, ne –3, ne –7, ….
̶
̶

Adobe Systems
7
Definice implicitní a explicitní
̶Pojmy definujeme přímo (explicitně), jiné nepřímo (implicitně)
̶
̶Příklady implicitních definic:
̶Např. Každé číslo lze v desítkové soustavě zapsat pomocí číslic 0-9 a mocnin čísla 10; v tomto
vyjádření nazýváme počet číslic  řád soustavy (zde desítková; známe i binární, čtyřkovou, ….),
číslici u i-té mocniny deseti nazýváme číslicí i-tého řádu atp.
̶Jsou to ty definice, které "nejsou na první pohled poznat".

Adobe Systems
8
(z předmluvy ke Slovníku školské matematiky)
Oficiální matematická terminologie a značení
"Matematik často střídá označení podle toho, o kterém problémovém okruhu pojednává a z jakého
hlediska. Nelze proto např. vyhovět přání některých školských pracovníků, aby se závazně stanovilo,
jakými písmeny se mají označovat množiny a jakými jejich prvky. Jde-li třeba v geometrii o množinu
bodů, označí se prvky velkými písmeny, pracujeme-li s množinou úhlů, použijí se pro prvky písmena
řecké abecedy apod. Pokus o důslednost by nás zavedl do slepé uličky."
̶Česká terminologická komise pro matematiku, v Praze v září 1981
(Matematici chtěli terminologii sjednotit. Jejich cílem bylo také pokud možno používat slova, která
se běžně nepoužívají, aby bylo hned jasné, že jde o pojem matematický.)

Adobe Systems
9
Hra: co je to, když se řekne….
-Zlomek
-Množina
-Číslo
-Rovnice
-Rovnost
-Nerovnost
-Bod
-

Adobe Systems
10
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické věty?
-
-
-
Větou (matematickou větou) formulujeme "zjevnou pravdu", například to, že jediné sudé prvočíslo je
2, relace rovnosti je symetrická i antisymetrická současně.
Pokud dva lidé zacházejí se  stejnými pojmy, na jejichž významu se dohodli pomocí matematických
definic (konvence), o pravdivosti matematické věty se nemohou hádat, pouze se o ní přesvědčit.
K přesvědčení nepřesvědčeného slouží důkaz: krok po kroku ukážeme, že to, co vidíme, je jasná
pravda :-)
Obsah obrázku text Popis se vygeneroval automaticky.

Adobe Systems
11
Hra: které matematické věty jsou ekvivalence a které implikace (zejména  z aritmetiky)

Adobe Systems
12
Formálně: co jsou a k čemu jsou
matematické důkazy?
-Důkaz: je prostředek k zviditelnění zřejmého. Probíhá krok po kroku a jeho forma závisí na tom,
kdo komu důkaz říká
-1. studující učiteli na písemce: jde jen o kontrolu, zda studující správně pochopil obsah definic
(Př.: Dokažte, že neexistuje číslo, které je současně prvočíslo i číslo složené).
-2. učitel studujícímu (např. ve skriptech, na přednášce, …): snaha osvětlit problém, rozdělit
myšlenkový postup na menší kroky
-3. matematik matematikovi: důkaz "jednou provždy"
-Formálně: přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí

Adobe Systems
13
Důkazy matematických vět